Statystyka Matematyczna, Egzamin 2, czerwiec 2016, UMK
1. Obserwujemy niezależne zmienne losowe X1, X2, X3, X4, X5, które po- chodzą z dwóch różnych rozkładów Poissona: X1, X2, X3 ∼ Poiss(3θ), zaś X4, X5 ∼ Poiss(θ), gdzie θ jest nieznanym parametrem.
(a) Znajdź jednowymiarową statystykę dostateczną T (X1, X2, X3, X4, X5).
(b) Podaj estymator największej wiarygodności parametru θ.
2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym Bin(n, θ).
Rozważamy estymator nieznanego parametru θ dany wzorem θ =ˆ X + 1/2
n + 1 .
(a) Oblicz obciążenie tego estymatora: Eθθ − θ.ˆ (b) Oblicz wariancję tego estymatora: Varθθ.ˆ
(c) Oblicz błąd średniokwadratowy tego estymatora: Eθ(ˆθ − θ)2. 3. Niech X1, . . . , Xn będzie próbką z rozkładu normalnego N(µ, 22). Roz-
ważamy zadanie estymacji wielkości µ2 gdzie µ jest nieznanym para- metrem.
(a) Oblicz obciążenie estymatora µf2 = ( ¯X)2.
Wskazówka: Wiemy, że Var ¯X = E( ¯X)2+ (E ¯X)2. (b) Zaproponuj estymator nieobciążony µc2.
Wskazówka: Zmodyfikuj w odpowiedni sposób estymatorµf2. (c) Uzasadnij fakt, że µf2 jest asymptotycznie normalny, to znaczy
√n(µf2− µ2) → N(0, σ2) i oblicz asymptotyczną wariancję σ2.
4. Niech X1, . . . , Xn będzie próbką z rozkładu normalnego N(0, σ2), gdzie σ > 0 jest nieznanym parametrem (zwróć uwagę, że wartość oczekiwana jest znana, równa zero). Rozważamy zadanie estymacji parametru σ.
(a) Oblicz estymator największej wiarygodności ˆσ.
(b) Oblicz informację Fishera In(σ) dla n-elementowej próbki.
Wskazówka: Łatwiej skorzystać ze tego wzoru na informację Fi- shera, który zawiera drugą pochodną.
1
(c) Wiadomo, że ˆσ jest asymptotycznie normalny (wynika to z ogól- nego twierdzenia o asymptotycznej normalności estymatorów naj- większej wiarygodności; warunki regularności są spełnione). Uzu-
pełnij wzór √
n(ˆσ − σ) → N(?, ?).
5. Rozważamy ten sam model co w zadaniu poprzednim: X1, . . . , Xn jest próbką z rozkładu normalnego N(0, σ2), gdzie σ > 0 jest nieznanym parametrem, wartość oczekiwana jest równa zero. Rozważamy zadanie testowania H0 : σ = 1 przeciw H1 : σ > 1.
(a) Skonstruuj test jednostajnie najmocniejszy (TJNM) H0 przeciw H1 na poziomie istotności α.
Wskazówka: Mamy tu rodzinę rozkładów z monotonicznym ilo- razem wiarygodności i można skorzystać z Twierdzenia Karlina- Rubina.
(b) Załóżmy, że n = 2 i zaobserwowaliśmy X1 = 0.5, X2 = 0.5. Oblicz P -wartość tego testu.
6. Na podstawie próbki z rozkładu normalnego N(µ, σ2) ze znaną warian- cją σ2 skonstruowano przedział ufności dla parametru µ na poziomie 0.95 i otrzymano wynik [80.40, 119.60].
(a) Podaj przedział ufności dla parametru µ na poziomie 0.99, obli- czony na podstawie tej samej próbki.
(b) Podaj jednostronny przedział ufności postaci (−∞, ¯µ] na poziomie 0.95, obliczony na podstawie tej samej próbki.
Poniżej podane są niektóre kwantyle standardowego rozkładu normal- nego N(0, 1):
Φ(z) 0.95 0.975 0.99 0.995 z 1.645 1.960 2.326 2.576
2
