Co oznaczają pojęcia: większy, maksymalny, największy? O różnych sposobach porządkowania zbiorów.

(1)

Co oznaczają pojęcia:

większy, maksymalny, największy?

O różnych sposobach porządkowania zbiorów.

(2)

Porównywanie obiektów - używane określenia

większy, lepszy, mocniejszy, późniejszy, bardziej jakiś mniejszy, gorszy, słabszy, wcześniejszy, mniej jakiś największy, najlepszy, najmocniejszy, najbardziej jakiś

najmniejszy, najgorszy, najsłabszy, najmniej jakiś

maksymalny – nie ma większego, lepszego, nie może być nic bardziej

minimalny – nie ma mniejszego, gorszego, słabszego, nie może być nic mniej

(3)

Porównywanie obiektów - używane określenia

większy, lepszy, mocniejszy, późniejszy, bardziej jakiś

mniejszy, gorszy, słabszy, wcześniejszy, mniej jakiś największy, najlepszy, najmocniejszy, najbardziej jakiś

(4)

Porównywanie obiektów - używane określenia

większy, lepszy, mocniejszy, późniejszy, bardziej jakiś mniejszy, gorszy, słabszy, wcześniejszy, mniej jakiś

największy, najlepszy, najmocniejszy, najbardziej jakiś

(5)

Porównywanie obiektów - używane określenia

(6)

Porównywanie obiektów - używane określenia

(7)

Porównywanie obiektów - używane określenia

(8)

Porównywanie obiektów - używane określenia

(9)

Porównywanie liczb - własności relacji ¬

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x , y , z zachodzi

1 x ¬ x zwrotność

2 jeśli x ¬ y i y ¬ x , to x = y antysymetryczność

3 jeśli x ¬ y i y ¬ z, to x ¬ z przechodniość oraz

x ¬ y lub y ¬ x spójność Relacja częściowego porządku

Relacja w zbiorze X jest relacją częściowego porządku, jeśli jestzwrotna,antysymetryczna iprzechodnia.

Jeśli dodatkowo relacja jest spójna, to porządek jestliniowy. (X , ) - zbiór uporządkowany.

(10)

(11)

(12)

(13)

3 jeśli x ¬ y i y ¬ z, to x ¬ z przechodniość

oraz

(14)

x ¬ y lub y ¬ x spójność

Relacja częściowego porządku

(15)

(16)

(17)

Jeśli dodatkowo relacja jest spójna, to porządek jestliniowy.

(X , ) - zbiór uporządkowany.

(18)

Jeśli dodatkowo relacja jest spójna, to porządek jestliniowy.

(X , ) - zbiór uporządkowany.

(19)

Przykład 1. (X , ⊆) - zawieranie zbiorów X – rodzina zbiorów, A B ⇔ A ⊆ B

Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi:

1 A ⊆ A zwrotność

2 jeśli A ⊆ B i B ⊆ A, to A = B antysymetryczność

3 jeśli A ⊆ B i B ⊆ C , to A ⊆ C przechodniość Uwaga: Relacja ⊆ nie daje porządku liniowego: nie musi być ani A ⊆ B, ani B ⊆ A.

Na przykład A = {1, 2}, B = {2, 3}.

(20)

Przykład 1. (X , ⊆) - zawieranie zbiorów X – rodzina zbiorów, A B ⇔ A ⊆ B Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi:

Na przykład A = {1, 2}, B = {2, 3}.

(21)

Na przykład A = {1, 2}, B = {2, 3}.

(22)

Na przykład A = {1, 2}, B = {2, 3}.

(23)

3 jeśli A ⊆ B i B ⊆ C , to A ⊆ C przechodniość

Uwaga: Relacja ⊆ nie daje porządku liniowego: nie musi być ani A ⊆ B, ani B ⊆ A.

Na przykład A = {1, 2}, B = {2, 3}.

(24)

3 jeśli A ⊆ B i B ⊆ C , to A ⊆ C przechodniość Uwaga: Relacja ⊆ nie daje porządku liniowego:

nie musi być ani A ⊆ B, ani B ⊆ A.

Na przykład A = {1, 2}, B = {2, 3}.

(25)

3 jeśli A ⊆ B i B ⊆ C , to A ⊆ C przechodniość Uwaga: Relacja ⊆ nie daje porządku liniowego:

nie musi być ani A ⊆ B, ani B ⊆ A.

Na przykład A = {1, 2}, B = {2, 3}.

(26)

Przykład 2. (N, |) - podzielność liczb N = {1, 2, 3, . . .} – zbiór liczb naturalnych, k|l ⇔ k jest dzielnikiem liczby l

Dla dowolnych liczb naturalnych k, l , n zachodzi:

1 k|k zwrotność

2 jeśli k|l i l |k, to k = l antysymetryczność

3 jeśli k|l i l |n, to k|n przechodniość Uwaga: Relacja podzielności liczb nie jest spójna: z dwóch liczb żadna nie musi być dzielnikiem drugiej.

(27)

1 k|k zwrotność

(28)

1 k|k zwrotność

(29)

1 k|k zwrotność

(30)

1 k|k zwrotność

3 jeśli k|l i l |n, to k|n przechodniość

Uwaga: Relacja podzielności liczb nie jest spójna: z dwóch liczb żadna nie musi być dzielnikiem drugiej.

(31)

1 k|k zwrotność

3 jeśli k|l i l |n, to k|n przechodniość Uwaga: Relacja podzielności liczb nie jest spójna:

z dwóch liczb żadna nie musi być dzielnikiem drugiej.

(32)

Oznaczenia

Niech (X , ) - zbiór uporządkowany, x , y - elementy zbioru X .

x y ⇔ y x

x ≺ y ⇔ x y i x 6= y .

Czytamy: x mniejszy niż y, x wcześniejszy niż y. Interpretacja graficzna

Jeśli X jest zbiorem skończonym, to porządek można przedstawić za pomocądiagramu Hassego.

Jest to graf skierowany, któregowierzchołki to elementy zbioru X , akrawędzie(strzałki) idą w górę od x do y ,

gdy x ≺ y i nie istnieje z takie, że x ≺ z i z ≺ y .

(33)

Oznaczenia

Niech (X , ) - zbiór uporządkowany, x , y - elementy zbioru X . x y ⇔ y x

x ≺ y ⇔ x y i x 6= y .

Czytamy: x mniejszy niż y, x wcześniejszy niż y. Interpretacja graficzna

(34)

Oznaczenia

x ≺ y ⇔ x y i x 6= y .

Czytamy: x mniejszy niż y, x wcześniejszy niż y.

Interpretacja graficzna

(35)

Oznaczenia

x ≺ y ⇔ x y i x 6= y .

Czytamy: x mniejszy niż y, x wcześniejszy niż y.

Interpretacja graficzna

(36)

Przykłady diagramów z relacją podzielności

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |) (#12, |)

6 6

3

A A A A A A

K 6 6

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

@

@ I

1

2 3

@

@ I

4 6

12

@

@ I

@

@ I

(37)

Przykłady diagramów z relacją podzielności

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |)

(#12, |)

6 6

3

A A A A A A

K 6 6

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

@

@ I

1

2 3

@

@ I

4 6

12

@

@ I

@

@ I

(38)

Przykłady diagramów z relacją podzielności

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |)

(#12, |)

6 6

3

A A A A A A

K 6 6

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

@

@ I

1

2 3

@

@ I

4 6

12

@

@ I

@

@ I

(39)

Przykłady diagramów z relacją podzielności

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |) (#12, |)

6 6

3

A A A A A A

K 6 6

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

@

@ I

1

2 3

@

@ I

4 6

12

@

@ I

@

@ I

(40)

Przykłady diagramów z relacją podzielności

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |) (#12, |)

6 6

3

A A A A A A

K 6 6

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

@

@ I

1

2 3

@

@ I

4 6

12

@

@ I

@

@ I

(41)

Przykłady diagramów z relacją zawierania

(2^{a,b,c}, ⊆) – rodzina podzbiorów zbioru {a, b, c} uporządkowana przez relację zawierania

r∅

r r r

{a} {b} {c}

@

r r r

{a, b} {a, c} {b, c}

@

@ {a, b, c}r

@

(42)

Przykłady diagramów z relacją zawierania

r∅

r r r

{a} {b} {c}

@

r r r

{a, b} {a, c} {b, c}

@

@ {a, b, c}r

@

(43)

Przykłady diagramów z relacją zawierania

r∅

r r r

{a} {b} {c}

@

r r r

{a, b} {a, c} {b, c}

@

@ {a, b, c}r

@

(44)

Przykłady diagramów z relacją zawierania

r∅

r r r

{a} {b} {c}

@

r r r

{a, b} {a, c} {b, c}

@

@ {a, b, c}r

@

(45)

Przykłady diagramów z relacją zawierania

r∅

r r r

{a} {b} {c}

@

r r r

{a, b} {a, c} {b, c}

@

@ {a, b, c}r

@

(46)

Przykłady diagramów z relacją zawierania

r∅

r r r

{a} {b} {c}

@

r r r

{a, b} {a, c} {b, c}

@

{a, b, c}r

@

(47)

Przykłady diagramów z relacją zawierania

r∅

r r r

{a} {b} {c}

@

r r r

{a, b} {a, c} {b, c}

@

@ {a, b, c}r

@

(48)

Przykłady diagramów z relacją zawierania

r∅

r r r

{a} {b} {c}

@

r r r

{a, b} {a, c} {b, c}

@

@ {a, b, c}r

@

(49)

Elementy wyróżnione

Niech (X , ) – zbiór uporządkowany. Mówimy, że x₀ ∈ X jest elementem

minimalnym, jeśli nie ma w X elementów mniejszych

najmniejszym, jeśli jest mniejszy od pozostałych elementów X maksymalnym, jeśli nie ma w X elementów większych

największym, jeśli jest większy od pozostałych elementów X

Przykłady:

(R, ¬) – brak elementów wyróżnionych

(N, ¬) – element najmniejszy to 1 (jedyny minimalny), nie ma największego ani maksymalnych

Przedział (0; 1] – element największy to 1 (jedyny maksymalny), nie ma najmniejszego ani minimalnych

(50)

Niech (X , ) – zbiór uporządkowany.

Mówimy, że x₀ ∈ X jest elementem

Przykłady:

(51)

Przykłady:

(52)

najmniejszym, jeśli jest mniejszy od pozostałych elementów X

maksymalnym, jeśli nie ma w X elementów większych największym, jeśli jest większy od pozostałych elementów X

Przykłady:

(53)

Przykłady:

(54)

Przykłady:

(55)

Przykłady:

(56)

Przykłady:

(R, ¬)

– brak elementów wyróżnionych

(57)

Przykłady:

(58)

Przykłady:

(R, ¬) – brak elementów wyróżnionych (N, ¬)

– element najmniejszy to 1 (jedyny minimalny), nie ma największego ani maksymalnych

(59)

Przykłady:

(60)

Przykłady:

Przedział (0; 1]

– element największy to 1 (jedyny maksymalny), nie ma najmniejszego ani minimalnych

(61)

Przykłady:

(62)

Elementy wyróżnione – przykłady

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |)

A A A A A A

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

u u

u u u

elementy maksymalne

r r r r

elementy minimalne

(#12, |)

u

element najmniejszy

@

@ 1

2^@^r ^r3

@

4 6

12

r r

@

@ u

element największy

(63)

Elementy wyróżnione – przykłady

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |)

A A A A A A

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

u u

u u u

elementy maksymalne

r r r r

elementy minimalne

(#12, |)

u

element najmniejszy

@

@ 1

2^@^r ^r3

@

4 6

12

r r

@

@ u

element największy

(64)

Elementy wyróżnione – przykłady

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |)

A A A A A A

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

u u

u u u

elementy maksymalne

r r r r

elementy minimalne

(#12, |)

u

element najmniejszy

@

@ 1

2^@^r ^r3

@

4 6

12

r r

@

@ u

element największy

(65)

Elementy wyróżnione – przykłady

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |)

A A A A A A

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

u u

u u u

elementy maksymalne

r r r r

elementy minimalne

(#12, |)

u

element najmniejszy

@

@ 1

2^@^r ^r3

@

4 6

12

r r

@

@ u

element największy

(66)

Elementy wyróżnione – przykłady

({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, |)

A A A A A A

2 3 5 ^r7

4 8

6 9 10

u u

u u u

elementy maksymalne

r r r r

elementy minimalne

(#12, |)

u

element najmniejszy

@

@ 1

2^@^r ^r3

@

4 6

12

r r

@

@ u

element największy

(67)

Porządek w produkcie zbiorów X × Y – problem

Pięć osób porównuje oceny wystawione z matematyki i j. polskiego. Porównujemy pary (m, p).

A–(3, 5) B–(5, 4) C–(6, 3) D–(5, 5) E–(3, 3)

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r

E r

B r C r D r

Kto najsłabszy? Kto najlepszy?

(68)

Porządek w produkcie zbiorów X × Y – problem

Pięć osób porównuje oceny wystawione z matematyki i j. polskiego.

Porównujemy pary (m, p).

A–(3, 5) B–(5, 4) C–(6, 3) D–(5, 5) E–(3, 3)

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r

E r

B r C r D r

Kto najsłabszy? Kto najlepszy?

(69)

Porządek w produkcie zbiorów X × Y – problem

Pięć osób porównuje oceny wystawione z matematyki i j. polskiego.

Porównujemy pary (m, p).

A–(3, 5) B–(5, 4) C–(6, 3) D–(5, 5) E–(3, 3)

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r

E r

B r C r D r

Kto najsłabszy?

Kto najlepszy?

(70)

Sposób I – obie zmienne jednakowo istotne

Porządek produktowy 6P na płaszczyźnie (x1, y1) 6P (x2, y2) ⇔ x16 x2 i y1 6 y2

6y

-x

−2 −1 1 2 3

−2

−1 1 2 3

rP

większe od P punkty Tu leżą

Tu leżą punkty mniejsze

od P

(71)

Sposób I – obie zmienne jednakowo istotne

6y

-x

−2 −1 1 2 3

−2

−1 1 2 3

rP

większe od P punkty Tu leżą

Tu leżą punkty mniejsze

od P

(72)

Sposób I – obie zmienne jednakowo istotne

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r ^-

E r 6

-

*rB 6

r r

C D

E – najmniejszy C , D – maksymalne

nie ma największego

(73)

Sposób I – obie zmienne jednakowo istotne

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r ^-

E r 6

-

*rB 6

r r

C D

(74)

Sposób I – obie zmienne jednakowo istotne

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r ^-

E r 6

-

*rB 6

r r

C D

(75)

Sposób II – pierwsza zmienna ważniejsza

Porządek leksykograficzny 6L na płaszczyźnie

(x1, y1) 6L(x2, y2) ⇔ [x1 < x2 lub (x1 = x2 i y16 y2)]

6y

-x

−2 −1 1 2 3

−2

−1 1 2 3

Pr rS

bb bb bb bb b

Tu leżą punkty większe od P bb

bb bb Tu leżą

punkty mniejsze

od S

(76)

Sposób II – pierwsza zmienna ważniejsza

6y

-x

−2 −1 1 2 3

−2

−1 1 2 3

Pr rS

bb bb bb bb b

Tu leżą punkty większe od P bb

bb bb Tu leżą

punkty mniejsze

od S

(77)

Sposób II – pierwsza zmienna ważniejsza

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r_H H

HH HHj

E r 6

rB 6 rD A

A A

AUrC

E – najmniejszy C – największy

(78)

Sposób II – pierwsza zmienna ważniejsza

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r_H H

HH HHj

E r 6

rB 6 rD A

A A

AUrC

(79)

Sposób II – pierwsza zmienna ważniejsza

6 p

-m

2 3 4 5 6

A r_H H

HH HHj

E r 6

rB 6 rD A

A A

AUrC

(80)

Kresy zbiorów

Niech (X , ) – zbiór uporządkowany. A ⊆ X Mówimy, że a ∈ X jest:

ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli a x dla wszystkich x ∈ A

kresem dolnym zbioru A, jeśli jest największym ograniczeniem dolnym zbioru A, (piszemy a = infA)

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

ograniczenia dolne np. −77, −1, 0, wszystkie x ∈ (−∞, 0] infA = 0

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

ograniczenia dolne – wspólne dzielniki liczb 9, 15, 30 – to 1, 3 infA = 3 (największy wspólny dzielnik)

(81)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(82)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(83)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(84)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(85)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

ograniczenia dolne np. −77, −1, 0, wszystkie x ∈ (−∞, 0]

infA = 0

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(86)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

infA = 0

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(87)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

infA = 0

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(88)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

infA = 0

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

ograniczenia dolne – wspólne dzielniki liczb 9, 15, 30 – to 1, 3

infA = 3 (największy wspólny dzielnik)

(89)

Kresy zbiorów

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

infA = 0

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(90)

Kresy zbiorów

Niech (X , ) – zbiór uporządkowany. A ⊆ X . Mówimy, że a ∈ X jest:

ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli x a dla wszystkich x ∈ A

kresem górnym zbioru A, jeśli jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A, (piszemy a = supA) Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

ograniczenia górne np. 1, π, 57, wszystkie x ∈ [1, ∞) supA = 1

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

ograniczenia górne – wspólne wielokrotnośći liczb 9, 15, 30 – np. 90, 180

supA = 90 (najmniejsza wspólna wielokrotność)

(91)

Kresy zbiorów

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(92)

Kresy zbiorów

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}

(93)

Kresy zbiorów

kresem górnym zbioru A, jeśli jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A, (piszemy a = supA)

Przykład 1.(R, ¬), A = [0, 1)

Przykład 2.(N, |), A = {9, 15, 30}