Oszacowanie sztywności obrotowej doczołowych połączeń odkształcalnych na podstawie dynamiki konstrukcji

ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIK I ŚLĄSKIEJ Seria: BUDO W N ICTW O z. 102

2004 N r kol. 1644

Witold BASIŃSKI*

Politechnika Śląska

OSZACOWANIE SZTYWNOŚCI OBROTOWEJ DOCZOŁOWYCH POŁĄCZEŃ ODKSZTAŁCALNYCH NA PODSTAWIE DYNAMIKI KONSTRUKCJI

Streszczenie. W pracy pokazano m ożliwość wyznaczania sztywności obrotowej doczołowych połączeń odkształcalnych na podstawie pom iaru am plitudy, prędkości kołowej i tłum ienia drgań harm onicznie wzbudzonych. Przedstawiono rów nież (ze względu na współczynnik dynam iczny) dynam iczne modele m ateriału H ooke’a, M axwella, Voigta- Kelvina oraz standardowy. N a podstaw ie tychże modeli m ożna w yznaczyć przem ieszczenia konstrukcji poddanej w pływ om dynam icznym , służące do określenia zw iązku M(q>).

ESTIMATE ROTARY RIGIDITY OF THE SEMIRIGID JOINTS BASED ON THE DYNAMIC CONSTRUCTION

Summary. This article has shown the m ethod o f calculation o f rotary rigidity o f the semirigid joints on the basis o f m easurem ents o f am plitude, circular speed and vibration damping. Dynam ic Hook, M axwell, V oigt-Kelvin and standard m odels have been analysed (in respect o f the dynam ic coefficient). On their basis we can calculate dislocation o f the construction necessary to define M(<p) connection.

1. Wprowadzenie

Z dotychczasowych opisyw anych w literaturze, np. [1], [2], [3], dośw iadczeń wiadom o, że w szystkie doczołow e połączenia śrubowane s ą odkształcalne. Ich właściwości m echaniczne w ykazują znaczne rozproszenie, zw łaszcza sztywność obrotow a i nośność graniczna.

Przyczyną znacznego rozproszenia sztywności połączeń są im perfekcje geom etryczne doczołow ych płaszczyzn styku, które generują w elem entach konstrukcji znaczące montażowe naprężenia własne.

‘ Opiekun naukowy: Prof. dr hab. inż. Zbigniew Kowal

76 W. Basiński

Do obliczeń num erycznych przem ieszczeń i sił przekrojow ych elementów konstrukcyjnych potrzebne s ą m atem atyczne modele sztywności obrotowej. Powinny być one zgodne z fizycznymi m odelam i statycznymi opisanymi za pom ocą w spółrzędnych pom iarowych M i <p (rys. 2a).

W pracy kierowano się tezą, iż możliwe jest wyznaczenie w spółrzędnych M(cp) połączenia odkształcalnego metodami dynamicznymi. Przedstawiono m etodę w yznaczania sztywności obrotowej doczołow ych połączeń odkształcalnych na podstawie pom iaru amplitudy, prędkości kołowej i tłum ienia drgań harmonicznie wzbudzonych. Przeanalizowano również (ze względu na w spółczynnik dynamiczny) dynam iczne m odele m ateriału H ooke’a, M axwella, V oigta-K elvina oraz standardowy. N a ich podstaw ie możemy wyznaczyć przem ieszczenia konstrukcji poddanej wpływom dynam icznym, służące do określenia związku M(<p).

2. Wyznaczanie sztywności obrotowej na podstawie drgań ustalonych

Do w yznaczenia sztywności obrotowej połączeń doczołowych w ybrano model układu dynamicznego o jednym stopniu swobody dynamicznej. W rachubę wzięto m odele fizyczne występujące w konstrukcjach stalowych: belkę w olnopodpartą oraz w spornik (ry s.l)

a)

_ Z X

R ys.l. Modele fizyczne: a) belka wolnopodparta, b) wspornik F ig.l. Physical models a) beam, b) bracket

N a tychże m odelach m ożem y testować ścieżkę równowagi statycznej M(<p) (rys.2b) stopniowo zw iększając m asow e obciążenie modelu generujące wstępne ugięcie elementu. W kolejnych etapach zw iększania obciążenia m asą mi wprow adzam y siłę w zbudzającą P(t), która powoduje pow stanie drgań harm onicznie wzbudzonych (rys. 2). W trakcie kolejnych etapów obciążeń dokonujem y pom iaru prędkości kołowych drgań oraz przemieszczeń.

A lgorytm oszacow ania sztywności obrotowej połączenia pokażem y na przykładzie belki wolnopodpartej (rys.3). N a podstaw ie pomierzonych: am plitudy y, przem ieszczeń oraz

Oszacowanie sztyw ności obrotowej doczołowych.. 77

prędkości kołowej drgań ustalonych m ożem y wyznaczyć z rów nania (1) przem ieszczenie yp.

N a bazie yp wyznaczym y sztyw ność liniow ą połączenia Cp, a następnie jego sztywność obrotow ą C r

a)

Rys.2 a) Współrzędne M i cp, b ) testowanie M(cp) za pośrednictwem pomiaru drgań ustalonych Fig.2 a) Co-ordinates M and cp, b) testing M(cp) trough measurement o f set vibration

Łączne przem ieszczenie y należy wyznaczyć biorąc pod uw agę zarówno zredukowaną m asę belki m z, ja k i obciążenie m a są skupioną m.

/vjru-m z£

% yQ

Rys.3. Składowe yM, yQ, yp przemieszczenia y Fig.3. Components yM, yę, yP o f dislocation y

(1) gdzie:

y = yM + vq + yp

yM - przem ieszczenie od zginania, y<j- przem ieszczenie od siły poprzecznej,

yP= cp*L/2 - przem ieszczenie w ywołane obrotem połączenia cp.

N a podstawie sum y przem ieszczeń m ożem y oszacować sztywność łączną ze w zoru (2):

l i i i (2)

"m c q

+ —1

gdzie:

C = P/y - sztywność łączna, CM= P / y M - sztywność giętna, C Q = P/ yQ - sztywność postaciowa, Cp = P/ yp - sztywność liniow a połączenia, C,p = M*L/2*yp - sztyw ność obrotowa połączenia.

Z równania (2) w yznaczam y sztywność liniow ą połączenia Cp. N astępnie przyrównując do siebie przem ieszczenie yp zw iązane ze sztyw nością obrotow ą C,p oraz liniow ą Cp

78 W. Basiński

uzyskamy sztywność obrotow ą C<p połączenia doczołowego. D la belki swobodnie podpartej sztywność obrotow ą C , wyznaczym y ze wzoru:

v * <3)

c * = —T " '

2.1. Redukcja m asy w łasnej belki

W yelim inowanie m asy rozłożonej belki poprzez wyznaczenie m asy zredukowanej zlokalizowanej w środku rozpiętości m odelu pozwala na operacje zgodne z modelem o 1 stopniu swobody dynam icznej. Redukcję m asy przeprowadzono z w arunku równości przem ieszczeń belki i modelu.

yM + yQ=yMz+yQz ■ ^

D la belki swobodnie podpartej zastępcza masa skupiona w y n o s i:

5-q L (5)

8g

3. Dynamiczne modele materiału

W celu oszacow ania w pływ u tłum ienia na dynam ikę konstrukcji rozpatrzym y cztery podstawowe dynam iczne m odele materiału: H ooke’a, M axwella, Voigta-K elvina oraz standardowy (rys. 4 a,b,c,d), um ożliwiające wyznaczenie przem ieszczeń dla układów o 1 ssd.

W pływ tłum ienia m ożem y oszacować porównując współczynniki dynamiczne.

b)

Rys.4. Dynamiczne modele materiału: a) H ooke’a, b) Maxwella, cjVoigta-Kelvina, djstandardowy Fig.4. Dynamics models o f materiał: a) Hook, b) Maxwell, c)Voigt-Kelvin, djstandard

3.1. W spółczynnik dynam iczny w g modelu H ooke’a

Jest to najprostszy m odel odpow iadający układowi o 1 ssd. W m odelu tym nie uwzględnia się tłum ienia konstrukcji ( rys.4a).

Oszacowanie sztyw ności obrotowej doczołow ych.. 79

Równanie różniczkow e [4] nietłum ionego ruchu drgającego w ym uszonego siłą P0 sinciot m a postać:

my" + C-y = P0 sin(a0 t) , (6 )

Całka ogólna [6] rów nania (6) daje nam poszukiw ane przem ieszczenie m asy m:

p _{o a}2 (7)

C 2 2

a - a o

s in (a Q- t ) - s i n ( a t )

Z rów nania (7) w yznaczam y współczynnik dynam iczny przem ieszczeń:

y = ~ r P r o a2

C 2 2 V

a ~ a o

s in (a Q- t j ° s i n ( a - t ) j ,

(8)

gdzie:

a - prędkość kołow a drgań w łasnych w rad/s, C - sztywność,

m - masa,

do - prędkość kołow a drgań w zbudzonych w rad/s, ii - w spółczynnik lepkości.

3.2. W spółczynnik dynam iczny w g modelu M axwella

Szeregowe pow iązanie sztyw ności i tłum ienia daje w tym m odelu m ożliw ość generowania wstępnego ugięcia elem entu przy jednoczesnym uw zględnieniu tłum ienia (rys. 4b)

Równanie różniczkow e [6] ruchu harm onicznie wzbudzonego m a postać:

m C . C C

rj m

Przem ieszczenie w ruchu ustalonym [6] w y n o s i:

m C C C . / \

y" + y* + - - y = — P0 s in la 0 -tj ,

r| m m m ' '

( Aa a «

2 4 4 2

4' P M “ + a -<x0

(9)

( 10 ⁾

2 4 2 4 f 2 2V

Pm ■“ '“ o +<x I “ - “ o j

■sin(a0 -t - X - p j ,

gdzie:

tan(x) = 2oto P M

2 2

a - a „

tan(p) = ■ 2-_PM

*o o

Z kolei tłum ienie w m odelu M axw ella opisuje zależność:

(U)

(12) P M : 2-r\

Zatem współczynnik dynam iczny [6] odnoszący się do przem ieszczenia m asy m w m odelu M axwella obliczam y ze wzoru:

80 W. Basiński

a2 v « - -

, , , ■ , --- <13)

4 p M a + a a Q

2 4 2 A ( 2 2 \ 2

4 p M -a ■% + a ( a - a Q J

3.3. W spółczynnik dynam iczny w g modelu Voigta -K elvin a

Model ten (rys. 4c) powszechnie stosowany w dynam ice konstrukcji nie zezwala na generowanie natychm iastow ego ugięcia elementu. Ponadto, występuje opóźnienie przemieszczenia w zględem obciążenia, a am plituda drgań je st niniejsza niż w modelach H ooke’a i Maxwella.

Równanie różniczkow e [4] ruchu drgającego wymuszonego siłą P0 sinctot m a postać:

m y" + n y' + C-y = P0-sin(a0 -t) .

Całka ogólna [6] po uwzględnieniu wartości początkowych w yznaczona przy użyciu transformacji L aplace'a daje nam wartość przem ieszczenia m asy m:

(15)

y =

c[4.pvV + ( a 2- a 02) 2]

[ ( “ 2 - a o2) sin(a o ‘) " 2 P <V c o ,(“ o t)] -

1 - P . , t __________

[ ż p a sin^t j a 2 - p v2 + + ( 4 p y2 + a 02 - a 2) s in (t j a 2 - p v2) ]

2 1

[

Tłumienie w m odelu V oigta opisuje zależność:

ą (16)

P v " 2-m ’

W spółczynnik dynam iczny [6] przem ieszczenia masy m dla ruchu ustalonego wynosi:

2 (17)

a

2 2

+ 4 P V a o J ( “ 2 - a o2) 2

Porównując współczynniki dynam iczne dla m odelu M axw ella i V oigta-K elvina dla belki swobodnie podpartej z przykładu liczbowego wg pkt. 3.5. przy zm iennym ciężarze podwieszonej m asy m: 1000, 2000 i 3000 kg otrzym amy wartości:

v M/vv = (0 .1 7 9 ,0 .5 3 4 ,0 .6 7 6 ). (18) 3.4. M odel standardowy

Jest to model łączący w sobie cechy modeli M axwella i H ooke’a (rys. 4d). Um ożliwia on ujęcie natychm iastowego przem ieszczenia konstrukcji przy jednoczesnym poprawniejszym ' określeniu tłumienia.

Równanie różniczkow e [6] ruchu drgającego w ymuszonego s iłą P 0sinoot m a postać:

Oszacowanie sztywności obrotowej doczołowych.. 81

r , ( g i2 + a22) ...

2-P,

2 2

2 , “ 1 “ 2 P0

•y + a , y’ + ---y = —

2 p v m

a , + o u

2’Pv

•sin(a o-i) + a 0 c o s ( a 0 t)

(19)

gdzie:

a l 2 = C l/m , a2 2 = C2/m.

Rozw iązania dla m odelu standardowego będą przedm iotem dalszych rozważań.

3.5. Przykład liczbowy

(20)

Obliczyć sztyw ność obrotow ą doczołowego połączenia kalenicowego w środku rozpiętości belki sw obodnie podpartej W TA500 (z falistym środnikiem gr.2 mm) o rozpiętości 6 m. Skorzystać z m odelu H ooke’a. Ciężar belki gb=80.1 kg/m , Ix=59692.5 cm4 , p= l 1.76 . Do belki podw ieszono masę m=1000 kg.

|P(t) EJ

^

I

6000

Rys.5. Schemat belki Fig.5. Diagram o fbeam

Silę w ym uszającą generuje silnik o częstości technicznej n=1200 obr/s. Daje to wartość siły wzbudzającej P ow=19 kN i częstości kołowej w ym uszenia oto=125 l/s.

Obliczamy ugięcie od m om entów zginających i sił poprzecznych yMQ> uwzględniające zredukowany ciężar belki (w g w zoru 5). N astępnie w yznaczam y sztywność belki oraz częstość kołow ą drgań w łasnych a.

i

(po

yMQ" 48’ BIx

P0 k g

— — = 16997363—“ a =

yMQ. s 2

'MQj i

i = 1 14.3-

nij s

W kolejnym kroku obliczam y współczynnik dynam iczny dla m odelu H ooke’a wg (8), a na jego podstawie przem ieszczenie całkow ite oraz sztywność układu C.

3 / C.T N Vj j= 5.641 y = v j_j- 1 Po w V

4 8 ' E-Ijj

1 + 12g- ^{E I x}

GAVJ_

Pq "P *^¿8 kg

= 6.414m m C = --- = 1988170-^

Ostatecznie korzystając z zależności (2) i (3) w yznaczam y sztywność liniow ą Cp oraz obrotow ą Cv połączenia dla m odelu H ooke’a:

Cp = 2 2 5 1 5 3 0 -^ 10132kNm

82 W. Basiński

N atom iast w yliczona w g [1] sztywność obrotowa połączenia wynosi 12782 kNm. Model H ooke’a ze w zględu n a brak uw zględnienia tłum ienia zaw yża przem ieszczenia, czyli daje lekko zaniżone w artości sztywności obrotowej połączenia.

4. Wnioski

Przedstaw iona m etoda m oże posłużyć do sprawdzania sztywności obrotowej doczołowych połączeń odkształcalnych w konstrukcjach ju ż zrealizow anych,jak również do weryfikacji algorytmów szacowania sztywności połączeń odkształcalnych w yznaczanych na modelach statycznych.

D ynamiczne m odele m ateriału, na bazie których istnieje m ożliwość określenia związku M(<p), m ają swoje ograniczenia. N a podstawie m odelu M axw ella należy oczekiwać zbyt dużych przem ieszczeń, w przypadku zaś modelu Voigta przem ieszczeń o wartościach zaniżonych. Gdy w ystępują znaczne tłum ienia w ywołane połączeniam i odkształcalnymi, trzeba spodziewać się lepszych efektów num erycznych na podstaw ie analizy modelu standardowego.

LITERATURA

1. EUROCODE 3

2. Bródka J., K ozłow ski A.: Sztywność i nośność w ęzłów podatnych. Białystok 1996.

3. Bródka J.: Kierunki rozw oju konstrukcji stalowych o w ęzłach podatnych.

Międzynarodowe Sym pozjum W arszawa 2000: „W ęzły podatne w konstrukcjach metalowych i zespolonych.”

4. Langer J.: D ynam ika budowli. W rocław 1980.

5. Chmielewski T., Zem baty Z.: Podstawy dynamiki budowli. „A rkady” , W arszawa 1998.

6. Kowal Z.: D ynam ika nieważkiej belki na podporach lepkosprężystych. Archiwum Inżynierii Lądowej, tom XII, 1/1966.

Recenzent: Prof. dr inż. Rom an Jankowiak