Koncepcja dowodu a struktura rozwoju nauki

Wiesław Wójcik

Koncepcja dowodu a struktura

rozwoju nauki

Studia Philosophiae Christianae 26/1, 194-202

liżm y, licząc na uzyskanie now ych w yników lub na nową interpretacją rzeczy dobrze znanych.

Jest to zagadnienie wym agające odrębnych badań, opartych na m a­ teriale najnowszych teorii fizycznych. Celem tej pracy było pokazanie jak długą i ciekawą drogę przebyła geom etria X IX w ieku po odkryciu geom etrii nieeuklidesow ych. Pow stanie tych geom etrii nie bez powodu uważa się za jedną z najważniejszbych rew olucji jakie dokonały się w m atem atyce w ciągu jej historii. Rewolucja ta otworzyła drogę r e ­ wolucjom fizykalnym , przede w szystkim fizyce relatyw istycznej. Na początku naszego stulecia geom etria stała się nauką dojrzałą i bardzo uporządkowaną. Jej rozwój w tym kierunku został zahamowany. P o­ jawiła się geom etria różniczkowa, a starymi problemami zajmuje się n ie­ liczna grupa entuzjastów. Coraz trudniej znaleźć książki poświęcone tym zagadnieniom. Z punktu widzenia geom etrii różnczkowej przestrze­ nie, które są takie same w każdym punkcie, zwane przestrzeniami sy­ m etrycznym i, są najprostszą klasą przestrzeni geom etrycznych. Istnieje pełna klasyfikacja takich przestrzeni, do której nie można nic d o d a ć6. Geometrie nieeuklidesow e mają liczne zastosowania w analizie, teorii funkcji analitycznych i w algebrze, lecz ich teoria jest w zasadzie skończona. Nie wiadomo czy na zawsze. Zawsze może pojawić się m a­ tem atyk, który te sprawy osadzi w nowym szerszym kontekście, otwierając tym drogę do now ych badań, pokazując nowe perspektyw y. Przykładem ogólnej podstawowej teorii m atem atycznej, która wyrosła z geom etrii jest topologia. Opisuje ona w szystkie przekształcenia prze­ strzeni, które zachowują ciągłość i zmierzanie do granicy. Zanim n a­ stąpi nowe odrodzenie geom etrii syntetycznej, opisującej w całościowy sposób przstrzenie geom etryczne, warto wracać i przypominać osiągnię­ cia X IX wieku, ponieważ tkw ią w nich korzenie w ielu współczesnych działów m atem atyki i nauk przyrodniczych, szczególnie fizyki i kosm o­ logii.

WIESŁAW WÓJCIK

KONCEPCJA DOWODU A STRUKTURA ROZWOJU NAUKI 1. WSTĘP. PRÛBY UKAZANIA SPECYFIKI DZIAŁALNOŚCI

NAUKOWEJ

X X wieku cechuje ogromny rozwój i osiągnięcia nauki, a zarazem znam ienne dla naszych czasów jest pow ątpiew anie w wartość nauki, w jej praw dziwie twórczy charakter. Z jednej strony analizy filozofów nauki ukazują hipotetyczny charakter naukowych tw ierdzeń oraz kru­ chość podstaw, na których wspiera się gmach wiedzy. Z drugiej strony filozofow ie X X wieku, poczynając od egzystercjalizm u a kończąc na filozofii dialogu, podważają wręcz wartość naukowego poznania.

Próby ukazania, iż nauka jest tworem , w którym gromadzi się fakty, niezbite twierdzenia oraz całkowicie opracowane teorie, zakończyły się fiaskiem . Filozoficzne ujęcie nauki w wym iarze synchronicznym przez neopozytyw istów Koła W iedeńskiego okazało się niewystarczające do

6 Patrz S. Helgason, D ifferen tial G eom etry and. S ym m etrie S paces, N ew York, London, 1962.

ukazania istoty działalności naukowej i obronienia w artości nauki. R ów ­ nież w analizach, w których nadm iernie dowartościowano w pływ czyn­ ników socjologicznych, historycznych, kulturowych czy psychicznych na rozwój nauki, nie udało się dotrzeć do tego co autentycznie uprawo­ mocnia działalność naukową ukazując zarazem specyfikę tej działal­ ności.

Ukazanie rozwoju nuki i zm ienności jej pardygmaitów tylko wówczas może uchronić przed sceptycznym podejściem do działalności nauko­ wej, gdy odrzuci się nadm ierny w pływ czynników zew nętrznych na ewolucję auki, natom iast ukaże się wew nętrzne i specyficzne metody, które sterująprocesem rozwoju widzy. W tym duchu przebiegały, m ię­ dzy innym i prace Poppera i Lakatosa. Falsyfikacjonizm Poppera oraz teoria programów badawczych Lakatosa, które m iały rozwiązać pro­ blemy teorii wiedzy, tylko częściowo obroniły naukę przed atakam i sceptycyzmu podważającym i racjonalność nauki. Wiąże się to m iędzy innymi z tym, iż odrzucanie starych teorii czy programów badaw czych i zstępowanie ich nowym i ciągle w ydaje się być nadm iernie zależne od czynników socjologicznych i psychicznych.

Ataki sceptyków nie om inęły również samej m atem atyki. Pow stanie wielu różnych geometrii, czy antynom ie teorii zbiorów ukazały, że pod­ stawy m atem atyki nie są tak jednoznaczne i niezbite, jak to w yda­ wało się do tej pory. Z pewnością ukazanie tego, iż m atem atyka może ulegać zm ianie i „przebudowywać” wcześniej ustalone znaczenia stosowanych przez siebie pojęć, jest niezm iernie cenne. Chciałbym jed ­ nak ukazać, iż rozwój m atem atyki zależy głów nie od metod, które stanowią zarazem specyfikę działalności m atem atycznej. Będę bronił autonomii m atem atyki. Podejm ę próbę w ykazania związku pomiędzy dowodem a m atem atyką, zm ieniającą i „przebudowującą” swoje zna­ czenie. Tym samym poruszę jeden z głów nych problemów epistem olo­ gii m atem atyki. Moją tezą jest rów nież to, iż sama struktura m atem a­ tyki dopuszcza i częściowo wym aga tego, aby m atem atyka poprzez oddziaływania z filozofią, zm ieniała sens stosowanych przez siebie po­ jęć i twierdzeń.

W tej analizie zajmę się dwiem a metodam i, które m oim zdaniem mają fundam entalne znaczenie dla określenia specyfiki działalności nau­ kowej. W odniesieniu do m atem atyki rola tych metod jest szczególnie ważna. Są to następujące metody: metoda „precyzacji” oraz m etoda „abstrakcji”. Metoda precyzacji działa wówczas, gdy dane pojęcie przechodzi z jednej teorii do drugiej i gdy w ym agane jest dostosowanie tego pojęcia do nowej teorii. Natom iast z m etodą abstrakcji m amy do czynienia wówczas, gdy nad jedną nadbudowujem y inną teorię. O tych metodach nieco dokładniej powiem w dalszej części.

2. FILOZOFICZNY MODEL DOWODU

Najpierw chciałbym przedstawić pew ien filozoficzny model dowodu matematycznego i roli, jaką pełni w dowodzie pojęcie. Posłuży to do wyciągnięcia w niosków dotyczących prawomocności rozumowań. Inspi­ racją dla m nie jest analiza dowodu Cauchy’ego dokonana przez Laka­ tosa. Z analizy tej wynika, że dana hipoteza może być uznawana za słuszną i nie wym agającą dowodu, jeżeli w ystępujące w niej pojęcia nie mają ściśle określonego znaczenia. W m omencie, gdy pojęcia zosta­ ną zdefiniow ane, hipoteza traci swą oczyw istość i przeprowadzenie dowodu staje się koniecznością. Poza tym „poprawność” dowodu zależy

od tego, które z pojęć uznamy za podstawowe (definiując w oparciu o nie inne pojęcia stosow ane w dowodzonym twierdzeniu). Tak np. przy dowodzie hipotezy ciągłości istotne stało się przyjęcie za podsta­ w ow e pojęcie granicy (w oparciu o ideę granicy została pierwotnie zde­ finiow ana przez Cauchy’ego ciągłość). W ówczas dowód Cauchy’ego stał się „błędny”. Należało go w ięc uzupełnić o rozumowanie w ykorzystują­ ce ideę jednostajnej zbieżności 4

Proponowany przeze m nie m odel dowodu wygląda następująco. Przez logiczną pojemność pojęcia będę rozum iał liczbę, która jest odwrotnie proporcjonalna do liczby słów potrzebnych do zdefiniowania danego pojęcia (przez definicję rozumiem określenie, które bezpośrednio odw o­ łuje się do podstaw owych i pierwotnych pojęć przyjętych w danej teorii) — dla potrzeb kolejnej definicji przyjmuję za współczynnik proporcjonalności liczbę 1.

Dane twierdzenie (pośrednio czy bezpośrednio) w ykorzystuje pewną liczbę pojęć w swojej treści. Przez „logiczny kwant dowodu” danego twierdzenia rozumiem najm niejszą z liczb, określających logiczną po­ jem ność pojęć, występujących w dowodzie twierdzenia. Intuicyjnie lo­ giczny kwant dowodu określa najm niejszy m ożliwy „przeskok” w toku rozum owania zastosowanego w dowodzie („krok dowodow y”), który uznajem y jeszcze za oczyw isty i nie wym agający dodatkowych w y ­ jaśnień.

Wynika np. z tego, iż pewne wypow iedzi, które składają się tylko z pojęć pierwotnych, na podstawie w ewnętrznej struktury teorii, m u­ siałyby być uznane za oczyw iste (ponieważ logiczna pojemność pojęć pierwotnych jest nieskończona). K w estia czy uznajem y takie w ypo­ w iedzi za „prawdziwe” czy nie, byłaby sprawą ustaleń konw encjonal­ nych. To, które z tych w ypow iedzi uznamy za prawdziwe, stanow i de­ fin icję pojęć pierwotnych, używ anych w danej w ypow iedzi (w tzw. aksjom acie, czy hipotezie).

3. ANALIZA METODY „PRECYZACJI” ORAZ „ABSTRAKCJI” W m om encie precyzowania danych pojęć, w ystępujących w pewnych m atem atycznych wypowiedziach, zm niejsza się pojemność logiczna tych pojęć (gdy były przyjm owane jako „samo przez się” zrozumiałe m iały pojem ność maksym alną), a tym samym zm niejsza się logiczny kwant dowodu tych w ypow iedzi (podobna sytuacja może w ystąpić również w ów czas, gdy decydujemy się inne pojęcia uznać za podstawowe i w oparciu o nie definiować te, które pierwotnie traktow ane były jako podstawowe). Dopuszczalny „przeskok m yślow y” pomiędzy poszczegól­ nym i krokami dowodowym i staje się mniejszy, co powoduje, iż w dowodzie pojawiają się „luki” (pewne nieoczyw iste przejścia). Zakła­ dam oczyw iście, że dowód jest „rozbity” na najm niejsze etapy, a w ięc w iększe „zagęszczenie” go jest niem ożliw e. Ten fakt rodzi stwierdzenie, uznające wcześniej poprawny dowód za „błędny”. Trzeba w ięc zm ie­ nić dowód tak, aby „zagęścić” kroki dowodowe, co w iąże się z ko­ niecznością użycia now ych pojęć (często w ym aga to stw orzenia zupełnie now ych pojęć jak np. pojęcia jednostajnej zbieżności przy dowodzie hipotezy Leibniza, czy pojęcia m iary przy próbie sprecyzowania w a­ runku całkow alności funkcji w sensie R iem an na2). Jasne więc, że m e­ 1 Imre Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge 1976, Cambridge U niversity Press, 127— 134.

z z a g a d n i e ń f i l o z o f i i p r z y r o d y

I PRZYRODOZNAWSTWA

toda precyzowania pojęć jest twórcza. W ram ach tej metody widać również zw iązek pomiędzy m atem atyką a filozofią (rozumianą bardzo ogólnie, rów nież jako pew ne zdroworozsądkowe przekonania). P ew ne wypowiedzi czy pojęcia, rozumiane na podstawie intuicji filozoficznych, tracą swoją pierwotną oczyw istość i zrozumiałość, w kontekście innych pojęć, które zostały sprecyzowane (jeśli m iędzy nim i istniała zależność). Tak było np. z pojęciem „wielkości”, które zmusiło m atem atyków do badań w kontekście ustalenia definicji całki przez R iem an na3. P ew ne więc filozoficzne pojęcia są ,,w spółodpow iedzialne” za powstanie no­ wych pojęć m atem atycznych. Natom iast powstałe pojęcia m atem atyczne ograniczają i kierunkują sposoby rozum ienia ich „filozoficznych odpo­ wiedników”.

Jednak w ydaje m i się, że m atem atyka bardziej kojarzy się z m eto­ dą „abstrakcji”, niż z m etodą „precyzacji”. Na podstawie w cześniej­ szych rozważań widać, iż m etoda „precyzacji” jest twórcza. Jak ma się natom iast sprawa z metodą „abstrakcji”? Polega ona na tym, że otrzymujemy pew ne „nowe” pojęcie poprzez pomijanie pew nych n ie­ istotnych, w danych rozważaniach własności. W istocie w ięc te po­ jęcie nie są nowe.

W odniesieniu do przestawionego przeze m nie modelu dowodu w i­ doczne jest, iż m etoda ,,abstrakcji” upraszcza dowody („skraca” je) poprzez zw iększanie pojem ności logicznej pojęć występujących w da­ nym twierdzeniu (pojęcia „pozbawia się” pew nych cech, a tym sa­ mym „skraca się’” ich definicja). Wobec tego wzrasta „kwant logicz­ ny” dowodu, co powoduje, iż rozum owanie może operować w iększym i „przeskokami”, zachowując swoją prawomocność.

Dzięki m etodzie abstrakcji m ożliwa jest „pionowa” konstrukcja te­ orii naukowych. Mając teorię Tb która operuje pew nym i pojęciam i Ai, ... A_ możem y zbudować teorię T2, w której część pojęć teorii Ti stanie się pojęciam i pierwotnym i teorii T2. W ten sposób niektóre po­ jęcia, które w teorii Ti m iały pojemność logiczną skończoną, w ' teorii Ts uzyskają pojemność nieskończoną. Dzięki temu twierdzenia nowej teorii T2 będą m ogły m ieć prostsze dowody, niż wówczas, gdyby po­ jęcia teorii Ti były włączone do teorii T2 z całym ciągiem definicyj­ nym.

W praktyce tworząc czy rozważając np. teorię m nogości w ykorzys­ tuje się w jej treści pojęcia logiczne (niekoniecznie traktow ane w lo ­ gice jako pierwotne) i przyjm uje się je jako pojęcia pierwotne. Gdyby przy każdym dowodzie teoriom nogościowym odwoływano się aż do pierwotnych pojęć logicznych, w ów czas „kroki dowodowe” zagęszcza­ łyby się w dużym stopniu, co utrudniałoby lub wręcz uniem ożliwiałoby przeprowadzenie dowodu.

Wydaje m i się, iż klęska logicystów (którzy próbowali zredukować całą m atem atykę do logiki) w ynika w prost z natury umysłu i ze struktury dowodu. Chodzi o to, iż przy bardziej rozbudowanych te ­ oriach definicje w ystępujących tam pojęć, odwołujące się bezpośred­ nio do podstawowych pojęć logicznych, byłyby bardzo długie. Pojem ­ ność logiczna tych pojęć byłaby bardzo mała, co musiałoby powodo­ wać, iż zm niejszający się kwant logiczny dowodu przekroczyłby n a­ 1 N. Bourbaki, E lem ents d ’histoire des m ath ém atiqu es, Paris 1960, Herman, 246—259.

3 B. Riemann, G esam m elte m ath em atische W erke, Leipzig 1876, Teuber, 225—230.

turalne zdolności jakiegokolwiek um ysłu (zakładam, iż um ysł nie może operować dowolnie m ałym i „przeskokami” w rozumowaniu). N ato­ m iast w praktycznej działalności m atem atycy raczej nie odwołują się bezpośrednio do pierwotnych pojęć teorii „poprzednich”. D zięki m eto­ dzie abstrakcji coraz bardziej ogólne teorie nie muszą posiadać corâz bardziej skom plikow anych dowodów, a wręcz te dowody stają się co­ raz prostsze.

Metoda abstrakcji ukazuje rolę pojęcia jako podstawy, na której m ożna budować nowe teorie. Taka jest w łaśnie rola tzw. przedzało- żeń filozoficznych danej teorii naukowej. Również przy coraz bardziej rozbudowanych teoriach pojęcia i tezy „niższych” teorii pełnią ana­ logiczną rolę „przedzałożeń’. Tego typu konstrukcja um ożliwia budo­ w ę teorii ogarniającej coraz w iększe obszary „rzeczywistości”, mimo iż um ysł ludzki ma barierę, która polega na tym, iż nie może w yko­ nyw ać „dowolnie m ałych kroków” w rozumowaniu (a w ięc od p ew ­ nego m omentu w szystkie dowody stałyby się niew ykonalne dla um ys­ łu ludzkiego).

Jednak ogarniając coraz w iększy obszar rzeczywistości, w konstruk­ cji tej pomija się w iele bardzo istotnych aspektów tejże rzeczywistości. Receptą przed zagubieniem w ażnych elem entów badań jest metoda precyzacji. Jej zastosowanie w ym aga talentu oraz intuicji twórczej. Niekontrolowane stosow anie uniem ożliw iłoby w szelką działalność nau­ kową. Rola pojęcia w ramach tej m etody wygląda następująco: po­ jęcie może m igrować z jednej teorii do drugiej „uwrażliwiając” nową teorię na niedostrzegane wcześniej aspekty. Migracja może odbywać się z filozofii do nauk, z nauk do filozofii, jak rów nież z jednej dziedziny nauki do drugiej (np. z topologii do teorii m nogości, z a l­ gebry do topologii itd.). Wówczas oczyw iście nowe pojęcie dostoso­ w uje się do now ych teorii poprzez precyzację, zm ieniając swoją po­ jem ność logiczną. Dowody w ykorzystujące now e pojęcie stają się bar­ dziej złożone, częst okazują się błędne i pojawiają się nowe pro­ blem y i zagadki. Prowadzi to do odkrywania nowych pojęć czy n o­ w ych teorii.

4. PROBLEM PRAWOMOCNOŚCI WYPOWIEDZI I KWESTIA MOŻLIWOŚCI UJĘCIA RZECZYWISTOŚCI

PRZY POMOCY JĘZYKA NAUKI

Bardzo ważną cechą działalności naukowej jest to, iż głów ne po­ jęcia stosowane w danej teorii m ają ustaloną ściśle pojemność lo­ giczną. To gwarantuje ścisłość rozważań naukowych. Pojęcia używane potocznie m ają najczęściej „rozmytą” pojemność logiczną. Zauważamy co się dzieje, gdy pew nym pojęciem stosowanym w danej w ypo­ w iedzi nadajemy, coraz to nowe znaczenia, nie ustalając dokładnie ilości i zakresu tych znaczeń. Wówczas ciąg słów, określających dane pojęcie, staje się coraz w iększy (praktycznie rośnie do nieskończo­ ności) pojęcie to „rozdyma się” staje się workiem , do którego można wrzucać niem al cały świat. Wówczas jego pojemność logiczna m a­ leje do zera. W ypowiedzi czy „dowody”, w których w ystępują takie pojęcia stają się dowolne. Zawsze takiej w ypow iedzi można zarzucić fałsz. Zawsze istnieje p ew ien nieprawom ocny „przeskok” w rozumo­ waniu, gdyż kwant dowodu jest dowolnie m ały. Praktycznie takie po­ jęcie w ym agałoby dowodów „ciągłych” tzn. takich, w których nie ma „przeskoków” i jest „nieskończenie” w iele kroków dowodowych. To

fOql Z ZAGADNIEŃ FILOZOFII PRZYRODY 1 QQ

4

1

jest oczyw iście niem ożliw e. I stąd sofistyczne argum enty (każda w y­ powiedź może być zarówno prawdziwa jak i fałszyw a) atakujące ab­ solutną wartość prawdy. Jednak w idzim y w czym leży błąd sofis- tycznych rozumowań. Sytuacja, którą oni uważają za powszechną, jest sytuacją szczególną, którą można om inąć (pokazuje to matematyka).

Jednak pojawia się problem: czy m ożliw e jest, aby pojemność lo ­ giczna pojęć, które wprost odpowiadają pew nym em pirycznym obiek­ tom była większa od zera? To znaczy w ydaje się, iż istotą obiektów empirycznych jest to, iż nie można ich w pełni określić przy pomocy skończonej liczby słów. Nauka, aby była m ożliwa, m usi przeprowa­ dzać proces idealizacji, pom ijając całą masę własności. Nie jest to tylko proces, który upraszcza pew ne rozum owania i ułatw ia osiąg­ nięcia zam ierzonych w yników . Proces ten jest istotnym składnikiem nauki, gwarantującym jej prawomocność i sprawiającym , że rozum o­ wania, stosowane w nauce, nie są dowolne, lecz ścisłe i jednoznaczne. W ciekaw y sposób rozwiązuje ten problem Kant. W ram ach filozofii Kanta nie istnieje problem czy nauka winna idealizować czy nie, aby zachować sw ą prawomocność. Obiekty em piryczne, z którym i ma do czynienia um ysł ludzki, są już poddane w pew nym sensie proce­ sowi idealizacji. Wiąże się to z tym, iż poznajemy w yłącznie to, co zostało już ujęte i uporządkowane przez form y zm ysłow ości (takie jak czas i przestrzeń), a dalsze poznanie m usi przebiegać w ram ach kate- gori rozsądku. Idealizacja jest w ięc warunkiem w szelkiego m ożliwego doświadczenia, a w konsekw encji warunkiem samej nauki. Idealiza­ cja ta nie dokonuje się na podstawie ustaleń m etodologicznych, lecz wynika z samej natury umysłu. U Kanta nie istnieje w ięc dylemat: albo zgodność nauki ze św iatem , albo ścisłość i jednoznaczność roz­ ważań dokonywnych w nauce. W ydaje się, że nie przyjmując rozwią­ zań Kanta (oraz odrzucając skrajny subiektywizm , który zakłada, że istnieją w yłącznię w ytw ory umysłu), nie mam y m ożliwości rozwiąza­ nia tego dylem atu. Moim zdaniem m atem atyczne pojęcia m iary n a­ suwa pew ne rozwiązanie.

Proces „mierzenia” jest procesem dokonującym się w ramach p ew ­ nych przeliczalnych operacji, jest w ięc procesem „nieciągłym ”. Jednak do otrzymania „dobrej” m iary niezbędna jest ciągłość. Okazuje się, że dla każdej „dobrej m iary istnieją takie zbiory, które są, w sen ­ sie tej miary, niem ierzalne. A zbiory te są konstruowane przez um ysł4. Możliwe jest w ięc w ytw orzenie przez naukę obiektów, które ze swej istoty nie są w pełni „poznawalne”. Idealizacja dokonywana przez naukę mimo iż pomija całą m asę obiektów i ich w łasności (do ścisłości nauki jest to konieczne), nie m usi prowadzić jednak do zam ­ knięcia nauki na pewne, pomijane w procesie idealizacji aspekty i własności. Nauka ma moc w ytw orzenia tego, co ukazuje jej granicę i pozornie do niej nie należy.

Czymś takim są w teorii m iary zbiory niem ierzalne. Aby móc przy­ stąpić do badań nad ideą m ierzalności trzeba było założyć, że w szy­ stkie zbiory są m ierzalne (była to pew na idealizacja). Jednak rozwój pojęcia m iary w ramach m atem atyki, ukazał granicę idealizacji i tym samym uprawomocnił tę idealizację.

Tragiczne dla nauki byłoby to, gdyby sama ze sw ej struktury i „mo­ cy” nie ukazywała granicy idealizacji, leżącej u podstaw jej badań. Nie twierdzę, że zawsze tę granicę m usi ukazywać. Jednak nie leży

w istocie nauki niemożność ukazywania granic idealizacji (nauka nie „szarga w ięc św iętości” ani nie niszczy ważkich dla człow ieka w arto­ ści — przynajmniej nie leży to w jej istocie).

Wracając do w cześniejszych rozważań widzim y w ięc, że tak jak proces „precyzacji” rozbudowując dowody i ciągi rozum owań dopro­ wadza do wytw orzenia nowych pojęć (rozszerza zakres nauki), tak proces „abstrakcji” (będący pew nym konkretnym modelem procesu idealizacji) um ożliw ia ścisłość nauki i uprawomocnia naukowe badania.

5. ROLA METODY „PRECYZACJI” I „ABSTRAKCJI” W NAUKACH EMPIRYCZNYCH I FORMALNYCH

W ramach przedstawionego przeze m nie modelu dowodu widoczne jest, iż nauki em piryczne mają strukturę „koła”. U ściślenie badań naukowych może iść w dwóch kierunkach. W kierunku „precyzacji”, poprzez zm niejszanie logicznej pojem ności pojęcia oraz w kierunku „abstrakcji”, poprzez zwiększanie logicznej pojem ności pojęcia. Jak za­ uważyłem , pojęcia odpowiadające ściśle obiektom em pirycznym, m u­ siałyby m ieć pojemność logiczną równą zero, natom iast pojęcia pier­ w otne mają pojemność logiczną nieskończoną. Nauki empiryczne, star­ tując od pojęć pierwotnych, praktycznie utożsamiają je z pew nym i em pirycznym i obiektami. Natom iast nauki form alne (czysta m atem a­ tyka) mają inną strukturę: brak jest w nich pojęć o pojem ności z e ­ rowej. Gdyby nie było oddziaływań m atem atyki z szeroko rozumianą filozofią (poprzez włączanie pojęć filozoficznych do m atem atyki), dzięki m etodzie „precyzacji”, to wówczas zaczęłaby przewagę uzyskiw ać m e­ toda „abstrakcji” (pojęcia m atem atyki, globalnie biorąc, zyskiw ałyby coraz większą pojemność logiczną, stając się tym sam ym coraz bar­ dziej „puste”). Dzięki m etodzie „abstrakcji” w szystko staje się „prost­ sze”, lecz przy przewadze tej metody, ogranicza się m ożliwość w kro­ czenia na nowe obszary badań. Przed w ytw orzeniem ■ zupełnie nowych działów m atem atyki w ydaje się w ięc konieczne, aby nastąpił okres „precyzacji” i uściślania pojęć.

Natom iast w ramach metody stosowanej w naukach em pirycznych nie w ydaje się aby rzeczyw isty rozwój tych nauk w ym agał również okresu „precyzacji”. Dzięki metodycznem u utożsamieniu pojęć o po­ jem ności zerowej (empirycznych) i pojęć o pojem ności m aksym alnej (pierwotnych) rów nież autentyczna twórczość może odbywać się po­ przez proces „abstrakcji”. Zw iększanie pojem ności pojęć w procesie „abstrakcji” przybliża je zarazem do „rzeczywistości” (tzn. do pojęć o pojem ności zerowej). Dlatego tak płodne dla fizyk i okazują się za­ stosow ania do jej badań metod m atematycznych.

6. ROLA POJĘĆ OGOLNYCH W POWSTAWANIU I ROZWOJU NAUKI NA PODSTAWIE PRZEDSTAWIONEJ KONCEPCJI DOWODU

Chciałbym zwrócić uwagę na jeszcze jedną sprawę. Jedną z pod­ staw ow ych m etod rozumowania, jaką Sokrates wprowadził do filo ­ zofii, a tym sam ym do nauki, była m etoda ustalania listy pojęć, od­ grywających podstaw ową rolę w danym rozumowaniu. Później poję­ cia te (u Sokratesa były to pew ne ogólne pojęcia etyczne jak „cnota”, „m ęstw o”, „sprawiedliwość” itp.) były definiowane, w oparciu o bar­ dziej konkretne fakty i sytuacje, w jakich się pojawiały. W potocznym rozumieniu, aż do Sokratesa, w ydaw ało się, iż pojęcia te są intuicyjnie oczyw iste. Miały w ięc pojemność logiczną nieskończoną i wobec tego

stwierdzenia, w których te pojęcia w ystępow ały, były uznawane za prawdziwe na zasadzie pew nych konw encjonalnych ustaleń czy przy­ zwyczajenia (można w ięc było kw estionow ać ich prawdziwość jak czy­ nili to sofiści). Gdy Sokrates zdecydow ał się te ogólne pojęcia d efi­ niować, tym sam ym zm niejszył ich pojemność logiczną. Wiązało się to z tym, iż w yrażenia składające się m iędzy innym i z tych pojęć, traciły swą oczyw istość i w ym agały uzasadnienia (niektóre z nich wręcz okazyw ały się fałszyw e). U stalenie listy słów wym agających zdefiniowania i podanie tych definicji w dużym stopniu determino­ wało 1,prawdziwość” czy „fałszywość” odpowiednich zdań zaw ierają­ cych te pojęcia (poprzez ustalenie logicznego kwantu dowodu). Wo­ bec tego „prawda” w jakimś sensie jest funkcją pew nych konw en­ cjonalnych ustaleń. Lecz to, na co zdecydował się Sokrates, n ie b y­ ło dowolną konwencją. K onw encja ta polegała na tym, że ustalono pewne pojęcia ogólne (tzw. powszechniki) i przyznano im status ist­ nienia i realności. Zresztą samo pojęcie „prawdy” jest pojęciem ogól­ nym, a w ięc pojawia się jako „realne” i „istniejące” w ram ach tej konwencji.

U podstaw nauki tkw i w ięc konwencja, w której decydujemy się na uznanie prawdy i w ogólności na przyznanie najw yższej rangi po­ jęciom ogólnym. Zarazem zakłada się, iż tę w ysoką rangę dają ogól­ nym pojęciom definicje. D efinicje te zm niejszają pojemność logiczną wcześniej „pustych” i „dowolnych” pojęć. Tym sam ym powodują, iż pojęcia te zaczynają „przybliżać się” do pojęć o pojem ności logicznej zerowej (tzn. do pojęć odpowiadającym obiektom em pirycznym). Tym samym dają tym pojęciom p ew ien status istnienia (tzn. staje się r e ­ alnym problem czy pojęciom tym odpowiadają istniejące w rzeczy­ wistości jakieś przedmioty). Pozornie tak proste ustalenia Sokratesa wytworzyło m etodę w ram ach której m ógł się np. pojawić słynny spór o uniw ersalia, m ający ogrom ne znaczenie dla powstania nauki nowożytnej.

7. UWAGI KOŃCOWE.

ROZWÓJ NAUKI I WARTOŚĆ NAUKOWEGO POZNANIA W okresie rozwoju m yśli istniały, moim zdaniem, trzy podstaw owe okresy „rygoryzacji”. Zawsze powodow ały one burzliwy i gw ałtow ny rozwój m atem atyki. Te okresy w iązały się z m etodą „precyzacji”. . Pierwszy okres odpowiadał program owi Sokratesa definiowania po­

jęć ogólnych. W ramach platońskiej m etody aksjom atyczno-deduk- cyjnej znalazł realizację w geom etrii stworzonej przez Euklidesa.

Drugi okres zw iązany był z programem Kartezjusza, który dążył do uściślenia pojęć geom etrii.

Natomiast trzeci okres, rozpoczynający się na początku X IX wieku, miał na celu „rozjaśnienie m roków analizy” i zdefiniow anie n iejas­ nych pojęć, które były w niej stosowane. Szczególnie trzeci okres, po­ przez włącenie do m atem atyki takich pojęć jak granica, nieskończo­ ność, liczba rzeczywista, zbiór itp. spowodow ał szybką ekspansję m e­ tod m atem atycznych na duże obszary „rzeczywistości”.

Na zakończenie chciałbym zwrócić uwagę na dwie ważne konsek­ wencje powyższych rozważań. Po pierwsze, w spieranie się teorii nau­ kowych na pew nych filozoficznych przedzałożeniach jest warunkiem umożliwiającym opis (czy raczej m odelowanie) rzeczywistości. Te przed- zalożenia dynamizują teorie naukowe, powodują, że teorie te stają

się „żywym i” organizmami. Poprzez proces precyzacji pojęcia filozo­ ficzne „podbudowujące” teorię mogą zostać włączone do tej teorii. Tym samym teoria może „przybliżyć się do „rzeczywistości” (gdy sprecyzowane pojęcia będą m iały pojemność logiczną m niejszą od po­ zostałych pojęć teorii). Po drugie, jeśli stosujemy w pewnym rozu­ m owaniu pojęcia, które nie są ściśle zdefiniow ane (nie mają określo­ nej pojemności logicznej), to w ówczas prawdziwością danej tezy m oż­ na m anipulować poprzez pomijanie lub przypisywanie danym pojęciom pew nych własności.

Myślę, iż na podstawie tych analiz widoczne jest, iż zarzuty sta­ w iane nauce są w łaściw ie zarzutami staw ianym i wszelkiem u ludzkie­ mu poznaniu. Natom iast metody stosowane w działalności naukowej przetwarzają „słabości” um ysłu na narzędzia skutecznie badające św iat ludzkiego doświadczenia.

H um an K n ow ledge: Classical and C on tem porary Approaches, ed. by

Paul К. Moser and Arnold vander Nat. N ew York — Oxford 1987, ss. X + 405, Oxford U niversity Press.

Om awiana książka ma stanowić, zdaniem jej redaktorów, zbiór w y ­ p isów z teorii poznania, które reprezentują najw ażniejsze klasyczne i w spółczesne podejścia w tej mierze (s. V). Jest to zadanie mbitne, ale w zasadzie w ykonalne, jeśli ma się do dyspozycji ponad czterysta stron dużego formatu. Czy Moser i vander Nat faktycznie to zadanie zrealizowali? Na to pytanie może dać jedynie odpowiedź dokładny przegląd zawartości tej antologii.

Rozpoczyna się ona od ogólnego w stępu redaktorów pt. Human

K n ow ledge — Its N ature, Origin, and L im its (s. 3-22), m ający syg­

nalizow ać centralne pojęcia i problemy teorii poznania. N ajwięcej u w a­ g i poświęcono w nim problem owi natury poznania, a ściślej definicji poznania jako w ytworu (czyli wiedzy) i analizie składowych tej de­ finicji: przekonania, prawdy i uzasadniania. Tradycyjnie bowiem ok­ reśla się wiedzę jako uzasadnione prawdziwe przekonania.

Część pierwsza antologii (s. 23—180) stanow i wybór tekstów ze źródeł klasycznych i rozpada się na 3 rozdziały, prezentujące kolejno starożytność (Platon, A rystoteles, Sextus Empiryk), średniowiecze (Au­ gustyn, Tomasz z Akwinu, W ilhelm Ockham) i nowożytność (XV -w ieczni racjonaliści: R. Descartes, G. Leibniz, brytyjscy empiryści: J. Locke, G. Berkeley, D. Hume oraz krytyczna filozofia I. Kanta). Jest to w ięc standardowa, podręcznikowa prezentacja, co do której trudno byłoby mieć jakieś poważne zastrzeżenia. Co najwyżej dla zacho­ w ania ciągłości prezentacji dobrze bydłoby po K ancie um ieścić jakiś tekst z niem ieckiej filozofii idealistycznej (J. G. Fichte i/lub G. W. F. Hegel). Byłoby to o tyle ważne, że część druga antologii (s. 183—395) po­ św ięcona w spółczesnej reflek sji teoriopoznawczej prezentuje jedynie dwa nurty: pragmatyzm oraz podejścia analityczne. Na rozdział doty­ czący pragmatyzmu składają się kolejno prace W. Jamesa, J. Deweya, C. I. Lew isa i R. Rorty’ego. W bardzo obszernej prezentacji podejść analitycznych (s. 223—395) przedstawione są w pierw zagadnienia, z ja­ kim i borykał się X X -w ieczny empiryzm. Zam ieszczone teksty dotyczą zmian, jakie dokonały się w pojmowaniu em pirycznej sensowności