ZWIĄZEK FUNKCJI OMEGA Z DOMINACJĄ STOCHASTYCZNĄ

ISSN 2083-8611 Nr 237 · 2015 Informatyka i Ekonometria 2

Ewa Michalska Renata Dudzińska-Baryła

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Informatyki i Komunikacji Wydział Informatyki i Komunikacji

Katedra Badań Operacyjnych Katedra Badań Operacyjnych

ewa.michalska@ue.katowice.pl renata.dudzinska-baryła@ue.katowice.pl

ZWIĄZEK FUNKCJI OMEGA Z DOMINACJĄ STOCHASTYCZNĄ

Streszczenie: Dominacje stochastyczne są relacjami porządku częściowego w zbiorze losowych wariantów decyzyjnych, podobnie jak relacja dominacji oparta na zapropono- wanej przez Keatinga i Shadwicka w 2002 roku funkcji omega, służącej ocenie i upo- rządkowaniu wariantów inwestycyjnych pod kątem ich efektywności. Celem artykułu jest zbadanie zgodności porządku względem dominacji stochastycznych i funkcji omega oraz przedstawienie zależności między tymi kryteriami.

Słowa kluczowe: dominacje stochastyczne, funkcja omega, efektywność.

Wprowadzenie

Konsekwencją stosowania różnych kryteriów decyzyjnych w ocenie loso- wych wariantów decyzyjnych jest często rozbieżność wyborów. Wybory zgodne z zasadami dominacji stochastycznych to wybory racjonalne. W kryterium do- minacji stochastycznej pierwszego stopnia czyni się jedynie założenie, że decy- dent woli posiadać więcej niż mniej. W teorii użyteczności oznacza to, że funk- cja użyteczności decydenta jest rosnąca. Kryterium dominacji stochastycznej drugiego stopnia wyraża to, że decydent woli posiadać więcej niż mniej i ma awersję do ryzyka, co w teorii użyteczności odpowiada sytuacji, gdy funkcja użyteczności decydenta jest rosnąca i wklęsła [Kopańska-Bródka, 1999].

Relacja dominacji oparta na zaproponowanej przez Keatinga i Shadwicka w 2002 roku funkcji omega służy ocenie i porządkowaniu wariantów inwesty- cyjnych pod kątem ich efektywności. Relacja ta, podobnie jak relacje dominacji

stochastycznej, jest relacją porządku częściowego. Celem artykułu jest zbadanie zgodności uporządkowań względem kryteriów dominacji stochastycznych (pierw- szego i drugiego stopnia) oraz funkcji omega. Wskazane zostaną także zależności pomiędzy tymi kryteriami.

1. Funkcja omega

Konstrukcja funkcji omega umożliwia uwzględnienie preferencji inwestora wyrażanych poprzez wartość progową r (np. akceptowaną przez decydenta stopę zwrotu) stanowiącą punkt referencyjny, względem którego wyniki inwestycji X są oceniane jako pożądane (wartości większe od wartości progowej) oraz wyniki niepożądane (wartości mniejsze od wartości progowej) [Keating i Shadwick, 2002]. Funkcja omega jest definiowana jako iloraz wartości oczekiwanych zy- sków i oczekiwanych strat wyznaczanych względem wartości r:

}) 0 , (max{

E

}) 0 , (max{

) E

( r X

r r X

X −

= −

Ω ⁽¹⁾

Dla zmiennej losowej ciągłej X o dystrybuancie F_X i skończonej wartości oczekiwanej, funkcja omega ma postać¹ [Keating i Shadwick, 2002]:

) (

) ( )

( )) ( 1 ( ) (

1 2

r I

r I dx x F

dx x F

r _r

X r

X

X =

−

= Ω

∫

∫

∞

− +∞

(2)

gdzie wartości I₂ oraz I₁ są polami powierzchni obszarów zaznaczonych na rys. 1.

Rys. 1. Interpretacja geometryczna funkcji omega

Źródło: Opracowanie własne.

1 W literaturze funkcja omega jest także przedstawiana jako iloraz ΩX(r) = I₁(r)/I₂(r).

W szczególności dla zmiennej losowej skokowej X przyjmującej wartości

x

n

x

x

₁

,

₂

, ...,

z prawdopodobieństwami odpowiednio

p

₁

, p

₂

, ..., p

_n funkcja omega ma postać:

∑

∑

<

≥

−

−

= Ω

r x i

i i r x i

i i X

i i

p x r

p r x r

: :

) (

) ( )

( (3)

Dla ustalonej wartości r funkcja omega jest określana mianem wskaźnika efektywności. Gdy ma on wartość większą od 1, oznacza to, że w przypadku ocenianej inwestycji zyski przewyższają straty i wtedy inwestycja jest postrze- gana jako efektywna.

2. Funkcja omega a dominacje stochastyczne

Dominacje stochastyczne są obiektywnymi, nieparametrycznymi zasadami wyboru losowych wariantów decyzyjnych. Zasady dominacji stochastycznych pierwszego (FSD) i drugiego stopnia (SSD) formułuje się w następujący sposób [Hanoch i Levy, 1969]:

• zmienna losowa X dominuje Y w sensie dominacji stochastycznych pierw- szego stopnia (FSD), co zapiszemy X fFSD Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego r ∈ S zachodzi nierówność F_x (r) ≤ F_y (r) oraz przynajmniej dla jed- nej wartości r ∈ S zachodzi F_x (r) < F_y (r),

• zmienna losowa

X

dominuje

Y

w sensie dominacji stochastycznych drugie- go stopnia (SSD), co zapiszemy X fFSD Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla każ- dego r ∈ S zachodzi nierówność F_X⁽²⁾(r)≤F_Y⁽²⁾(r) oraz przynajmniej dla jed- nej wartości r ∈ S zachodzi F_X⁽²⁾(r)<F_Y⁽²⁾(r), gdzie

∫

∞

−

= ^r _X

X r F x dx

F⁽²⁾( ) ( ) ,

∫

∞

−

= ^r _Y

Y r F x dx

F⁽²⁾( ) ( ) ^.

Symbolami FX i FY oznaczono dystrybuanty zmiennych losowych odpo- wiednio X i Y, a symbolem S ⊂ R łączny zbiór realizacji X i Y.

Formułując zasadę dominacji opartą na funkcji omega, powiemy, że zmienna losowa X dominuje Y, co zapiszemy X fΩ Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego r ∈ S zachodzi nierówność ΩX (r) ≥ ΩY (r) oraz przynajmniej dla jednej wartości r ∈ S zachodzi Ω_X (r) > Ω_Y (r).

Wzajemne zależności pomiędzy kryteriami FSD, SSD i kryterium funkcji Ω ilustruje diagram przedstawiony na rys. 2.

Rys. 2. Zależności pomiędzy kryteriami decyzyjnymi FSD, SSD i Ω

Źródło: Opracowanie własne.

Związek pomiędzy dominacją stopnia pierwszego i drugiego znajduje potwier- dzenie w literaturze [Levy, 1992]. Pozostałe zależności formułujemy w postaci na- stępujących twierdzeń:

Twierdzenie 1. Jeśli

X f

_FSD

Y

^{, to X} fΩ ^Y.

Twierdzenie 2. Jeśli

X f

_SSD

Y

^{, to X} fΩ ^Y.

Dowód twierdzenia 1 przeprowadzimy korzystając z własności, że dystry- buanty F_X i F_Y przyjmują wartości z przedziału

[ 0 , 1 ]

oraz z zależności wyni- kających z definicji dominacji stochastycznej stopnia pierwszego. Jeśli

Y

X f

_FSD , to dla każdego r∈S zachodzi nierówność F_X(r)≤ F_Y(r) (oraz przynajmniej dla jednej wartości r∈S zachodzi F_X(r)<F_Y(r)). Prawdziwe są zatem następujące nierówności:

∫

∫

∞ −∞

−

≤^r _Y

r

X x dx F x dx

F ( ) ( ) (4)

oraz:

∫

∫

^+∞

+∞

−

≥

−

r Y r

X x dx F x dx

F ( )) (1 ( )) 1

( (5)

z których wynika nierówność:

∫

∫

∫

∫

∞

− +∞

∞

− +∞

−

≥

−

r Y r

Y

r X r

X

dx x F

dx x F dx

x F

dx x F

) (

)) ( 1 ( )

( )) ( 1 (

FSD SSD

Ω

Lewa strona tej nierówności jest równa Ω_X(r), zaś prawa Ω_Y(r), zatem )

( )

(r _Y r

X ≥Ω

Ω (oraz przynajmniej dla jednej wartości r∈S zachodzi )

( )

(r _Y r

X >Ω

Ω ).

W dowodzie twierdzenia 2 skorzystamy z definicji dominacji stochastycznej stopnia drugiego. Jeśli

X f

_SSD

Y

, to dla każdego r∈S zachodzi nierówność:

∫

∫

∞ −∞

−

≤

^r _Y

r

X

x dx F x dx

F ( ) ( )

(6)

oraz przynajmniej dla jednej wartości r∈S zachodzi:

∫

∫

∞ −∞

−

<

^r _Y

r

X

x dx F x dx

F ( ) ( )

(7)

Z faktu, że

X f

_SSD

Y

, wynika też nierówność dotycząca wartości oczeki- wanych zmiennych losowych X i Y [Levy, 1992]:

) ( ) ( X E Y

E ≥

(8)

Ponadto stosując wzór na całkowanie przez części, otrzymujemy następują- ce przedstawienie wartości oczekiwanych

E (X )

i

E (Y )

dla dowolnego r ∈ R:

∫

∫

∫

^+∞

∞

− +∞

∞

−

− +

−

=

⋅

=

r

X r

X

X

x dx r F x dx F x dx

f x X

E ( ) ( ) ( ) ( 1 ( ))

(9)

∫

∫

∫

^+∞

∞

− +∞

∞

−

− +

−

=

⋅

=

r Y r

Y

Y

x dx r F x dx F x dx

f x Y

E ( ) ( ) ( ) ( 1 ( ))

(10)

przekształcając dalej:

∫

∫

−∞

+∞

+

−

=

−

^r _X

r

X

x dx E X r F x dx

F ( )) ( ) ( )

1

(

(11)

∫

∫

−∞

+∞

+

−

=

−

^r _Y

r

Y

x dx E Y r F x dx

F ( )) ( ) ( )

1

(

(12)

Obliczając różnicę Ω_X(r) – Ω_Y(r)i podstawiając zależności (11) i (12), otrzy- mujemy:

Ω_X(r) – =

−

−

−

= Ω

∫

∫

∫

∫

∞

− +∞

∞

− +∞

r Y r

Y

r X r

X

Y

dx x F

dx x F dx

x F

dx x F r

) (

)) ( 1 ( )

( )) ( 1 ( ) (

= +

−

− +

−

=

∫

∫

∫

∫

∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

r Y

r Y

r X

r X

dx x F

dx x F r Y E

dx x F

dx x F r X E

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

=

− −

−

− +

=

∫

∫

∞ −∞

−

1 ) (

) 1 (

) (

) (

r Y r

X

F x dx

r Y E dx

x F

r X

E 0

) (

) ( )

( )

( − ≥

− −

∫

∫

∞ −∞

−

r Y r

X

F x dx

r Y E dx x F

r X E

Na podstawie nierówności (6)-(8) ostatnia różnica jest nieujemna, zatem )

Ω r_X( – Ω r_Y( )≥0 (oraz przynajmniej dla jednej wartości r∈S zachodzi 0

) ( )

( −Ω >

Ω_X r _Y r ), co oznacza, że Xf_Ω Y^.

Twierdzenia odwrotne nie są prawdziwe, co potwierdza następujący przykład.

Przykład: Rozważmy zmienne losowe X oraz Y o rozkładach dyskretnych odpo- wiednio:

X 1 5 Y 0 4

P(X) 1/2 1/2 P(Y) 1/3 2/3

Dla zmiennej losowej

X

funkcja Ω_X ma postać:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<

− <

−

≤

∞ +

= Ω

5 0

5 1 1

5

1 )

(

r r r

r r

X r

zaś dla zmiennej losowej

Y

otrzymujemy:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<

− <

≤

∞ +

= Ω

4 0

4 2 0

8

0 )

(

r r r

r r

Y r

Analizując wykresy funkcji Ω_X i Ω_Y przedstawione na rys. 3 stwierdzamy, że zmienna losowa X dominuje zmienną losową Y w sensie funkcji omega, tzn.

Y

X f_Ω , ponieważ dla każdego r ∈ R zachodzi nierówność Ω_X(r)≥Ω_Y(r).

Rys. 3. Wykresy funkcji Ω_X(r) i Ω_Y(r)

Źródło: Opracowanie własne.

Dystrybuanta zmiennej losowej

X

ma postać:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<

≤

<

=

5 1

5 2 1

1

1 0

) (

r r r r

F_X

a dystrybuanta zmiennej losowej

Y

to funkcja:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<

≤

<

=

4 1

4 3 0

1

0 0

) (

r r r r

F_Y

Rysunek 4 przedstawia wykresy dystrybuant F_X i F_Y zmiennych losowych X i Y.

Rys. 4. Wykresy dystrybuant zmiennych losowych X i Y

Źródło: Opracowanie własne.

Zmienna losowa X nie dominuje zmiennej losowej Y w sensie dominacji stochastycznej stopnia pierwszego (FSD). Ponadto różnice

F

_X⁽²⁾

( r ) − F

_Y⁽²⁾

( r )

skumulowanych dystrybuant zmiennych losowych

X

i

Y

, gdzie:

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

≥

−

<

− ≤

<

=

5 3

5 2 1

1

1 0

)

)

(

2 (

r r

r r

r r

F

_X

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

− ≥

<

≤

<

= 3 4

8 3

4 3 0

0 0

)

)

(

2 (

r r r r

r r

F

_Y

przyjmują wartości większe od zera lub mniejsze od zera (rys. 5), co oznacza, że dla zmiennych losowych X i Y nie zachodzi także dominacja stochastyczna stopnia drugiego (SSD).

Rys. 5. Wykres wartości różnic F_X⁽²⁾(r)−F_Y⁽²⁾(r) skumulowanych dystrybuant zmien- nych losowych X i Y

Źródło: Opracowanie własne.

Uporządkowanie losowych wariantów decyzyjnych względem kryterium dominacji w sensie funkcji omega nie pociąga więc uporządkowania tychże elementów względem kryteriów dominacji stochastycznych pierwszego czy drugiego stopnia.

Podsumowanie

Funkcja omega znajduje praktyczne zastosowanie w analizach finanso- wych. Wartość funkcji omega dla ustalonej wartości progowej (inaczej wskaźnik omega) jest miarą efektywności inwestycji, np. funduszy inwestycyjnych. Inną mia- rą stosowaną w porównywaniu wariantów decyzyjnych (wariantów inwestycyjnych) są dominacje stochastyczne uznawane za miarę obiektywną. Ustalenie zależności między tymi dwoma kryteriami ma istotne znaczenie dla praktyki. W artykule stwierdzono, że kryterium dominacji stochastycznej i dominacji w sensie funkcji omega nie są równoważne.

Relacja dominacji stochastycznej i relacja dominacji w sensie funkcji omega są relacjami porządku częściowego w zbiorze losowych wariantów decyzyjnych. Za- tem jedynie w sytuacji, gdy w danym zbiorze wszystkie losowe warianty decyzyjne będą uporządkowane względem kryterium dominacji stochastycznej, otrzymane porządki będą zgodne. W praktyce oznacza to możliwość stosowania dominacji stochastycznych do porządkowania wariantów inwestycyjnych ze względu na ich efektywność, niezależnie od przyjętej wartości progowej.

Literatura

Hanoch G., Levy H. (1969), The Efficiency Analysis of Choices Involving Risk, „Review Economic Studies”, 36.

Keating C., Shadwick W. (2002), A Universal Performance Measure, „Journal of Per- formance Measurement”, 6 (3).

Kopańska-Bródka D. (1999), Optymalne decyzje inwestycyjne, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Katowice.

Levy H. (1992), Stochastic Dominance and Expected Utility: Survey and Analysis, „Ma- nagement Science”, 38.

RELATIONSHIP BETWEEN OMEGA FUNCTION AND STOCHASTIC DOMINANCE

Summary: Stochastic dominance is a partial order in the set of random decision alterna- tives. Similarly, a partial order is the relation based on omega function proposed in 2002 by Keating and Shadwick, which is used as a performance measure for the valuation and ordering of investment alternatives. The purpose of this article is to examine the consi- stency between the ordering according to stochastic dominance and the ordering accor- ding to omega function. We also present relationships between these criteria.

Keywords: stochastic dominance, omega function, performance measure.