SIMR 2010/11, Analiza Zespolona, Zadania do wykładu 2 1. Obliczyć granicę (a) lim

SIMR 2010/11, Analiza Zespolona, Zadania do wykładu 2 1. Obliczyć granicę

(a) lim

z→2i

z²+ 4 z²+ z + 4 − 2i (b) lim

z→1

z³− 1 iz − ie^iz (c) lim

z→1+i

z²− 2i z⁴+ 4

2. Sprawdzić warunki Cauchy-Riemanna dla funkcji (a) f (z) = 1

z (b) f (z) = z sin z

(c) f (z) = z²+ z²

(d) u = ln(x²+ y²) , v = 2 arc tg yx (e) u = y

x²+ y² , v = x x²+ y² (f) u = x³+ y³ , v = 3x²y

3. Na jakim obszarze jest holomorficzna funkcja f (z) (a) f (z) = z

z²− 1 (b) f (z) = |z|²

z + 1 (c) f (z) = z³

e^z+ 1 (d) f (z) = sin(z² + 1)

z⁴+ 16 (e) f (z) = cos z

sinh z

(f) u(x, y) = 2 ln(x²+ y²) , v(x, y) = 4 arc tgy x

4. Znając część rzeczywistą funkcji holomorficznej znaleźć jej część urojoną i dziedzinę.

(a) u(x, y) = e^ysin x (b) u(x, y) = x³− 3xy²

(c) u(x, y) = x²− 4xy − y²+ 4y (d) u(x, y) = x³− 3xy²

5. Znależć funkcję harmoniczną sprzężoną do funkcji u(x, y). Jaka jest dziedzina u i v ? (a) u(x, y) = ln(x²+ y²)

(b) u(x, y) = e^ysin x (c) u(x, y) = arc tgx

y

(d) u(x, y) = 2x⁴− 2x²y²+ 3x

6. Obliczyć bezpośredno (parametryzując krzywą)

Z

C

f (z)dz.

(a) f (z) = |z|² , C : fragment paraboli x = y² od punktu A(0, 0) do B(1, −1) (b) f (z) = Re z , C : półokrąg x²+ y² = 1 , x ­ 0 skierowany w lewo

(c) f (z) = z² , C : odcinek y = 2x , od punktu A(2, 4) do B(0, 0)

(d) f (z) = z , C : skierowany w prawo trójkąt ∆ABC , gdzie A(0, 0) , B(2, 0) , C(2, 2) 7. Obliczyć korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego

I

C

f (z)dz.

(a) f (z) = z²+ 2

z , C : okrąg |z − 1| = 4 skierowany w prawo.

(b) f (z) = e^iz

z²+ 4 , C : okrąg |z + i| = 2 skierowany w lewo.

(c) f (z) = sin¹₄πz

z²− 1 , C : okrąg |z − 1| = 1 skierowany w prawo.

(d) f (z) = z + 3

z²− 1 , C : elipsa x² 9 + y²

4 = 1 skierowana w lewo.