ZASTOSOWANIE PRAWIE DOMINACJI STOCHASTYCZNYCH W PRESELEKCJI AKCJI

(1)

Ewa Michalska

Renata Dudzińska-Baryła

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach

ZASTOSOWANIE PRAWIE

DOMINACJI STOCHASTYCZNYCH W PRESELEKCJI AKCJI

Wprowadzenie

Dla inwestora instytucjonalnego, podobnie jak dla drobnego inwestora in- dywidualnego, istotna jest liczba akcji tworzących portfel (stopień dywersyfika- cji) oraz liczba akcji rozpatrywanych jako zbiór potencjalnych składników portfela. Mniejsza liczba akcji oznacza mniejsze koszty transakcji, łatwiej też zarządzać portfelem złożonym z mniejszej ilości walorów. Ograniczenie popula- cji dostępnych walorów odbywa się przez wstępną selekcję (preselekcję), naj- częściej ustala się ranking spółek zgodnie z przyjętą przez inwestora zasadą [Kopańska-Bródka, 1999].

Wyłonienie najlepszych potencjalnych składników portfela poprzez zastosowanie zasady dominacji stochastycznych (w ich tradycyjnym rozumieniu) nie zawsze jest możliwe ze względu na nieporównywalność części akcji. Sytuacje, w których zasady dominacji stochastycznych nie rozstrzygają wielu wydawało- by się oczywistych wyborów wymusiły złagodzenie tych zasad przez sformuło- wanie zasad prawie dominacji stochastycznych [Levy, 1992]. Wskazane przez autorki pracy własności prawie dominacji stochastycznych umożliwiają porów- nywanie wszystkich elementów zbioru losowych wariantów decyzyjnych i two- rzenie ich rankingu. W pracy przedstawiono propozycję sposobu wykorzystania prawie dominacji stochastycznych w procesie preselekcji akcji do portfela inwe- stycyjnego.

(2)

ZASTOSOWANIE PRAWIE DOMINACJI STOCHASTYCZNYCH… 159

1. Prawie dominacje stochastyczne

Powszechnie akceptowanymi i obiektywnymi, nieparametrycznymi zasa- dami wyboru są dominacje stochastyczne. Symbolami F_L1 i F_L2 oznaczmy dys- trybuanty odpowiadające losowym wariantom decyzyjnym L1 i L2, a symbolem S zbiór stanowiący łączny zbiór relatywnych wyników L1 i L2. Zasady dominacji pierwszego (FSD) oraz drugiego rzędu (SSD) formułuje się w następujący sposób [Hanoch, Levy 1969]:

FSD: L1 dominuje L2 w sensie dominacji stochastycznych pierwszego stopnia, co zapiszemy L1 f FSD L2, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego r ∈ S zachodzi nierówność F_L1(r) – F_L2(r) ≤ 0 oraz przynajmniej dla jednej wartości r ∈ S zachodzi F_L1(r) – F_L2(r) < 0.

SSD: L1 dominuje L2 w sensie dominacji stochastycznych drugiego stopnia, co zapi- szemy L1 f SSD L2, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego r ∈ S zachodzi nierówność

0 ) ( F ) (

F_L1⁽²⁾ r − _L2⁽²⁾ r ≤ oraz przynajmniej dla jednej wartości r ∈ S zachodzi 0

) ( F ) (

F_L1⁽²⁾ r − _L2⁽²⁾ r < , gdzie

∫

∞

−

= ^r t dt

r) F ( ) (

F_L1⁽²⁾ _L1 ,

∫

∞

−

= ^r t dt

r) F ( ) (

F_L2⁽²⁾ _L2 .

Zasady dominacji stochastycznych często jednak nie prowadzą do rozstrzy- gnięcia, który z rozważanych losowych wariantów decyzyjnych jest lepszy (choć wybór wydaje się oczywisty), co pokazuje prosty przykład.

Przykład 1

Wariant decyzyjny L1 to zysk 1 zł z prawdopodobieństwem 0,01 i 100 zł z prawdopodobieństwem 0,99, zaś wariant L2 to pewny zysk wynoszący 2 zł, co zapisujemy L1 = ((1;0,01);(100;0,99)) oraz L2 = ((2;1)).

W rozważanym przykładzie wariant decyzyjny L1 nie dominuje wariantu L2 w sensie dominacji stochastycznych pierwszego i drugiego stopnia, choć większość „rozsądnych” decydentów (jeśli nie wszyscy) będzie preferować L1 nad L2. Ponadto, analizując wykresy odpowiednich prawdopodobieństw skumu- lowanych przedstawionych na rys. 1, stwierdzamy, że obszar A odpowiadający przedziałowi, w którym L2 dominuje L1 jest bardzo mały w stosunku do obszaru B odpowiadającemu przedziałowi, w którym L1 dominuje L2 w sensie dominacji stopnia pierwszego. Można więc powiedzieć, że L1 „prawie” dominuje L2 w sensie dominacji stochastycznych stopnia pierwszego.

(3)

Ewa Michalska, Renata Dudzińska-Baryła 160

Rys. 1. Wykresy dystrybuant dla wariantów losowych L1 i L2

Rozważając podobne przykłady Leshno i Levy zaproponowali w 2002 r.

pewne „złagodzenie” warunków dominacji stochastycznych w postaci koncepcji prawie dominacji stochastycznych (ASD, almost stochastic dominance) − [Leshno, Levy, 2002]. Odpowiednie warunki dla prawie dominacji stochastycznych pierwszego i drugiego rzędu mają postać:

AFSD: L1 dominuje L2 w sensie prawie dominacji stochastycznych stopnia pierwszego, co zapiszemy L1 f AFSD L2, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ε, 0 ≤ ε < ε*, taki że:

∫

⁻ ^≤^ε ⁻

S

L2 L1

S

L2

L1( ) F ( )) F ( ) F ( )

(F

1

dr

| r r

| dr r

r _,

gdzie S jest łącznym zbiorem wyników wariantów losowych L1 i L2 oraz S₁ = {r ∈ S:F_L2(r) < F_L1(r)}.

ASSD: L1 dominuje L2 w sensie prawie dominacji stochastycznych stopnia drugiego ASSD, co zapiszemy L1 f ^ASSD L2, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ε, 0 ≤ ε < ε*, taki że:

∫

⁻ ^≤^ε ⁻

S

L2 L1

S

L2

L1( ) F ( )) F ( ) F ( )

(F

2

dr

| r r

| dr r

r _,

oraz

E(L1) ≥ E(L2), F(L1)

F(L2)

1 1

0,01

2 100

A

B

(4)

g

r

i o

d j w z c z m

P R o D i

R

1

2

gdz S₂ rozw

i dr obs

dom je L wan zbio cyzy z in mie

Prz Roz oraz Dla ilus

Rys.

1 W pu

2 DL sz

zie

={ waż

Za rugi

zar W minu L2 w

nie oru yjny ntuic eniu

zykł zpat z L4 a pa struj

. 2. W

W lit uszc

eshn Dla A zaró

S j {r∈ żany

arów iego rem W an uje w s kry nie ych cją, u) m

ład trzm

4 = ary w

je r

Wyk

eratu czaln

no, L AFS

w A

jest S₁ ych wn o pr

nie naliz

L2 sens yter epor h. P

, po mog

d 2 my n

= ((5 war rys.

kresy

urze nej n Leib

D w A i B

ZAS

t łą F : _L h lo

o d rzyj ezgo

zow w sie A riów

rów ona odcz ą ni

nast 5;0, rian

2)

y dy

e de niez bowi warto B.

STO

ączn ( F_L2⁽²⁾

sow dla

jmu odn wan

sen AF w pr wnyw

adto zas ie p

tępu ,1);(

ntów ora

ystry

finiu zgod

itch, ość p

OSO

nym ) (r wyc

pr uje nośc nym nsie SD raw wal o pr gdy potw

ując (28 w L az S

ybua

uje s dnoś

, 20 para

OWA

m z

<F ch w raw

się ci p m wc

dom dla wie

lnyc raw

y w wier

ce lo 8;0,5 L3 i SSD

ant d

się t ci (a 10].

amet NIE

zbio ( F_L1⁽²⁾ wari wie

ę, że pow cze min a ε

dom ch ( wie d waru rdza

osow 5);(

L4 D (ta

dla w

takż ang.

tru E PR

orem ) (r iant

dom e w winn śnie nacj

= 0 min (ze dom unki ać i

we (61;

4 nie ab.

wari

że ε*

. „a ε w

RAW

m w }. tów min warto

na b ej P ji pi 0,00 nacj

wz mina

i do intu

wa

;0,4 e za 1-2

antó

* − A llow wyzn

WIE D

wyn E(L w de

nacj ość być Przy ierw 001

i st zglę acje omi uicyj

arian 4)).

ach 2).

ów l

AFS wed”

nacz DOM

nikó L1) ecyz

ji s ć pa

mn ykła wsz

03² toch ędu

e sto inac yjny

nty hodz

osow

SD

” are za si

MINA

ów , E zyjn stoc aram niej adzi zego

2. P hast na i och cji s ych

dec zi d

wyc

oraz ea v ę ob

ACJ

wa E(L2 nyc chas metr sza ie 1 o an Pods tycz inn hasty

stoc wy

cyzy dom

ch L3

z ε*

viola blicz

JI ST

aria 2) o ch L styc ru ε a niż 1, lo ni d

staw zny

e kr ycz chas ybor

yjne mina

3 i L

* − A ation zając

TOC

antó ozn L1, czn ε zw ż ε*

osow drug

wow ych

ryte zne u

styc rów

e L3 acja

L4

ASS n), p c ilo

CHAS

ów nacz

L2 nych

wią

* = wy gieg wą k

jes eria ujaw czny w de

3 = a w

SD, g przy oraz

STY

los zają . h rz ązan

0,5 wa go st kor t m a) lo wni ych ecyd

((2 sen

gdzi czy pol

YCZN

sow ą w

zęd nego 5¹. arian

topn rzyś możl osow

iają h (w dent

25;0 nsie

ie ε*

ym 0 a ob

NYC

wych warto

du o z

nt d nia ścią liwo wyc ą pr w tra

ta.

,3);

e kry

* oz 0 ≤ bsza

CH…

h L ośc

pie ob

decy , jed ą jak ość ch w

efer ady

;(38 yter

znac ε <

aru A

…

L1 i o

rws bser

yzy dna ką d ć og

war ren ycyj

8;0,3 riów

za w ε*

A i s

i L cze

szeg rwo

yjny ak d daje gran rian

cje jnym

3);(4 w F

wska

≤ 0, sumy

L2 ekiw

go, wan

y L1 dom e st nicz tów zgo m r

49;0 FSD

aźni ,5 [L y pó

16

ora wan

ja nym

1 ni minu toso zeni w de odn rozu

0,4) D (c

k do Levy ól ob

61

az ne

ak m

ie u- o- ia e- ne

u-

)) co

o- y, b-

(5)

1

W m P R L

R

D 1 A m 162

Wed min Prz Roz L6 =

Rys.

Dla 1-2) ASS min

dług nują zykł zwa

= ((

. 3. W

a pa ). W SD nacj

Para E εA

εA

K

g k ącym

ład ażm (10

Wyk

ary Wed

obi i de

amet (L)

AFSD

ASSD

Kryte

kryt m j d 3 my l

;0,1

kresy

L5, dług ie w ecyd

tr

erium F S AF AS

eriu est

loso 1);(

y dy

, L6 g kr wart duje

m dec SD SD FSD SSD

um L4

owe (28;

ystry

6 b ryte tośc e w

W

L 99 0,0 0,9 0,0 0,9

cyzyj E

AF (ta

e w

;0,3

ybua

rak eriu ci p wów

Warto

L1 9,01 0001 9998 0001 9997

D yjne

Ewa

FSD ab. 1

wari 3);(4

ant d

k do um para wcza

ości

03 d 897 d 03 d 794 d

Dom a Mi

D po 1-2)

iant 46;0

dla w

omin AS amet

as m

par

dla (L dla (L dla (L dla (L

mina cha

odo ).

ty d 0,6)

wari

nacj SD tru mnie

ame

L2 2,0 L1, L L2, L L1, L L2, L

acje alsk obni

dec )).

antó

cji w D w

ε są ejsz

etrów

2 00 L2) L1) L2) L1)

dla Przy

L1 L1

ka, R ie j

cyzy

ów l

w s aria ą m za w

w dl

war ykła - - 1 f L 1 f L

Rena ak

yjne

osow

ens ante mnie wart

la wa

3 0 0 0 0

riant ad 1

L2 L2

ata we

e L

wyc

sie k em ejsz tość

arian War

L3 38,50

,519 ,480 ,038 ,480

tów Dud edłu

L5 =

ch L5

kryt dom ze o ć pa

ntów rianty

0 9231 0769 8462 0769

decy dziń ug k

= (

5 i L

teri min d 0 aram

w de y dec

dla ( dla ( dla ( dla (

yzyj ńska kryt

((26

L6

iów nują ,5, metr

ecyz cyzy L 38 (L3, (L4, (L3, (L4,

jnyc Przy

L4 L4

a-Ba teriu

6;0,

w FS ącym

pon ru ε

zyjny yjne

L4 8,90

L4) L3) L4) L3)

ch L ykład

- - 4 f L 4 f L

arył um

2);(

SD, m j nadt , za

ych

L1-L d 2

L3 L3

ła m AS

(30

SS jest to E atem

L1-

6

SSD

;0,5

SD L6 E(L m L

L6

L5 37,0 0 0 0 0

D w

5);(

ora 6. D L5) = 6 d

5 00 0,5 dl 0,5 dl 0,3 dl 0,2 dl

wari

56;

az A Dla

= E dom

la (L la (L la (L la (L

Przy

L6

iant

;0,3

AFS kry E(L6 minuj

3 L5, L L6, L L5, L L6, L

ykład - - - 6 f L

tem

3))

SD yter 6) o uje L

Tab

L6 37,00 L6) L5) L6) L5) Tab

d 3

L5

m do

ora

(tab rium o do L5.

bela

0

bela

o-

az

b.

m o-

1

2

(6)

Wzajemne zależności pomiędzy kryteriami FSD, SSD, AFSD i ASSD ilu- struje diagram na rys. 4.

Rys. 4. Zależności pomiędzy kryteriami decyzyjnymi FSD, SSD, AFSD i ASSD

Zależności te znajdują potwierdzenie w literaturze [Leshno, Levy, 2002; Levy, 1992].

3. Kryterium prawie dominacji stochastycznych w tworzeniu rankingu akcji

Relacje dominacji stochastycznych pierwszego, drugiego i wyższych rzę- dów są porządkiem częściowym [Dentcheva, Ruszczyński, 2003]. W zbiorze losowych wariantów decyzyjnych mogą więc wystąpić elementy nieporównywal- ne (ze względu na kryterium decyzyjne w postaci dominacji stochastycznych określonego stopnia), co uniemożliwia utworzenie ich rankingu. Relacja prawie dominacji stochastycznych stopnia drugiego dla (ε* = 0,5) jest również porząd- kiem częściowym. Co więcej, badając relacje prawie dominacji stochastycznych pierwszego i drugiego stopnia na zbiorze (różnych) losowych wariantów decyzyjnych zauważono pewne ciekawe własności dotyczące wartości parametrów ε.

Dla dowolnych (różnych) wariantów decyzyjnych Li oraz Lj zachodzi:

(1) ε_AFSD(Li, Lj) + ε_AFSD(Lj, Li) = 1,

(2) ε_ASSD(Li, Lj) + ε_ASSD(Lj, Li) = max{ε_AFSD(Li, Lj), ε_AFSD(Lj, Li)},

gdzie ε_AFSD(Li, Lj) oznacza udział obszaru niezgodności z dominacją pierwszego stopnia Li nad Lj, w obszarze zawartym pomiędzy dystrybuantami F_Li i F_Lj, na- tomiast ε_AFSD(Lj, Li) oznacza udział obszaru niezgodności z dominacją pierwszego stopnia Lj nad Li, w obszarze zawartym pomiędzy dystrybuantami F_Li i F_Lj, zaś parametry ε_ASSD(Li, Lj) oraz ε_ASSD(Lj, Li) oznaczają odpowiednie udziały obszarów niezgodności dla dominacji stopnia drugiego w obszarze zawartym pomiędzy dystrybuantami F_Li i F_Lj. Dla dowolnych dwóch różnych wa- riantów decyzyjnych Li oraz Lj mamy więc Li f ASSD Lj lub Lj f ASSD Li lub Li∼

ASSD Lj. Przy czym Li∼ ASSD Lj oznacza, że warianty losowe Li oraz Lj są indyfe- rentne, tzn. E(Li)=E(Lj) oraz εASSD (Li, Lj) = εASSD (Lj, Li) = 0,25. Wskazane

FSD SSD

ASSD AFSD

(7)

własności oznaczają, że relacja prawie dominacji stochastycznych stopnia drugiego (dla ε* = 0,5) pozwala na porównanie wszystkich elementów zbioru losowych wariantów decyzyjnych i utworzenie ich rankingu.

W tworzeniu rankingu losowych wariantów decyzyjnych wykorzystamy za- proponowaną przez Frencha reprezentację funkcyjną relacji preferencji (ang.

agreeing ordinal value function) − [French, 1993, s. 61-101]. Niech L oznacza zbiór rozważanych (różnych) losowych wariantów decyzyjnych, reprezentacją funkcyjną relacji preferencji jest funkcja h: L→N ∪{0}, definiowana następująco:

h(Li)={ilość losowych wariatów Lj ∈ L takich, że Li f Lj lub Li ∼ Lj}.

Funkcja ta pozwala na przyporządkowanie danemu losowemu wariantowi decyzyjnemu liczby oznaczającej ilość zdominowanych i indyferentnych warian- tów losowych ze zbioru L. Otrzymane wartości określają miejsca w rankingu od- powiednich klas obojętności (tworzonych z wariantów losowych o takiej samej wartości funkcji h). Pierwsze miejsce w rankingu zajmuje klasa obojętności, której odpowiada największa z otrzymanych wartość funkcji h(Li), zaś ostatnie miejsce w rankingu zajmuje klasa obojętności z najmniejszą wartością h(Li).

Proponowaną w pracy metodykę tworzenia rankingu akcji na podstawie kryterium prawie dominacji stochastycznych zastosowano dla danych rzeczywistych. Przeanalizowano relacje prawie dominacji stochastycznych AFSD i ASSD (dla ε* = 0,5) na zbiorze A={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9} zawierają- cym dziewięć różnych spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Wśród wybranych znalazły się spółki należące do trzech sekto- rów, których indeksy miały najwyższe stopy zwrotu od stycznia do października 2012 r. Były to sektory: chemia, paliwo oraz surowce. Z każdego z rozważanych sektorów wybrano po trzy spółki:

A={A1-PUŁAWY, A2-SYNTHOS, A3-AZOTYTARNOW, A4-PKNORLEN, A5-LOTOS, A6-PGNIG, A7-KGHM, A8-JSW, A9-BOGDANKA}.

Zestawienie wartości parametrów ε dla prawie dominacji stochastycznych pierwszego i drugiego stopnia przedstawiono w tab. 3-4. Dla dowolnych (róż- nych) akcji Ai, Aj∈A zachodzi:

(1) ε_AFSD (Ai, Aj) + ε_AFSD (Aj, Ai) = 1,

(2) ε_ASSD (Ai, Aj) + ε_ASSD (Aj, Ai) = max{ε_AFSD (Ai, Aj), ε_AFSD (Aj, Ai)}.

Oznacza to, że w rozważanym zbiorze A nie ma elementów nieporówny- walnych ze względu na badaną relację ASSD. Co więcej, w badanym zbiorze A wszystkie elementy są porównywalne już ze względu na kryterium AFSD (tab. 3).

(8)

Tabela 3 Wartości parametrów εAFSD(Ai,Aj) dla akcji A1-A9

εAFSD(Ai,Aj) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A1 0,37269 0,60325 0,41137 0,42851 0,54046 0,34908 0,26255 0,30723 A2 0,62731 0,65070 0,54582 0,56109 0,61315 0,47310 0,51499 0,47202 A3 0,39675 0,34930 0,32771 0,35056 0,46174 0,30433 0,29619 0,26190 A4 0,58863 0,45418 0,67229 0,52051 0,59607 0,34085 0,45885 0,40138 A5 0,57149 0,43891 0,64944 0,47949 0,59981 0,36717 0,45105 0,36640 A6 0,45954 0,38685 0,53826 0,40393 0,40019 0,36495 0,37965 0,35330 A7 0,65092 0,52690 0,69567 0,65915 0,63283 0,63505 0,54219 0,49127 A8 0,73745 0,48501 0,70381 0,54115 0,54895 0,62035 0,45781 0,42413 A9 0,69277 0,52798 0,73810 0,59862 0,63360 0,64670 0,50873 0,57587

Tabela 4 Wartości parametrów εASSD(Ai,Aj) dla akcji A1-A9

εASSD(Ai,Aj) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A1 0 0,36913 0,01637 0 0,09238 0 0,13318 0,05477 A2 0,62731 0,65070 0,54582 0,56109 0,45058 0,34233 0,51499 0,47202 A3 0,23412 0 0,03814 0 0,05510 0,00247 0,15044 0,13127 A4 0,57226 0 0,63415 0,11371 0,24710 0 0,44134 0,37199 A5 0,57149 0 0,64944 0,40679 0,26404 0,02972 0,44278 0,36640 A6 0,44808 0,16256 0,48316 0,34897 0,33577 0,22653 0,37965 0,35330 A7 0,65092 0,18457 0,69319 0,65915 0,60311 0,40852 0,54219 0,48974

A8 0,60427 0 0,55337 0,09981 0,10617 0,24070 0 0,04270 A9 0,63800 0,05597 0,60683 0,22663 0,26721 0,29340 0,01899 0,53317

Ustalone relacje prawie dominacji stochastycznych stopnia pierwszego po- krywają się z relacjami prawie dominacji stochastycznych stopnia drugiego. Od- powiadające poszczególnym akcjom wartości funkcji h(Ai) zawiera tab. 5.

Tabela 5 Relacje prawie dominacji stochastycznych AFSD i ASSD

oraz wartości funkcji h(Ai) dla akcji A1-A9

ASSD A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 h(Ai)

A1 f p f f p f f f 6

A2 p p p p p f p f 2

A3 f f f f f f f f 8

A4 p f p p p f f f 4

A5 p f p f p f f f 5

A6 f f p f f f f f 7

A7 p p p p p p p f 1

A8 p f p p p p f f 3

A9 p p p p p p p p 0

(9)

Wyznaczone wartości funkcji h(Ai) stanowią podstawę do utworzenia rankingu rozważanych akcji. Otrzymane różne wartości funkcji h(Ai) dla akcji A1-A9 oznaczają, że każda z klas obojętności będzie zawierała tylko jeden element. Pierwsze miejsce w rankingu zajmie zatem akcja, której odpowiada najwięk- sza z otrzymanych wartość funkcji h(Ai), zaś ostatnie miejsce w rankingu zajmuje walor z najmniejszą wartością h(Ai). Wyniki rankingu przedstawia tab. 6.

Tabela 6 Rankingi akcji A1-A9 według kryterium AFSD i ASSD

Ranking AFSD (lub ASSD)

1 A3 2 A6 3 A1 4 A5 5 A4 6 A8 7 A2 8 A7 9 A9

Według kryterium prawie dominacji stochastycznych pięć najlepszych spółek w rozważanym zbiorze to: AZOTY TARNOW, PGNIG, PUŁAWY, LO- TOS oraz PKNORLEN.

Podsumowanie

Przedstawiona w pracy propozycja tworzenia rankingu akcji na podstawie relacji prawie dominacji stochastycznych ASSD jest możliwa dzięki szczegól- nym własnościom tych relacji, których nie posiadają zwykłe dominacje stochastyczne. Często też w przypadku prawie dominacji stochastycznych rozstrzyga- jącą jest już dominacja stopnia pierwszego, co zaprezentowano w przykładzie dotyczącym danych rzeczywistych pochodzących z Giełdy Papierów Warto- ściowych w Warszawie. Dla danej listy rankingowej, preselekcja odbywa się ze względu na ograniczenie liczebności albo ze względu na wartość parametru, we- dług którego został dokonany ranking.

(10)

Literatura

Dentcheva D., Ruszczyński A. (2003): Optimization with Stochastic Dominance Con- straints. „SIAM Journal on Optimization”, Vol. 14, No. 2.

French S. (1993): Decision Theory. An Introduction to the Mathematics of Rationality.

Ellis Horwood Limited.

Hanoch G., Levy H. (1969): The Efficiency Analysis of Choices Involving Risk. „Review of Economic Studies”, Vol. 36, No. 3.

Kopańska-Bródka D. (1999): Optymalne decyzje inwestycyjne. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Katowice.

Leshno M., Levy H. (2002): Preferred by „All” and Preferred by „Most” Decision Ma- kers: Almost Stochastic Dominance. „Management Science”, Vol. 48, Iss. 8.

Levy H. (1992): Stochastic Dominance and Expected Utility: Survey and Analysis. „Ma- nagement Science”, Vol. 38, No. 4.

Levy H., Leshno M., Leibovitch B. (2010): Economically Relevant Preferences for all Observed Epsilon. „Annals of Operations Research”, Vol. 176.

ALMOST STOCHASTIC DOMINANCE IN STOCKS PRESELECTION Summary

The stochastic dominance rules are a very popular tool in the support of decision making in various fields of economics and management. However the selection of the best alternative on the basis of stochastic dominance is sometimes impossible due to in- comparability of alternatives. Some particular properties of almost second degree stochastic dominance (which stochastic dominance do not posses) allow to compare all elements of the set of random alternatives and to build a ranking of them.

The aim of the article is to propose a stocks preselection method based on almost stochastic dominance. Our method allow to determine the set of the best stocks and the- reby to reduce the number of stocks as a potential elements of a portfolio. Such reduction is very important nowadays because with every year more and more stocks are quoted on Stock Exchange in Warsaw.