SIMR 2010/11, Analiza Zespolona, Zadania do wykładu 3 1. Obliczyć korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego
I
C
f (z)dz.
(a) f (z) = z2+ 2
z3(z + 4) , C : okrąg |z − 1| = 4 skierowany w prawo.
(b) f (z) = eiz
(z2+ 4)2 , C : okrąg |z + i| = 2 skierowany w lewo.
(c) f (z) = z + 3
(z2− 1)2 , C : okrąg |z − 1| = 1 skierowany w prawo.
(d) f (z) = z2− 1
z3(z2− 1) , C : elipsa x2 9 +y2
4 = 1 skierowana w lewo.
2. Rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f (z) na pierścieniu P (a) f (z) = z2+ 2
z2(z + 4) , 0 < |z| < 4 (b) f (z) = z2+ 2
z2(z + 4) , 4 < |z + 4| < ∞ (c) f (z) = ez
(z2+ 4) , 0 < |z| < 2 (d) f (z) = ez
(z2+ 4) , 0 < |z − 2i| < 4
3. Znaleźć punkty ososbliwe funkcji holomorficznej f (z), określić ich rodzaj i obliczyć residuum funkcji f w każdym punkcie osobliwym
(a) f (z) = z2+ 2 z3(z + 4) (b) f (z) = z2+ 1
(z + 1)2(z2+ 4) (c) f (z) = ez
(z2+ 4) sin z (d) f (z) = cos z
(z2+ 1)3 4. Obliczyć
I
C
f (z)dz metodą residuów
(a) f (z) = z2+ 1
z2(z2+ 4) , C : okrąg |z − 1| = 1 skierowany w prawo.
(b) f (z) = z2+ 1
z2(z2+ 4) , C : okrąg |z − 2i| = 1 skierowany w lewo.
(c) f (z) = cos z
(z2+ 4)2 , C : okrąg |z + i| = 2 skierowany w lewo.
(d) f (z) = z cos z
(z2+ 1) sin z , C : elipsa x2 9 +y2
4 = 1 skierowana w lewo.
5. Obliczyć poniższe całki rzeczywiste
∞
Z
−∞
f (x)dx obliczając residua odpowiednich funkcji
holomorficznych
(a) f (x) = x2+ 1 (x2+ 1)(x2+ 4)2 (b) f (x) = 2x2+ x
(x2+ 1)3 (c) f (x) = x2− 2
(x2+ 1)(x2+ 4)(x2+ 9) (d) f (x) = cos x
(x2+ 1)
6. Obliczyć transformaty Laplace’a funkcji f (t).
(a) f (t) = t2− 4t (b) f (t) = te3t
(c) f (t) = sin t − cos 2t (d) f (t) = t2sin t
(e) f (t) = te2tcos 3t
(f) f (t) = 4t2e3t− 2e−t+ cos 4t − t sin 2t + 6te4tcos t 7. Obliczyć splot funkcji f (t) i g(t)
(a) f (t) = t , g(t) = t2 (b) f (t) = t , g(t) = sin t
(c) f (t) = e2t , g(t) = cos t (d) f (t) = sin t , g(t) = sin t
