w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Inżynieria i Gospodarka Wodna

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

16. Planimetria i stereometria

1. Figury na płaszczyźnie

• trójkąt

pole P =

¹₂

ah

a – długość podstawy, h – wysokość

P =

¹₂

ab sin α

α to kąt pomiędzy bokami a i b

• równoległobok

pole P = ah

a – długość boku, h – wysokość

jeśli równoległobok jest rombem, to P =

¹₂

d

₁

·d

2

, d

1

, d

2

– długości przekątnych

• trapez

pole P =

¹₂

(a + b)h

a, b – podstawy, h – wysokość

• koło

pole P = πr

²

obwód L = 2πr r – długość promienia

• elipsa

pole P = πab

a, b – długości półosi

2. Bryły

• graniastosłup

objętość V = P · h

P – pole podstawy, h – wysokość

(3)

• ostrosłup

objętość V =

¹₃

P · h

P – pole podstawy, h – wysokość

• kula

objętość V =

⁴₃

πr

³

pole P = 4πr

²

r – promień

• walec

objętość V = πr

²

h pole P = 2πr

²

+ 2πrh

r – promień podstawy, h – wysokość

• stożek

objętość V =

¹₃

πr

²

h pole P = πr

²

+ πrl

r – promień podstawy, h – wysokość, l – tworzą- ca

3. Twierdzenia

• twierdzenie Talesa:

^a_b

=

_d^c

• twierdzenie sinusów:

_{sin α}^a

=

_{sin β}^b

=

_{sin γ}^c

• twierdzenie cosinusów: c

²

= a

²

+ b

²

− 2ab cos γ

(4)

• promień okręgu opisanego na trójkącie:

R =

_{2 sin α}^a

, gdzie α leży naprzeciw boku o dłu- gości a

R =

^abc_4P

, gdzie P – pole trójkąta

• promień okręgu wpisanego w trójkąt:

r =

_a+b+c^2P

, P – pole trójkąta

Zadania

1. W prostokącie połączono środki sąsiednich boków i otrzymano romb, którego obwód jest równy 20, a pole 24. Obliczyć długości boków prostokąta.

2. Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok jest równy

³₂

r. Wy- znaczyć pole tego trapezu.

3. W rombie o obwodzie 8 √

5 długości przekątnych różnią się o 4. Obliczyć ich długości.

4. Podstawa trapezu wpisanego w okrąg o promieniu 10 jest średnicą tego okręgu. Miara kąta ostrego trapezu jest równa

^π₃

. Obliczyć pole i obwód trapezu.

5. Na sześciokącie foremnym opisano okrąg i w ten sam sześciokąt wpisano okrąg. Pole powstałego pierścienia kołowego jest równe 2π. Obliczyć pole sześciokąta.

6. Pole trójkąta jest równe 25 √

3, a jego obwód 10(2 + √

3). Obliczyć długość okręgu wpisanego w ten trójkąt.

7. Boki trójkąta mają długości 2, 5 i 6. Obliczyć wartości sinusów kątów wewnętrznych tego trójkąta.

8. Suma długości boków AC i BC trójkąta ABC jest równa 10. Miary kątów wewnętrznych o wierz- chołkach A i B są równe odpowiednio

^π₆

i

^π₄

. Obliczyć długości boków AC i BC oraz pole trójkąta.

9. Stożek o promieniu podstawy 5 i wysokości 10 został ścięty od dołu w odległości 4 od podstawy.

Obliczyć objętość dolnej części.

10. Znaleźć odległość środka ściany sześcianu od jego przekątnej, jeżeli pole powierzchni sześcianu jest równe 96.

11. W kulę o promieniu 5 wpisano sześcian. Obliczyć objętość części kuli leżącej na zewnątrz sześcianu.

12. Obliczyć objętość sześcianu, którego przekątna wynosi 9.

13. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym długość krawędzi podstawy wynosi 3. Wysokość ostrosłupa wynosi 5. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

14. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi √

15. Wysokość ściany bocznej tworzy

z płaszczyzną podstawy kąt

^π

. Obliczyć długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

(5)

15. Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku 3. Wysokość graniastosłupa wynosi 10.

Obliczyć jego objętość i pole powierzchni.

16. Bok ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trójkątem równoramiennym o podstawie 2 i wy- sokości 4. Wyznaczyć tangens kąta nachylenia:

a) ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, b) krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

17. Znaleźć wymiary walca o polu powierzchni bocznej 30π i objętości 45π.

18. Jak zmieni się objętość walca, jeśli:

a) promień podstawy zwiększymy dwa razy, a wysokość pozostanie bez zmian, b) wysokość zwiększymy dwa razy, a promień podstawy pozostanie bez zmian,

c) promień podstawy zwiększymy dwa razy, a wysokość zmniejszymy cztery razy?

19. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej stożka, którego kąt rozwarcia jest równy

^π₃

, a tworząca ma długość 100.

20. Znaleźć stosunek pola powierzchni bocznej do pola przekroju osiowego stożka, jeżeli wysokość stożka jest dwa razy większa od promienia podstawy.

21. Obliczyć stosunek pola sfery do pola powierzchni całkowitej sześcianu, gdy każda krawędź sześcianu jest styczna do sfery.

22. Romb o boku długości 10 i kącie ostrym

^π₆