Theorie prognosemodellen

THEORIE PROGNOSEMODELLEN

R. Hamerslag

EVM/02/82.04

LABORATORIUM VOOR VERKEERSKUNDE

Technische Hogeschool Delft

Afdeling der Civiele Techniek

Delft. Nederland

THEORIE PROGNOSEMODELLEN R. Hamerslag EVM/02/82.04 ,.fé;.(' TèCI-j";> .\~V ,1,/,. 1'/'0 l..J( 0' <'\ ... ,f~J'j ( \ \ . -..J 0,,., c:J ""'Ij, . \ ..26" $~.'s ... D_~~~ 'O' ~.,.. -"ÎT n <.:

Bijdrage c.ursus mathematische modellen e ' r

computertoepassingen in de verkeerskunde

Stichting Postacademiale vorming VerkeerskuLL~~ __ _

Delft.

Bibliotheek TU Delft

IIIII I IIII I II IIII II II II I

1111 IIII II

c

T.H. Delft. Laborator Afdeling der Civiele 1

Stevinweg 1, 2628 CN Delft

0003149035

Delft, me~ 1982

8516

630G

1. 1.1.

VERKEERSKUNDIGE THEORIE

Keuze van personen in relatie tot vervoers- en ruimtelijk systeem Verkeer ontstaat doordat mensen beslissingen nemen over acti viteiten die ze na doen. Activiteiten zijn werken, eten, slapen, recreëren, winkelen etc. Als twee activiteiten worden gekozen op verschillende lokaties is een verplaatsing nodig. Verplaat-singen per auto leiden tot autoverkeer. VerplaatVerplaat-singen per fiets tot fietsverkeer en verplaatsingen per openbaar vervoer tot bus-, tram- en treinverkeer."

Dit verkeer heeft invloed op de voorzieningen. Men maakt wegen, fietspaden en openbaar vervoerdiensten waar deze nodig zijn, met andere woorden de vraag door personen naar verkeers-voorzieningen heeft invloed op het ontstaan van verkeersvoor-zieningen, die mede onder invloed van andere invloedsgrootheden

(b.v. beschikbare hoeveelheid, geld of rUimte) tot stand zullen komen. De aanwezige particuliere en openbare vervoer-systemen beïnvloeden evenwel ook de keuzen van mensen. Er is derhalve een wisselwerking (zie fig. 1.1.).

Ande~ invioeds-grootheden Persoon i Ruimtalijke spreidin95-illctivitei~n

L -_ _ _ _ _ ...I t"~-:..----= =_~--_..--...Jn .-:ï!-i~_:-_---1-_ _ _ _ _ _ _ _

I",

"1:.=

_{~ _________ J}

==

-=

=-..-::

~

,.--- --- --- ----...

C::-====.:: ...

_{i::':,-=.-=..-}

- ---

_{VerpJutsingmvani} I I _{: : :} _ _ _ _ ~ I I _ _ _ _ _ _ ..J I Ander invloec!s-grootheden Vervoenyneem - - - '

Fig. 1.1. - Samenhang van keuzen van mensen

verplaatsingen, activiteiten, vervoersysteem en ruimtelijke spreiding van activiteiten

De keuzen leiden ook tot activiteiten die men doet op bepaalde plaatsen. Dit heeft eveneens invloed op het aanbod. Bijvoorbeeld op plaatsen waar men wil winkelen ontstaat winkelverkeer. Daar waar men wil wonen vindt een uitbreiding plaats van woongele-genheid etc. De ruimtelijke ontwikkeling wordt derhalve beïn-vloed door de gekozen activiteiten van een groot aantal personen. Uiteraard zijn er ook ,andere invloedsgrootheden, die de ruimte-lijke ontwikkeling beïnvloeden.

Het ruimtelijk systeem is echter ook weer van invloed op de keuze die men doet. Men gaat winkelen op plaatsen waar winkels zijn en wonen waar men woningen aantreft. Ook hier is er een wederzijdse beïnvloeding, die eveneens in fig. l.I. tot uitdruk-king is gebracht.

Modellen worden ontwikkeld voor ieder van deze drie onderdelen van het schema:

prognose van de keuzen van activiteiten en van verplaatsingen evaluatie van vervoersystemen voor particulier en openbaar vervoer

evaluatie van ruimtelijke systemen 1.2. De theorie verplaatsingsgedrag

Ieder mens verricht een aantal activiteiten, zoals slapen, eten, lezen, werken, winkelen, bezoek aan familie~kennissen, televisie kijken, sport, andere openluchtrecreatie, etc.

Hij zal in principe kunnen bepalen welke activiteiten op welke plaats en op welk tijdstip hij wil verrichten.

Uiteraard is hij hierbij gebonden aan invloedsgrootheden, die met hemzelf samenhangen en die door externe factoren worden bepaald. Zo zal iemand met min of meer regelmatige tussenpozen moeten slapen, eten of zich ontspannen. Teneinde in eigen

onderhoud of dat van zijn gezin te voorzien, zal hij moeten werken. Kinderen hebben verzorging nodig. Er moeten met regel-matige tussenpozen inkopen worden gedaan, etc. Het verrichten van deze activiteiten is gebonden aan externe factoren, zoals de geografische ligging van werk, winkels, scholen, etc. Een verplaatsing is nodig als men achtereenvolgens twee activiteiten wil verrichten op verschillende geografische plaatsen.

Het nut van deze verplaatsing is de koppeling van deze activi-teiten en wordt verplaatsingsmotief genoemd.

Aan iedere verplaatsing is een offer verbonden. Dit offer, in de verkeerskunde weerstand genoemd, wordt ervaren als verplaat-singstijd, -kosten en -inspanning.

De mate waarin de beoordeling plaatsvindt, hangt samen met de persoonlijke tijd-, geld- en inkomensbudgetten. De verplaatsing kan gemaakt worden met bepaalde vervoerw~Jzen (per auto, met het openbaar vervoer, per fiets en te voet).

Het gebruik van de auto kost weinig tijd, maar is duur. Een verplaatsing per fiets of te voer vereist weinig geld, doch kost tijd en inspanning.

Een verplaatsing per openbaar vervoer kost tijd en geld en vereist minder inspanning. Deze keuze tussen de vervoerwijzen zal geschieden op grond van persoonlijke omstandigheden. Uiteraard zullen bij de beoordeling de kwaliteit van het wegennet, fietsnet en openbare vervoersdiensten mede van

invloed zijn op de keuze.

De waardebepaling van de verwachte offers zal geschieden op grond van ervaring met of informatie over de verschillende

beschikbare vervoerwijzen voor die verplaatsing. Deze waardering is subjectief. De verplaatsing naar tijd, plaats en motief, alsmede de vervoerwijzekeuze is dus het resultaat van een reeks handelingen van het betrokken individu.

Fig. 1.2. - Samenhang van onderdelen van het verkeerskundig prognosemodel

Uitgaande van het bovenstaande zijn de volgende 4 hypothesen geformuleerd.

Er is voor een persoon een groot aantal activiteiten mogelijk. De eerste basisveronderstelling is dat iedere persoon een

keuze maakt uit alle mogelijke activiteiten. Hij doet dit op dusdanige wijze dat de som van het nut van de gekozen

activiteiten verminderd met het offer van de daarvoor

noodzakelijke verplaatsingen, gemaximaliseerd wordt.

De keuze die personen maken zijn nodig ten aanzien van:

het wel of niet op reis gaan (produktiemodel)

waar men naartoe gaat (distributiemodel)

de gebruikte vervoerwijze (vervoerwijzekeuzemodel)

het tijdstip van de verplaatsing (spitsuurmodel)

de keuze van de route (routekeuze en toedelingsmodel)

Het verkeerskundig prognosemodel is op grond van het

naast elkaar kunnen onderscheiden van deze beslissingen, gesplitst in sub-modellen. De naam van deze sub-modellen is hierboven tussen haakjes aangegeven. De samenhang tussen de sub-modellen is opgenomen in figuur 1.2. Het nut van een verplaatsing is de koppeling van activi-teiten, die ruimtelijk gescheiden zijn, zoals wonen-werken,

wonen-winkelen, werken-winkelen, etc. Het motief van een

verplaatsing wordt gedefinieerd door de activiteit op het herkomst- en het bestemmingsadres.

Het offer (of weerstand) van een verplaatsing bestaat uit

tijd, geld en andere invloedsgrootheden.

Het offer of de weerstand is een belangrijke

invloedsgroot-heid.

De tweede basisveronderstelling houdt in dat iedere

persoon de grootte van de verplaatsingskosten, -tijden en -inspanning op zijn eigen wijze beoordeelt. Als alle

omstandigheden - objectief gezien - gelijk zijn, zullen

deze door verschillende personen toch anders worden ervaren. Deze basisveronderstelling heeft dus tot gevolg dat men een andere keuze doet onder objectief gezien gelijke omstandigheden.

De derde basisveronderstelling heeft betrekking op de geografische nevenvoorwaarde. Deze houdt in dat in iedere zone evenwicht is tussen de door de bevolking bepaalde vraag naar woongelegenheid en door overheid, ondernemingen

en instellingen aangeboden woongelegenheid ..

Eveneens is er evenwicht tussen de door de beroepsbevolking bepaalde vraag naar werkgelegenheid en de aangeboden

werkgelegenheid. Deze evenwichtsvoorwaarden worden hier verder niet behandeld.

Verwezen wordt naar andere publicaties (zie b.v. Hamerslag, 1978).

De vierde basisveronderstelling stelt dat er evenwicht is tussen vraag en aanbod van weginfrastructuur en vraag en aanbod van openbare vervoerdiensten.

Voor het evenwicht in wegennetten is het dus nodig om de verplaatsingen per auto om te rekenen in auto's. Dit kan geschieden door het aantal personen per auto te delen door het aantal inzittenden in de auto's.

Andere modellen berekenen de auto's uit het gedrag van de autobestuurders. De vierde basisveronderstelling is

vooral van belang in zwaarbelaste autonetwerken. 1.3. Modelspecificatie

N

=

Znp np

het nut van een verplaatsing n voor persoon p

het offer of de weerstand (we zullen beide begrippen door elkaar gebruiken) voor verplaatsing n en persoon p "

U d~f N -Z (l.1.)

np np np

Volgens de eerste basisveronderstelling geldt dat U

np

>

max m, mi=n

U

mp (1.2.)

n

&

N, m 6 N waarbij N de verzameling is van alle keuzemogelijk-heden.

Stel nu dat ~ X

npk is een sector met bekende invloedsfactoren voor persoon p

N

- Z +S

+~'

np np p np (1. 3.)

S zijn socio-economische invloedsgrootheden (geslacht, leeftijd

e~c.) en dus niet afhankelijk van alternatief n."

Socio-economische variabelen (S ) kunnen alleen worden bestudeerd in samenhang met de gekozen altgrnatieven.

~ , i s een stochastische term die nader wordt gespecificeerd.

pg~soon p kiest uit twee alternatieven m en n. het alternatief n als

u

>

U np mp dus: N

- Z

+ S + ~'

>

N

- Z

+ S + ~' np np p np mp mp p mp of N

- Z

+ ~'

>

N

- Z

_+~mP (1.14.) np np np mp mp

Bovensta~nde leidt tot de volgende conclusies.

Het nut van een verplaatsing wordt bepaald door de acti-viteiten op het herkomst- en het bestemmingsadres. Het nut is bij keuze tussen twee vervoerwijzen met hetzelfde motief en herkomst en bestemming aan elkaar gelijk (N N ). De keuze wordt derhalve bepaald door de offers

2

P eRPZ . Dit geldt eveneens voor de routekeuze. m In hgt distributiemodel zijn nut en offer beide van invloed op de keuze. Naarmate de weerstand toeneemt, neemt ook het offer toe. De invloed van de weerstand op de te nemen beslissing gaat dan in toenemende mate een rol spelen. De theorie sluit het bestaan van scherp te trekken grenzen uit.

We stellen daarom:

x

=

~ X'

npk npk nk (1.5.)

~ is de beoordeling door persoon p van objectief meetbare

iR~ïoedsgrootheid

X nk.

Als nu ~nk de gemiddelde beoordeling is, dan geldt dat

~npk

=

~nk

+

~~npk

(1.6.)

Stel verder dat X'k de werkelijke waarde van invloedsgrootheid is op een bepaaldg dag. Dit is een statistische grootheid. In het model zal men de gemiddelde waarde X

nk hiervoor gebruiken, zodat geldt dat

X~k

=

_Xnk + ~nk (1. 7.)

Substitutie van (1.7.) en (1.6.) in (1.5.) geeft

X

=

~

.X

+ ~ff

npk nk nk npk (1.8.)

Met ~~pk = ~nk ~ _Xnk + _Xnk ~~npk + ~ _Xnk ~~npk

Stellen we verder ~np

=

L ~ff k + ~' , dan (1.9. ) K np np

geeft substitutie van (3.9.) en (3.8.) in (3.3.)

u

-

L

~ X + ~

np - K nk nk np (1.10.)

Het consumentenoverschot of het verschil tussen offer en nut is gelijk aan de som van een aantal, nader te specificeren invloeds-grootheden en de storingsterm ~

De grootte van ~ wordt dus bepaald door verwaarlozen van de spreiding in inv~gedsgrootheden in het model (~X k)' verwaar-lozing van het verschil in de beoordeling ~ k' dg grootte van X k en ~ k en van verschillen in de beoordg~~ng van één

pgrsoon ~n het nut de ene en de andere situatie.

De storingsterm is een mathematische weergave van de tweede basisveronderstelling. Het is een statische grootheid. En naarmate de storingsterm kleiner wordt zijn voorspellingen meer exact te maken.

Een verdeling van de bevolking in homogene bevolkingsgroepen leidt tot een kleinere waarde van ~ ~ k' De specificatie van invloedsgrootheden dient erop gerichtn~e zijn de ~ k te

verminderen. Verder onderzoek leidt ertoe invloedsg~ootheden

toe te voegen, waardoor een deel van het onverklaard gedrag wordt verklaard.

--

.... / ' "-, Normal distributton 0.4 0.3

'\(

'

0.2 0.1 0L-______ L-~~~~ _ _ _ _ ~L-______ L -____ ~ ______ ~ ______ ~--~=-_7--4 -3 -2 -1 0 2 3 4

Fig. 1.3. - Normale verdeling en Weibull verdeling

~ is een stochastische grootheid met een voor de

beschrij-v~Rg ervan normale functie of een Weibull-kansverdeling (fig 1.3.)

Een normale verdeling leidt tot ingewikkelde modellen met als gevolg dat men dan meestal Monte Carlo simulatiemodellen toepast.

De Weibull-verdeling is stabiel onder maximalisatie. Het maxi-mum van twee onafhankelijke Weibull-verdelingen is weer Weibull verdeeld. De Weibull verdeling leidt tot het logit model (zie b.v. Domencick and Mc Fadden (1975)).

exp (X ) n (1.11.) Prob. [u

>

U ]

=

n m exp (X ) + exp (X ) n m exp eX ) en Prob [U > max.U ]

=

n (X ) n m exp eX ) + ~ exp m:;tn n m ill:;tn waarbij X d~f

_{~ ~nk}

X nk n

1.4. Geaggregeerde en gedisaggregeerde modellen. Homogene bevol-kingsgroepen

De theorie stelt de keuze van mensen centraal bij de verklaring van het verplaatsingsgedrag. Hierop spelen de gedisaggregeerde modellen in. Iedere verplaatsing wordt afzonderlijk gebruikt voor onderzoek naar het verplaatsingsgedrag. Dit heeft het

theoretisch voordeel dat rekening kan worden gehouden met persoonlijke kenmerken, zoals geslacht, leeftijd, opleidings-niveau etc.

Bovendien is het mogelijk om het vervoersysteem voor de afzonder-lijke verplaatsingen in het model op te nemen. Men kan dan

b.v. rekening houden met de juiste voortransportafstand. Een belangrijk voordeel van deze modellen is, dat geen informatie verloren gaat door samenvoeging, hetgeen de kans op het doen van foutieve gevolgtrekkingen aanzienlijk kan verminderen. Kenmerken van het gekozen alternatief worden te zamen met

kenmerken van het niet gekozen alternatief voor de verklaring van het gedrag gebruikt. Vooral in die situaties waarbij het aantal keuzesituaties beperkt is of beperkt verondersteld kan worden (zoals het routekeuzemodel en vervoerwijzemodel, zie hierna), is het model bruikbaar.

Het model vereist voor planevaluaties echter een samenvoeging tot stromen. Het blijkt in de praktijk nogal wat problemen op te leveren om met gedisaggregeerde modellen een goede aanpassing tussen waarnemingsuitkomsten ·en modeluitkomsten te verkrijgen. Geaggregeerde modellen gebruiken in principe dezelfde theorie. Men voegt de waarnemingen samen tot groepen. Analyse en prognose-berekeningen vindt voor ieder van die groepen plaats.

In de meeste modellen wordt een onderscheid gemaakt tussen autobeschikbaren en niet-autobeschikbaren. Door in het avond-spitsuur het verplaatsingsmotief werken-wonen te onderscheiden, wordt in feite ook nog een onderscheid gemaakt in beroepsbe-volking en overige beberoepsbe-volking. Het maken van beberoepsbe-volkingsgroepen met een homogeen verplaatsingsgedrag verdient thans meer aan-dacht dan voorheen (zie b.v. Hamerslag, 1982).

Het onderscheid tussen gedisaggregeerde en geaggregeerde aanpak is in figuur 1.4. en figuur 1.5. gegeven.

De mate waarin het verantwoord-is om geaggregeerde modellen toe te passen hangt samen met de wijze waarop men de bevolking tot groepen samenstelt.

Een oordeelkundige samenvoeging houdt in dat zo weinig mogelijk informatie die relevant is voor een bepaalde probleemstelling verloren gaat. Een geaggregeerde aanpak is dan zeker niet minder goed dan een gedisaggregeerde benadering.

I

..

1 I Toetsing I j -1 I I Aggregatie

!

I I I I _{L __ _} Toetsing Aggregati&-waarnemingen

Figuur 1.4. - Gedisaggregeerd model

r - - - Theorie Waarneming 1 J I I ... Modelspecificatie I I I ! Toetsing I L ____ - - - I

De beoordeling van de kosten wordt beïnvloed door de omvang van het inkomen.

Een belangrijke bron van misschattingen ontstaat, doordat men onvoldoende op de hoogte is van de weerstanden van de niet gebruikte alternatieven. Autogebruikers overschatten de weer-stand van het gebruik van het openbaar vervoer en omgekeerd openbaar vervoer gebruikers die van het gebruik van de auto.

2. DE WEERSTAND

2.1. Gegeneraliseerde tijd en tijd en kostenbudgetten

Het verrichten van activiteiten en het maken van verplaatsingen kost tijd en geld.

Naar analogie van micro-economische theorie worden in de verkeerskunde de volgende twee vergelijkingen geïntroduceerd:

K p T p (2.1.) (2.2. ) waarin: Y_np = k = tn =

Jél

= T

P

= p

activiteit of verplaatsing van van goederen is een specifieke

persoon p. Het kopen activiteit die veel geld kost aan de activiteit n aan het het de activiteit n kostenbudget en tijdbudget verbonden kosten verbonden tijd

is gelijk aan het inkomen

Als

INK

het inkomen per tijdsperiode is, dan geldt dat

p

K

p

=

INK .T

p p (2.3.)

zodat (1.11) ook geschreven kan worden als

k n "i.

Y

_np

INK

p

=

T

p

(2.4.)

Er is verschil in inzicht op welke W1Jze nevenvoorwaarden

(2.2.

en

2

.

4.)

moeten worden gebruikt. Het is in principe mogelijk om beide nevenvoorwaarden te gebruiken. Dit geschiedt

bijvoorbeeld do~r Zahavi (1979) en anderen. Hamerslag (1972)

en Tanner (1979) menen dat de beide nevenvoorwaarden gewogen

bij elkaar moeten worden opgeteld. Volgens Murchland (1975),

die zich baseert op het werk van Nasser et al. (1966), dient

optellen te geschieden als voldaan wordt aan een aantal voor-waarden die nogal voor zichzelf spreken:

men moet beslissingen kunnen nemen

de beslissingen moeten consistent z1Jn en dus niet kring~

vormig. Als A beter is dan B en B beter dan C dan is A altijd beter dan C

Recente studies tonen aan dat aan deze voorwaarde niet altijd voldaan is.

als een alternatief in alle aspecten beter is, zal het altijd gekozen worden

de aspecten zijn in een rangorde te plaatsen

Tevens dient voldaan te zijn aan de voorwaarden dat de keuze tussen twee alternatieven niet verandert, indien bij beiden een derde alternatief wordt opgeteld.

De gewogen lineaire optelling moet geschieden in elke situatie waar beslissingen moeten worden genomen en waar voldaan wordt aan genoemde 5 voorwaarden. Indien niet lineair gewogen wordt opgeteld, wordt impliciet niet aan één of meer van deze voor-waarden voldaan. Met behulp van waarnemingen van het verplaat-singsgedrag kan men dus nagaan of aan deze voorwaarden voldaan is.

Gewogen optellen leidt tot de vergelijking

t + À. n Men stelt: k k n INK P n + À. INK P (l+À.) T p

Z

is de gerealiseerde tijd. n (2.5. )

Bovenstaande toegepast voor een relatie tussen een zonepaar i j geeft de vergelijking

k ..

Z

=

t + ~ ~

ijv ijv ~ INK (2.6.)

waarin: Z . . l.Jv

=

t ..

=

k~~v l.Jv INK

=

À.

=

de gegeneraliseerde tijden van zone i naar zone j met vervoerwijze v

de tijden van zone i naar zone j met vervoerwijzev de kosten voor een verplaatsing van zone i naar zone j met vervoerwijze v

een coëfficiënt, die vaak recht evenredig is met het inkomen

ca. 3

Verwacht mag worden dat er nog andere invloedsgrootheden zijn die van invloed zijn op de weerstand, zoals bijv. inspanning bij het fietsen.

2.2. 4 3 '!'

..

9- 2 ~ Objectieve weerstanden (X nk)

Voor het bepalen van de weerstand dienen te worden onderscheiden

objectieve weerstanden, subjectieve weerstanden en

model-weer-standen.

Objectieve weerstanden (Engels

=

objective cost) ZlJn weerstanden

zoals deze door objectieve meetinstrumenten kunnen worden vastgesteld. Zo kan de tijd voor een verplaatsing per auto of per openbaar vervoer met een chronometer worden bepaald.

Het maakt voor de bepaling van de objectieve tijd groot verschil uit of men de tijd waarneemt in de auto of dat men deze herleidt

uit de waargenomen snelheden langs de weg. Dit wordt hierna

toegelicht.

Als op een weg de verkeersbelasting toeneemt, treden vertragingen

op. Figuur 2.1. die ontleend is aan Rotbroek and Keefer (1957),

geeft het verband tussen de tijd, die nodig is om van het

begin tot het einde van·een wegvak te rijden, en de

verkeersbe-lasting of intensiteit.

O-Mtflu'e IIlIel \f\JI:. ol

:J

3 :,:

,

:

, :: 12-Mlnule Inrervois

~

.

.

..

.

' ." o 20 .00 60 80 100 120 140 VOlUme 4 24-M,nure ;nte' .r.;,' 2

.~

Cl 0 40 80 120 160 200 74() ~ec VOlUme

Fig. 2.1. - Tijd als functie van verkeersbelasting Bron: Rotbroek and Keefer (1957)

De figuur laat zien dat de tijd toeneemt als de verkeersbelasting toeneemt en verder dat de tijd extra toeneemt, terwijl de

verkeersbelasting afneemt (in geval van overbelasting). Er zijn in de figuur bij een bepaalde verkeersbelasting twee mogelijke tijden. De kleinste tijd behoort bij een situatie, waarbij het verkeer ongestoord doorstroomt en de grootste tijd behoort bij een sitautie waarbij de doorstroming wel gestoord is (congesties).

Er is in de figuur een maximum intensiteit waarbij het 'verkeer nog juist ongestoord doorstroomt. De capaciteit van een wegdek wordt wel gelijkgesteld aan deze verkeersbelasting en wordt

"steady flow capacity" genoemd.

De tijd die optreedt bij een verkeersbelasting gelijk aan nul, wordt minimumtijd of initiële tijd genoemd.

De capaciteit is een functie van de karakteristieken van de weg ( l o f 2 banen, aantal rijstroken, helling etc.).

I

!

r

i

i

I

1 : ,

Bovenstaande figuren z1Jn afgeleid uit snelheidswaarnemingen langs de weg. De tijden stemmen evenwel niet overeen met de tijd, die door de weggebruiker wordt waargenomen. Deze laatste tijd is meer relevant voor het model, omdat mag worden aangenomen, dat de gebruiker op grond hiervan een keuze zal doen uit

bestemming, vervoerwijze, routekeuze etc.

Op het verschil zal daarom hier verder worden ingegaan.

In de eerste plaats zal een weggebruiker op wegen met een hoge verkeersbelasting geconfronteerd worden met situaties met een ongestoorde en met gestoorde doorstroming. De kans op een gestoorde doorstroming neemt toe naarmate de verkeersbelasting dichter de capaciteit van het wegvak nadert. Dit heeft tot gevolg dat de functie van de ondervonden tijd door de gebruiker minder vlak loopt, dan de onderste helft van de functie, die wordt waargenomen langs de weg, aangeeft.

Ten tweede treedt bij een overschrijding van de capaciteit filevorming op, die groter wordt naarmate de overschrijding groter is en langer duurt. Dit houdt in dat voor de weggebruiker de functie die het verband aangeeft tussen tijd en verkeersbe-lasting (de z.g. "delay functie"), als de capaciteit wordt overschreden naar rechts doorloopt en niet zoals in fig. 2.1. terugbuigt naar links.

Ten derde wordt de beoordeling van het tijdverlies beïnvloed door wisselingen in de verkeersbelasting, die zoals bekend optreden tijdens de spitsperiode, tussen onderscheiden spitspe-rioden op verschillende dagen in de week of gedurende verschil-lende seizoenen. Dit houdt in dat de ene keer bij een lage verkeersbelasting geen tijdverliezen ontstaan, terwijl een andere keer aanzienlijke vertragingen kunnen worden ondervonden als gevolg van hogere verkeersbelastingen. Als gevolg van de vorm van de delay functie is de tijd behorende bij de gemiddelde verkeersbelasting altijd kleiner dan de gemiddelde ervaren

:1

!

I

l.,

I

z

J

i

I

IJ

'~

I

---_~---Fig 2.2. - Verband tussen verkeersbelastingjcapaciteit en

tijd/minimum-tijd berekend volgens BPR-functie:

a

.

met gemiddelde intensiteit

b.

de gemiddelde tijd bij wisselingen in de verkeersbelasting

waarbij max. afwijkingen in intensiteit van

+

30% t.o.v

.

gemiddelde verkeersbelasting ontstaan

c.

als b. doch met afwijkingen van +60%

Het onderzoek naar de relatie tussen tijd, capaciteit en

verkeersbelasting is niet eenvoudig als gevolg van de grote

spreiding in de waarnemingen, waardoor een schatting van de

functies wordt bemoeilijkt. Een onderzoek naar de vorm van de

functie die de relatie aangeeft, is gedaan door Florian et al

(1974) in Winnipeg, Canada. De voor verschillende typen wegen

gevonden functies blijken goed te worden benaderd door de

BPR-functies (Brandston, 1976).

2.3.

2.4

.

b t

=

t {I + k (~ ) } o c waarin: t

=

de tijd op de schakel (22.1.) t

0

=

de minimum tijd op de schakel, dit is de tijd op een

onbelaste schakel (initiële tijd)

x c k b

=

=

=

de verkeersbelasting of verkeersintensiteit de capaciteit van de schakel

een coëfficiënt

een exponent met de waarde 4 of 5

Het quotiënt (x/c)b verdient nadere aandacht. Er wordt onder-scheiden de praktische capaciteit en de hierboven beschreven "steady flow capacity". Het

BPR

gebruikt een praktische capaci-teit. Dat is de intensiteit behorende bij de tijd die 15% groter is dan de minimum tijd.

Als de intensiteit gelijk is aan de "steady flow" capaciteit, wordt de snelheid van het verkeer instabiel en treedt filevorming op. De tijd is dan 2x zo groot als t .

o

Hieruit kan worden afgeleid, dat k

=

I bij de "steady flow

capacity" met b

=

4

.

Als rekening wordt gehouden met wisselingen in de verkeersbelasting (fig. 2.2.) komt men tot coëfficiënten tussen 2,6 en 3,6.

Ervaren weerstanden

Ervaren of subjectieve weerstanden (Engels: perceived cost) ontstaan doordat iedereen verschillende objectieve weerstanden op zijn eigen wijze beoordeelt. Het ligt voor de hand dat op grond van ervaren tijden beslissingen worden genomen.

De beoordeling van de weerstand hangt samen met persoonlijke kenmerken en zal bovendien beïnvloed worden door mis schattingen. De ervaren tijd wordt beoordeeld door de mate waarin men in

staat is vrij over zijn tijd te beschikken, dus of men wel of niet moet werken, men wel of geen kinderen moet verzorgen, of men wel of niet naar school moet.

Modelweerstanden

Modelweerstanden (Engels: behavioural co st) z1Jn de weerstanden die in het model worden gebruikt met betrekking tot het gedrag. De coëfficiënten Z1Jn veelal met behulp van waarnemingen over het feitelijke gedrag bepaald met behulp van schattings- en toetsingsmodellen.

Uit analyses, vooral met behulp van gedisaggregeerde schattings-modellen is gevonden dat tijd op verschillende wijzen wordt ervaren.

-In bet bijzonder bij de keuze van bet openbaar vervoer is uit tal van studies gebleken dat de voor- en natransporttijd

(respectievelijk de tijd van deur van bet berkomstadres naar bet voertuig en van bet voertuig naar de deur van bet bestem-mingsadres) wacbttijden en overstaptijden veelal 2 à 3 maal

zwaarder gewogen worden dan de tijd in bet openbaar vervoermiddel. Bij een onderzoek in Rijnstreek Oost is gebleken dat de wacbttijd bij een kruispunt ca. 2 tot ,3 maal zwaarder gewogen wordt dan de tijd in de auto (Hamerslag, 1979).

Voor de bepaling van gegeneraliseerde tijden bij bet openbaar vervoer wordt veelal onderscbeid gemaakt tussen de tijd die nodig is voor de verplaatsing in bet vervoermiddel (b.v. 'bus) en de wacbttijd, overstaptijd en de voor- en natranspporttijd. Stoppen bij kruispunten wordt door automobilisten ca. 2 maal zo zwaar gewogen. Links afslaan 3 maal zo zwaar.

Het tijdverlies dat ontstaat als gevolg van zware belasting van bet autonetwerk zal w~arscbijnlijk ervaren worden als een grotere weerstand, zeker als een en ander gepaard gaat met stilstand. De waarde van k in vergelijking 22.1. moet dan dus een grotere waarde dan 4 bebben.

figuur 3.1 .Wegennet 34 netwerkpunten 19 voedingspunten 53 knooppunten

-~--+-- ~--+-

_,

~

-f-

-

~

.-,

~

---+---

-

-

--

+-

--

....

66 netwerkpunten 29 voedingspunten 95 knooppunten

----+--

-+-::t:~

_~

--

--

.

"

4f---- ---, ~

Figuur 3.2.Beschrijving van wegennet ~t schakels. De voedingspunten zijn aangesloten op het oidden van de zijden. Haximuo 4 schakels per knooppunt

14 netwerkpunten lR voedingspunten 32 knooppunten

0.' ...

Figuur 3:3.Beschrijving van het wegennet oet Figuur 3.4.Beschrijving van een netwerk schakels. De voedingspunten zijn aan- !"let schakels. De voedingspunten

gesloten op reeds in netwerk o?genooen vallen saoen met netwerkpunten

knooppunten. Er zijn geen beperkingen t.a.v. het aantal schakels per knooppunt

I

i

\. I , I I i ;

I

I I :

3. 3.1.

NETWERKEN. KORTSTE ROUTES

Netwerken

De grootte van de weerstand tussen herkomst en bestemming·is afhankelijk van de aanwezige autowegen, de fietsvoorzieningen en het openbare vervoersysteem (het vervoersysteem). Het vervoersysteem wordt met behulp van netwerken beschreven. Men onderscheidt netwerken die bestaan uit:

knooppunten en schakels

knooppunten, schakels, lijnen, wachttijdfuncties en overstapweerstanden

Netwerken met knooppunten en schakels gebruikt men voor de beschrijving van wegennetten en fietsnetten. Soms, als men

geen hoge eisen stelt aan de nauwkeurigheid van de beschrijving, wordt het ook gebruikt voor openbare vervoernetwerken.

Het netwerk met lijnen, wachttijdfuncties en overstapweerstanden is speciaal ontwikkeld voor openbare vervoernetwerken.

De verplaatsing per openbaar vervoer tussen herkomst naar bestemming bestaat derhalve uit de volgende onderdelen:

1. het gaan van de herkomst naar het instapstation of -halte 2. het wachten op een halte of station

3. het betalen van de reiskosten in het vervoermiddel 4. de reistijd in het verv~ermiddel

5. het overstappen

6. het gaan van uitstaphalte of station naar bestemming Het aantal schakels is beperkt uit praktische overwegingen. Dit leidt ertoe, dat men de beschrijving van de netwerken toespitst op het te onderzoeken project. Men neemt voor route-keuze-onderzoek de wegen op van één hogere en van één lagere orde, eventueel aangevuld met relevante andere routes. Iedere schakel heeft een weerstand en soms een capaciteit.

De wijze waarop men netwerken maakt wordt ook in belangrijke mate bepaald door de beschikqare computerprogramma's. Het

wegennet gegeven in fig. 3.1. wordt beschreven met knooppunten. Voedingspunten zijn knooppunten waar verplaatsingen vanuit een zone in het model worden geacht te vertrekken of aan te komen. In fig. 3.2. zijn er maximaal 4 schakels per knooppunt mogelijk. De voedingpunten zijn aangesloten op het midden van de zijde. In fig. 3.3. is het aantal schakels per knooppunt onbeperkt. Voedingpunten worden verbonden met in het netwerk aanwezige

knooppunten.

In fig. 3.4. vallen de knooppunten samen met netwerkpunten. Dit houdt in dat verondersteld wordt dat het verkeer op hoek-punten in het wegennet begint in plaats van middenin woonblokken. Deze laatste veronderstelling leidt tot veel minder knooppunten. Wel dient het computerprogramma verplaatsingen door de knooppunten toe te staan.

3.2. Het berekenen van de kortste routes

De berekening van kortste routes in netwerken geschiedt met behulp van algorithrnen. Een onderscheid kan worden gemaakt tussen:

tree builder algorithrnen matrix algorithrnen

De "tree builder" algorithrnen zoeken achtereenvolgens voor ieder voedingspunt de routes naar alle voedingspunten. Ze worden naar Moore (1957) genoemd, hoewel Ford (1956) en Bellman (1958) overeenkomstige algorithrnen hebben ontwikkeld. Bij deze algorithrnen worden de "Once through" algorithrnen als een afzonderlijke groep onderscheiden. Dijkstra (1959).

De matrix algorithrnen zoeken simultaan (gelijktijdig) de kortste routes van alle herkomstvoedingspunten naar alle besternrningsvoedingspunten.

Matrix algorithrnen zijn o.a. ontwikkeld door Floyd (1962).

In het algemeen Z1Jn tree builder algorithrnen sneller dan matrix algorithrnen. Ze vergen bovendien in het algemeen minder geheugenruimte. Matrix algorithrnen zijn echter zeer eenvoudig programmeerbaar. Ze worden daarom soms toegepast bij kleine netwerken.

van een bepaalde

schakel gebruik

maakt (hier

geareeerd) wordt

selected link

genoemd.

fig.42.2~

Toedeling van het

verkeer over de

selected link op

een netwerk nadat

deze link uit het

netwerk is

weggenomen.

4.

TOEDELING VAN HET VERVOER AAN NETWERKEN Theorie toedeling

4.1. Toedeling in netwerken houdt in dat een herkomst- en bestem-mingstabel met verplaatsingen wordt toegedeeld aan een wegen-net. Hiertoe worden verschillende modellen gebruikt. In deze paragraaf worden deze verschillende modellen in verband ge-bracht met de theorie van het verplaatsingsgedrag. Aangegeven zal worden welke veronderstellingen tot een bepaald model leiden.

Gegeven de volgende grootheden X nk ~k

~kXnk

np

e

_np

=

=

=

=

=

de objectieve weerstand van alternatief n voor aspect k. Aspecten zijn tijden, kosten etc. de gemiddelde beoordeling van de objectiève weerstand

de modelweerstand

de totale weerstand van alternatief n voor persoon p

de storingsterm. Deze brengt tot uitdrukking dat niet alle invloedsgrootheden die van in-vloed zijn op de beoordeling van 2 .. Boven-dien wordt de grootte van

e

bepag~d door verwaarlozing van spreidingn~n X

nk en ~k. Een persoon p zal nu de route nuit n en m kiezen als 2

<2 ~

mp

We introduceren de stochastische grootheid 2

=

2 - 2

nmp np mp met storingsterm e _nmp .

Het aantal mensen dat route n kiest kan als volgt bepaald worden. Prob C2 np < 2 mp )

=

Prob (2 nmp < 0)

=

CL

X k np Prob - L X +

e

< 0) k mp nmp

De keuze tussen de verschillende routekeuzemodellen wordt bepaald door de veronderstelling die over e gemaakt wordt.

4.2.

Als c Weibull verdeeld is en de alternatieven afhankelijk

nmp

van elkaar zijn krijgt men het logitmodel, waarvan het model

van Dial een voorbeeld is.

Het probitmodel ontstaat als c normaal is verdeeld. Het

nmp

heeft het voordeel dat alternatieven niet onafhankelijk dienen te zijn. Routes kunnen daarom voor een deel samenvallen.

Het model leidt tot nogal ingewikkelde wiskundige vergelijkingen,

met als gevolg dat men Monte Carlo simulatietechnieken toegepast

bij dit model.

Als c

=

0 is gesteld wordt altijd de route gekozen met de

nmp kleinste weerstand Prob

(L

X -

L

X < 0)

=

1 als

L

X <

L

X np mp k np k mp

=

0 als

LX> L

X k np k mp

Dit leidt tot de alles-of-niets toedeling (zie 6.1.).

Zoals we gezien hebben neemt de weerstand op een schakel toe met de intensiteit. Routes die aanvankelijk de kortste waren krijgen een grotere weerstand met als gevolg dat andere routes

-korter worden.

Als c

=

0 is gesteld geldt nu dat

nmp

uitsluitend de routes met de kleinste weerstand worden berekend

als er meer routes berekend worden hebben ze een gelijke weerstand

de weerstand van niet berekende routes zijn groter

Het bovenstaande wordt wel het "gebruikers-optimum" genoemd en is de eerste maal door Wardrop geformuleerd. Hij doudt dus verwaarlozing in van c nmp

Het leidt tot evenwichtsmodellen omdat alternatieven alleen berekend worden als er tijdverlies ontstaat in schakels en omdat tijdverlies alleen in zwaarbelaste netwerken optreedt, zijn deze toedelingsmodellen alleen geschikt voor zwaarbelaste netwerken.

Alles-of-niets-methode

Met het produktie-, distributie- en vervoerwijzekeuzemodel worden herkomst en bestemmingstabellen met verplaatsingen gemaakt, waaruit herkomst- en bestemmingstabellen met auto's worden herleid.

4.3. 4.3.1.

4.3.2.

Dit verkeer wordt toegedeeld aan netwerken. Het eenvoudigste

toedelingsmodel is de alles-of-niets toedeling. Het vervoer of

verkeer van iedere relatie wordt toegedeeld aan de gevonden

kortste route. De kortste route krijgt dus alles en alle'

overige routes niets. De methode is relatief goedkoop en bovendien goed te volgen.

Toedeling van het verkeer dat uitsluitend van een schakel

gebruik maakt noemt men selected link. Men maakt deze van nieuwe of af te sluiten wegen of van bruggen. Een voorbeeld van een selected link is opgenomen in fig. 42.1.

Men kan een toedeling maken voor als deze schakel is weggelaten, fig. 42.2.

Een andere toepassing van alles of niets toedeling is een

verschilplot.

Methode voor alternatieve routes in autonetwerken Inleiding

In de alles-of-niets toedeling is er tussen ieder paar

herkomst-en bestemmingszones slechts één kortste route. In het model' .

wordt deze route dan door alle verkeersdeelnemers gebruikt. Dit is in tegenstelling met wat in werkelijkheid geschiedt. Er worden tussen dezelfde punten in een netwerk meer routes

gebruikt. Het alles-of-niets toedelingsmodel beschrijft de werkelijkheid onvoldoende.

Als men het feitelijke routekeuzegedrag wil beschrijven, schiet het alles-of-niets algorithme tekort. Er zijn daarom andere toedelingsmethoden toegepast.

In niet-overbelaste netwerken zijn de belangrijkste toedelings-methoden:

het stochastische kansmodel, (o.a. Burrell, 1968) de deterministische kansmodellen (o.a. Dial, 1971) In wel-overbelaste netwerken past men toe:

---capacity restraint (Steel, 1965)

evenwichtsmodellen. Ruyter (1974) Florian et al (1975) Stochastische toedelingsmodellen

---Bij de stochastische toedelingsmodellen vindt het toedelen van

een herkomst en bestemmingsmatrix met verplaatsingen plaats in

één of meer stappen.

De tijden van de schakels worden tijdens het rekenproces veranderd. Dit kan op twee tijdstippen geschieden, t.w.:

iedere keer als vanuit een zone de routes naar andere zones worden berekend

voorafgaande aan iedere oplaadstap

4.3.3.

De bepaling van de tijden gschiedt als volgt:

(43.1.) waarin:

=

=

de gemiddelde waarde van de weerstand op de schakel lk

de spreiding van de weerstanden op de schakel lk Het symbool a is een uit een standaard normale verdeling

geloot getal dat positief of negatief kan zijn.

Met behulp van de aldus gevonden gegeneraliseerde tijden worden de routes berekend volgens de alles-of-niets methode. De waarde van b kan niet rechtstreeks worden bepaald. Wel kan onder bepaalde voorwaarden deze coëfficiënt uit de met het logit-model geschatte coëfficiënten worden afgeleid.

De deterministische kansmodellen

---Het deterministische kansmodel van Dial verdeelt het aantal verplaatsingen tussen ieder paar herkomst- en bestemmingspunten

(hier kortheidshalve waarnemingspaar genoemd) over een aantal "redelijke routes".

Dit geschiedt met de logit formule: p . r1 p ... "1 met: p . r1 2 . r1

=

-2 . e rl '<:" -2 . ,L e rl r

het aantal auto's route (of pad)r het totaal aantal waarnemingspaar i,

(43.2.)

tussen waarnemingspaar i langs auto's tussen

p ....

=

l p .

"1 r r1

de geneneraliseerde tijden langs route r in waarne-mingspaar i

Het aantal verplaatsingen wordt bij deze methode verdeeld over de toeleidende routes van ieder knooppunt.

Uit (43.2.) volgt dat twee routes een gelijke kans op gebruik hebben bij gelijke lengte. Kortere routes hebben een grotere kans op gebruik dan langere routes.

Er zijn alleen verplaatsingen langs "redelijke routes". Een route is gedefinieerd als "redelijk" als voor iedere schakel geldt dat gerekend in de richting van het gebruik het begin-knooppunt dichter is gelegen bij de herkomst en het eindknoop-punt dichterbij de bestemming.

4.4. 4.4.1.

4.4.2.

Een bezwaar tegen de methode is, dat het wel of niet opnemen van een "redelijke route" afhankelijk wordt van de wijze waarop het netwerk wordt geconstrueerd.

Het opnemen van een extra punt in het netwerk kan ertoe 'leiden dat een route niet meer· als "redelijke route" meedoet in de berekening of omgekeerd. In de praktijk is dit een moeilijk te nemen hindernis.

Toedeling in zwaarbelaste autonetwerken Inleiding

In situaties waarbij de intensiteit de capaciteit van het wegennet nadert, worden toedelingstechnieken gebruikte zones.

capacity restraint evenwichtsmodellen

Beide methoden hebben gemeen dat rekening wordt gehouden met '

het tijdverlies dat ontstaat als de intensiteit de capaciteit van het wegennet benadert.

Dit geschiedt bijvoorbeeld met de reeds behandelde tijdverlies-functie (22.1.).

Een voorwaarde is dat de capaciteit van de wegen vooraf bekend moet zijn. De uitkomsten van het rekenproces in zwaarbelaste netwerken worden in belangrijke mate beïnvloed door deze capaciteiten.

Capacity restraint

---Het principe van de capacity restraint (Steel, 1965) is het volgende.

Als de intensiteit op een wegvak toeneemt, zal ook de tijd en daarmee samenhangende gegeneraliseerde tijden toenemen. Als gevolg hiervan zullen andere, kortere routes gekozen worden. Om het omrijden, als gevolg van een bottleneck, binnen redelijke grenzen te houden wordt wel een minimum snelheid op een schakel aangehouden (b.v. IS/km/uur).

. '. .'

~~:

,

.~~:;~"

. . ,.j:< ,":-.' , ~~~~~'.-' _:' ..

_'

_.

~ •• ~.~'.'! ' . ~ ~.2_. ~_ , .... \.'.: --,'f . T' ... '..r._, • .:r. ~ ... • ,,""ç"._.'

~

;-~:

~

~

"

'i

.

~

.

::"" :'.:' ' ---~ .I ~ . .... '.

-Fig.

44.1-Eenzelfde herkomst- en bestemmingstabel is toegedeeld volgens capacity de alles-of-niets methode (boven) en volgens de

restraint methode (onder). Als gevolg van de beperkte van de aangegeven schakel gaat minder verkeer door de meer langs de randweg. DHV (1977).

capaciteit stad en

4.4

.

3.

Het opladen gebeurt in een aantal stappen. De volgende procedure wordt hierbij gevolgd:

l . 2. 3.

4.

5. 6. 7.

n

=

0 (n is het nummer van de ieratie)

n

=

n + 1

bereken de kortste routes (de eerste keer wordt uitgegaan van tijden in een onbelaste situatie)

deel

OP

%

van het verkeer toe aan de gevonden kortste

n

routes

bereken nieuwe gegeneraliseerde tijden Zl uit de verhouding

intensiteit/capaciteit k .

de intensiteiten op de schakel worden verminderd met

AF%

als het maximaal aantal stappen nog niet bereikt is, wordt de berekening bij 2 voortgezet, naders wordt de berekening gestopt

De gevonden verkeersstromen z~Jn afhankelijk van het aantal stappen waarin de oplading geschiedt en de waarden van de

OP

en AF percentages.

Algemeen kan worden gesteld, dat die oplossing moet worden nagestreefd, waarbij de som van de produkten van verkeersstroom en de weerstand per schakel (voertuigminuten) zo klein mogelijk is.

Een voorbeeld van de berekening met de capacity restraint methode is opgenomen in fig. ~4.1.

Evenwicht in autonetten

---Het berekenen van evenwicht in een autonetwerk houdt in, dat de weerstand die gebruikt wordt om de omvang van het verkeer uit te rekenen (vraag) voor ieder wegvak gelijk is· aan de

weerstand die behoort bij de uitgerekende intensiteit (aanbod). De meeste verkeersmodellen zijn z.g. vraagmodellen. Met deze modellen wordt de vervoeromvang berekend. Hieruit wordt het verkeer herleid, waarna een berekening van de behoefte aan

verkeersvoorzieningen volgt. Het aanbod van verkeersvoorzieningen past zich dus geheel aan de vraag aan.

Uit ruimtelijke, budgettaire en milieutechnische overwegingen is het niet altijd mogelijk het aanbod aan te passen aan de vraag. Hierdoor zullen de intensiteiten (verkeersstromen) op de wegen groter worden waardoor tijden toenemen. De vraag zal als ge~olg van langere verplaatsingstijden afnemen. Het niet voldoen aan de vraag heeft tot gevolg dat de groei van het vervoer en verkeer wordt afgeremd. Bovenstaande houdt in dat evenwicht tussen de vraagfunctie en de aanbodfunctie (vgl.

22.1.) bepaald moet worden.

,

I·

!

j'

f

I

:

I'

I

I

4.5.

De capacity restraint methode leidt in het algemeen niet tot de evenwichtssituatie (vraag

=

aanbod). Als gevolg van de lagere rekenkosten stapt men wel over dit bezwaar heen.

In theoretisch opzicht zijn er nogal wat bedenkingen tegen de methode aan te voeren. De gevonden intensiteiten zijn nl. afhankelijk van het gekozen aantal stappen en van de

oplaad-(OP%) en ontladings- of terugneempercentages (~k)·

Reeds door Beckman

(1956)

is gewezen op het belang van evenwicht. Het is vooral naar aanleiding van de werkzaamheden van Mannheim

(1972)

dat dit onderwerp thans volop in de belangstelling staat.

Het evenwicht wordt bepaald met behulp van tijdminimalisatie of een surplusoptimalisatie, toegepast voor de gebruiker

(users optimum) of het systeem (system optimum). Dit leidt tot het volgende onderscheid.

Het evenwicht wordt bepaald bij een gegeven herkomst- en bestemmingstabel met verplaatsingen en een gegeven

capaci-teit van de infrastructuur. Het betreft hier dus een routekeuze en toedelingsmodel.

Het evenwicht wordt bepaald bij een gegeven capaciteit van de infrastructuur en een gegeven grafische spreiding van aankomsten en vertrekken en een gegeven vervoerwijze-keuze. Deze modellen behandelen onderlinge samenhang tussen het routekeuze, tQedelings- en distributiemodel. Voor meer bijzonderheden zie Ruiter

(1974)

en Florian

(1974)

.

Toedeling openbaarvervoernetwerken

De toedeling houdt in dat een herkomst- en bestemmingstabel met verplaatsingen wordt toegedeeld aan een netwerk.

De meest eenvoudige toedeling is de alles-of-niets toedeling. Deze methode kan goed worden toegepast voor kleine netwerken. Er zal dan tussen de relatieparen van de

RB

tabellen in het algemeen niet meer dan één lijnverbinding met het openbare vervoer zijn.

Tussen twee punten in een netwerk kunnen meer routes bestaan. In grote steden zijn er tussen woonwijken vaak routes die lopen via de binnenstad en ringroutes. Men heeft dan dus keuze tussen twee routes die in ligging geheel verschillend zijn. Een kenmerk van het openbaar vervoersysteem is dat er ook alternatieve reïsroutes zijn die in ligging wel samenvallen. Bijvoorbeeld bij treingebruik heeft men de keuze tussen snel-en stoptreinsnel-en.

In stedelijke en regionale busnetten volgen verschillende lijnen dezelfde route.

Er zijn speciaal op het openbaar vervoer gerichte modellen

ontwikkeld, die de verplaatsingen wel over twee routes verdelen, nl. :

Deterministische kansmodellen.

Evenredig met de frequentie op de lijnen, die in tijd weinig verschillen. Het verschil in rijtijd wordt verwaarloosd.

Evenredig met de frequenties, die gecorrigeerd worden met de rijtijden.

Evenredig met de verhouding van e machten van (met waardering gewogen) rijtijden en wachttijden. Stochastische kansmodellen.

5.

5.1.

DISTRIBUTIE EN VERVOERINGSKEUZE Theorie van bestemmingskeuze

Uit de eerste hypothese volgt dat personen het verschil tussen nut en offer maximaliseren van alle mogelijke alternatieven. Het nut van een verplaatsing wordt bepaald door de koppeling van activiteiten op het herkomst- en bestemmingsadres; resp. N. en N, . Vaak gaan activiteiten gepaard met offers die

pÖ~itiefJ~b.v.

woonlasten) of negatief (salaris) kunnen zijn resp. Z, en Z, . Een verplaatsing vergt eveneens een offer. We

verok~erstei~en

dat dat offer een functie is van de gegene-raliseerde tijden tussen i en j met vervoerwijze 0; f (Z" ). ~ is een persoonsgebonden stochastische term, die tot

àit-d~Rkking brengt dat de persoonlijke beoordeling van nut en offer afwijkt van het gemiddelde.

Het verschil tussen nut en offer wordt nu gegeven door de vergelijking U _np

=

N'h - Z'h _{~ ~} + N'b - Z'b + f(Z" ) + ~ J J ~JV np Verder stellen we X _n

=

N'h - Z'h _{~ ~} + N'b - Z'b _{J J} + (51. 1. ) f(Z" )

BY.l. )

We veronderstellen dat U of ~ Weibull verdeeld zijn. Als bovendien de

bestemmings~guzen

gRafhankelijk zijn geldt volgens

(1.11.) exp

(X )

(1.11.) Prob [U Ump] n > max np _m exp

(X )

+ I exp

(X )

m:;tn n m m m:;tn

We stellen vervolgens dat p' gelijk is aan de noemer, zodat Prob [U

>

max Ump]

=

p'exp (X ) _{(51. 2.)}

np n

m m:;tn

substitutie van (51. 2.) in (1.11.) geeft (1.11.)

Prob [U

>

'

_{max Ump]}

=

np _m:;tn

m

Dit is dus de kans dat de verplaatsing van i naar j met vervoer-wijze v gemaakt wordt, Prob [iAjAv], als in i slechts een

mogelijke herkomst is en als er in j slechts één mogelijke bestemming is.

Stel nu dat er niet één maar Pi mogelijke herkomsten en P.

mogelijke bestemmingen zijn J

Prob [iAjAv]

=

_{p' exp (Nih-Z ih ) Pi}

exp (Njb-Z jb ) Pjoexp (-f(Zijv)' Stel nu dat d~f

Q.

exp (N.h)P. ~ , ~ ~ en X j

d~f

exp (Njh)Pj' F..

d~f

exp [-HZ .. )] ~JV ~JV def 1.

=

exp (-Z'h) en m. ~ ~ J def

=

exp (-Zjh) (51. 3. ) (51.4. ) (51. 5. ) (51. 6.) (51. 7 . )

Q

.

en

X.

noemen we polariteiten. Ze zijn door een functie van

h~t nutJvan activiteiten in resp. i en j en het aantal mogelijke

activiteiten in i en j.

F.. is de distributiefunctie

~Jv

Prob (iAjAv)

=

p' .1.

Q.

m. X. F ..

~ ~ J J ~Jv (51.8. )

Bovenstaande geldt voor een persoon die een beslissing neemt. De verwachting van het aantal verplaatsingen van personen die een beslissing nemen is

P ..

=

p.n.p'. Prob (iAjAv)

~JV

Stel nu p.n.p'

=

p, zodat

P ..

=

p.l.

Q

.

m.

X.

F .. (51. 9.)

~JV ~ ~ _J J ~JV

Deze vergelijking is dus afgeleid uit eerste basisveronderstel-ling, verondersteld is dat de distributie van nutsfunctie

(E ) Weibull verdeeld is. Verder is verondersteld dat de

kefr~en onafhankelijk van elkaar zijn. De samenhang die bestaat

tussen verplaatsingen die behoren tot verplaatsingsketens zijn dus verwaarloosd. Het model wordt wel "interactener model" genoemd.

Uit de wiskundige formulering van 51.1. blijkt dat er een

zekere mate van samenhang is tussen bestemmingskeuze en vervoer-wijzekeuze. Met eenvoudige voorbeelden kan worden aangetoond

dat het ter beschikking krijgen van een auto de vervoerwijzekeuze, de keuze van woonadres en de keuze van werkadres beïnvloedt.

5.2.

Evenmin is er rekening gehouden dat mogelijkheid om activiteiten

te verrichten (wonen, werken, winkelen) begrensd wordt door

plaatselijk aanwezige mogelijkheden. De invloed wordt in de vorm van nevenvoorwaarden in het model gebracht (zie 5.3.). Distributiefunctie

De distributiefunctie geeft aan dat, naarmate de weerstand toeneemt, de relatieve verwachting dat verplaatsingen gemaakt worden afneemt. De waarde van distributiefunctie is afhankelijk van de grootte van de weerstand,' uitgedrukt in gegeneraliseerde tijden. Ieder verplaatsingsmotief heeft een eigen distributie-functie. Het verschil in vorm is toe te schrijven aan het feit dat verschillende categorieën van de bevolking (scholieren, huisvrouwen, beroepsbevolkingweerstanden) tijden en kosten verschillend beoordelen, mede als gevolg van verschillen in persoonlijk inkomen en de tijd die voor verschillende bevol-kingsgroepen beschikbaar is als vrije tijd, die weer afhanke-lijk is van tijdstip waarop verplaatsingen moeten worden gemaakt.

Het zou gegeven bovenstaande wellicht gewenst zijn om distri~

butiefuncties voor verschillende persooncategorieën te maken. Tot dusverre zijn hiervan echter geen voorbeelden bekend. De wiskundige gedaante van de.distributiefuncties is vooral in de jaren 50 van de 20e eeuw sterk in de aandacht geweest. We bepalen ons hier tot de distributiefuncties, die thans nog worden toegepast. F .. ~Jv Z .. ~Jv

=

=

de waarde van de distributiefunctie van i naar j met v

de waarde van de gegeneraliseerde tijd, kosten op afstanden van i naar j met u

coëfficiënten, veelal experimenteel te bepalen Algebraïsche functie: _-

F

..

~Jv

-av

=

Z ..

~Jv (52.1.)

De functie is redelijk goed te gebruiken voor verplaatsingen over grote afstanden. De functie is minder goed als ook ver-plaatsingen over korte afstanden moeten worden beschreven. Exponentiële functie:

F..

= exp (c

Z

..

)

-- ~Jv v ~Jv (52.2.)

Een eigenschap van deze functie is dat eenzelfde weerstand verschil op korte en op lange afstanden eenzelfde invloed heeft. De functie kan men daarom alleen gebruiken als het verschil tussen lange en korte afstanden kleiner is dan 15 km.

De functie wordt Zeer veel toegepast en heeft het voordeel van eenvoudige wiskundige hanteerbaarheid.

5.3.

Lognormale verdeling:

F . .

=

exp { - c ln2 _{(Z .. +l)}}

1JV V 1JV (52.3.)

Deze functie voldoet goed aan een aantal gestelde eisen en vindt derhalve toepassing in meer gavanceerde modellen in Nederland en Scandinavië.

Tanner functie: F..

=

exp (-lJV

-av Cv Z .. ) Z.. .

1JV lJV (52.4.)

De waarden van a en c dienen zo gekozen te worden, dat de functie monotoonvdaalt: Het experimenteel bepalen van a en c leidt vaak tot moeilijkheden als gevolg van intercorrelXtie. v De functie wordt vooral aangetroffen in Engelse publicaties. De weerstand in het distributiemodel

Hierboven weergegeven zijn de distributiefuncties per vervoer-wijze. Men gebruikt de functies echter eveneens om de distributie ongeacht de gebruikte aanvoerwijze te berekenen. Het is dan

nodig om Z .. te vervangen door Z . ..

1JV 1J

Stel nu de weerstanden voor persoon p ZlJn resp. Z.. P en Z.. . Voor een persoon geldt nu dat Z. .

=

min Z:~v

1J .p 1J .p V lJV.p

Omdat niet alle personen deze'lfde vervoerwijze kiezen geldt dat

r

Z .. <

r

min Z.. , zodat 1J.p _v 1JVP P P Z .. ' < Z .. 1J 1JV (52.5.)

In het verleden (en zelfs nu nog wel eens) werd tegen deze regel gezondigd. Men berekent de weerstand als een gemiddelde, bijv. als

Z ..

r

Z . . F ..

/

r

F .. (52.6.)

1J _v 1JV lJV _V 1JV

waaruit volgt dat Z .. _1J

>

min Z . . V 1JV

Dit leidt tot onlogische rekenresultaten. Vergroting van de

weerstand van de auto vermindert het totaal aantal verplaatsingen in een relatie en daardoor soms ook het aantal verplaatsingen met het openbaar vervoer.

Theoretisch is het beste om de distributie en vervoerwijzekeuze simultaan te berekenen of, hetgeen op hetzelfde neerkomt, als volgt te bepalen:

-5.3. 5.3.1.

d~f

F.. L F .. (52.7.)

1J V 1JV

Ook is het mogelijk om uit deze laatste vergelijking waarde van de weerstand in het distributiemodel uit te rekenen. Voor

exponentiële distributiefunctie geeft dit de volgende vergelij-king

exp (-cZ .. )

=

L exp (-c Z .. )

1J V V 1JV

waaruit volgt dat cZ

ij

=

-ln.L exp (-cvZijv) v

Deze betrekking wordt "logsom" genoemd. Nevenvoorwaarden

Inleiding

(52.8.)

De derde basisveronderstelling houdt in dat er in iedere zone een evenwicht is tussen vraag naar activiteiten en aanbod van activiteiten. Werken is een activiteit. In iedere zone is evenwicht tussen vraag en aanbod van werkgelegenheid. Dit geldt eveneens voor woongelegenheid, winkelmogelijkheden etc. Het berekenen van evenwicht geschiedt met behulp van nevenvoor-waarden. We zullen hier deze nevenvoorwaarden behandelen. Het aanbod van activiteiten wordt bepaald door overheid, bedrijfsleven, instellingen etc. We veronderstellen dat het aanbod een functie is van offers (Z'h) en (Z. ) en van andere invloedsgrootheden resp. V. en A .. Deze

laat~~e

worden in het verkeerskundig model als e~ogene1grootheden beschouwd.

De vraag die ontstaat door keuzen is resp. in i en j gelijk aan L L P ..

=

P .. (53.1) . 1JV 1 V J L L Pijv

=

P.j (53.2.) v i

Het aanbod wordt gespecificeerd in twee functies. De keuze van de wiskundige gedaante is dusdanig bepaald, dat een generalisatie verkregen wordt van bestaande distributiemodellen.

-g V. (53.3.) P ..

=

exp (Z'h ) 1 1 .g 1 -h (53.4.) P .j

=

_{exp (Zjb.h)}

A.

J

-5.3.2.

We zien dus dat verondersteld is dat het aanbod toeneemt als

men bereid is grotere offers te brengen om activiteit in i of om de activiteit in j te kiezen.

Volgens (51.7.) is 1. = exp (-Zih) en mj =

Substitutie in 52.11~en 52.12 geeft

Pi.

=

1.-g V. ~ ~ -h P.j

=

m. A. J J (53.5.), (53.6.), (53.1.), (53.2.) uit (52.10) en (51.9.) volgt Enige herleiding geeft:

1

Aj ] l+h

1. Q. X. F ..

~ ~ J ~J

Op overeenkomstige wijze is af te leiden dat:

V li

=

[lP

m.

Q. X. F ..

l

J ~ J ~J y s en d~f 1 l+g (53.5.) (53.6.) (52.15 ) (52.16.) 1 d~f l+h 1 l+g r (52.17.) en (52.18.)

r en s worden gedefinieerd als elasticiteiten van de nevenwaarden. Het hier behandelde model wordt daarom verkeerskundig model

met elastische nevenvoorwaarden genoemd.

De elasticiteit bij verschillende traditionele

distributie-

---modellen

Bij verschillende verkeerskundige modellen worden impliciet veronderstellingen gemaakt over de elasticiteiten van de nevenvoorwaarden.

Indien r

=

1 en s

=

1 worden gesteld, g

=

0 en h

=

0 zodat

P .

=

V. en P..

=

A.

L ~ J J

Dit leidt meestal tot een toegepast model met twee stelsels nevenvoorwaarden.

I

I

:

i'