Rozwiązywanie przybliżone zadań źle postawionych*(Praca wpłynęła do Redakcji 1987.12.07)

Te r e s a Re g i ń s k a

Warszawa

Rozwiązywanie przybliżone zadań źle postawionych*

(Praca wpłynęła do Redakcji 1987.12.07)

Streszczenie. Praca ma charakter przeglądowy. Celem pracy jest wyjaśnienie, w jakim sensie można mówić o rozwiązywaniu zadania źle postawionego i pokazanie, że stosując odpowiednią metodę udaje się zadanie to rozsądnie rozwiązywać również w przypadku danych wyjściowych obarczonych błędem. W pracy omówiono metodę regularyzacji i pewne sposoby konstrukcji operatorów regularyzujących występujących w tej metodzie. Na przykładzie równania całkowego Fredholma I rodzaju pokazano metodę wyznaczania rozwiązania przybliżonego.

1. Wstęp. Weźmy pod uwagę następujące zadanie modelowe: obliczyć prędkość jakiegoś punktu, dysponując jedynie pomiarami drogi w różnych chwilach czasu. Równanie opisujące zależność prędkości v0 od drogi s0 jest postaci

(1.1) t JuoCOdr = s0(t),

o

gdzie s0 jest długością przebytej drogi w czasie t. Funkcja s0 nie jest znana dokładnie - dysponujemy jedynie jej przybliżeniem sd, np. pewną interpola- cją wielkości obserwowanych. Naturalną miarą błędu prawej strony jest norma supremum. Załóżmy, że

l|s0- s a||ao = sup |so(t)-s*(0K<5 O^tsŚT

dla pewnego ó > 0. Rozwiązanie przybliżone równania (1.1) na ogół nie jest dobrze określone równaniem

Ju(T)dr = sd{t), o

* CPBP 01.01.04.

ponieważ

(i) może nie istnieć taka funkcja v, np. gdy só nie jest funkcją ciągłą, (ii) jeżeli takie v istnieje, to może być dowolnie dalekie od poszukiwanego v0, np. w przypadku S

C^O, T) i

df c . 1

= So + osm-jpt, mamy

llS<5~Sollao ^ < 5 ^ 0 , a jednocześnie

ll^-^olloo = l|s'-sólloo 00•

Postawmy sobie pytanie ogólne: jak wyznaczyć przybliżone rozwiązanie ud równania

Au0 = f0, A: X Y, f 0 eY,

(1^.2⁾

X, Y — przestrzenie metryczne,

gdy zamiast f 0 dane jest pewne przybliżenie f d w przestrzeni Y? Dla upro- szczenia będziemy zakładać w tej pracy, że operator A dany jest dokładnie.

W pewnych przypadkach odpowiedź na to pytanie jest prosta (por. [9]).

De f in ic ja 1.

Zadanie

nazywamy zadaniem dobrze postawionym

sensie Hadamarda, jeżeli spełnione są następujące warunki:

(1.3) Vf e Y 3 u e X takie, że Au = /,

(1.4) V /

^ rozwiązanie równania A u = f jest jednoznaczne, (1.5) rozwiązanie u równania Au = / w sposób ciągły zależy od /.

Jeśli zadanie (1.2) jest dobrze postawione w powyższym sensie, to dla każdego f ó e Y istnieje jednoznaczne rozwiązanie równania Aud = f d mające tę Własność, że jeżeli to ud -+u0. Naturalne jest zatem uznanie u6 za rozwiązanie przybliżone zadania (1.2).

Def in ic ja

2. Zadanie (1.2) nazywamy zadaniem źle postawionym, jeżeli któryś z warunków (1.3), (1.4) lub (1.5) nie jest spełniony.

Przykładem zadania źle postawionego jest zadanie (1.1) rozpatrywane w przestrzeni C[0, T]. Zdanie to rozpatrywane w innych przestrzeniach może stać się zadaniem dobrze postawionym, np. biorąc X = C°([0, 7]) i Y =

= [y e C ^ O , T]), y(0) = 0] łatwo stwierdzimy, że (1.1) jest dobrze postawio-

ne w tych przestrzeniach. Jednakże wtedy błąd s0 — sd musi być mierzony w

silniejszej normie — w normie C1.

Zadanie (1.1) jest szczególnym przypadkiem równania całkowego Fred- holma I rodzaju

Au = /, A : L2{a, b) ->L2(c, d),

(

1

6

Au(t) = ( K(t, x)u(x)dx.

a

Jeżeli jądro K spełnia warunek Hilberta-Schmidta, tzn.

b d

f \K 2(t, x)dtdx <oo,

a c

to A jest operatorem zwartym. Stąd wynika już, że w przypadku dim AL2 (a, b) = oo, A ~ l nie może być operatorem ciągłym, bo A A ~1 =

= I\

2 (gdzie I\v — operator identycznościowy na V) byłby operatorem zwartym, co może mieć miejsce jedynie w przypadku dim AL2 (a, b) <oo.

Zatem zadanie (1.6) przy powyższych założeniach jest zadaniem źle postawio- nym.

2. Rozwiązanie w sensie najmniejszych kwadratów. Wśród praktyków pa-

nuje przekonanie, że najbardziej uniwersalną metodą rozwiązywania zadań źle postawionych jest poszukiwanie elementu minimalizującego kwadrat nor- my residuum, czyli tzw. rozwiązania w sensie najmniejszych kwadratów.

Przyjrzyjmy się więc tej metodzie.

Niech A będzie operatorem liniowym ciągłym działającym w przestrze- niach unormowanych X, Y i A : X -> Y Dla każdego / e Y zdefiniujmy zbiór Sf = X następująco:

Sf = \veX, \\Av—f\\ = in f|M x -/||].

x e X

De f in ic ja

3. Pseudorozwiązaniem równania Au = f nazywamy dowolny

element zbioru Sf o minimalnej normie.

W ogólności, pseudorozwiązanie nie musi istnieć ^ zbiór Sf może być pusty. Jeżeli Sf # 0 , to element o minimalnej normie istnieje, bo Sf jest zbiorem domkniętym i wypukłym. Zatem jeżeli norma w przestrzeni X jest ściśle wypukła i Sf # 0 , to istnieje dokładnie jedno pseudorozwiązanie.

Oczywiste jest, że jednoznaczne rozwiązanie równania Au = /, o ile istnieje, jest również pseudorozwiązaniem. Stąd natychmiast wynika, że w zadaniu (1.1) wyznaczania pochodnej, pseudorozwiązanie nie zależy w sposób ciągły od prawej strony, czyli pseudorozwiązanie nie jest dobrym przybliżeniem poszukiwanego rozwiązania zadania (1.1).

Przyjmijmy następującą definicję:

De f in ic j a

4. Zadanie (1.2) nazywamy zadaniem dobrze (poprawnie) posta-

wionym w sensie najmniejszych kwadratów, jeżeli pseudorozwiązanie spełnia warunki analogiczne do warunków (1.3)-(1.5), tzn. dla każdego

pseudo- rozwiązanie istnieje, jest jednoznaczne oraz zależy w sposób ciągły od prawej strony.

Gdybyśmy przyjęli, że operator A też może być dany w sposób przybliżo- ny, definicję 4 należałoby zmienić, zastępując ciągłą zależność pseudorozwią- zania od prawej strony ciągłą zależnością od prawej strony i od operatora.

Ścisłą odpowiedź na pytanie, kiedy zadanie wyznaczenia pseudorozwiąza- nia jest zadaniem poprawnie postawionym, łatwo jest dać w przypadku ciągłego operatora liniowego działającego w przestrzeniach Hilberta. Pokazu- je to następująca ilustracja:

Dla dowolnego f

Y mamy dist(/, AX) = \\f— Qf\\, gdzie Q jest rzutem ortogonalnym na podprzestrzeń A X . Jeżeli Qf

AX, to istnieje taki element

v e

X, że Av = Qf. Wówczas

VuEv + N{A){= Sf ) Au = Qf,

a elementem u+ o minimalnej normie w zbiorze Sf jest element należący jednocześnie do N(A)\ a zatem taki element jest dokładnie jeden (N(A) =

= {

X: A

= 0}). Stąd wniosek, że jeżeli Qf

AX, to pseudorozwiązanie u jest jednoznaczne i wyraża się wzorem

u+ = {A /v(^)i) 1 Qf.

Jeżeli A X = AX , to z twierdzenia Banacha o domkniętym wykresie ([1]) wynika, że operator (i4L...x)_1 jest ciągły, a co za tym idzie, operator

(2.1) A + ={A\N{A)r xQf

jest operatorem ciągłym. Otrzymaliśmy następujące twierdzenie:

Tw i e r d z e n i e

1. Niech X,

będą przestrzeniami Hilberta i A

L{X,

Jeżeli A X jest podprzestrzenią domkniętą, to zadanie Au = / jest zadaniem dobrze postawionym w sensie najmniejszych kwadratów.

Operator A + nazywamy uogólnioną odwrotnością operatora A. Definicja

(2.1) operatora A + pokrywa się z definicją uogólnionej odwrotności Moore’a-

-Penrose’a dla macierzy ([5]). Z twierdzenia 1 wynika natychmiast, że poszukiwanie pseudorozwiązania dowolnego układu równań algebraicznych Au = /, z macierzą prostokątną A daną dokładnie, jest zadaniem dobrze postawionym.

P

1. Niech A: R2 ->R2,

Pseudorozwiązaniem układu równań Au —f jest wektor

u+ —1/4

l/4_'

Konstrukcję tego rozwiązania pokazują następujące rysunki:

Uwaga 1. Uogólniona odwrotność A + nie zależy w sposób ciągły od operatora A. Dowodem na to może być następujący przykład:

Przykład 2. Niech A * '2 0"

0 0 wtedy 1/2 0

0 0 Jeżeli df "2 O' , to A f = "1/2 0 '

° £_ 0* !/£_ , czyli A^ -/+A+, gdy e -*0. A + jest ciągłą funkcją A przy pewnych dodatkowych założeniach.

Tw ie r d z e n ie 2.

Niech A„

A będą m x n macierzami i \\An — A\\

Wtedy następujące warunki są równoważne:

(i) rank A„ = rank A dla dostatecznie dużych n, (ii) \ \ A : - A + \\^ 0 .

D ow ód tego twierdzenia można znaleźć np. w pracy [5], w rozdziale:

Perturbations and approximations for generalized inverses and linear operator

equations (tw. 3.5).

Z powyższych uwag wypływa następujący wniosek: nie należy obliczać numerycznie uogólnionej odwrotności A + dla macierzy A, której rząd może się zmieniać przy małych perturbacjach, ponieważ błędy obliczeń powodują, że obliczona A + jest uogólnioną odwrotnością pewnej perturbacji Aó macie- rzy A, której rząd może się zmienić.

W przypadku operatorów nieskończenie wymiarowych obraz A X nie musi być domknięty, a co za tym idzie, A + nie musi być operatorem ciągłym.

Na przykład, jeżeli A jest operatorem zwartym i dim AX = oo, to A + nie jest ciągły — w przeciwnym przypadku identyczność AA + \

byłaby operatorem zwartym. Zatem zadanie wyznaczenia pseudorozwiązania równania Fredhol- ma I rodzaju z niezdegenerowanym jądrem jest w dalszym ciągu zadaniem źle postawionym.

3. Metoda regularyzacji. Istotnie nowy pomysł rozwiązywania zadań źle

postawionych pochodzi od A. N. Tichonowa. Pierwsze prace, w których wprowadzone zostało pojęcie regularyzacji, dotyczyły rozwiązywania równa- nia całkowego Fredholma I rodzaju ([7], [8]).

Weźmy pod uwagę równanie

(3.1) Au0 = / 0

z operatorem A działającym w przestrzeniach unormowanych X oraz Y;

A: X -+Y. Zakładamy, że f 0

AX. Dla każdej prawej strony f s (0 <3 < 30) takiej, że \\fo—f a\\Y < <5 chcemy skonstruować taki element uó, że ||ua —

0|| ->0, gdy <5 ->0.

Ogólna idea metody regularyzacji jest następująca:

znaleźć rodzinę operatorów {/fa)a6(0 ] taką, że (3.2) Va e(0, a0] Ra: Y ^ X ,

(3.3) istnieje funkcja a = a(<5): (0, <50] ->(0, a0] taka, że Ve > 0 33e V<5 < ÓE v/ G^ r(/o , <5) \\Ra(d)f - u 0\\ ^ e, gdzie K Y(f0, 3) = |f e Y : \ \ f - f 0\\ < 3).

Za rozwiązanie przybliżone równania (3.1) przyjmujemy Ud = Ra{d)fd-

Z definicji rodziny {Ra} wynika, że osiągniemy żądaną dokładność e, o ile tylko błąd aproksymacji prawej strony będzie dostatecznie mały.

De f in ic j a 5.

Rodzinę \Ra) spełniającą warunki (3.2) i (3.3) nazywamy rodziną regularyzującą dla zadania (3.1) w punkcie u0 (u0 jest pewnym elementem spełniającym równanie (3.1)).

Najprostszym przykładem rodziny regularyzującej dla (3.1) jest rodzina

jednoelementowa złożona z operatora A + przy założeniu, że A +: Y -*■ X jest

ciągły. W szczególności, gdy A ~ x istnieje i jest ciągły, wtedy Ra = A-1.

Defin ic ja 6.

Rodzinę \Ra) nazywamy stabilną (lokalnie), jeżeli Voc 6(0, «0] 3C(a) < oo V/, g e K Y(f0, 60) \\RJ~KgW ^ C(a)\\f-g\\Y.

W szczególności, gdy Ra są operatorami liniowymi, stabilność oznaczać będzie ograniczoność każdego z operatorów Ra.

Zauważmy, że w przypadku stabilnej rodziny [Ra] ma miejsce oszacowa-

(3.4) \\u0- R M \ < \\u0- R J 0\\x + C(ot)S, z którego natychmiast wynika następujące twierdzenie:

Tw ie r d z e n ie 3.

Jeżeli

(I) rodzina {Ra j jest stabilna, (II) \\u0- R J 0\\x ^ O ,

to |Ra] jest rodziną regularyzującą dla zadania (3.1) w punkcie u0.

Wróćmy do zadania przytoczonego we wstępie, tzn. zadania wyznaczenia pochodnej funkcji danej w sposób przybliżony. Okazuje się, że znana jest od czasów Newtona metoda ilorazów różnicowych jest przykładem metody regularyzacji. Zdefiniujmy operatory Ra: C[0, 1] ->C[0, 1], a e(0, a0]

(a0 < 1) w następujący sposób:

(3.5)

I

/(* + « )-/(O

a

dla t e[0, 1 —a],

dla t

[1 —a, 1].

Są to operatory liniowe ciągłe i

(3-6) ll^allL(C(0,1]) = ~- a

Z drugiej strony wiadomo, że dla dowolnego ustalonego / eC 1 [0, 1]

(3.7) sup \R J(t)-f'{t)\ ^ coc (a,/'),

tę{0, 1)

gdzie cuc (a ,/') oznacza moduł ciągłości / ' w C[0, 1], tzn.

coc (<x,f')= sup \ f (t) f (

)|.

t.relO, 1]

Z twierdzenia 3 wynika natychmiast, że rodzina \Ra} dana wzorem (3.5) jest rodziną regularyzującą dla zadania (1.1).

Na powyższym przykładzie można zaobserwować istotną cechę metody

regularyzacji dla zadania źle postawionego. Jeżeli <5 jest ustalone (tzn. ustalo- ny jest poziom błędu aproksymacji / 0), to przechodzenie z parametrem a do granicy a ->0 nie poprawia wyniku. Mamy bowiem

\\R<xfs~/ollc[o, i] ^ caC(<*>/ )"I--a

i pierwszy składnik prawej strony dąży do zera, gdy a -> 0, ale drugi składnik rośnie do nieskończoności. Oczywistą jest rzeczą, że parametr a należy ustalić, wybierając kompromis pomiędzy zbieżnością (pierwszy składnik) a stabilnością (drugi składnik). Parametr a musi więc na ogół zależeć od <5.

Jeżeli w rozpatrywanym przykładzie brać a = x/ó, to /ÓllcfO, 1 ] * 0 .

Kryteria wyboru parametru a w metodzie regularyzacji rozważane są m.in.

w [3] i [9].

4. Konstrukcja rodziny regularyzującej. Weźmy pod uwagę równanie

(4.1) Au0 = / 0, /o eA X , A: D(A) c Z - Y,

przy założeniu, że A jest operatorem liniowym domkniętym, przestrzenie X i Y są przestrzeniami Banacha i dziedzina D (^4) operatora A jest gęsta w X.

Dla uproszczenia załóżmy, że N(A) = [0}. Jeden ze sposobów konstrukcji rodziny regularyzującej \Ra} polega na wykorzystaniu operatora pomocni- czego L:

L: D(L) czX -*Vt

działającego z przestrzeni X w pewną unormowaną przestrzeń V, przy dodatkowej informacji, że poszukiwane rozwiązanie u0 należy do dziedziny L. Przypuśćmy, że operator L jest taki, że dla dowolnego ustalonego / e Y istnieje w zbiorze

D = D(A)nD(L) dokładnie jeden element minimalizujący funkcjonał (4.2) M a(v,f) = \\Av—f\\y + <x\\Lv\\y

na zbiorze D. Wówczas operatory Ra: Y -*X można zdefiniować następują- co:

(4.3) R J = arg min Ma (w, /),

weD

tzn. JRa/ jest elementem minimalizującym Ma(w ,/) na zbiorze D.

Regularyzacja generowana przez operator pomocniczy L nosi nazwę

regularyzacji Tichonowa. W pracach [7], [8] została ona wprowadzona dla równania całkowego I rodzaju.

Tw ie r d z e n ie 4.

Jeżeli spełnione są następujące warunki

(I) Y, V są przestrzeniami refleksywnymi,

(II) operator L jest liniowy, domknięty i odwracalny oraz jego dziedzina jest gęsta w X,

(III) Vc > 0 Mc = {ueD (L )cX : \\Lu\\v ^ c\ jest zbiorem zwartym w X, (IV) norma || ||v jest ściśle wypukła,

(V) rozwiązanie dokładne u0 należy do D(L),

to Ra określone wzorem (4.3) tworzą rodzinę regularyzującą dla zadania (4.1) w punkcie u0.

D ow ód. Prezentowany tu dowód pochodzi z [3], rozdz. 3, § 3.3. Niech [v„) będzie ciągiem minimalizującym, tzn.

Ma{vn, f ) inf Mx(v,f)

veD

przy dowolnym ustalonym /

Y. Ciągi \Avn) i \Lvn] są więc ograniczone. Z założeń (III) i (I) wynika, że istnieje podciąg {v„k} ciągu |i?„] oraz elementy

v

0

X , J

Y i z eV takie, że

% ** v0, Av„k ^ f , Lv„k z

(znak ^ oznacza zbieżność słabą w odpowiedniej przestrzeni). A zatem

<LVnk,f*> = <v„k, L * f * y ^ <v0, L*/*> V/* eD(L*),

<Lvnk, f * y ^ ( z ,f* y v/*GD(L*), czyli

(4.4) <®o, L*f*y = <z,/*> V/* eD(L*).

Podobnie,

(4.5) <i>o, A*g*y = <f, g*y

D(A*).

Ponieważ z domkniętości operatorów A i L i gęstości ich dziedzin wynika, że D(A*) i D(L*) są gęste odpowiednio w przestrzeni Y* i V*, więc (4.4) i (4.5) implikują, że

v0 eD(L) i Lv0 = z,

v

0

D(A) i Av0 - f .

Korzystając z tego, że {»„ } jest ciągiem minimalizującym, mamy inf Mx(v,f) < Mx(v0, f ) < Urn Ma(u„k,/) = inf Ma{v,f),

veD k~* oo veD

czyli funkcjonał Mx(v,f) osiąga infimum w v0. Ścisła wypukłość normy w V i odwracalność L implikują ścisłą wypukłość funkcjonału ||L

>||

, a więc i funkcjonału Ma{v,f). Stąd wynika jednoznaczność rozwiązania v0.

Pozostaje udowodnić (3.3). Ponieważ u0 eD (założenie (V)), więc

< M M oJs) ^ <52 + a||Lu0||2, gdzie u% = R J 8, a stąd

(4.6) I M | 2 ^ - + ||LMo||2, 52

(4.7) \\Auad- f d\\2 ^ ó2 + cc\\Lu0\\2.

Niech a(<5) będzie dowolną funkcją taką, że

<52

(4.8) a(<5)^* 0 1 3c0 < oo < c0 dla ó e(0, <50)-

Weźmy dowolny ciąg {<5„}, <5„e(0, <50), 0- Wówczas z (4.6) wynika, że

\\Lu8nn || < c, a więc z założenia (III), istnieje podciąg \ud„kk ! zbieżny. Z (4.7) wynika natomiast, że

Il/ii4''w - / i « 0| | « U A u t^ - M + wft-foH«

« (,5„2 + a (<5„)||L

„||2)1,:! + < V ^ 0 .

Operator A jest domknięty, więc przy założeniu (4.8), dla dowolnego ciągu ó„ -+0 istnieje podciąg {ó„k} taki, że

x(d„ )

lim \\u6 k -M

|| = 0.

k - o o k

Stąd wynika już (3.3), co kończy dowód twierdzenia.

Weźmy pod uwagę równanie Fredholma I rodzaju (1.6). Operatorami L spełniającymi założenia twierdzenia 4 są operatory różniczkowe. Na przy- kład, jako L możemy wiąć operator

I

= u' z dziedziną D(L) = [u e H 1 (a, b), u{0) = L : D(L) -+L2{a, b).

Jednakże operator ten możemy stosować do konstrukcji rodziny regularyzu- jącej tylko w przypadku, gdy wiemy, że poszukiwane rozwiązanie dokładne jest na tyle regularne, że należy do D(L).

Najprostszym wariantem metody regularyzacji Tichonowa dla zadania (1.6) nie wymagającym podwyższonej regularności rozwiązania jest minimali- zacja funkcjonału

(

4

9

= \\Av-f\\l + cc\\v\\l,

tzn. przypadek, gdy L = / (/ - operator identycznościowy w L2(a,b)).

Operator / nie spełnia jednak warunku (III) twierdzenia 4. Zatem fakt, że rodzina {Ra} dana wzorami (4.3) i (4.9) jest również rodziną regularyzującą dla zadania (1.6) nie jest wnioskiem z twierdzenia 4. Przedstawiony poniżej dowód tego faktu wykorzystuje inną równoważną definicję operatorów Ra.

Obliczając pochodną Frecheta funkcjonału M (v,f) względem v i przyrównu- jąc ją do zera, stwierdzamy, że warunkiem koniecznym na to, aby u = Raf jest, aby u było rozwiązaniem równania

A*Au + ctu — A*f, gdzie A*v(t) = JK(

, t)v(x)dx.

C

Z jednoznaczności rozwiązania powyższego równania wynika, że jest to również warunek dostateczny na minimum funkcjonału M (v,f) w punkcie u, bo sup \M (v,f), veL 2(a, b)} — oo. Zatem operatory Ra zdefiniowane przez (4.3) i (4.9) są operatorami liniowymi postaci

(4.10) R J = (A*A + ctI)~1 A*f.

Tw ie r d z e n ie 5.

Jeżeli A jest operatorem liniowym zwartym w przestrzeni Hilberta X, to rodzina operatorów {.Ra} dana wzorem (4.10) jest rodziną regularyzującą dla zadania (4.1) w punkcie u0 (przy założeniu N(A) = j0}), a parametr regularyzacji a posiada następującą asymptotykę:

a (<5) S-+0* 0 1

ó

V a (<$)

D ow ód. Przedstawiony poniżej dowód pochodzi z [3], rozdz. III, § 9.

Z twierdzenia 3 i definicji stabilności regularyzacji (def. 6) wynika, że wystarczy udowodnić ograniczoność każdego z operatorów Ra i zbieżność

\\RaA

-

\\

^> 0 dla v = u0.

Niech A? (Af > 0) będą wartościami własnymi operatora A*A, a {<pj i (if/i} - ortonormalnymi układami funkcji własnych odpowiednio operatora A*A i AA*. Zarówno układ {<pj, jak i {^} tworzą bazy w przestrzeni X oraz

A* A = f A?(-, <jDj)<jf>i, A* = £ A,(-, iIf i) q>i.

i = 1 i = 1

Niech / będzie dowolnym elementem X, a f - współczynnikami jego rozwinięcia w bazie tzn.

00

i— 1

9 — Matematyka Stosowana t. 31

Współczynniki rozwinięcia Rxf w bazie J^-J oznaczmy przez {xf}. Ponieważ (z (4.10))

(A*A + a I ) R J = A*f, więc

a stąd

00 00

Z (Afxi + ax ,)^ = £

i =

(bo A* ij/i = Xt w),

Xi = A,-

OL + kf fi dla i = 1 ,2 ,...

Zatem dla każdego / e X

00 X

(4.ii) i = i a + Af

Ponieważ funkcja g(A) = A/(a + A2) osiąga swe maksimum w punkcie X = i wynosi ono 1/2 yfi., więc

a + A? A,- 1 2 x/a Korzystając z równości Parsevala, otrzymujemy

czyli (4.12)

IKII2 = sup \\RJ\\2 = sup f ( ^ 7 2 I

urn {fi\ i= i\a + 4i

00

^ i /N i i= i

2 x/a tzn. spełniony jest warunek (I) twierdzenia 3.

Niech \f] oznaczają teraz współczynniki rozwinięcia f 0 w bazie {^,}, a uf

— współczynniki rozwinięcia u0 w bazie [ę),}. Równość Au0 = f0 można napisać w postaci

i= 1

z UiAiPi = Z f ^ i -

Ponieważ więc z powyższego wynika, że f = XiUi. Korzystając z rozwinięcia (4.11) dla / = / 0, a następnie z równości Parsevala, otrzymujemy

ll« o -* Jo l|2 = i= 1 Z 1 - A,2

a + A? Ui <p{

f=i \a + A2

Szereg £ uf jest zbieżny (bo ||«0|l < oo) oraz a/(a f Xf) ^

więc szereg

1 dla a e[0, a0], a

00

I

2

jest zbieżny jednostajnie względem a 6 [O, a0]. Przechodząc do granicy przy a -*• O, otrzymujemy

(4.13) \\uo- R J o \ \ ^ 0 .

Teza twierdzenia wynika teraz z (4.12), (4.13) i oszacowania (3.4).

U waga. Twierdzenie 5 pozostaje prawdziwe w przypadku, gdy N(A) 7* {Oj. Raf d będzie wtedy zbieżne do pseudorozwiązania zadania (4.1), tzn. do rozwiązania o minimalnej normie (przy założeniu f 0 eAX).

5. Wyznaczanie rozwiązania przybliżonego zadania źle postawionego. Weź- my pod uwagę równanie całkowe I rodzaju

(5.1) A

(t) = f f K(t, T)u0(x)dx = / o(0, fo eAL2(0, 1), 11 o o

z jądrem ciągłym na [0, 1] x[0, 1]. Załóżmy, że rozwiązanie u0 jest jedno- znaczne. Omówiona powyżej metody regularyzacji Tichonowa ((4, 2), (4, 3)) prowadzi do rodziny zadań dobrze postawionych, ale w przestrzeni nieskoń- czenie wymiarowej — dla obliczenia ua = Raf musimy bowiem rozwiązać zadanie wariacyjne (4.3). W przypadku metody generowanej przez L = I ta rodzina zadań jest równoważna jednoparametrowej rodzinie równań (por.

(4.10))

(5.2) (A*A + oL)ua = A*f.

Równania takie potrafimy rozwiązywać na ogół tylko w sposób przybliżony, stosując jakąś dyskretyzację. Dla przykładu weźmy następującą skończenie wymiarową aproksymację zadań (5.2)

(5-3) (h2K ThK h + 0L)uak = hKThf h, gdzie h = 1/n, a macierz K h jest dana wzorem

Kh = {K(ih, jh)}ljj0.

Równanie to będziemy rozpatrywać w przestrzeni X t = R" z normą

i= 0

Celem dalszych rozważań będzie pokazanie na tym przykładzie oszacowania

błędu, z jakim uah aproksymuje u0. Aby móc porównywać wektory uh z elementami przestrzeni L2, wprowadzamy operatory przedłużenia i zwężenia.

Niech ph: X h ->L2, rh: L2 ~^Xh będą zdefiniowane następująco:

(i + l)/i

1 f "_1

( ^ 4 = 7 h J u(t)dz, phuh = Y a uhil i = o ih

gdzie x jest funkcją charakterystyczną odcinka (0, 1). Rodzina trójek [Xh, rh, ph}h tworzy zbieżną aproksymację wewnętrzną L2, tzn.

VneL2 Np*r*

—

||o 0.

Ponieważ

n- 1

IIPfc^«-“llo= Z j= 0

C/+D* C/+D*

1

h (u(t)-u(Q)dł dt,

jh jh

więc korzystając z nierówności Schwartza, a następnie z definicji modułu ciągłości funkcji u w przestrzeni L2(0, 1),

coh(u) = sup { J ((u(t)-u(t + rj)Y dt]1/2, 1 -h 0<ri^h 0

otrzymujemy oszacowanie

(5.4) \\Phrhu-u\\0 ^CDh(u).

Niech ć5h (K ) oznacza moduł ciągłości funkcji dwóch zmiennych w przestrzeni L2((0, 1) x(0, 1)), tzn.

l - h l - h

ó5h(K) = sup { j f (K(t, T)-K(t-\-rj, T + ź))2dtdz}112.

0<qśh o 0

Le ma t 1.

Jeżeli

r^f, to dla każdego u, f

L2 istnieją stałe Ct

= Ct (||w||0, ||X||0, ||X ||J i C2 = C2(||/||0, \\K\\J niezależne od a i h takie, że (5.5) \\(A*A + o t-h 2phK lK hrh-(xphrh)u\\0 ^ Cx {coh(u) + coh{K)},

( 5.6) ||A * f- h p hK Th r j\\ ^ C2 \coh(f) + wh(K)}.

D ow ód. Dla dowolnego u eL 2

H-l(i+l)/i n — 1 ( j + l)h

\\(A — hpnK hrh)u\\l= Y, J { £ J [K (t, z) u (i) - K {ih, jh) rh u] dx }2 dt.

i = 0 ih j = 0 jh

Dodając i odejmując pod całką człon K(ih, jh)u(x), następnie stosując nie-

równość Schwartza oraz korzystając z definicji modułu ciągłości, otrzymujemy

(5.7) \\{A-hpkK hrh)u\\20 2||«||§(<5»(K))2 + 2||K||2„ K (

))2.

Stąd wynika już oszacowanie (5.6). Zauważmy teraz, że

\\(A*A + o i-h2phK l K hrh-(xphrh)u\\ ^

^ a ||phrhu —

||0 + \\(A*- hphK l r j Au\\0 + \\hphK lr h\\ ||(A - hKhrh)u||0.

Stosując do prawej strony oszacowania (5.4) i (5.7) oraz biorąc pod uwagę nierówności

IM«II2 < HKH8MIŚ,

ll'>P*^I'fJ |2 ^2||K ||? + 2(<5ł (X))2, wh(Au) ^ ćoh(K)\\u\\0,

otrzymujemy oszacowanie (5.5), co kończy dowód lematu.

Lem a t 2.

Vfc = l/n Va ||(fc2 K f * ,,+ « )'

D ow ód. Lemat wynika natychmiast z oczywistej nierówności Vuhe X h ((h2K l K h + ot)uh, uh)h ^ at\\uh\\l,

n — 1

gdzie (uh, vh)h = h £ uMvu . i=0

Z lematu 1 wynika konsystentność aproksymacji (5.3) zadania (5.2), a z lematu 2 wynika jej stabilność dla każdego ustalonego a. Stąd wynika już zbieżność rozwiązań. Mianowicie, dodając oraz odejmując wyrażenie (A* A + a.) ua, otrzymujemy nierówność

\\(h2K l K h + «)(rt u . - u . h)\\h H

< IKII \\{A* A + z - h 2 phK 7h Khrh — aphrh) u j|0 + 1|rhA * f - h K { r j \ \ h, z której, na mocy lematów 1 i 2, wynika oszacowanie

\\rhua- u ah\\h ^ - {a)h(ua) + coh(f) + ćoh(K)). C a

Ponieważ

K - Ph KhWo < 2 ||rfc ua - u j \ h + 2||ua - ph rh u j|0,

więc z powyższego i z (5.4) dostajemy podobne oszacowanie dla błędu

w normie L2, tzn.

(5-8) ll«a-Pfc««Jlo OL \(OkM + COh(f) + (Oh(K)}.

Le ma t 3.

Jeżeli f eC^fO,

K eC^fO,

i f h

r j

to istnieje stała c niezależna od

i od h taka, że

l|w«-PfcWj|0 < c - .

a

D ow ód. Przy założeniach o / i K, rozwiązanie ua równania (5.2) należy również do ^-([O, 1]) (por. [6], rozdz. II, § 10). Dla każdego v z (^([O, 1]) mamy

coh(v)= sup [ | ( J v’{^)d^)2dt]m < % 'IL .

O ^ e ^ h o t

Podobnie

©fc(jQ < 2fcpc;+ *;iL . Teza lematu wynika teraz z (5.8).

Zajmijmy się teraz analizą błędu, tzn. badaniem różnicy między rozwiąza- niem przybliżonym phuah a poszukiwanym rozwiązaniem u0 przy założeniu, że funkcja/ występująca w równaniach (5.3) jest pewną aproksymacją funkcji /o- Przyjmijmy, że błąd tej aproksymacji jest rzędu h9, tzn.

II/-/ 0 II 0 ^ c¥,

czyli <5 = chq. Powstaje problem, jak należy wybierać parametr regularyzacji a w zależności od h, tzn. które równanie z rodziny równań (5.3) należy rozwiązywać, aby przedłużenia tych rozwiązań zbiegały do u0, gdy h -* 0.

Korzystając z nierówności (3.4), oszacowania (4.12) dla normy operatorów regularyzujących oraz z lematu 3, stwierdzamy, że

e 1

(5*9) l|Mo-Pfc«.*ll0 ^ llMo —^(

/

II

-!--- --- •

ol ol

Zauważmy, że jeżeli tylko przyjmiemy a(/i) = hP, gdzie

(5.10) ^6(0, min (1,2q)),

to

H— ^ chp, ch

ol

a gdzie p = min (1 - fi , q - - f i ).

Ponieważ ||w0 — ^./ollo^r^O (por. (4.13)), więc ma miejsce zbieżność

(5.11) Il«o-Pfc«.fclloi^r0.

Rząd błędu możemy wyznaczyć przy dodatkowym założeniu o / 0. Mianowi- cie, jeżeli założymy, że f 0 należy do obrazu operatora AA*, to u0 należy do obrazu A* i u0 = A*A*-1 u0. Ponieważ

(A*A + ot)u0 = A*f0 + <xu0, a Ra/ 0 jest rozwiązaniem (5.2) dla / = / 0, więc

u — Raf 0 = a(A*A + ot)~1 u0 = <xRaA*~l u0.

Normy operatorów Ra są wspólnie ograniczone przez 1/2 N/a (por. (4.12)), a zatem

\ K ~ K f o W o 1 woll\/®-

Jeśli więc f o eAA*L2(0, 1) i ó = ch9, to

\ \ u0 - P h K h \ \ o < c

h9 h' a-l— F + - |.

a a

Przyjmując ot(h) = hp dla fis(0, m in(l, 2q)), otrzymujemy oszacowanie z rzędem

l|w0-P *«Jlo < chp, gdzie p = min(i)9, 1 - 0 , g ~ ł0 ).

Maksymalny rząd otrzymamy dla ot(h) = hPo, 0O = m in(|, q), mianowicie

\K-PkKh\\o^c{hl,3 + h9/2).

Widzimy więc, że maksymalny rząd zbieżności, jaki możemy tu otrzymać jest h1/3, a aby go uzyskać wystarczy, aby /, / eC 1, aproksymowało f 0 z błędem rzędu h213. Branie lepszej aproksymacji prawej strony nie podwyższa rzędu zbieżności.

Literatura

[1] A. A lex iew icz, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969. >

[2] C. W. G roetsch , The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equations of the first kind, Research Notes in Math. 105, 1984.

[3] V. K. Ivan ov, V. V. V asin, V. P. T anana, Teorija linejnych nekorrektnych zadać i ejo priloźenija, Nauka, Moskva 1978.

[4] O. A. L isk ovec, Teorija i metody resenija nekorrektnych zadać. Matematićeskij analiz, Itogi nauki i techniki, M.: VINITI 20 (1982), 116-178.

[5] M. Z. N ash ed , Generalized inverses and applications, Academic Press, 1976.

[6] W. P o g o rzelsk i, Równania całkowe i ich zastosowania, tom I, PWN, Warszawa 1953.

[7] A. N. T ich o n o v , O resenii nekorrektno postavlennych zadać i metode reguljarizacii, DAN SSSR 151, 1963.

[8] A. N. T ich o n o v , O reguljarizacii nekorrektno postavlennych zadać, DAN SSSR 153, 1963.

[9] A. N. T ich o n o v , V. Ja. A rsenin, Metody reSenija nekorrektnych zadać, Nauka, Moskva 1986.