Ptaki bayesowskie: na marginesie pracy R. F. Greena(Praca wpłynęła do Redakcji 2.09.1981)

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XXII (1983)

M arek Kim m el

Gliwice

Ptaki bayesowskie: na marginesie pracy R. F. Greena

(Praca wpłynęła do Redakcji 2.09.1981)

1» Praca R.F.Greena dotyczy uproszczonego przypadku, w którym osobniki (zwierzęta

,

rośliny) nie konkurują ze sobą o zasoby środowiska (np. pożywienie). Przyjęcie takiego uproszczenia ma pewien sens dla ptaków poszukujących pożywienia, jeśli ptaków jest mało, a pożywienia dużo. Jeżeli uwzględnimy kon- kurencję pomiędzy poszczególnymi osobnikami, pojawią się na- tychmiast nowe problemy: pierwszeństwo w korzystaniu z zaso- bów Ci związana z nim hierarchizacja osobników) , emigracja o- sobników, dla których nie starcza pożywienia, itp. Problematy- ka ta jest dotychczas słabo zbadana i stanowi prawdziwą "ko- palnię" modeli matematycznych, w tym i optymalizacyjnych* W literaturze polskiej warto zwrócić uwagę na pracę Adama Łom- nickiego: "Zróżnicowanie osobników a regulacja zagęszczenia Populacji" CWladomośoi Ekologiczne 26 (1980), 361-390). Pra- ca ta zawiera również obszerny opis literatury źródłowej* In«

Aa grupa zagadnień pojawia się, jeżeli pożywieniem jest aktyw- j&ie zachowująca się ofiara. Deterministyczne modele oddziały-

Vruń drapieżnik-ofiara (jak np* klasyczne równania Lotki-Yol- terry) są na ogół dobrze poznane* Modele stochastyozne, uwzg- lędniające np. możliwość wymarcia populacji w skończonym cza- sie, są o wiele trudniejsze do analizy* W literaturze pols- kiej jedyną chyba pozycją na ten temat jest praca Roberta

[175]

(2)

"176 M.KIMMEL Bartoszyńskiego: "Drapieżniki i ofiary" (Matematyka Stosowana

15 (1979) i 81-91) • Krótki przegląd dotychczasowych dokonań w tej dziedzinie, wraz z oryginalnym modelem ujmującym oddziały wania drapieżnik-ofiara w aspekcie ewolucyjnym, można znaleźć w artykule P.M.Allena: "Darwinian Evolution and a Predator- -Prey Ecology" (Bulletin of Mathematical Biology 37 (1975)

t

389-405).

2. Fitness ("dostosowanie") , o którym R.F.Green wspomina we wstępie do pracy, można określić poglądowo jako iloczyn średniej liczby potomstwa wydawanej przez jednego osobnika w ciągu jego życia, przez procent osobników, które nie umarły przed wydaniem potomstwa. Tak więc fitness równe 1 jest równoważne stałej w czasie liczebności populacji (gatunku)»

populacja jest "dostosowana". Fitness większe lub mniejsze od 1 równoważne jest odpowiednio ekspansji lub wymieraniu populacji. Dokładne definicje fitness i analizę jego związków ze składem genotypowym populacji można znaleźć np. w podsta- wowej, historycznej już książce R.A,Fishera: "Genetioal The- ory of Natural Selection" (Dover Publications, New York 1958).

Zbliżone zagadnienia, potraktowane jednak raczej jakościowo, rozważa Henryk Szaraki w książce: "Mechanizmy ewolucji"

(Ossolineum, Wrocław 1976).

3« Wydaje się, że warto przytoczyć za cytowaną przez R.F.Gre- ena książką de Groota rozumowanie, prowadzące do wzoru na P (x,t) .

W każdej komórce może znajdować się, lub nie, jednostka zdobyczy. Prawdopodobieństwo p(x,t) równe jest więc wartoś- ci oczekiwanej E (p | k^ +...+ k^ = x) parametru p , pod warunkiem, że suma zasobów k^,k^,,,. ,kt znalezionych do chwili t w komórkach: pierwszej, drugiej,..,, t-tej wynosi x . Niech " " będzie symbolem proporc jonalnośoi. Ponieważ p ma rozkład beta o parametrach <x , , jego gęstość ^Cp) spełnia:

§ CP) ru p 06~ 1_{( 1 - p}

) fi

^{" 1}^,

dokładniej:

(3)

PTAKI BAYESOWSKIE - NA MARGINESIE PRACY R.E.GREENA 177

SCp) ■ ' ptt'1(1 - p) /3"1 > »•».«.

Prawdopodobieństwo f(x|p) faktu, że suma zmiennycŁl losowycłij +•••+ k^ równa jest x , przy ustalonym p , spełnia:

f Cx|p) ~ pX (1 - p)*"* . Ze wzoru Bayesa mamy:

^Cp|x) a ■ .. £(p)f(X|p), J | (p } f Cx|p04p‘

0

gdzie £(p|x) jest gęstością warunkowego rozkładu zmianęj losowej p , jeżeli k^ +**«+kt a x . Powyższe zależności wskazują, że £(p|x) jest gęstością rozkładu beta o parame- trach oc + x , + t - x . Wartość oczekiwana zmiennej- lo- sowej o takim rozkładzie wynosi: Coc + x)/(oc + fi + t).

V. Zastosowanie rekurencyjnej procedury Greena wymaga uzupeł- nienia wzorów (4) , (5) zależnościami umożliwiającymi efektywne wyznaczenie reguły zatrzymania. Zależności te wiążą

EG(x,n-i,c) z EG* (x,n-i,c)' oraz ES(x,n-i,c) z ES'(x,n-i,c) i mają postać:

f° i r < c , EGCx,n-i,c) = «j

[EG' (x,n-i,c) ; r > c , ES(x,n-i,c) = <0 » r < c , ES' Cx,n-i,c) j r ^ c ,

gdzie r = EG'Cx,n-i,c)/ES'(x,n-i,c) . Dla i s 1 należy oczy- wiście przyjąć: EG' (x,n-1 ,c) s pCx,n-1), ES'Cx,n-1,o) = 1.

Można to traktować jako wniosek z zależności (4),(5) rozciąg- niętych na i = 1 oraz oczywistego faktu, że: EG(x,n,c) = ES(x,n,c) = 0.

5« Wzory (7) - (10) podane przez R.F.Greena nie są niezbędne.

Mamy bowiem: E(G) = EG'(0,0,c) oraz E (S) = ES' (0,0,c).

V związku z tym można równie dobrze obliczać aktualną efekty- wność strategii, wykonując jeszcze jeden "krok w tył" w algo-

(4)

178 M.KIMMEL rytmie rekurency jnym. Jednakże w oparciu o jawne wzory (7) — -(10) można wyliczać również efektywności dowolnych reguł za-

trzymania (strategii) , niekoniecznie związanych z algorytmem ptaków bayesowskioh.

6. Efektywność strategii naiwnej wyraża się wzorem:

r - E (G) _ nE (p) _ oc n

“ eTsT+T “ n + "£ “ ^oc

+

^{n + i;}

7, Strategia ptaka "wszechwiedzącego" sprowadza się do nastę- pującego postępowania. Ptak zjawia się na żerowisku i natych- miast ocenia (dokładnie) prawdopodobieństwo p • Jeżeli p jest nie mniejsze od parametru decyzyjnego c , wówczas ptak rozpoczyna poszukiwania na tym żerowisku. Mamy wówczas:

E CG) a n Jp J(p)dp, 1 c

E (S) = n j £(p) dp » 1

o

gdzie ^ (p) jest gęstością rozkładu randomizowanego parametru p (nie musi to być rozkład beta). Możemy poszukać wartości parametru c , która maksymalizuje R (c) = (E(G)/ E (S) +t].

Pochodna dR/dc zeruje się dla 0 ₌ 0*, spełniającego rów- nanie :

j. (jr - 1) = ś •

Równanie podane przez R.F.Greena otrzymamy podstawiając za 5 (P) gęstość rozkładu beta z odpowiednimi parametrami

oc f f>

Jak łatwo zauważyć, zachodzi również: R (c*) = c* , podobnie jak w algorytmie Greena,