Statystyka matematyczna, UMK. Egzamin, czerwiec 2012
1. Rozważamy rodzinę rozkładów Pareto o gęstości:
fθ(x) =
2θθ
(2 + x)θ+1 dla x > 0
0 dla x ¬ 0.
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Załóżmy, że obserwujemy pojedynczą zmienną losową X z wyżej podanego rozkładu. Na podstawie obserwacji X testu- jemy hipotezę zerową H0 : θ = 1 przeciw alternatywie H1 : θ = 4.
(a) Wyznacz obszar krytyczny (obszar odrzuceń H0) dla najmocniejszego testu na poziomie istotności α = 0.1.
(b) Oblicz moc tego testu, 1 − β.
(c) Oblicz p-wartość testu, jeśli zaobserwowano wartość X = 0.01.
Wskazówka: Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem Fθ(x) = 1 − 2θ
(2 + x)θ, dla x > 0.
2. Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie o gęstości
fθ(x) =
1
θx1/θ−1 dla 0 < x < 1;
0 w pozostałych przypadkach, gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem.
(a) Wyznacz estymator parametru θ metodą największej wiarogodności.
(b) Wyznacz estymator parametru θ metodą momentów.
(c) Czy estymator największej wiarogodności jest w tym przykładzie nieobciążony, czy nie jest? Uzasadnij odpowiedź.
Wskazówka: Możesz skorzystać z faktu, że R01 1θx1/θ−1ln xdx = −θ.
3. Zważono 10 paczek masła i otrzymano nastepuj, ace wyniki:,
245; 248; 241; 251; 252; 244; 246; 248; 247; 248.
Zakładamy, że jest to próbka losowa z rozkładu normalnego N(µ, σ2) z nieznanymi parametrami µ i σ.
(a) Oblicz przedział ufności dla µ na poziomie ufności 1 − α = 0.95.
(b) Przeprowadź test hipotezy H0 : µ = 250 przeciwko alternatywie H1 : µ < 250.
Przyjmij poziom istotności α = 0.05.
1
(c) Przeprowadź test hipotezy H0 : σ = 5 przeciwko alternatywie H1 : σ > 5.
Przyjmij poziom istotności α = 0.05.
4. Typowy student spędza X godzin dziennie na czytaniu książek. Zakładamy, że X ma rozkład normalny N(3, 22). Niech ¯X będzie średnią obliczoną na podstawie próbki 20 losowo wybranych studentów, tzn. ¯X = 201 P20i=1Xi, gdzie Xis są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie co X.
(a) Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ¯X ? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ¯X przekroczy 4?
(c) Oblicz E( ¯X − 3)2.
5. Oznaczono grupę krwi dla 400 osób. Wyniki były następujące: 85 osób miało grupę A, 90 osób miało grupę B, 105 osób miało grupę AB, pozostali mieli grupę 0. Zweryfi- kuj hipotezę zerową H0 mówiącą, że rozkład grup jest równomierny (to znaczy każda z grup ma jednakowe prawdopodobieństwo). Przyjmij poziom istotności α = 0.05.
(a) Podaj wartość statystyki testowej.
(b) Podaj wartość odpowiedniego kwantyla rozkładu χ2, z którym należy porównać wartość statystyki.
(c) Podejmij decyzję: ODRZUCAMY H0 / NIE ODRZUCAMY H0.
6. Rozkład prawdopodobieństwa dziennej sprzedaży produktu A w pewnym sklepie jest w przybliżeniu normalny, N(100, 302). Rozkład dziennej sprzedaży produktu B jest w przybliżeniu N(150, 402). Zakładamy, że wysokości sprzedaży produktów A i B są niezależne. Oblicz
(a) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż A przekroczy 150PLN;
(b) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż A będzie większa niż dzienna sprze- daż B;
(c) prawdopodobieństwo, że dzienna sprzedaż każdego z produktów A i B przekro- czy 150PLN;
7. Próba losowa prosta X = (X1, . . . , Xn) pochodzi z rozkładu P oiss(λ). Rozważmy estymator parametru θ = 1 + P (X = 3) postaci
θ(X) =ˆ
n + Pn
i=1
1{3}(Xi)
n .
(a) Zbadaj, czy ˆθ jest estymatorem nieobciążonym.
(b) Oblicz jego ryzyko średniokwadratowe.
(c) Sprawdź mocną zgodność estymatora ˆθ.
2
