do matury

Prosto

do matury

Matematyka

dla szkoł ^ponadgim naz)alnych

3. Geometria

t

;

nowa ,,,,era

]1]ll]lił]ir]iH]i

Spis ^treści

1.

Warto powtórzyu

2.

Wielokąt wpisany w okrąg

3.

^Wielokąt opisany na okręgu

4.

Twierdzenie Talesa

5.

}ednokładność

6.

Podobieństwo

7.

Twierdzenie sinusów

8.

TWierdzeniecosinusów

g.

Związ\<s,miarowe figur płaskich

9.

Powtórzenie

Odpowiedzi ⁱ wskazówki do zadań

5 7 14

ż0 29

39 47 54 58 65 70

Wykaz ^symb oli matematyc ^zny ch przedziń

otwarĘ

pr ze dział

domknięĘ

⁽

zamknięĘ)

pr zedział lewostronnie domknięty

tąt

o wierzchołku B i ramionach: półprostej

BAi

półprostej

BC (a;b)

{a;b) (a;b)

|{ABC| łABC

miara kąta

ABC

^ABC

^trójkąt

^ABC

a

_ll

b

^{prosta a} jest równoległa do prostej.b a

L b

^{prosta a jest} prostopadła do prostej ^b o(S,

r)

okrąg o środku ^S i promieniu

r

P

^{pole figury}

obw

^obwód

^figury

AB odcinekokońcachAiB

lABl

^{długość odcinka}

^AB

'n ='

(a,b) ^{pu;kt A}

^o współrzędnych ^{a (tzw, odcięta)}

ib

^{(tzw, rzędna)}

1" Wart* pffiwtmreyc

1.1.

udowo dnij, Żekąt zewnętrzny trójkąta równa ^{się sumie} kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

1

.2.

Udowo dnlj, żesymetralne boków trójkąta przecinająsię w jednym punkcie.

1.3.

udowo dnij, że proste zavńerające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

1.4.

W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD. Udowo ^{dnlj, że} wierzchołki

A

i B są równo oddalone od prostej CD.

1.5.

udowo dnij, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają ^{się w} jednym punkcie.

1.6.

Dwa jednakowe okręgi ^o promieniach 10 cm są sĘczne zewnętrznie i jednocze- śnie każdy z nich ^jest sĘczny do prostej k równoległej do odcinka łączącego ich Środki.

Oblicz promień okręgu stycznego zewnętrznie do obu Ęch okręgów oraz do prostej ^k.

1.7.

lezioro Koronowskie ^ma powierzchnię ok. 1560 ha. }aką powierzchnię będzie miało na mapie w skali 1 : 60000?

1.8.

}aką skalę należy przyląć,ó} narysować możliwie największy plan ogrodu o wy- miarach 37,5

mx

^44,5 m na kartce formatu A4 (2I0 mm ^x ż97 mm)?

1.9.

Romb o polu 240 cmŻ przekształcono przez podobieństwo tak, że jego pole wzrosło o 300 cm2. }aka była skala tego podobieństwa?

1.10.

Wielokąt o polu 750 cm2 przekształcono przezpodobieństwo tak, że jego pole zmniejsĄo się o 630 cm2. 1aka była skala podobieństwa?

1.11.

Oblicz sumę miar wszystkich kątów zaznaczo- nych na rysunku.

ffi ^1.12.

WtrapezieABCDptzekątnaACjestdwusiecznąkątaBAD.Wykaż,że|AD| = |DC|.

I6

^Geometria

m ^1.13.

^{wykaż, że czwotokąt ABCDjest} trapezem rów- noramiennym (A, B, C,

D

są punktami sĘczności ^*

zobacz rysunek).

1.14. W

okręgu

o środku S

poprowadzono

trzy

promienie:

SA, SB,

SC.

Wiedząc, że

łASB

= a,

łBSC

= 2a,

łCSA

= 4q, + 10o, wlznacz miary kątów trojkąta ABC.

1.15.

Punkty A,B,C,Dleżąnaokręguwpodanejkolejności.Wiedząc,żełABD = 30o,

ąADB = 50o, wyznaczmiarę

łBCD.

1

.16.

Wiedząc, że

lMBl

^{= 2,} |BC| ⁼ 6 ^(zobacz rysu- nek), oblicz promień okęgu wpisanego w trojkąt rów- noramiennyABC.

1.17.

^Czworokąt ABCD ^jest trapezem prostokątnym.

Wiedąc, że _|B C| _{= 28, lD} Cl = 2I, a przekątna BD ^jest prostopadła do boku AD, ^oblricz obwód tego trapezu.

I

2. ^Wielokąt wpisany w okrąg

l

stosowanie twierdzeń charakeryzujących czworckąty wpisane w okrąg Okrąg,który przechodziprzez wszystkie wierzchołki wielokąta, nazy\Mamy okręgiem opisanym na

Ęm

wielokącie.

W takiej sytuacji mówimy również, że dany wielokąt ^jest wpisany w okrąg.

Środek okręgu opisanego na wielokącie jest oddalony o promień od każdego z jego wierzchołków. Inaczej mówiąc, środek takiego okręgu jest równo oddalony od wszyst- kich wierzchołków. Leżywięc na symetralnej każdego boku takiego wielokąta.

lY

l

A 1)

i' ^Ii,'-Ą_

li|\

I

czworoĘ, na którym nie można opisać okręgu

\<l>

* :_ _l tojestonwielokątemwypuĘm j

1eże|iwielokąt ^jest wpisanyw okrąg, '1-*.'--*,._..-'-*,,.-_ ,,____.---'-_,,_-.__"..,J

*g,*-**-*"

']W

_{Sy-"t alna odcinka jest zbiorem} punktówpłaszczyny ^1N

t.:::::11*::*:1*::":::_:*:*:Ł*,___--J

Przykład |}

czworokąt, na którym można opisać okrąg

pięciokąt, _na którym można opisać okrąg pięciokąt, na którym _nie można opisać okręgu

I8

^Geometria

W

Na wielokącie można opisać

oĘg

wted} i tylko wteĘ, ^gdy symetralne wszystkic}r boków

tąo

wielokąta ptzecinaiąsię ^w je{rr}m punkcle.

,@'

Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg.

Ponieważ symetralne boków trójkąt a przecinająsię w jednym punkcie, więc ^na każdym trójkącie można opisać okrąg.

Sprawdzenie, czy ^na wielokącie, który ^{nie jest} trójkątem, można opisać okrąg, ^jest zada-

,ri"-

,r" ogół bardzo trudnym, ^często wręcz niewykonalnym. Iednak ^dla czworokątów mamy proste kryterium, pozwa\ające rozstrzygląć, czy można ^opisać okrąg na

d*y*

czworokącie.

Zwrot wtedy i tylko wtedy oznacza, że prawdziwe są dwa twierdzenia:

|eże|i czworokąt ^jest wpisany w okfąg, to sumy miar kątów przeciwlegĘch ^{są równe.}

|eżeli sumy miar kątów przeciwlegĘh czworokąta ^są równe, to na trm czworokącie można opisać okrąg.

Udowodnimy tylko jedno z tych twierdzeń.

?,ł ^{j,-, -::,:.ł.} |":

Czworokąt ABCD ^jest wpisany w okrąg.

Sumy miar kątów przeciwlegĘch tego czworokąta są równe,

i

t

&

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumł, miar

kąów

-1

P r zyjmijmy oznaczenia jak na D

łA+ łC

=

u+|

= 180o

łD+łB=180"

kąt środkowy oparĘ na łuku BCD jest dwarazy większy od kąta wpisanego opartego na trrlm samym łuku, cĄi, kąta B A D _czworokąta

kąt środkowy oparty na łuku D AB jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na Ęłn ^{samlrrn łuku,}

cĄik1ta DCB czworokąta

20.+2y=3600

suma wszystkich kątów czworokąta jest równa 3600

rySunku.

Pokazaliśmy więc, że sumy miar przeciwległych kątów takiego czvlorokąta są ró\Mne.

]':i]]]!]] .-i--];',,.:j: :

Na każdym prostokącie można opisać okrąg. Środek okręgu opisanego na pro-

Na równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie można opisać okręgu (rys. 2}, Na trapezie rórłmoramiennym, który nie jest równoległobokiem, można opisać

Na trapezie nierównoramienn),m nie można opisać okęgu (rys.4).

,@,ryO

-m

iI 10

^Geometria

Przykład Ę

a)

W czworokącie

ABCD

dane sąkąty:

łA

^{= 50o,}

łB

= 110o,

łC

= 130o,

ZatemłA ⁺

łC

= 50o + 130o = 180o. Na czworokącie

ABCD

można opisać okrąg,

b)

W czworokącie

KLMN: łK

= 60o,

łI

= 90",

łM

= 100o,

Zatem

łK

⁺

łM

= 60o + 100o = ^160". Na czworokącie

KLMN

nie można opisać okręgu.

Przykład §l

obliczymy miary kątów czworokąta

ABŻD

wpisanego w okrąg, jeżeli wiadomo, że

łA: łB: łC

=

4:I:2.

§ozwiązanie

Podaną proporcję miar kątów możemy zapisaćw postaci:

łA

=

4x,łB

=

x,łC

= 2x.

łA

⁺

łC

= 180"

i łB

⁺

łD

=

180' ^**

^na czworokącle ABCD można opisać okrąg

4x +2x = 180o, zatemx =30"

łA=

^4x = l20o,

łB

= x= 30o,

łC

= 2x = 60"

łD

=

180'- iB

= 180o

-

30o = 150o

Do obliczenia miary kąta D można było również skorzystać z równości

łD

= ^5x, wynikającej z warunku:

łA

⁺

łC

=

łB

⁺

łD.

CIdp.:

łA

= Iż0",

łB

= 30o,

łC

= 60",

łD

= 150'

ZADANlA

2.1.

Deltoid ^jest wpisany w okrąg. Oceń, czy podane zdania ^są prawdziwe, czy fŃ_

szy\Ąre.

A.

Co najmniej dwa z kątów deltoidu są proste.

B.

Średnica okręgu opisanego ^na deltoidzie jest jedną z przekątnych deltoidu.

C.

^Deltoid iest kwadratem.

2.2.

vtiary trzechkolejnych kątów czworokąta wpisanego w okrąg ^{mają się} do siebie jak 6 : 5 : 4. Wskaż miarę czwartego ^{kąta tego} czworokąta.

^.72o

B.

^80"

c.

90"

D.

^100"

2.3.

Dwa największe

Ęty

^{czworoĘa wpisanego w} okrąg mogą mieć miary

PRAWDA

^FAŁSZ

PRAWDA

^FAŁSZ

PRAWDA

FAŁSZ

A.

60" i 90,.

B.

85, i 95,.

c.

95, i 105".

D.

100, i 190".

2.4.

CzworoĘt

ABCD

^jest wpisany w okrąg i AD ^jest średnicą tego okręgu. _}aką miarę ma kąt BAD,jeżeli wiadomo, że

łACB

= 30o?

A.

^40o

B.

^50"

c.

60,

D. nie można tego obliczyc

2.5.

Symetralne trzech boków pewnego czworokąta wypukłego przecinają się w jed- nym punkcie. Czy na Ęm czworokącie można opisać okrąg?

2.6.

Na których z narysowanych czworokątów można opisać okrąg?

c.

^D.

A.

^B.

2.7.

Obliczmiary kątówczworokąta

ABCD.

a)

2.8.

a)

Oblicz miary zaznaczonych kątów.

2.9.

Oblicz miary kątów czworokąta

ABCD

wpisanego w okrąg, jeżeli

J 12

^Geometria

2.1o.

Wyznaczmiarykątów czworokąta

ABCD

wpisanego w okrąg, korzystajączpo, danych informacji.

a) łA

=

10o, _{łB -} łD

= 70"

b) łA

=

44B, łC

=

5lB c) tA

⁺

łB

=

113o,

{A ⁺

łD

= I77"

d) łD _- łB

⁼

^120o, łC _- łB

= 90"

c)

^39o, 52",I28",I4I'

d)

15,,76",I04",165"

2.11.

^{Zbadaj, czy} istnieje czworokąt, ^na którym można opisać okrąg ⁱ którego

kąĘ

mają podane miary.

a)

^45o,48o, 135o, 145o

b)

85o,85o,95o,95o

2,12,

czyna czworokącie, ^w którym miary kolejnych kątów pozostają ^w podanym stosunku, można opisać okrąg?

a) 3:4:3

^{l 4}

b) l:2:2:I ^{c) 5l5:4:4 d)}

^I

^l2:5:4

2.13.

Oblicz miary kątów a i P.

a) b)

E} ** 2.16.

Kąt A w trójkącie

ABC

ma miarę 60o. Dwusieczne

BF i CD

przecinają się wpunkcie M, Udowodnij, ^że

a)

^na czworokącie

ADMF

można opisać okrąg,

b)

_|MD| = |MF|.

§tr

* 2.15.

pwa odcinki równej długości

AB i KM

przecinają się w takim punkcie p, że|PA| = lPMl.Udowodnij, ^że na czworokącie

AMBK

można opisać okIąg.

2.14.

sedna z podstaw trapezljest jednocześnie średnicą okręgu opisanego ^na tym trapezie. promień okręgu ^jest równy 5.Wyznacz maksymalny przedział liczbowy, do którego może ^należeć długość przekątnej trapezu,

1.

a}

Punkt S jest środkiem okręgu. Oblicz miary Ątów a ⁱ P.

b)

:2.']

ĄĘnacz ^{miarv, kętóry'}

całoroĘa' ,ł4

^+,ł8 +',110",oraz]łB,4 S§1=, |§S?,:: ^,

3.

Wyznacz miary

Ęó*

^wpisanego

w l

gF€,,eaworѧta,łBCo,

&ć§4§ż. _:, |:

fliśtthćk},,vń§ij1Ęe):źći ,""' ;,;'',' ]; ,:: _{:l,,_,],-}

" ^łCKB

^{= 20o}

i

ramiona tego kąta ptzechodąprzez

punĘ

D i A,

. _łDMC

₌ 30o

i

rąmiona tego

Ęa

przechodąprzez

punĘ

A i B.

i Dsąwpodanymbtosunku?

'

^,

a) 3:4:5:6

^b)

5.

Czworokąt zaznlaczonyrr"

ry.oń

jest wyznac7nny przez dwusieczne

Ę-

tówtrapezu ABCD. Wykaż, żemożna

nanimopisaćokrąg.

A

AB,CD,.,wpisałtego,,w

j ,] :.:, ^{:. .'.} .-.. , ^{.,,,' ,} , ,. ,,'- a,., M.,,

4.

Czy na c,zworokącie

ABCD

można opi§ać okrąg,

jeżeli,miĘkąt&r

A;

B,C

m

t

3, Wielokąt opisany na okręgu

Umiejętności:

:

stosowanie twierdz*ń charakteryzujących czwcrokąty opisane na okręgu Okrąg, który jest sĘczny do każdego boku wielokąt a, nazywamy okręgiem wpisanym w ten wielokąt.

W takiej sytuacji mówimy również, że wielokąt ^jest opisany na okręgu.

)eżeli wielokąt jest opisany na ok _ęgl.r, to jest wielokątem

,,

I ^wypuktym.

Środek okręgu wpisanego w wielokąt ^jest oddalony o promień od każdego boku tego wielokąta. Inaczej mówiąc, środek takiego okręgu jest oddalony o promień od ramion każdego zkątówwewnętrznych tego wielokąta, czyli jestpunktem wspólnym wszystkich dwusiecznych.

ątem _i

+ :^

Zbiorem punktów równo oddalonych od ramion kąta wy- _!

!

'\ą****"_*..-*- ^{pukłego i} należących do tego

Ęa

^{jest jego}

dwusieczna.

**-*'_.J_i

Przykład |}

czworokąt, w który można wpisać okrąg czworokąt, w który _nie można wpisać okręgu

pięcioĘ, w który można wpisać okrąg pięciokąt, w który nie można wpisać okręgu

Podobnie jak w przypadku okręgu opisanego na wielokącie, sprawdzenie, czy w dany wielokąt można wpisać okrąg, ^może być zadaniem niewykonalnym. Również

i

tu dysponujemy kryterium pozwalającym rozstrzygnąć ten problem dla czworokątów

CzrłoroĘwypuk}f ^{moźna opisać]na olrręg§ ptedy i} 1flko,wted5 g§}§urny długości przeciwległyeh bokórł tego cz\ryórokąta §ą rÓwl}e.

W wielokąt,ruożna,wpisłć okag wted| i tvlło wtedf; gdy Ąvruslęczne w§uy§tki§b

Ęów

wewnętrzny,ch :tego wielo,

Ęa

przecinają się w j.fuym pruikcie.

Zwrot wtedy i tylko wtedy oznacza, że prawdziwe są dwa twierdzenia:

leżeli ^{czworokąt jest} opisany na okręgu, to sumy długości przeciwlegĘh boków

tego czworokąta są równe.

}eżeli sumy długości przeciwlegĘh boków czworokąta ^są równe, to ten czworokąt można opisać na okręgu.

Udowodnimy rylko jedno z tych ^tvńer dzeń.

żlą:,i,łł.ł:: ,:*

Czworokąt ABCD ^jest opisany na okręgu.

'!';r+::"1

Sumy długości przeciwlegĘch boków tego czworokąta są równe.

'l^łł:,łi::ł

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

C*J ^cB

D

*-- odcinki łączące wierzchołki czworokąta z odpowiednimi punktami sĘzności są równe

lABl ⁼

d+c,|DC|=a*b,

lADl ⁼

d+a,|BC|=cłb

Mamy zatem

lAB|+lDCl

⁼

a+b+cłd= _|eo|+|rc|.

ill lo

^Geometria

1.

W kwadrat można,wpisać okrąg ^{(rysl 1),}

\,V romb 66l6nlqpisaćokrąg ^{(rys. 2).}

W deltoid'można rłpisać ^{okrąg (rys. 3).}

Przykład ffi

10

10+5=8+7

W ten trapez można wpisać okrąg.

ą*b=a'łb

Przykład ffi

Sprawdzimy, czy w czworokąt wypukły

ABCD

o podanych długościach boków można wpisać okrąg.

a) _|Ar| =

l,

_lnCl = ,|CD| = 6,:DA| = z

lAB|+lCDl =3+6=9

|BC| ⁺ lDAl= 4+2 ^{= 6} lAB|+ |CD| ⁺ |nC|+ |Oe|

W ten czworokąt nie można wpisać okręgu.

b)

_lAB| = a, lnCl ⁼ ,|CD|= 6,1DAl= ⁵

|AB|+lCDl

=3+6=9

|.aC|+lDAl

=4+5=9

|AB|+ lCDl ⁼ |rC|+ |Oa|

W ten czworokąt można wpisać okląg.

8+2+9+6

W ten trapez nie można wpisać okręgu.

Przykład fi|

W każdy wielokąt foremny można wpisać okfąg. Środek okręgu wpisanego w wielokąt foremny jest również środkiem okręgu opisanego na Ęm wielokącie. Zilustrujemyto na przykładach (R oznaczapromień okręgu opisanego, a r - wpisanego).

a)

trolkąt

równoboczny b)

kwadrat

c)

sześciokąt foremny

Przykład §

Ramię ttapeza równoramiennego opisanego na okręgu ma długość 4, a przekątna trapezu ma długość S.Wyznaczymy promień okręgu wpisanego w ten trapez.

Rozwiąanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Promień okręgu wpisanego w trapez ^jest połową jego wysokości. _}eżeli poprowadzimy wysokości trapezu z punktów D i C,to powstanie prostokąt EF CD.

Oznaczmy lEFl ⁼ |oc1= ^o,

|a.a|+ |DCI ⁼ |AD|+ |,aC1 = 6

|AE|+

a+|FB|*A=8

z|AE|+2a ₌ 8

|AE|+ a = ⁺

|n\=

^a

|rc1 ^{= 3}

Szukany promień jest więc równy

Odo,: '2

¹

§F

*

sumy dfugości przeciwlegĘch boków są równe

*

_{|AEI= |FB|}

|AE|+ a=|AF|

na mocy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostoĘtnego AFC

J

ż

-l- 18

^Geometria

ZADANlA

3.1

.

^{Dany jest trapez} równoramienny o ramionach długości 5 cm. Oceń, czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

A.

|eżeli w ten trapez ^jest wpisany okrąg,

to podstawy trapezu są

równe. PRAWDA

FAŁSZ

B.

|eżeli w ten trapez jest wpisany okrąg,

to podstawy trapeza mogą być

równe. PRAWDA

FAŁSZ

C.

Ieże|itentrapez ^{jest opisany na okręgu,}

to obwód trapezu jest równy 20

cm. PRAWDA

FAŁSZ

3.2.

W czworokącie

ABCD

opisanym na okręgu dane są długości boków:

lBCl ^{= 15,} ICD| ^{= 18.} Długość boku

DA

^{= 12,}

A.

^jest równal2.

B.

^jest równa 15.

A.

^jest równy ^1,5.

B.

^jest równy 2.

3.3.

W czworokącie

ABCD

opisanym na okręgu dane są długości boków: _|l,n1= 4,

lBCl ^{= 5,} |CD| ^{= 4.} Promień okręgu wpisanego w ten czworokąt C. ^jest równa 18,

D.

^zależy od kątów czworokąta.

C.

^{jest równy 2,5.}

D. za\eży od kątów czworokąta.

3.4.

Ramię ftapezarównoramiennego opisanego na okręgu ma długość 36.Zatem żadna z podstaw tego trapezu nie może mieć długości równej

B. Ó.

A.

1.

C.70.

D. 80.

3.5.

^Trapez równoramienryr którego podstawy są równe 15,8 cm i 8,2 cm, ^jest opisany na okręgu. Oblicz długość ramienia tego trapezu.

3.6.

Oblicz obwód czworokąta opisanego na okręgu, wiedząc, że

a)

przeciwległe boki mają długości7 cm i 8 cm.

b)

stosunek długości trzech kolejnych boków jest rowny 2 ^; długość 6 cm.

5, a czwarĘ bok ma

c)

różnicadługościprzeciwlegĘchbokówjestrówna 15cm,aichstosunekwynosi4 : 1.

d)

stosunek długości trzech kolejnych boków wynosi 3 : 5 : 6, a suma długości tych boków ^jest równa 42 cm.

3.7.

Jedna podstawa trapezllma 6 cm, druga 3 cm, a jedno z ramion ma 4 cm. Wia- domo, żew trapez ten można wpisać okrąg.

a)

}aką długość ma drugie ramię trapezu?

b)

Skonstrulj trapez spełniający warunki zadania i wpisz w niego okfąg.

3.8.

W trapez równoramienny wpisany jest okrąg. Punkty styczności dzielą ramiona trapezuna odcinki o długościach 4 cm i 6 cm. Oblicz promień okręgu.

ii]

3.9.

W trapez o polu 168 i ramionach długości 13 i ¹⁵ można wpisaĆ okrąg, Oblicz długości podstaw tego trapezu.

3.1

0.

^środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległościach 1 cm

i2

cmod końców dłuższego ramienia tego trapezu. Oblicz pole trapezu.

3.11.

Środek okręgu wpisanego w czworokąt

ABCD

^jest równocześnie punkem przecięcia ^jego przekątnych. Udowodnij,że czworokąt ABCD ^{jest rombem.}

ffi

^łi;;:

^3.12.

^{Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Z punktu P} przecięcia przekątnych

tego czworokąta poprowadzono wysokości PK, PL, P M, PN odpowiednio w trójkątach ABP, B CP, C D P oraz DAP. Udowo dnij, żew czworokąt KL M N można wpisać okrąg,

1.

Czy okrąg?

a)

_|AB|

b)

_|ABl

w czworokąt

ABCD

o podanych długościach boków można wpisać

= 5, lBCl ⁼ 6,\CDl = 7,|D,Ąl ₌ 8

= 6, lBCl ^{= 5,} lCDl ^{= 7,.D,Ąl = 8}

2.

^{W czworokąt} ABCD wpisano okrąg. Punkty styczności tego okęgu ^z bokami AB, B C, C D i D

A

ozrlaczono odpowiednio literami E, F, G i H. Znając długości odcinkówlAEl = 4cm,|FB| =

5cm,|cc|

=

2cmi

_lDrrl = 1cm,obliczobwód czworokąta

ABCD.

3.

W trapezie równoramiennym opisanym na okręgu ramię ma długość 4 cm,

a jedna zpodstawtrapezu jest o 2 cm dłuższaod drugiej. Oblicz długości podstaw tego trapezu.

4.

Na okręgu ^o promieniu r opisano trapezprostokątny, którego najkrótszy bok ma długość

jr.

ą ^{Oblicz pole tego trapezu.}

5.

^{W czwor} oĘcie ABCDboki BC ⁱ AD ^są równe, a

punĘ

E i F są odpowiednio środkami tych boków. Wykaż, że jeże\iw każdy z czworokątów ABEF i

FECD

można wpisać okrąg,to czworokąt ABCD ^jest równoległobokiem.

Ą. Ttlvięrdzenie Tals§a

Unni*jętno*ci:

G

§to§owanie twierdzcnia Talesa do cbliczania dtuEości odcinków

r

stosnwanig twierdzenia odwrotnego ^cjo twierdz*nia Taiesa dc ustalania równoległości prostych

Tales z Miletu ^(ok. 620

-

^ok. 540 p.n.e.), grecki filozof

i

matemaĘk, sformułował

kilka

ważnych twierdzeń geometrycznych. Najbardziej znane doĘczy równości stosunków

odcinków

otrzymanych

prry

podziale

ramion kąta przez

^proste

równoległe. W dowodzie tego fivierdzenia wykorzystamy zależnościmiędry polami i odcinkami trójkątów.

Rozpatrzmy dwa trójkąĘ o równych podstawach a

i wysokościach h oraz H. Obliczmy stosunek pól P1

iP2Ęch

trójkątów.

^,

^P2=

NN

Stosunek pól takich trójkątów jest równy stosunkowi ich wysokości.

*ć

Podobną sytuację mamy w prąpadku dwóch trójkątów o równych wysokościach,lecz różrrych podstawach.

pr=*, _Pr=T,

a1 a2

Stosunek pól takich trojkątów ^jest równy stosunkowi ich podstaw.

T

aH P,

,2 =4

P, =h P2H

Pl

=at

P2

^a2

AA

Przyjmijmy oznaczenia zgodne z rysunkiem.

Z*j*;Ł**i*

AA'

_|| BB'

"i-ą:r*-

loAl lABl

**w*łJ loAl lABl

Zatem loAl lABl Kł:*i**

_

^loA,|

lA,B,|

_

^Poooo,

Paene,

Ploll,

P663,n, łJ*v,;*łJi;

*

trójkął O AAl i ABA| maj4 podstawy odpowiednio OA i AB

oraz wspólną wysokość poprowadzoną z wierzchołka A'

Palre,-

P6n3,n,

*

AA'||BBl ,zatemtrójkąĘABA'

i AB| A| mają wspólną podstawę AA| orazrównewysokościpopro- O wadzone z wierzchołków B oraz B' Po podstawieniu do poprzedniej równości milmy

lOAl =

lABl

^{Paoee,P6a3,a,}

PaoAA,

_

^IOA'|

P6a3,a,

_lA'B'|

x5 34

15 4

37 2x

I4

3 a)

b)

Przykład ff,

Proste k i I sąrównoległe. Obliczymy długość odcinka x.

*

trqĘty oAA| i AB| A| mają wspólną wysokość poprowadzoną zwierzchoka A

_ loA,| ",_li

^|oA|

_

^loA,|

|A,

B,1''"t -- |ABl

^{|x n,1'}

J)ż zz

^Geometria

Prawdziwe ^jest również twierdzenie odwrotne do twierdzenia ^Talesa.

|eżeliprĄmiemy

oznaczenia jak na rysunku, to założenia twierdzenia możemy zapisać w po-

,tu.i ffi

⁼

Wr.Wówczas

^{zgodnie ztezą}

proste l

ik

sąrównoległe.

Dowód tego twierdzenia pominiemy.

Z udowodnionego twierdzenia ^Talesa można wlprowadzić proporcje innych odcinków.

}eżeli proste k i

l

przecirłają ramiona

Ęa

^{w taki sposób; że odcinki} v{y,ttłc?frnLe ptzezteptóste]rra jedny_rr_r ramieniu

Ęa

^są proporcjonalne do odpowiednich'od- cinkórvwyznaczonych prueżteproste ^na drugim

ramieniuĘa,

^{to proste}

kil

są

|eżeli proste

AD

i B C ^są równoległć,, jak _na rysunku, to:

',ai ffi;,,ffi

lą\

^|AD| ₌ ^lAPl

\'/ lBCl

^tBPl

'.***l-ą" #'

Do uzasadnienia równości ⁽¹⁾ wystarczy zauważyć, że lPAl ₌ |PB|+|BA| _ ^|PBI * ^lBAl

=,*|BA|

trą= Fą ^-PBl -|PĄ-'-1pĄ,

Ztwierdzenia Talesa v _riemy,

'

_że

lBAl

^lCDl

ffi

⁼

ffi

^,

^*ię.

^{prawdziwa jest równość}

,,lBAl _,,lCDl

_lPCl+|CD|

_lPDl

' ^' _lPBl ' ' lPCl lPCl

^lPCl'

Analogicznie udowadniamy równość ^(2).

Do uzasadnienia równości (3) uzupełnimy rysu- nek prostą

BK

równoległą do prostej

PD

po to,

aĘ

zastosować twierdzenie Talesa oraz wzór (t) do kąta

DAP

przeciętego równoległymi

BK iPD.

Mamywięc równości:

lAKl lABl

_{|AD| _ |AP|}

ffi=H ^oraz ffi=ffi

Po pomnożeniu tych równości stronami otrzymujemy

|Alq.|ADl _ ^|AB|.|AP|

|I(D|.|A1(l

|BP|.|AB|

Stąd

|AD| _ ^|AP|

lKDl

^lBPl'

gdziezattiast _l/(D| możemypodstawić _|BC|, bo czworokąt

BCDK

jest równoległobo- kiem. Zatem

|AD|

_|AP|

lBCl

lBPl'

Przykład Ę

Proste k i

l

sąrównoległe. Obliczymy długość odcinka

r.

, 15

6+4

a) 'x6 _-_

10x ₌ 15.6, cry|i x = 9.

,,9

bl -=-

'5

8+x₈

5(8+x)=72,

czyli x = 6,4.

|eŻeli mamY danY odcinek jednostkowy, to możemy konstruować odcinki o długości będącej ilocąmem lub ilorazem długości odcinków danych.

*"-:"-"

-1

|eżeIi ? =

l,

to i

tbd| l . a.d=b.c

ź ud

'¹

;.

^§

źacl :. !=Ł

ⁱ

\cdI

1{. ,/

Jl|i- 24

^Geometria

Przykład §[

Dane ^są odcinki o długościach a

ib

oraz odcinek jednostkowy. Zbudujemy odcinek o długości ab.

Rozwiązanie

Oznaczmy iloczyn ab przez x, Wówczas:

x=Ab, cĄix,t=ab.

Tę równość zapisujemy w postaci proporcji

L =Ł. ax

Teraz kolejno:

r

rysujemy

Ęt

o wierzchołku O

i

na jednym jego ramieniu odkładamy: najpierw odcinek jednostkowy OA, następnie tak

odcinekAB,

^O

że|AB|= b,

na drugim ramieniu kąta odkładamytaki odcinek OC,że|OC1= ^o,

prowadzimy prostą

Ac,

^a następnieprzezpunkt B równoległą do niej prostą k,

*

prosta k ptzetnie drugie ramię ^{kąta w} punkcie D.

Zgodnie zffierdzeniem ^{Talesa mamy} |CO\= ^o5,

Przykład B*

Na jeziorze umocowana ^jest boja (oznaczona na odległość od punktu D znaj&Ąącego się na brzegu.

Razwiązanie

WyĘczamy na brzegu dwa

punĘ Ai

B orazna linii brzegu punkt C w taki sposób, że odcinki

AB

i CD są równoległe, punkty K, D i B są współli- niowe oraz

punĘ

K, C ⁱ A są współliniowe. Mie- rzyr1y długości: _|DB|, |AB|i |CD|.

rysunku K). Chcemy określić ^jej

|KD| _ ^ICD|

lKBl

^lABl

ll(Dl

^{_ lCDl}

|ro|+

|D,a|

^lABl

l

a

*

+

na mocy wniosku ^z twierdzenia Talesa

*

_{|I(B|= |rn|+ |or|}

l/(D|.lAB| ⁼ |CD|.(lr<Dl+ |Or|)

Z ^tego równania obliczamy niewiadomą wielkość _|KD |.

odp.:

_lr<Dl

=ffi+B

Z wlprowadzonych wzorów wynika, ^że jeś|iprzetniemy ramiona kąta dowolnie wie- loma prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczonena jednym ramieniu ^są proporcjo- nalne do odpowiednich odcinków wyznaczonychprzezproste ^na drugim ramieniu kąta.

Można to wykorzystaćprzy konstrukcyjnym podziale odcinka ^na n równych części.

Przykład §

Podzielimy odcinek AB napięć równych części.

Rozwiązanie

r

Z punktu

A

prowadzimy półprostą

i

odkła- damy na niej pięć równych odcinków.

*

przezkoniec ostatniego odcinka i punkt B prowadzimy prostą l.

r

prowadzimyproste równoległe do l przezkońce odłożonych ^na półprostej odcinków - ^{podzielą one odcinek} ABw żądany sposób.

ZAnAN|A

4.1.

Na rysunku proste AC i BD są równoległe. Czy podane proporcje są prawdziwe, czy fałszywe? Wy- bierz właściwą odpowiedź.

^ ^{loDl _}

^Io8l

^' _locl - eą n lDBl

^lDCl

Ir. _

lCAl

=_

lcol

^ lDBl

^lCAl

-'

_1oĄ ⁼ _1oa;

4.2. W

trójkącie

ABC

poprowadzono odcinek

MN

^jak na rysunku.Ieże|i

MN

ll

AB,

_|BN| = ^5,

lNCl

^{= IO oraz|AC1= 12,ro,}

^. ^|AM|=

ą,lMCl

= 8 i

lMNl

^{= 14,}

B.

_|AM|= ^8,

_lMCl

=

4i _lMNl

= 14.

C.

_|AMl= ^{5,\MCl = 7 i jest zamało} danych do obliczenia |łtlr|.

D.

_|AM| = 4,1MCl = 8 i jest za mało danych do obliczenia |łllv|.

4.3.

W trójkącie

ABC

punkt

Mleży

^na boku AC, a punkt

N -

^na boku BC. Które zponiższychdanych wykluczają równoległość odcinków AB

i MN?

^. |MC|=3,1AMl= ^{12,|CNl = 13}

B.

_|MCl = 3,|ACl = 15,1ABl ₌ 20,|MNl = 5

C.

_|MC| = 3, |AC| ⁼ 15,ICN| = 5,|MNl = 5

D.

_|BC| = 20,1ACl ₌ 15, |AB| ^{= 25,}

lMNl

^{= 5}

PRAWDA PRAWDA PRAWDA

FAŁSZ FAŁSZ FAŁsZ

Geometria

4.4.

Proste k i l są równoległe. Oblicz x.

a)

4.5.

Na rysunku ^proste

aib

sąrównoległe. Oblicz

a)

_|EO|, jeżeli |sNl ^{= 14,} lSEl ^{= 8,}

lscl

^{= 35.}

b)

_|sC|, jeżeli |Eo| ⁼ 3,1ENl = 1,5,1SEl= 2.

c)

_|NC|, ^jeżeli _|NO| = 4,|SEl = 1,2,|SNl = 1,8.

d)

|EO|, jeżeli _|SE| : |tlV| ^{= 2 : 5, |SC| = 14.}

4.6.

^{Proste a}

ib

przecinają ramiona kąta o wierzchołku Ltak,że ^{na jednym} ramieniu

powstĄ

odcinki

Lo i

oK, ^{a na} drugim

tA

ⁱ As. Punkty A i

o

^Ieżą bliżej punktu

l

niż punkty s i

k.

sprawdź, czy ^ptoste a

i

b są równoległe, korzystając z podanych informacji.

a)

_|IO| ^l

_|lx|

=

2:3,

_|LA| = 4,

b) lrol

^{= 2,1oKl = 3,}

loAl

^{= 6,}

c)

_|rO| ^:

_|lr|

= 1

:8,

_{|oA| =} 2,

d)

_|ro| =

r|, lorl =z!,lLel=

lor<l- ^0,3, lts| ^=|LA|+2,2

4.7.

^ObLicz długości boków trójĘta

ABC

^przed-

stawionego na rysunku obok, wiedząc, że

DF

_||

AC iEG

|| BC.

|As| ⁼ 6

|rs1 ^{= 15}

|rs1 ^{= 16}

-|

4.8.

^Chcemy zmierzyć odległość między drze- wami D1

i

D2, ^a\e nie możemy zrobić ^tego bez- pośrednio, bo rozdziela

je

rzel<a, Na podstawie

.yrorrk,

^{opisz sposób, w jaki można to zrobić,}

ÓUt., IDDzl,

^{gdy |D2M| = 4}

^m,|n2r1

^{= 12}

^

i |Kl| ^{= 19 m.}

Dl

4.9.PrzezpunktRnależącydobokuABtrójĘaABC.poprowadzonoprostąrówno- ległą do boku

Ac

przeclnającąbok

Bc

w punkcie s. oblicz ^długości boków trójkąta

ABC,wiedząc,Ze|AR|= ^{3 cm, |nS1 =} 15,^,

lH

^{= |,}

^{akłt CAB}

^{mamiarę 60",}

4.1O. W trójkącie ABC ^wysoko

ść

CDdzieli ^bok AB na odcinki lADl ⁼

+

i lDB| ⁼

łć.

^{Na jakie części bok |BC| = 8 zostanie} podzielony symetralną boku AB?

4,11.Danyjestodcinekodługościrll.Skonstruujla,vadrat,tóĘrównoboczny

i sześciokąt ^foremny, jeśli wiadońo, ^{że obwód} każdej zfigut ^{jest równy m,}

4.12,

Na ^{prostej Ieżą} kolejno punkty A, B, C, D,

p,zy

czym zachodzi proporcja lABl ₌

luD!.outi.,

lBCl

^lCDl

a)

|AB|, jeżelri|BC| ⁼ 3,|CDl = 7,

b)

_|CD|, ^jeżeli |BC| ^{= 5,} lABl ^{= 10,}

4.13.Stosunekdługościpodstawtrapezujestrówny.l:3.oblicz,oilecentymetrów

na|eży przedłaĘć rłmię,rup""o długości

2Ó

^cm,

^ńy

^przecięło Prostą zawierającą drugie ramię ^tego trapezu,

4.14.okręgiopromieniach3cmi4,5cmsąstycznezewnętrzniewpunkcieP.odle-

gŃe

p,rrrki,;l ^oa

p-.t.;

^sĘcznej do obu okręgów ^jest równa d,Wyznacz ^d,

{t

4.15.

W rombie ABcDwierzchołek D kąta rozwartego połączono ^ze Środkami K i

l

boków przeciwlegĘch. oblicz pole .ombu, jeżeli ^pole

tóiku,; DKl

równa ^{się 36 cm2,}

ri}

4.16,

^Na jednym ramieniu

Ęa

^o wierzchołku

o

obrano punkty K, L, a na drugim M, N ^{tak, że} _|oK| ^{= ro,} tor| ⁼

sz,loMl=

^{4,IMNI = 3m}

-Z,Dlajakich

^wafiościm

proste zawierająceodcinki

KM

ⁱ

tN

^są równoległe?

rll- 28

^Geometria

ł:r4.17. BokitrójkątaABC

majądługości |AB| ^{= 36,}

lBCl

⁼

24i lACl

^{= I8.Przez}

wybrany na boku AC punkt D poprowadzono prostą równoległą do AB przecinającą bok BC w punkcie E. Oblicz długość odcinka DE,wiedząc, _{że |AD|} ⁺ _|CE| = 20,

*t

4.18.

W trójkącie ABC kątprzy wierzchołku C ma miarę I20", _|AC| = b i|BC| = a.

Oblicz długość odcinka dwusiecznej

CD

zawartego w trójkącie.

1. Na

rysunku proste

a i

b są równo- ległe. Oblicz _|ST|, ^jeżeli

lTOl ⁼

^{12 cm,}

lAMl=

^{16 cm,} |sł1 ⁼ 24cm.

b) c)

2.

Proste a

i

b przecinają ramiona kąta o wierzchołku O w punktach A, B

|eżącychna jednym ramieniu kąta ^(.Ą leĘb|iżej punktu O) i w punktach C, D na drugim ramieniu (C leży bliżej punktu O). Spraw dź, czy z podanych informacji wynika, że proste a

ib

sąrównoległe,

a)

_|OA| = 2,5 cm,IABl = I,5 cm, |ec; ^{= 0,5 dm,} |DBl ^{= 0,8} dm lOAl ^{= 5,1 cm,} |OBI ⁼ 6,8

,

cm, ^,

Ę

_lCDl ⁼

^,

loAl

⁼ 26 cm,lABl ₌ a cm, |oC| ^{= 13 cm,}

loo;

⁼

16.*

3.

^Podstawy trapeza mają długości równe 18 cm

i

12 cm. O ile centymetrów należyprzedŁużyć ramię trapezu długości 6 cm, abyprzecięło się z przedłużeniem cruglego !! rźunlenlaf

4.

W tróikącie _,śr ABC na boku AC obrano punkt P i poprowadzono prostą równo- ległą do

bok:.T, _o:rj.*

?lrłł.Ułrw

^{punkcie Q. Oblicz długość odcinka PQ,}

wiedząc,że|AB| = 15

cm'ffi

=

;.

5. W

trójkącie prostokątnym

ABC

dane

są

długości przyprostokątnych lABl ⁼ Lż cmi lBCl ^{= 4} cm. Prosta prostopadła do boku

AB

rozcinatrójkąt

ABC

na dwie figury o rówrrych polach, Oblicz długość wspólnego boku Ęch ^figur.

S" Jednckładnm§ć

Urniejątn*ści:

r

znajdowanie ci:razów ni*których figur g*ometrycznych w jednokładności

*

rozpoznawanie figur j*dnckładnych oraz wykozystyw*nie {takze w kontek_

stach praktycznych} własności takich fiEur

|eżeli chcemy powiększyc lub zmniejszyc rysunek jakiejś figury to możemy wykonać konstrukcję, w której wykorzystamy przeksztaŁcenie nazywane jednokładnością.

l i i i

|ednokładnością ^o środku O i skali k + 0 nazywamyprzekształcenie płaszczyzny, które punktowi O przryporządkowuje punkt O, a dowolnemu punktowi A różnemu od punktu

o

przyporządkowuje ^taki punkt AI |eżący na prostej oA, ^{że spełnione}

są warunki:

ł

^{jeżelik > 0, to} _|o1,1= ^{k .|oA| i punkty A, AI leżąpo} jednej stronie punktu

o,

a

^{jeżelik < 0, to} _|o

l'

₁ = | k|. I oA| i punkty A, A| Leżąpo różnych stronach punktu o.

Mówimy wtedy, że punkt AI jestjednokładny do punktu A względem środka

o

w skali k.

Definicję możemy uprościć, używając pojęcia wektora.

Wtedy jednokładność o środku O i skali k + 0 definiujemy jako przekształcenie płasz- czyzny,które dowolnemu punktowi A przyporządkowuje taki punkt A/, że

OA| =

k,OA.

Środek jednokładności jest punktem staĘm tego przekształcenia. Dla

k

= ¹ każdy punkt płaszcryzny ^jest punktem stałym jednokładności.

Przykład ffi

Wybierzemy napłaszczyźnie punkt ^{O i} przekształcimy punkt Aróżny od punktu O przez jednokładność o środku wpunkcie O i skali k ₌ 3.

Rozwiąanie

Prowadzimy półprostą O A, naktórej zaznaczamy taki punkt Al _, że _|O A'| = 3 ^, I OA| .

oAA,

Korzystając zpojęciawektora, można zapisaćrówność

OŃ

=

3,ń-

Jtb go

Geometria

Przykład Ę}

Przekształcimypunkt P przez jednokładność o środku O i skali k = -2, Rozwiązanie

Ponieważ skala jest |iczbą ujemną, więc szukany punkt P| Ieży na prostej OP tak, że punkty P i P/ są po przeciwnych stronach punktu O oraz

|oP'| ⁼ | _ _2l . IoPl, czyli|oPl| = 2. _|oP|.

Krócej:

OF

= -2, OF.

Przykład §}

Znajdziemy obraz punktu B w jednokładności o środku O i skali k ₌

-I.

Hozwiąanie Ieżelrik = -1, ^to

|or'1= 1,|oB|

i punkty B i B| leżą na prostej OB po różnych stro- nach punktu O, ale w tej samej odległości od niego.

w

^tJrm wypadku jednokładność jest symetrią środ- kową o środku O.

Przykład Ę}

Wyznaczymy obraz punktu

ń

w jednokładności

ośrodkuOiskali k=!.

5

Rozwiązanie

|oA,|=|.tool

Di

Bezpośrednio z definicji jednokładności wynika następujący wniosek.

lffip@n/.płŁlę, ,:b?@,?"ł ',liv śtĆdbJfl,

tq r iiśłĘrfr de. _{-*' i}

^{względem środlia0;}

kształcone zostaĘ przez jednokładność o środku O i skali k

=:,

Oznaczmy obrazypunktów P, Q ⁱ

A

2

w tej jednokładności odpowiednio P',

ą'

^{i A'.}

Zauważmy,że

loP,l

^{5 _ __}

loQ,|

⁵

---+=-oraz-=_ loPl

²

^"*- loal

^2'

zatem na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa

P'Q'

_ll PQ. Analo- gicznie

P'A'

ll PA, ponieważ punkt Anależy do odcinka PQ, więc

P'A'

_ll

PQ.ZŃem punĘ

^P|, A| i _Q/ są współliniowe. Ponadto

frff

^{= uu,}

^,rrrr

^{lp'Q'| =}

^Jrot

Wniosek

wyniĘący

z powyższego rozumowania zapiszemy \M postaci twierdzenia, którego dowód pominiemy.

}eżeti w ^j ednokładnościo środł$ O i skali k oarazami punktów d i B są odp,owiedłio

punktyń iB',

^to

u

ńrazem odcinkańB ^jes-t

odetnekł|B','

*

odcinekńrB/ ^jest równoległydo A8,.

"

^{|A,B,|= lftl.1ABl.}

Z tego twierdzenia wynikaj ą następuj ące własności ^j ednokładności:

*

obrazem prostej jest równoległa do niej prosta,

.

obrazem prostYch równolegĘh są proste rów- noległe,

ltlL gz

_Geometria

*

obrazem kąta jest kąt o takiej samej mierze.

fednokładność zachowuje równoległość i kąty.

Powiemy, że dwie figurynapŁaszczyźnie są jednokładne, gdyistnieje jednokładność, która przeks ztałca jedną figurę na drugą.

|r_

_{_}

2 3

Przykład Ę

Przekształcimy trójkąt ABC przez jednokładność o środku A i skali k =

Rozwiązanie

Otrzymaliśmy trójkąt

AB'C'

(wierzchołek A jest punktem staĘm w trm przeksztaŁ- ceniu) o bokach równolegĘch do odpowiednich boków trójkąta

ABC

iodpowiednio proporcjonalnych. Ponadto

łABC

=

łAB|Cl iłACB

= łAC|B|.

Przykład §§

Znajdziemy obraz równoległoboku

ABCD

w jedno- kładności o skali

ł

= 1 ⁱ środku o będącym punktem przecięcia przekątnej 2AC oraz wysokości poprowa- dzonej zwierzchoŁka D do boku

ńB.

_A

Rozwiązanie

Obrazem równoległoboku ABCDw jednokładności o środku O i skali

r

=

} i..t ^równo- ległobok Al B'C'D| o bokach równolegĘch do odpowiednich boków równoległoboku i zmniejszonych dwa razy.

k

Podsumujmy:

wielokąĘ jednokładne mają:

r

odpowiednie boki równoległe,

r

odpowiednie kąĘ równe,

c

stosunek odpowiednich boków

stĄ

i równy wartościbezwzględnej skali jednokładności.

Przykład ff

Niech środkiem jednokładności będzie początek układu współrzędnych. Przekształ- cimy punkty

l,

= (3,1), B =

(-2,2),C

=

(2,-1),D

= (-1, -2) przez jednokładność

o skali:

a)

k1= 2.

§ozwiązanie

a)

^{k1= 2}

W jednokładności o środku O = (0, 0) i skali kt = 2 obrazami punktówA,

Ą

C,

D

sąpunkty A',

B',C',

D'.

n

=

(3,1) -t A'

= (6,2) 3 =

(-2,2)

^{--, B|} =

(-4,4) ę

=

(z,-t)

^-->

ęl

=

(4,-2) p

₌

(-t,-2)

^--, D| =

(-2,-4)

b)

kr= ^_3

W jednokładności o środku

g

_{= (O, O)}

i skali k2 = -3 ^{obrazami punktówA,}

Ą

C,

D sąpunĘ

ń', B', C', D'.

4

= (3,

1) -- A'

= (-9,

-3)

3 =

(_2,2) --

B' = (6,

-6)

C =

(2,-I) ^-+

6/ =

(-6,3) p

₌

(_I,-2)

^--,

Dl

= (3,6)

b)

^{k2= _3,}

Fil;;ffiilil;;ffi;ą

_I względna skali jest większa od 1, to jedno- _| kładność zwiększa figurę, a gdy wartość bez-

j

względna skali jest mniejsza od 1 - ^zmniejsza !

i

^{O*.u, ale} w każdym prąrpadku zachowuje ^j

' kształt.

**__.,__****_**-l^: