Statystyka matematyczna, UMK. Egzamin II termin, wrzesień 2012
1. Rozważamy rodzinę rozkładów o gęstości:
fθ(x) =
θ(1 − x)θ−1 dla 0 < x < 1;
0 w przeciwnym przypadku.
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Załóżmy, że obserwujemy pojedynczą zmienną losową X z wyżej podanego rozkładu. Na podstawie obserwacji X testujemy hipotezę zerową H0 : θ = 1 przeciw alternatywie H1: θ = 2.
(a) Wyznacz obszar krytyczny (obszar odrzuceń H0) dla najmocniejszego testu na poziomie istot- ności α = 0.1.
(b) Oblicz moc tego testu, 1 − β.
(c) Oblicz p-wartość testu, jeśli zaobserwowano wartość X = 0.07.
Wskazówka: Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem Fθ(x) = 1 − (1 − x)θ, dla x > 0.
2. Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie (geometrycz- nym) na przestrzeni {1, 2, . . .}:
fθ(x) = Pθ(X = x) = θx−1
(1 + θ)x dla x ∈ {1, 2, . . .}.
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem.
(a) Wyznacz estymator parametru θ metodą największej wiarogodności.
(b) Wyznacz estymator parametru θ metodą momentów.
(c) Czy estymator największej wiarogodności jest w tym przykładzie nieobciążony, czy nie jest?
Uzasadnij odpowiedź.
Wskazówka: Możesz skorzystać z faktu, że EθX1= θ + 1.
3. W celu wyznaczenia wytrzymałości nowego typu opon samochodowych wykonano test sześciu no- wych opon. Do chwili zużycia opony miały następujące przebiegi (w tys. km): 40, 42, 41, 40, 42, 38.
Zakładamy, że jest to próbka losowa z rozkładu normalnego N (µ, σ2) z nieznanymi parametrami µ, σ.
(a) Wyznacz przedział ufności dla średniej liczby km przejechanych przez opony nowego typu na poziomie ufności 0, 99.
(b) Przeprowadź test hipotezy H0: µ = 40 przeciwko alternatywie H1: µ > 40. Przyjmij poziom istotności 0, 05.
(c) Przeprowadź test hipotezy H0: σ = 1, 5 przeciwko alternatywie H1: σ > 1, 5. Przyjmij poziom istotności 0, 05.
4. Zważono 10 paczek masła i otrzymano wyniki (w gramach): X1, . . . , X10. Zakładamy, że jest to próbka losowa z rozkładu normalnego N(250, 102). Niech ¯X będzie średnią obliczoną na podstawie tej próbki, tzn. ¯X = 101 P10
i=1Xi
(a) Oblicz E ¯X i Var ¯X.
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ¯X przekroczy 251?
(c) Oblicz E( ¯X − 250)2.
1
5. Przeprowadzono obserwacje dotyczące wypadków drogowych na określonym terenie, spowodowa- nych w ciągu roku przez kierowców będących w stanie nietrzeźwym. Otrzymany rozkład wypadków w poszczególne dni tygodnia podaje tabela:
Pn Wt Śr Czw Pt Sob N
19 15 16 14 13 18 17
Przyjmując poziom istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że prawdopodobieństwo wystąpienia na tym terenie wypadku spowodowanego przez kierowcę w stanie nietrzeźwym jest jednakowe dla wszystkich dni tygodnia.
(a) Podaj wartość statystyki testowej.
(b) Podaj wartość odpowiedniego kwantyla rozkładu χ2, z którym należy porównać wartość sta- tystyki.
(c) Podejmij decyzję: ODRZUCAMY H0 / NIE ODRZUCAMY H0.
6. Rozkład prawdopodobieństwa dziennej sprzedaży produktu A w pewnym sklepie jest w przybliżeniu normalny, N(200, 402). Rozkład dziennej sprzedaży produktu B jest w przybliżeniu N(150, 302).
Zakładamy, że wysokości sprzedaży produktów A i B są niezależne. Oblicz
(a) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż A będzie większa niż dzienna sprzedaż B;
(b) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż każdego z produktów A i B przekroczy 150PLN;
(c) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż produktów A i B razem przekroczy 350PLN.
7. W pewnym salonie samochodowym X1, . . . , Xn są liczbami aut sprzedanych w kolejnych tygo- dniach. Zakładamy, że jest to próbka pochodząca z rozkładu Poiss(λ), z nieznanym parametrem λ. Rozważmy estymator funkcji g(λ) = 1 − e−λ (zauważmy, że g(λ) = Pλ(X1 > 0), czyli jest to prawdopodobieństwo sprzedania przynajmniej jednego auta w ciągu jednego tygodnia). Rozważmy estymator
ˆ g =
n −
n
P
i=1
I(Xi= 0)
n .
(a) Zbadaj, czy ˆg jest estymatorem nieobciążonym.
(b) Oblicz jego ryzyko średniokwadratowe.
(c) Sprawdź mocną zgodność estymatora ˆg.
Wskazówka: Wykorzystaj znane własności rozkładu Poissona.
2
