ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Andrzej SZYMAŃSKI
MODELOWANIE
PROCESU ZGRZEWANIA OPOROWEGO PUNKTOWEGO
, POLITECHNIKI \ ?
| SIASKKI ■
ZESZYTY NAUKOWE Nr 1631
'I
Andrzej SZYMAŃSKI
MODELOWANIE
PROCESU ZGRZEWANIA OPOROWEGO PUNKTOWEGO
G l i w i c e
2 0 0 4Opiniodawcy
Prof. dr hab. inż. Ryszard PARKITNY Prof. dr hab. inż. Andrzej SKORUPA
Kolegium redakcyjne
Redaktor naczelny — Prof. dr hab. inż. Andrzej BUCHACZ Redaktor działu — Dr hab. inż. Ryszard NOWOSIELSKI
Profesor Politechniki Śląskiej Sekretarz redakcji — Mgr Elżbieta LEŚKO
Redakcja M gr Roma ŁOŚ
Redakcja techniczna AlicjaNOWACKA
P L IS S N 0 4 3 4 -0 8 1 7
© C o p yright by A ndrzej SZ Y M A Ń SK I G liw ice 2004
W n u c z c e M a jt
W y k a z w a ż n ie js z y c h o z n a c z e ń 7
1. W p r o w a d z e n i e 11
2 . S t a n d o ty c h c z a s o w y z a g a d n i e n i a 13
3. T e z a i p r z e d m i o t p r a c y 17
4 . M o d e l e m a t e m a t y c z n e z ja w is k f iz y c z n y c h z a c h o d z ą c y c h p o d c z a s z g r z e w a n i a o p o r o w e g o p u n k t o w e g o 19
4.1. W s t ę p ... 19
4.2. P ole elek tro m ag n ety czn e w procesie punktow ego zgrzew ania oporowego ...20
4.2.1. W s t ę p ...20
4.2.2. R ów n an ia opisujące proces zgrzew ania p rą d e m s ta ły m . . . . 32
4.2.3. R ó w n an ia opisujące pro ces zgrzew ania p rą d e m zm iennym h a r m o n i c z n i e ...36
4.2.4. P rz e m ia n y energetyczne w po lu elektrom agnetycznym p o d czas zgrzew ania o p o ro w e g o ... 43
4.2.5. G ęstość sił w p o lu e le k tr o m a g n e ty c z n y m ... 52
4.3. T ra n sp o rt m aterii, p ę d u i energii w p rocesach zgrzew ania oporowego p u n k t o w e g o ... 55
4.3.1. R ó w n an ia zachow ania m a t e r i i ... 62
4.3.2. R ów nanie tr a n s p o rtu s k ł a d n i k ó w ... 64
4.3.3. R ów nanie zachow ania p ę d u ...74
4.3.4. R ów nanie zachow ania energii ...97
5. O b l i c z e n i a n u m e r y c z n e 105 5.1. P a k ie t kodów program ow ych A NSYS zastosow any do obliczeń m e to d a elem entów s k o ń c z o n y c h ...105
5.2. A lg o ry tm obliczeń n u m e r y c z n y c h ... 106
5.3. U k ład rów n ań rozw iązyw anego m od elu procesu zgrzew ania oporowego p u n k to w e g o ... 108
5.4. W aru n k i brzegow e rozw iązyw anego m o d e l u ...111
4 Spis treści
5.5. W yniki obliczeń numerycznych ... 121
6 . B a d a n i a d o ś w i a d c z a l n e 1 3 1 6.1. Stanowiska b adaw cze...131
6.2. Badania technologiczne procesu zgrzewania oporowego punktowego . 133 6.2.1. W pływ parametrów procesu zgrzewania oporowego punktowego na kształt i wymiary zgrzein punktow ych... 135
6.3. Badania termograficzne złączy zgrzewanych oporowo punktowo . . . . 137
7. P o d s u m o w a n i e 1 4 3 A D o d a t e k 1 4 7 L i t e r a t u r a 1 5 1 S t r e s z c z e n i a 1 6 3 S k o r o w id z r z e c z o w y 1 6 5
C o n ten ts
L i s t o f m a i n s y m b o ls 7 1. I n t r o d u c t i o n 11 2 . S t a t e o f t h e a r t 13 3 . T h e s i s a n d s c o p e o f t h e w o r k 17 4 . M a t h e m a t i c a l m o d e l s o f r e s i s t a n c e s p o t w e ld in g 19 4.1. I n t r o d u c t i o n ...194.2. E lectro m ag n etic field in re sistan ce sp o t w e l d i n g ... 20
4.2.1. I n t r o d u c t i o n ...20
4.2.2. E q u a tio n s describing resistan ce sp o t welding w ith d irec t c u rre n t 32 4.2.3. E q u a tio n s describing resistan ce sp o t w elding w ith a lte rn a tin g c u r r e n t ... 36
4.2.4. E n erg y conversion in th e electro m ag n etic field in th e course of resistan ce w e l d i n g ...43
4.2.5. D ensity of forces in th e electro m ag n etic f i e l d ...52
4.3. T ra n sp o rt of m a tte r, m o m en tu m a n d energy in resistan ce sp o t w elding p r o c e s s e s ...55
4.3.1. E q u a tio n of th e conservation of m a t t e r ... 62
4.3.2. E q u a tio n s of th e conserv atio n of e le m e n ts ...64
4.3.3. E q u a tio n s of th e conservation of m o m e n t u m ...74
4.3.4. E q u a tio n s of th e conservation of e n e r g y ... 97
5. N u m e r i c a l s i m u l a t i o n 105 5.1. A N SY S code applied in calcu latio n s b y m eans of F E M ... 105
5.2. A lg o rith m of n u m erical s im u la tio n ... 106
5.3. S y stem of e q u atio n s of th e solved m odel of th e resistan ce sp o t w elding p r o c e s s ... 108
5.4. B o u n d a ry con d itio n s of th e solved m o d e l ... I l l 5.5. R esu lts of n um erical calcu latio n s ... 121
6 . E x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n s 131
6.1. Test s t a n d s ...131 6.2. Technological investigations of resistance spot w e ld s ... 133
6.2.1. The influence of parameters of resistance spot welding process on the shape and dimensions of spot w e ld s ... 135 6.3. Infrared investigations of resistance spot welded jo in ts ... 137
7. C o n c l u d i n g r e m a r k s 1 4 3
A A p p e n d i x 1 4 7
B i b l i o g r a p h y 1 5 1
S u m m a r i e s 1 6 3
I n d e x 1 6 5
W ykaz w a żn iejszych o zn a czeń
A - składowa rzeczywista potencjału zespolonego A , A - składowa urojona potencjału zespolonego A ,
B - pole wektorowe indukcji magnetycznej ośrodka pozostającego w stanie spoczynku; T ,
B* - pole wektorowe indukcji magnetycznej w układzie odniesienia poruszającym się z lokalną prędkością v :T ,
Bfc - indukcja magnetyczna A:-tej fazy,
c - prędkość propagacji fali elektromagnetycznej (prędkość światła w próżni)
cP - udział masowy (koncentracja) składników /? w mieszaninie heterogenicznej,
ć% - gęstość masowa składnika (5 w fazie k, cv - ciepło właściwe przy v = id e m , D - współczynnik dyfuzji,
D - pole wektorowe indukcji elektrycznej ośrodka pozostającego w stanie spoczynku; C / m 2,
D * - pole wektorowe indukcji elektrycznej w układzie odniesienia poruszającym się z lokalną prędkością v , C / m 2,
Dfc - indukcja elektryczna k-tej fazy,
D ‘l - współczynnik stężeniowej dyfuzji izotermicznej składnika f3 w k-tej fazie, [clij], - dewiator tensora prędkości odkształcenia metalu w fc-tej fazie,
[dij] - dewiator tensora prędkości odkształcenia,
E - pole wektorowe natężenia pola elektrycznego ośrodka pozostającego w stanie spoczynku; V / m ,
E* - pole wektorowe natężenia pola elektrycznego w układzie odniesienia poruszającym się z lokalną prędkością v; V/rn,
E - zespolona amplituda początkowa wektora natężenia pola elektrycznego, Efc - natężenie pola elektrycznego A:-tej fazy,
[cij]s - dewiator tensora odkształceń fazy stałej, / - częstotliwość prądu zgrzewania,
f - ujednolicony wektor wypadkowy gęstości sił oddziaływania pola elektromagnetycznego,
8 Wykaz ważniejszych oznaczeń
f - wypadkowy wektor gęstości wymiany pędu z uwagi na oddziaływania międzyfazowe,
f i - wektor gęstości sił oddziaływania przyłożonego pola elektromagnetycznego,
Qk - objętościowy udział A;-tej fazy (4.169),
H - pole wektorowe natężenia pola magnetycznego; A / m ,
H* - pole wektorowe natężenia pola magnetycznego w układzie odniesienia poruszającym się z lokalną prędkością v; A / m ,
H - zespolona amplituda początkowa wektora natężenia pola magnetycznego, Hfc - natężenie pola magnetycznego A;-tej fazy,
j - pole wektorowe gęstości prądu przewodzenia; A / m 2,
j* - pole wektorowe gęstości prądu przewodzenia w układzie odniesienia poruszającym się z lokalną prędkością v , A / m 2,
j k - jednostkowy strumień dyfuzujny wielkości ekstensywnych Pk przez powierzchnię S*.,
k - współczynnik równowagowy podziału składników stopu,
L ki - współczynnik przewodzenia składnika k ,
n - wskaźnik lub kierunek normalnej,
N - liczba zarodków w objętości elementarnej,
ń k - wektor zmian pędu A-tej fazy ze względu na oddziaływania międzyfazowe,
p - homogeniczne (ujednolicone) ciśnienie nieściśliwej mieszaniny heterogenicznej,
P - moc dostarczana przez doprowadzone pole (zewnętrzne) elektromagnetyczne,
Pk - ciśnienie hydrostatyczne fc-tej fazy, p s - ciśnienie w fazie stałej,
P ( r ) - gęstość czynnej mocy pola elektromagnetycznego, q - gęstość właściwa ładunków elektrycznych,
q0(r ) - początkowy rozkład gęstości ładunków,
Q (r ) " gęstość biernej mocy pola elektromagnetycznego, r - wektor położenia punktu materialnego,
sk - gęstość powierzchniowa mocy przenoszonej przez pole elektromagnetyczne fc-tej fazy - wektor Poyntinga k-te j fazy, T - temperatura,
T s - temperatura topnienia (linia solidus), u ° - stała całkowania,
Uk - energia wewnętrzna A:-tej fazy, u { T) - energia wewnętrzna,
v - pole prędkości ośrodka -(| v |-C c), m / s , Vk - prędkość A;-tej fazy,
w - gęstość objętościowa energii pola elektromagnetycznego, w - gęstość objętościowa mocy pola elektromagnetycznego,
w k - energia (odniesiona do jednostki objętości k-tej fazy)
zmagazynowana w polu elektromagnetycznym ośrodka izotropowego,
Wykaz ważniejszych oznaczeń 9
a - współczynnik wymiany ciepła,
(3 - parametr określający szybkość krystalizacji objętościowej, A T - przechłodzenie,
Sij - tensor jednostkowy,
e - przenikalność elektryczna ośrodka; F / m ,
£k - przenikalność elektryczna fc-tej fazy,
£r - względna przenikalność elektryczna ośrodka,
[e]s - intensywność odkształceń liniowych (liniowe odkształcenie zastępcze) dla fazy stałej,
M s - intensywność prędkości odkształcenia liniowego (zastępcza prędkość odkształcenia liniowego) fazy stałej,
- parcjalny tensor odkształceń fazy stałej, V - lepkość fazy stałej,
v ( T ) - lepkość dynamiczna fazy ciekłej w funkcji temperatury, d - bezywymiarowa temperatura homogeniczna fazy stałej, A - współczynnik przewodnictwa ciepła,
Afc - współczynnik przewodzenia ciepła fc-tej fazy (A*, = Afc(T)), M - przenikalność magnetyczna ośrodka; H / m ,
/J-k - przenikalność magnetyczna fc-tej fazy,
Pr - względna przenikalność magnetyczna ośrodka, p - gęstość (masa właściwa) ośrodka; k g / m 3, Pk - gęstość cząstkowa kr tej fazy (4.173),
a - przewodność właściwa (konduktywność skrośna) ośrodka; S / m , 5o - normalne naprężenia uplastyczniające fazę stałą,
[?ij]k - symetryczny tensor naprężeń A-tej fazy,
° k - przewodność fc-tej fazy,
M s - intensywność parcjalnych naprężeń normalnych (naprężenie zastępcze normalne) fazy stałej,
- symetryczny tensor naprężeń As-tej fazy mieszaniny heterogenicznej, - symetryczny tensor naprężeń fazy stałej,
T - współczynnik relaksacji, s,
iTij} - homogeniczny dewiator naprężeń w materiale,
[Tij\k - dewiator tensora naprężeń fc-tej fazy mieszaniny heterogenicznej,
iTij\L - dewiator tensora naprężeń parcjalnych w ciekłym metalu,
[ry]'S - dewiator tensora naprężeń parcjalnych fazy stałej,
[Tij] - dewiator parcjalnych naprężeń w materiale,
<t> - składowa rzeczywista zespolonego potencjału elektrodynamicznego <ł>, Ź - składowa urojona zespolonego potencjału elektrodynamicznego <3>, Ipki - parametry intensywne wielkości ekstensywnych p k i ‘k,
UJ - częstość kołowa oscylacji analizowanych pól,
UJ - częstość kołowa oscylacji prądu zgrzewania (a; = 2 n f ) .
Z grzew anie oporow e p u n k to w e z n a jd u je coraz w iększe zastosow anie przem ysłow e do miejscowego łączen ia k o n stru k cji m etalow ych, w ykonyw anych głów nie ze stali niskowęglowej o norm alnej i podw yższonej w y trzym ałości. P rzed e w szystkim zgrzew anie to sto su je się w w ielkoseryjnej i w ielooperacyjnej p ro d u k cji lekkich elem entów i k o n stru k cji przestrzen n y ch , w y stęp u jący ch głów nie w przem yśle sam ochodow ym , lotniczym , a ta k ż e do p ro d u k cji arty k u łó w g o sp o d arstw a domowego i k o n stru k cji budow lanych (belki, dźw igary, słupy, kratow nice).
G ru b o ść zgrzew anych elem entów je s t zw ykle o graniczona m ocą p osiadanych zgrzew arek i zależy głów nie od ro d z a ju m a te ria łu oraz sposobu d oprow adzenia do nich p rą d u zgrzew ania. M e to d a zgrzew ania punktow ego je s t b ard zo w y d a jn a i łatw a do z a u to m aty zo w an ia i zrobotyzow ania. Nowoczesne au to m a ty c z n e zgrzew arki p u n k to w e p ra c u ją z szybkością do 200 zgrzein pu n k to w y ch n a m in u tę, zgrzew ając jed n o cześn ie kilkadziesiąt, a naw et kilkaset p u n k tó w .
W celu o trz y m a n ia p o w tarzaln o ści w yników i uzy sk an ia zgrzein o wysokiej jakości konieczne je s t d o b ran ie odpow iednich p a ra m e tró w technologicznych procesu i p o zn an ie m echanizm ów tw orzenia się zgrzeiny. B ad an ie procesu, ja k i dobór o p ty m aln y ch p a ra m e tró w w y m aga zastosow ania specjalistycznej a p a ra tu ry steru jąco - pom iarow ej.
S przężenia elek tro term o m ech an iczn e w procesie zgrzew ania oporowego punktow ego są skom plikow anym i zjaw iskam i, w iążącym i czynniki m echaniczne, elektryczne, cieplne i m etalurgiczne. C zynniki te , oddzielnie lu b w p o łączen iu ze sobą, m a ją wielki w pływ n a s ta n n ap rężeń p o w stały ch w poszczególnych fazach zgrzew ania punktow ego, ja k i n a form ow anie ją d r a zgrzeiny oraz jego końcową geom etrię. A by rozw inąć odpow iednie sposoby m echanizacji zgrzew ania punktow ego n ie z b ę d n a je s t d o k ła d n a w cześniejsza a n aliza i p o zn an ie ta k skom plikow anych zjaw isk. D o analizy p ro cesu zgrzew ania oporow ego punktow ego m ożna zastosow ać m odelow anie m a tem aty czn e, w y korzystując m ożliwości obliczeniowe w spółczesnych k o m p u teró w ta k aby w ykonać sym ulacji procesów zgrzew ania zgodnie z praw am i fizycznym i. P o zw eryfikow aniu, m odele m ogą służyć do w y jaśn ian ia zjaw isk obserw ow anych p rz y użyciu m eto d dośw iadczalnych.
Z asadniczy p rzeło m w popraw ie jakości p ro cesu zgrzew ania stanow iło w prow adzenie inw ertorow ych źró d eł p rą d u z przem iennikiem średniej częstotliw ości (1000-1200Hz) i sta ło p rąd o w y m obw odem w tó rn y m . Z m niejszenie g ab ary tó w tra n sfo rm a to ra , sy m etry czn e obciążenie sieci, w ysoka spraw ność i możliwość p recyzyjnego stero w an ia czasem zgrzew ania (ok. 20-k ro tn ie szybsza możliwość reakcji w p o ró w n an iu ze zgrzew aniem konw encjonalnym ) p o w odują, że ź ró d ła
12 Rozdział 1. W prowadzenie
inwertorowe znajdują zastosowanie w nowych urządzeniach i liniach produkcyjnych zgrzewania oporowego punktowego.
Zastosowanie zgrzewarek inwertorowych ponadto zwiększa żywotność elektrod i daje złącza lepszej jakości.
Wprowadzenie napędu elektrycznego, pozwalającego programować pozycje wstępne i robocze elektrod, wielkość siły docisku i jej zmiany oraz uzyskiwać łagodne zamykanie elektrod, wzrost trwałości elektrod i podzespołów mechanicznych, kontrolę uszkodzenia elektrod i grubości zgrzewanych elementów, stanowi kolejny skok jakościowy technologii zgrzewania oporowego punktowego. Dochodzą do tego korzyści z oszczędności mediów (np. powietrza lub płynów hydraulicznych).
Odrębnym problemem jest rozwój urządzeń sterujących i kontrolno-pomiarowych. Współczesne sterowniki zgrzewarek oporowych punktowych są podzespołami mikroprocesorowymi pozwalającymi na precyzyjne sterowanie wartościami prądu i czasami zgrzewania we wszystkich rodzajach zgrzewarek. Układy sterowania pozwalają sterować całym programem zgrzewarki z uwzględnienim czasu zgrzewania, wartości natężenia prądu, liczby impulsów czy regulować skokowo siłę docisku elektrod. Niektóre ze sterowników umożliwiają nastawianie stabilizowanego prądu zgrzewania, niezależnie od indukcyjności obwodu wtórnego i rodzaju materiału, a także programowanie algorytmu wzrostu natężenia prądu w miarę wzrostu liczby zgrzein.
2. S ta n d o ty ch cza so w y za g ad n ien ia
Modelowanie i symulacja procesu zgrzewania oporowego punktowego od dawna przyciągały uwagę wielu badaczy. We wczesnych etapach badań modelowanie matematyczne było nieprzystosowane do osiągnięcia wszechstronnej analizy procesu, ze względu na jego złożoność wywołaną występowaniem wzajemnie powiązanych zjawisk mechanicznych, elektrycznych, cieplnych i metalurgicznych.
Większość przeprowadzonych prób symulacji procesu przy zastosowaniu modeli matematycznych i teoretycznych była skierowana głównie na problemy przepływu ciepła i zjawiska powierzchniowe bez ujęcia zjawisk termomechanicznych.
Greenwood i Wiliamson [72] przeprowadzili badania teoretyczne i doświadczalne w celu ustalenia rozkładu temperatury na małym obszarze pomiędzy stykającymi się półnieskończonymi ciałami stałymi. Stwierdzili szczególny rozkład gęstości prądu na obrzeżu powierzchni styku i porównali to zjawisko z wynikami badań doświadczalnych, potwierdzając koncentrację ciepła na obrzeżu powierzchni styku.
Wywnioskowali, że masa materiału w pobliżu obszaru styku nie jest nagrzana dostrzegalnie przez przepływający przez nią prąd. Jest ona nagrzana drogą przewodzenia ciepła od zewnętrznego obszaru styku. Archer w 1960 r. [10]
podał matematyczne zależności dotyczące rozkładu temperatury w zgrzeinach punktowych pod kątem sterowania procesem. Zrobił on kilka przesadnie upraszczających założeń, które ułatwiły rozwiązanie problemu i dały wgląd w reakcję dynamiczną materiału na przewodzenie ciepła. W 1961 roku Greenwood [71]
wprowadził pierwszy model przewodzenia ciepła, wykorzystując metodę różnic skończonych do symulacji procesu zgrzewania oporowego punktowego. Praca ta wniosła duży wkład do analitycznego modelowania procesu. Greenwood opracował osiowosymetryczny model przewodzenia ciepła i uwzględnił nagrzewanie wewnętrzne ciepłem Joule’a, chociaż jego model nie uwzględnia wytwarzania ciepła na oporze styku, a także pominął utajone ciepła topnienia powstałe w czasie przemian fazowych. Rozpatrywał też własności materiału jako niezależne od temperatury. Uzyskał przestrzenne rozkłady temperatury przez cały okres trwania cyklu zgrzewania. W yniki te pokazują, że koncentracja temperatury na peryferiach styku elektrody z materiałem ma miejsce we wcześniejszym stadium cyklu zgrzewania. Przy dłuższym czasie zgrzewania rozkład temperatury wzdłuż powierzchni styku jest podobny do kształu eliptycznego jądra. Następnie Bentley i inni [20] badali teoretycznie i eksperymentalnie wpływ oporu styku na rozkład temperatury przy różnych czasach trwania cyklu zgrzewania podczas formowania się zgrzeiny punktowej w próbkach ze stali niskowęglowej. Model opracowany wcześniej przez Greenwooda [71] był zastosowany do porównania przewidywanego rozkładu temperatury z rzeczywistymi wynikami badań. Wyciągnięte z badań
w nioski w skazują, że o p ó r sty k u o d g ry w ał głó w n ą rolę jed y n ie w pierw szym e ta p ie w y tw a rz a n ia ciepła, a sta w a ł się m niej is to tn y w późniejszym sta d iu m form ow ania ją d r a zgrzeiny p u nktow ej. M odel G reenw ooda nie uw zględniał je d n a k ż e o p o ru sty k u i ty m sam ym nie uw zględniał rzeczyw istego przebiegu we w cześniejszych s ta d ia c h , ale d o sta rc z y ł d o b ry ch w skazań u k sz ta łto w a n ia rzeczyw istej te m p e ra tu ry w późniejszych s ta d ia c h zgrzew ania. W ro k u 1967 R ice i P u n k [145] b a d a li an ality czn ie ro z k ła d y te m p e ra tu r w czasie zgrzew ania m a te ria łó w złożonych (kom pozytow ych) i pow iązali w pływ o p o ru sty k u z ro zk ład em te m p e ra tu r. Sform ułow ali jed n o w y m iaro w y w ielow arstw ow y m odel p rzep ły w u c iep ła, w y k o rzy stu jąc m e to d ę an alizy ró w n an iam i różnicow ym i. M odel opracow ano z uw zględnieniem w łasności m a te ria łó w zależnych od te m p e ra tu ry , w y tw arzan ia c ie p ła J o u le ’a w m asie m a te ria łu przew odzącego p rą d elek try czn y oraz oporności sty k u . M odel nie uw zględniał jed n a k ż e u k ry teg o cie p ła to p n ien ia. O trz y m a n e w yniki pokazyw ały, że opo rn o ść sty k u w niew ielkim sto p n iu w pływ a n a w ydzielanie ciep ła we w cześniejszych s ta d ia c h cyklu zgrzew ania. Jednocześnie doszli do w niosku, że w cały m cy k lu zgrzew ania oporność sty k u je s t bliska w artości końcowej.
G o u ld [67] b a d a ł rozw ój ją d r a zgrzeiny p o d czas zgrzew ania punktow ego trzech różnych gru b o ści blach ze sta li ty p u A ISI 1008, w yko rzy stu jąc zarów no b a d a n ie e k sp e ry m e n ta ln e, ja k i tech n ik i an ality czn e. Z astosow ał on jednow ym iarow y m odel p rzew o d n ictw a ciepła. Jeg o m o d el uw zględniał n a stę p u ją c e elem enty: g eom etrię elek tro d , w łasności m a te ria łu zależne od te m p e ra tu ry , to p n ien ie, w ew nętrzne w y tw arza n ie ciepła, oraz oporności sty k u . Z astosow ano m eto d ę elem entów skończonych do o trz y m a n ia ro zw iązań d la nieliniow ych ró w n ań cząstkow ych.
P o ró w n an ie p om iędzy w ynikam i b a d a ń an ality czn y ch i b a d a n ia m i m etalograficznym i elem entów o dużej g ru b o ści pokazało, że m o d el przew idyw ał w y m iary ją d r a zgrzeiny zn acznie w iększe od ty ch , k tó re zaobserw ow ano w eksperym encie. W pow yżej w ym ienionych p u b lik ac jac h p o m in ię to oczyw iste sprzężenie term o m ech an iczn e w y stęp u jące w procesie zgrzew ania punktow ego. W sz y stk ie m odele m a te m a ty c z n e opisyw ane p rzez cytow anych a u to ró w b y ły pośw ięcone analizie procesów cieplnych w funkcji n astaw io n y ch p a ra m e tró w zgrzew ania, ale nie uw zględniały n ap ręże ń m echanicznych i cieplnych. W 1984 N ied [121] w y k o rzy stu jąc p ro g ram A N SY S o pracow ał m o d el osiow osym etryczny, k tó ry uw zględniał g eo m etrię e lek tro d i elem entów zgrzew anych i b r a ł p o d uw agę w łasności cieplne zależne od te m p e ra tu ry o raz nagrzew anie ciepłem J o u le ’a. W re zu ltacie u zyskał ro z k ła d o d k ształc eń e le k tro d y i elem entów zgrzew anych oraz ro z k ła d n a p ręż eń w zdłuż pow ierzchni styku.
A n aliza te rm ic z n a d o sta rc z y ła ro z k ła d u te m p e ra tu ry , p o k azu jąc ch a ra k te ry sty cz n e izo term y ją d r a zgrzeiny o k sz ta łc ie elipsoidy. C hociaż m o d el p o zw alał n a uzyskanie m echanicznych i cieplnych odpow iedzi p ro c esu zgrzew ania, sy m u la cja o p o ru sty k u i sp rzężen ia term o m ech an iczn eg o nie b y ły ja s n o określone.
W śró d w ażnych d o stęp n y ch publikacji, o d w iercied lający ch s ta n b a d a ń n a d fenom enologicznym m odelow aniem m a te m a ty c z n y m sto p ó w b in arn y ch z uw zględnieniem p rz e m ia n y fazowej likw idus-solidus, tra k to w an y ch jak o m ieszaniny w ieloskładnikow e należy w ym ienić [17, 18]. Z aproponow any ta m
m odel rozw iązano num erycznie i przeanalizow ano d la p rz y p a d k u krzepnięcia chlorku am o n u w p ro sto k ą tn e j kokili. P u b lik acje te w skazują n a możliwość i celowość tego ty p u p o stęp o w an ia m im o licznych uproszczeń i u z u p ełn iający ch założeń. A d a p ta c ję m o d elu z [17, 18] do w arunków fizycznych pow staw an ia ciekłego ją d r a zgrzeiny punktow ej m o żn a znaleźć w [192] i [190]. A d a p ta c ja p o le g a ła n a u zu p e łn ie n iu rów nań ru ch u o składow e sił o d d ziały w an ia p o la elektrom agnetycznego, a ró w n an ia zachow ania energii o człon źródłow y opisujący w y d zielające się ciepło J o u le ’a-L enza n a stykach m a teriałó w oraz n a sk u tek o p o ru p rzew odzenia p rą d u . C złon te n zap isan o z du ży m uproszczeniem , nie rozw iązując z a d a n ia p ro p ag acji p o la elektrom agnetycznego. W m od elu nie uw zględniono p o n a d to w ystęp u jącej niejednorodności w łasności fizycznych m ateriałó w uczestniczących w procesie zgrzew ania, w yw ołanej zm ian am i te m p e ra tu ry oraz założono h ip o tezę ’’filtracy jn eg o ” m o d elu p rzen ik an ia fazy ciekłej przez fazę s ta łą (praw o D a rc y ’ego). P rz y ty m obliczenia w ykonano przykładow o d la h ipotetycznego m a te ria łu i założonych w arto ści liczb k ry te rialn y ch (ró w n an ia p o d a n o w p o sta ci bezw ym iarow ej ).
W pub lik acjach [121, 183] a u to rz y sto su ją w p ro st p a k ie t kom ercyjny ANSYS bez sta w ia n ia w sposób jaw n y (explicite) z a d a n ia m odelującego zjaw iska punktow ego zgrzew ania oporowego.
W sp ó łczesn y przem y sł w d ra ż a m a te ria ły o podw yższonej i wysokiej w y trzy m ało ści (D P 600, T M S1200), zw iększa zastosow anie alum inium i jego stopów oraz blach w arstw ow ych (ty p u sandw ich) i p o k ry ty ch pow łokam i. Nowe m a te ria ły s tw a rz a ją w yzw ania d la technologów , użytkow ników i k o n stru k to ró w s p rz ę tu zgrzew alniczego. Stosow anie b lach o wysokiej w y trzy m ało ści stw arza p roblem y zw iązane m iędzy innym i z koniecznością stosow ania w iększych sił docisku zgrzew ania i zaw ężenia zak resu p a ra m e tró w zgrzew ania. Skłonności do po w staw an ia s tr u k tu r hartow niczych zap o b ieg a się częściowo przez zastosow anie cykli zgrzew ania z o b ró b k ą cieplną zgrzeiny d o d atk o w y m im pulsem p rą d u . Z grzew anie alum inium w y m ag a stosow ania odpow iedniego p rzy g o to w an ia pow ierzchni blach oraz zasto so w an ia różnych m a teriałó w n a elek tro d y zgrzew arek, np. sto p u C u C rZ r d la b lach A lM g lu b C uA g d la stopów odlew niczych AISiCu.
P a ra m e try technologiczne zgrzew ania oporow ego zależą o d w łaściw ości fizycznych zgrzew anych m ateriałó w . Św iadczyć m ogą o ty m isto tn e różnice w w arto ściach tych p a ram etró w , jak ie w y n ik ają z zaleceń lite ra tu ry d la różnych g ru p m ateriałó w . Nie d la w szystkich m etali i stopów technicznych m ożna ustalić p o trz e b n e d a n e w p o sta c i ta b e l i w ykresów . W d ostępnej lite ra tu rz e nie p o d a je się ogólnych zależności ani m e to d p o stęp o w an ia, k tó re um ożliw iałyby sposób u sta le n ia praw idłow ej technologii zgrzew ania oporowego d la każdego dowolnego m ate ria łu .
P ró b y uogólnienia zaleceń technologicznych, zw łaszcza w odniesieniu do zgrzew ania punktow ego, podejm ow ano od daw na. O p ierały się one zazw yczaj n a ro z p a try w a n iu b ila n su cieplnego p ro cesu zgrzew ania i u sta le n iu w ynikających zależności, k tó re m ogłyby um ożliw ić obliczenie w łaściw ych d la danego m e ta lu
16 Rozdziai 2. Stan dotychczasowy zagadnienia
parametrów zgrzewania. Zależności te są jednak na tyle skomplikowane, że nie znalazły szerszego zastosowania w praktyce.
3. T eza i p rzed m io t pracy
W pracy przedstawiono opis matematyczny i analizę fizycznych zjawisk stanowiących istotę zgrzewania oporowego punktowego.
W oparciu o przegląd publikacji dotyczących problematyki przedstawionej rozprawy oraz prac własnych sformułowano tezę pracy:
S p o ś r ó d w i e l u z j a w i s k f i z y c z n y c h z a c h o d z ą c y c h w p r o c e s i e z g r z e w a n i a o p o r o w e g o p u n k t o w e g o d o m i n u j ą c ą r o l ę w p r o c e s i e t w o r z e n i a z ł ą c z a o d g r y w a j ą :
• p r z e w o d z e n i e p r ą d u p r z e z z g r z e w a n e m a t e r i a ł y i i c h s t y k i o r a z s t y k i m a t e r i a ł ó w z g r z e w a n y c h i e l e k t r o d , z a l e ż n o ś ć o p o r n o ś c i p r z e w o d z e n i a p r ą d u o d t e m p e r a t u r y o r a z s i ł y d o c i s k u e l e k t r o d ,
a w z w i ą z k u z t y m w y d z i e l a j ą c e s i ę c i e p ł o J o u l e ’a - L e n z a ,
• t r a n s p o r t c i e p ł a w y d z i e l a j ą c e g o s i ę w t r a k c i e p r z e p ł y w u p r ą d u z g r z e w a n i a w o b s z a r z e z g r z e w a n i a m i ę d z y e l e k t r o d a m i ,
• z m i a n y s t a n u s k u p i e n i a j ą d r a z g r z e i n y ( s o l i d u s - l i k w i d u s - s o l i d u s ) w c y k l u z g r z e w a n i a ,
• t r a n s p o r t m a t e r i i i p ę d u w o b s z a r z e t w o r z o n e g o j ą d r a z g r z e i n y w o b e c n o ś c i s i ł p o l a e l e k t r o m a g n e t y c z n e g o .
Przedstawiona rozprawa obejmuje:
• opracowanie modeli matematycznych istotnych fizycznie zjawisk zachodzących podczas zgrzewania oporowego punktowego. O p ra co w a n ie d o ty c z y za g a d n ie ń n a u k o w y c h w p isu ją c y c h się w p r z e d m io t p ro w a d zo n y c h w P o lsc e i n a św ie c ie in te n s y w n y c h badań d o ty c zą c y c h m o d e lo w a n ia pól sp rzę żo n y c h . P ro ce sy zg rze w a n ia oporow ego p u n k to w e g o c h a r a k te ry z u ją się w ie lo m a cecham i u w z g lę d n io n y m i w m o d elo w a n iu :
— n ie je d n o r o d n o śc ią c ie p ln ą m a te ń a łó w , w ty m w ła sn o śc i e le k tro m a g n e ty c z n y c h , s to s o w a n y c h do zg rze w a n ia ze w zględu n a n ie je d n o r o d n y ro zk ła d te m p e ra tu ry ,
— d u ż y m i tr u d n o ś c ia m i z d o k ła d n y m s fo r m u ło w a n ie m w m odelu m a te m a ty c z n y m w a r u n k ó w g ra n ic zn y c h , d o ty c zą c y c h zw ła szc za pola te m p e ra tu ry ; s tą d p rze p ro w a d zo n o re je stra c ję p ó l te m p e r a tu r y m e to d ą te rm o g ra fic zn ą z je d n o c z e s n ą w e ry fik a c ją p o m ia r u te m p e r a tu r y in n y m i m e to d a m i (np. p r z y za sto s o w a n iu te rm o p a r),
— s iln y m s p r z ę ż e n ie m ze sobą p ó l fiz y c z n y c h (np. te m p e ra tu ry , e le k tr o m a g n e ty c z n y m i i m e c h a n ic z n y m i),
- is t n ie n i e m p ó l n ie lin io w y c h , a w p r z y p a d k u m a te r ia łó w fe r r o m a g n e ty c z n y c h w y s tę p o w a n ie m siln eg o n a s y c e n ia m a g n e ty c z n e g o .
W o p ra c o w a n y m m o d e lu m a te m a ty c z n y m p ro c esu zg rze w a n ia oporow ego p u n k to w e g o p r z y ję to n a s tę p u ją c e z a ło ż e n ia :
- p r a k ty c z n ie n ie w y s tę p u ją z e w n ę tr z n e źró d ła p o la m a g n e ty c z n e g o o d d zia łu ją c e p r z e z in d u k c ję n a obw ód w tó r n y zg rze w a n ia ,
- w p r z y p a d k u zg rze w a n ia p r ą d e m p r z e m ie n n y m p o m in ię to p o d o b n ie j a k w p rz y p a d k u p rą d u sta łeg o s ta n y p r z e jś c io w e (n ie u s ta lo n e ) i o g ra n ic zo n o s ię do ą u a si-sta ty c zn e g o p r z y b liż e n ia ró w n a ń e le k tro d y n a m ik i M a zw e lla , - o g ra n ic zo n o się do p r z y p a d k u ja k i za ch o d zi, k ie d y o śro d ek w k tó r y m
p ro p a g u je s ię p o le e le k tr o m a g n e ty c z n e j e s t izo tro p o w y m i lin io w y m z uw agi n a w ła s n o ś c i e le k tr o m a g n e ty c z n e , ale n ie je d n o r o d n y m p r z e w o d n ik ie m e le k tr y c z n y m ; n ie w y s tę p u je z e w n ę tr z n e po le m a g n e ty c z n e , ale j e s t w y tw a r z a n e w y łą c z n ie p r z e z sa m o in d u k c ję , p o m in ię to zja w isk o H alla, - u z y s k a n o ogó ln y o p is m a te m a ty c z n y p ro c esu z g rze w a n ia oporow ego
p u n k to w e g o , u w z g lę d n ia ją c y o p is pola e le k tro m a g n e ty c z n e g o za ró w n o dla s ta n u ciekłego, j a k i sta łeg o ;
• obliczenia n u m ery czn e w y b ran eg o m odelu zrealizow ane p rz y zastosow aniu kom ercyjnego k o d u A N SY S Inc. (w ersja akadem icka),
• b a d a n ia d ośw iadczalne obejm ujące: p ró b y zgrzew ania elem entów z w ybranych m a te ria łó w z jed n o czesn y m p o m ia re m ro z k ła d u te m p e ra tu ry sto su jąc m e to d ę term o g raficzn ą; p o m ia ry te m p e ra tu ry w w y b ran y ch p u n k ta c h przy za sto so w an iu te rm o p a r; p o m ia r k s z ta łtu i w ym iarów zgrzein o raz p o m iar przem ieszczeń ruchom ej e le k tro d y zgrzew arki oraz p a ra m e tró w dynam icznych zgrzew ania.
P rz e d sta w io n e b a d a n ia prow adzone b y ły przez a u to ra , głów nie w ram ach p ro je k tó w badaw czych n r 7 S201 044 04 i 7 T 08C 051 19, finansow anych przez K o m ite t B a d a ń N aukow ych.
M odele m a te m a ty c z n e zjaw isk fizycznych zachodzących p o d czas zgrzew ania oporow ego punktow ego
T ra n s p o rt m a te rii, p ę d u i energii w pro cesach zgrzew ania oporow ego punktow ego P a k ie t kodów program ow ych A N SY S zastosow any d o obliczeń m e to d a elem entów skończonych
U k ła d ró w n a ń rozw iązyw anego m o d elu p ro c e su zgrzew ania oporow ego punktow ego
4. M o d e le m a te m a ty c z n e zjaw isk fizyczn ych zach o d zą cy ch p o d cza s p u n k to w eg o zgrzew an ia op orow ego
4.1. W stę p
W cyklu zgrzew ania oporow ego punktow ego m ateriałó w m o żn a w yróżnić n a stę p u ją c e fazy procesu:
• docisku zgrzew anych m ateriałó w z a pośrednictw em elek tro d ,
• p rze p ły w u p rą d u elektrycznego doprow adzonego przez elektrody,
• krzep n ięcia i k ry stalizacji (z e stalan ia się ciekłego ją d r a zgrzeiny).
W fazie p rzep ły w u p rą d u obserw uje się dw a okresy, pod czas k tó ry ch p o d w pływ em przep ły w ająceg o p rą d u w obw odzie e lek tro d a -m ate ria ły -e le k tro d a w ydziela się ciepło:
• n a w y stęp u jący ch stykach:
— e le k tro d a -m ate ria ł,
— m a te ria ł-m a te ria ł,
• o p o ru przew odzenia w elek tro d ach i zgrzew anych elem entach.
Część w ydzielonego c iep ła o d p ro w ad zan a je s t n a zew n ątrz za pośrednictw em chłodzonych e le k tro d oraz jego w ym iany z otoczeniem . Z nacząca je d n a k część pow oduje lokalny w zrost te m p e ra tu ry aż do p o w sta n ia ciekłego ją d ra , w k tó ry m obserw uje się płynięcie m a teriałó w p o d d ziałan iem sił przyłożonego p o la elektrycznego oraz w ym ianę ciep ła z t ą częścią zgrzew anych m ateriałó w , k tó ra p o z o sta je w fazie sta łe j. M iędzy fazam i (s ta łą (S) i ciek łą (L)) w ystęp u je dw ufazow a stre fa przejściow a (L + S ). O dłączenie zasilan ia p rą d e m p o c z ą tk u je krzepnięcie i k ry stalizację ciekłego ją d r a aż do całkow itego ostygnięcia. W te n sposób p o w staje trw a łe połączen ie zgrzew anych m ateriałów .
W y stę p u ją c e zjaw iska są w zajem nie pow iązane, a ich opis m atem aty czn y je st niezw ykle skom plikowany, naw et jeśli p o m in ąć p rzem ian y fazowe w s ta ły m stan ie skupienia. O pis te n , w ujęciu fenom enologicznym p rzed staw io n y we w spółrzędnych E u lera, ja k zaproponow ano w dalszej części pracy, prow adzi do u k ła d u sprzężonych nieliniow ych cząstkow ych rów nań różniczkow ych o zm iennych w spółczynnikach. Są to okoliczności, z k tó ry m i do tej p o ry nie u p o ra ła się w spółczesna m atem aty k a.
D latego w p ra c y s ta ra n o się doprow adzić do racjo n aln y ch uproszczeń, pozw alających
20 Rozdział 4. Modele m atem atyczne zjawisk fizycznych
na uzyskiwanie przybliżonych rozwiązań numerycznych, bazujących na metodzie elementów skończonych, w oparciu o dostępny profesjonalny kod znanego pakietu programów A N S Y S Inc.
Obok ograniczeń klasy rozwiązywalnych zadań (zagadnień brzegowych i początkowych) narzucanych przez AN SYS, poważnym ograniczeniem były warunki, czy też możliwości techniczne dostępnego sprzętu, nie pozwalającego na tak poważne obliczenia.
4.2. P o le e le k tr o m a g n e ty c z n e w p ro cesie p u n k to w eg o zgrzew an ia op orow ego
4.2.1. W stęp
W przypadku zgrzewania oporowego metali zachodzi potrzeba opisu propagacji pola elektromagnetycznego towarzyszącego przepływowi prądu stałego i zmiennego, 0 niskiej częstotliwości (zgrzewanie prądem stałym i przemiennym har
monicznie o częstotliwości 50 Hz) w ośrodkach przewodzących (elektrody, zgrzewane elementy) o zróżnicowanych własnościach magnetycznych. W obwodach elektrycznych prądu stałego i zmiennego o niskiej częstotliwości pobierana ze źródła energia elektryczna kierowana jest do odbiornika, jakim są zgrzewane materiały, za pośrednictwem przewodnika w postaci elektrod. Występujące pola elektryczne oraz stowarzyszone magnetyczne (indukowane przez przepływający prąd) w zasadzie nie wychodzą poza niewielki obszar powietrza atmosferycznego wokół elektrod i zgrzewanych materiałów. W trakcie zgrzewania oporowego za pośrednictwem elektrod przykładane jest zewnętrzne źródło pola elektrycznego 1 praktycznie nie ma zewnętrznego źródła pola magnetycznego, oddziałującego na powstały obwód. Przy tym znacząca część zaangażowanej w proces energii elektrycznej wydziela się w postaci ciepła Joule’a-Lenza na stykach oraz w przewodzącej objętości zgrzewanych materiałów, a tylko w niewielkim stopniu w objętości elektrod, dzięki właściwemu doborowi ich materiałów. Energię wypromieniowywaną do otoczenia przez pole elektromagnetyczne w stanach przejściowych (nieustalonych), zgrzewania prądem stałym i przemiennym oraz przy przepływie prądu harmonicznego o niskiej częstotliwości, chociażby ze względu na mały zasięg i moc pola elektromagnetycznego oraz własności otaczającego powietrza (dobry dielektryk i diamagnetyk), zaniedbano, np. [200]. Natomiast wypromieniowywaną energię cieplną pominięto z uwagi na krótki czas zgrzewania i osiągane temperatury na powierzchniach zgrzewanych elementów. Z punktu widzenia teorii obwodów elektrycznych zgrzewanie oporowe jest kontrolowanym stanem zwarcia przepływowego poła elektrycznego o niskim (bezpiecznym) napięciu l-j-15 V i prądzie przewodzenia rzędu l-j-30 kA, zlokalizowanym, w tym przypadku,
’’punktowo” . Z powodu znacznie wyższej inercji sprzężonych pól mechanicznych oraz pola temperatury, przy niemal ’’impulsowym charakterze” prądowego źródła
4.2. Pole elektromagnetyczne w procesie punktowego zgrzewania oporowego 21
ciepła, dochodzi do lokalnego wzrostu temperatury (powyżej temperatury topnienia) w tworzącym się jądrze zgrzeiny, a po ostygnięciu do trwałego połączenia zgrzewanych elementów. Mimo bardzo krótkiego kontrolowanego czasu zgrzewania rzędu 0,02-=-3 s jest on i tak dostatecznie duży w porównaniu do wspomnianego dalej współczynnika relaksacji (4.25), charakteryzującego czas ustalania się stanów przejściowych (w przypadku metali około 10-18 -r 10“ 19 s).
Dlatego zarówno w przypadku zgrzewania prądem stałym, jak i przemiennym zaniedbano stany przejściowe, ograniczając się do ąuasi-statycznego przybliżenia makroskopowych równań elektrodynamicznych Maxwella w ośrodku materialnym.
Dalej ograniczono się do okoliczności, jakie w rzeczywistości mają miejsce, kiedy ośrodek, w którym propaguje się pole elektromagnetyczne, jest izotropowy i liniowy z uwagi na własności elektromagnetyczne, lecz niejednorodnym termicznie przewodnikiem elektrycznym, a pole magnetyczne powstaje wyłącznie przez samoindukcję (indukcję własną).
Uczestniczące w procesie zgrzewania metale:
• elektrody ze stopów miedzi,
• zgrzewane elementy (stale, metale nieżelazne itp.),
są bardzo dobrymi lub dobrymi przewodnikami pierwszego rodzaju, np. [112, 144], ale mają bardziej zróżnicowane własności magnetyczne.
Interesującym nas dalej ośrodkiem materialnym będą wyłącznie przewodzące tworzywa metaliczne, zwane potocznie metalami, tzn. pierwiastki metaliczne i ich stopy. Pojęcie metalu jest w tym przypadku pewnym skrótem myślowym, przez który należy rozumieć substancję występującą w danych warunkach w stanie metalicznym, wynikającym ze szczególnej budowy elektronowej i krystalicznej charakteryzującej się [137]:
• elektronowym charakterem przewodnictwa elektrycznego z ujemnym współczynnikiem temperatury,
• występowaniem wiązań metalicznych jako jedynych lub współistniejących z innymi typami wiązań.
Ze względu na potoczne rozumienie pojęcia metali ograniczono się dalej do przewodników, dla których pasma energetyczne ich elektronów: pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne nakładają się, tworząc strefy niecałkowicie zajętych stanów, łatwo dostępnych dla elektronów. W stanie metalicznym obok pierwiastków metalicznych występują również ich stopy, tzn. połączenia o określonym składzie dwóch lub więcej pierwiastków, spośród których przynajmniej jeden jest metalem. Dzięki temu stopy mają również cechy metaliczne. Metale w stanie stałym wykazują określoną mikrostrukturę, z wyjątkiem specjalnie otrzymywanych stopów amorficznych. W opisie pola elektromagnetycznego z konieczności pominięto obecność i wpływ mikrostruktury. Jak to zostanie przedstawione w dalszej części pracy, pominięto ją również w odniesieniu do pozostałych pól fizycznych. Ten obszar badań nad zachowaniem się pola
elektromagnetycznego w tego typu ośrodkach dotychczas nie został wystarczająco dobrze poznany i udokumentowany.
Własności elektryczne materiałów charakteryzuje przewodność elektryczna a oraz przenikalność e. Przewodność elektryczna charakteryzuje zdolność materiału do przewodzenia prądu elektrycznego dzięki ruchowi nośników ładunków elektrycznych - elektronów. Natomiast przenikalność elektryczna jest miarą zdolności osłabienia wpływu zewnętrznego pola elektrycznego, a także zdolności do koncentracji energii w materiale. Łącznie obie własności elektryczne materiałów charakteryzują:
• współczynnik relaksacji r (4.25),
• współczynnik stratności elektrycznej tg S , charakteryzujący zdolność do wydzielania ciepła w określonym materiale [144].
Z powyższego wynika, że współczynnik stratności elektrycznej jest ważną miarą zdolności materiałów do tworzenia połączeń zgrzewanych elektrycznie.
Elektrody najczęściej wykonywane są z typowych diamagnetyków, natomiast zgrzewane elementy są ferromagnetykami lub rzadziej paramagnetykami, czy też diamagnetykami.
W zależności od wartości względnej przenikalności magnetycznej (4.21) /xr materiały dzielą się na trzy grupy [111, 144]:
1. diamagnetyki - dla których fir jest nieznacznie mniejsze 1 (jiT < 1), 2. paramagnetyki - dla których /tr jest nieznacznie większe 1 (//T > 1), 3. ferromagnetyki - dla których fir jest znacznie większe 1 ( p r » 1).
D la niektórych ferromagnetyków /i r osiąga wartości nawet rzędu 104 w przypadku czystego Fe (0,01% domieszek), podczas gdy w przypadku dia- i paramagnetyków przenikalność magnetyczna fi tych materiałów nieznacznie różni się od przenikalności magnetycznej próżni //q . Na przykład, stosowane na elektrody stopy miedzi są typowymi diamagnetykami (dla Cu /j t = 0,999968), a najczęściej zgrzewane stopy żelaza (stale) są lepszymi lub gorszymi ferromagnetykami, w zależności od rodzaju i udziału dodatków stopowych. Do ciał ferromagnetycznych należą metale Fe, Co, N i oraz ich stopy z Mn, A l, Cr, Si, stopy Henslera zawierające Cu, Mn, A l i inne.
Dla odmiany, zgrzewane aluminium (/zr = 1,000021) i jego stopy są typowymi paramagnetykami. W przypadku ferromagnetyków dodatkowymi utrudnieniami są:
- niejednoznaczność zależności B (H , T ) opisywana jako tzw. ’’pętla histerezy”
o nieskończenie wielu postaciach,
- istnienie możliwości trwałego namagnesowania, - możliwość wystąpienia anizotropii i magnetostrykcji,
- utrata własności magnetycznych powyżej temperatury Curie T c (w przypadku stali T c = 768°C ).
Mim o możliwości wystąpienia znacznych gradientów temperatury, zachodzące zjawisko termoelektryczne pominięto, ponieważ towarzysząca mu siła elektromotoryczna jest znacznie mniejsza od występującego natężenia pola
elektrycznego (różnica wielkości rzędu ~ 103), wywołanego przyłożeniem napięcia zewnętrznego.
W ogólnym przypadku niejednorodnego pola elektromagnetycznego zachodzą następujące związki fizyczne:
- dla wartości natężenia pola elektrycznego E , jakie występuje przy zgrzewaniu:
e r (r ) = er (E, T ) ~ s r { T) , a ( r ) = a ( E , r ) ~ a ( T ) , - w odniesieniu do zgrzewania dia- i paramagnetyków:
Hr( r) = /xr (H, T ) ~ H r ( T) , - w odniesieniu do ferromagnetyków:
Mr-(r ) = M r ( H , T ) ,
w których dalej pominięto wpływ natężenia pól elektromagnetycznych E i H w procesie zgrzewania oporowego, ze względu na zbyt małe ich wartości, aby mogły mieć, obok temperatury T, wpływ na własności materiałów.
W dalszych rozważaniach ograniczono się zatem do występującej niejednorodności z uwagi na pole temperatury T(r) ośrodka (niejednorodność termiczna). Niejednorodność tę uwzględniono w wykonanych obliczeniach na tyle, na ile pozwala na to dostępność odpowiednich danych materiałowych. Anizotropia praktycznie nie występuje.
W liniowym, elektromagnetycznie niejednorodnym, izotropowym przewodzącym ośrodku materialnym, poruszającym się. z prędkością v, niestacjonarne zjawiska elektromagnetyczne opisuje układ równań makroskopowych Maxwella [93, 101, 144, 156, 159, 200], przystosowanych przez Hertza [93] do ośrodków znajdujących się w ruchu ze stałą prędkością. Wyłącznie w tym przypadku równania można otrzymać formalnie, zastępując w nich pochodną cząstkową po czasie pełną pochodną substancjonalną (materialną) [110, 149, 156]:
| = | ■ »md) = | + K ' V 1) (4.1)
i korzystając z dodatkowej tożsamości wektorowej (A27). Ogólniejszy opis dla dowolnego pola prędkości v można uzyskać wychodząc z całkowej postaci zapisu makroskopowych równań Maxwella, np. [93, 144, 149, 200] oraz zależności na pochodną materialną całki powierzchniowej pola wektorowego i objętościowej pola skalarnego [149]:
• prawo przepływu Ampere’a z poprawką Maxwella na prąd przesunięcia (II prawo Maxwella):
/ H * - « x = / f - * + | / d . * , (4-2)
C S(C) S(C)
24 Rozdział 4. Modele m atem atyczne zjawisk fizycznych
• praw o in d u k c ji F a ra d a y a - M axw ella (I praw o M axw ella) :
/ E * ' d x = “ l / B ' d s ' (4 -3)
c S(C)
• I praw o G aussa:
j ~ D - d s = J q d V , (4 .4 )
S V
• II praw o G aussa:
/ B -ete = 0 , (4 .5)
• praw o zach o w an ia ła d u n k u (ró w n an ie ciągłości p rą d u ) [93, 200]
w a lte rn a ty w n y c h po staciach :
(4.6)
S S
lub
(47)
s v
oraz w y k o rzy stu ją c u ży teczn e definicje p o ch o d n y ch całek:
• p o c h o d n a s u b sta n c jo n a ln a (m a te ria ln a ) całk i pow ierzchniow ej w ośrodku p o ru sz a ją c y m się z p ręd k o ścią v, s tru m ie n ia p o la w ektorow ego A przez p ow ierzchnię S ro z p ię tą n a k o n tu rze m a te ria ln y m (zam k n iętej krzywej m a te ria ln e j) C [149]:
d r . , r r d A
— J A - d s — J [—— + A d i v v — ( A T ■ g r a d ) t>] • d s =
S(C) S ( C)
r Q A
= i [^T + («r -v T ) A + A ( V • v) - (A T • V r )v ] • d s = S(C)
r rd A ,
= J [ ~ g j- + w(V • A ) - V x (v x A )] • ds S(C)
a p o n a d to d la p o la bezźródłow ego V • A = 0 i dlatego:
d f . [ rd A
- j A ■ d s = J [— V x ( t i x A)] • d s, (4 .8)
S(C) S(C)
4.2. Pole elektromagnetyczne w procesie punktowego zgrzewania oporowego 25
• p o c h o d n a su b sta n c jo n a ln a całki objętościow ej w o śro d k u p o ru sz a ją c y m się z p rędkością v p o la skalarnego a [110, 149] p o zastosow aniu tw ierd zen ia G a u ssa - O strogradskiego:
j t I a d V = I ( ^ + a V - v r ) d V = J [ ^ + V • (a x ? ) \ d V . (4.9)
V(t) V(t) V(t)
N ależy p rzy ty m p a m ię ta ć , że p o la w ektorow e indukcji D , B oraz gęstości p rą d u j i ła d u n k u q są m a te ria ln e , n p . [149].
K o rz y sta ją c z tw ierd zen ia S tokesa np. [93, 144, 149, 200] oraz zależności (4.8 -i- 4.9), po uw zględnieniu p raw G au ssa (4.12) i bezźródłow ości p o la m agnetycznego (4.13), o trzy m an o z a p isa n ą niżej p o sta ć różniczkow ą u k ła d u rów nań M axw ella. N ależy p rz y ty m zauw ażyć, że w lite ra tu rz e p rz e d m io tu (m odelow ania m atem aty czn eg o procesów punktow ego zgrzew ania oporow ego) stosow any je s t opis w yłącznie w o p arciu o rów nanie M axw ella d la ośrodka po zo stająceg o w sta n ie spoczy n k u (’’m odel c ia ła stałeg o ” ). P odejście ta k ie form alnie b łę d n e d a je p opraw ny opis p o la elektrom agnetycznego w obszarze fazy sta łej (ciała stałeg o ), gdzie v = 0 . Co do konsekw encji tak ieg o u proszczenia opisu w obszarze w ystępow ania fazy ciekłej (L) i m ieszaniny faz stałej i ciekłej (L + S ) (ciekłe ją d ro zgrzeiny) tru d n o je st o becnie w ypow iadać się bez odpow iednich b a d a ń porów naw czych.
W rów now ażnej p o sta c i różniczkow ej, ró w n an ia (4.2^-4.7) m o żn a zapisać n astęp u jąco :
• praw o p rzep ły w u A m p e re ’a z p o p raw k ą M axw ella n a p rą d p rzesunięcia (II praw o M axw ella) :
r o t (H* + v x D ) = j* + qv + C— , (4.10)
• praw o indukcji F a ra d a y a - M axw ella (I praw o M axw ella):
r)TK
r o t ( E * - » x B ) = — — , (4.11)
• I praw o G au ssa (źródłem p o la elektrycznego są ład u n k i elektryczne):
d i v D = q, (4-12)
• II praw o G au ssa (pole m ag n ety czn e je s t bezźródłow e):
d i v B = 0 , (4.13)
• pierw sze praw o K irchhoffa zap isan e lokalnie (rów nanie ciągłości p rąd u ):
d i v (j* + q v + ^ ) = 0 (4-14)
lub
d i v (j* + qv) = , (4.15)
u z u p e łn io n e o k o n s ty tu ty w n e ró w n a n ia m ateriało w e [93, 101, 144, 149, 156, 200]
w spoczynkow ym u k ła d z ie odniesienia, odpow iednio:
D = e ( T ) E (4.16)
oraz jeśli chodzi o w łasności m agnetyczne:
B = ^ ( T ) H (4.17)
d la dia- i p aram ag n ety k ó w , a ta k ż e słab y ch p ó l m ag n ety czn y ch w ferrom agnetykach, w ygenerow anych przez sam o in d u k cję (d o p u szc zaln a lin eary zacja) i:
B = ^ ( H , T ) H , (4.18)
w p rz y p a d k u ty pow ych ferrom agnetyków .
P o n a d to ró w n a n ia (4.10^-4.18) u z u p e łn io n o o praw o O h m a d la p o la elektrycznego w o śro d k u p o ru sz a ją c y m się z lokalną p ręd k o ścią v:
j* 5F crE*, (4.19)
p rz y b ra k u p rąd ó w i ładunków w z b u d za jący ch oraz b ra k u p rą d u konwekcji, z a n ie d b a n iu zjaw iska term o elek try czn eg o oraz po m in ięciu efek tu T h o m so n a i zjaw iska P e ltie ra - poniew aż m a ją niew ielki w p ły w n a wielkość w ypadkow ego p rą d u , a ty m sa m y m n a ilość c ie p ła generow anego w je d n o stc e o b jęto śc i o śro d k a i o dpow iednio n a sty k u m e ta li [101], gdzie:
t - czas; s ,
v - pole prędkości o śro d k a (|t>| <C c); m / s ,
E - pole w ektorow e n a tę ż e n ia p o la elektrycznego o śro d k a p o zo stające g o w stan ie spoczynku; V / m ,
E* - p o le w ektorow e n a tę ż e n ia p o la elektrycznego w u k ład zie odniesienia p o ru sz a ją c y m się z lo k aln ą p rę d k o śc ią v \ V / m ,
D - p o le w ektorow e in d u k cji elektrycznej o śro d k a p o zo stająceg o w sta n ie spoczynku; C / m 2 ,
D* - pole w ektorow e indukcji elektrycznej w u k ład zie o d n iesien ia p o ru sz a ją c y m się z lo k aln ą p ręd k o ścią v , C / m 2 ,
H - pole w ektorow e n a tę ż e n ia p o la m agnetycznego o śro d k a p o zo stają ceg o w sta n ie spoczynku; A / m ,
H * - p o le w ektorow e n a tę ż e n ia p o la m ag n ety czn eg o w u k ład zie o dniesienia p o ru sz a ją c y m się z lo k aln ą p ręd k o ścią v , A / m ,
B - p o le w ektorow e indukcji m ag n ety czn ej o śro d k a p o z o stają ceg o w sta n ie spoczynku; T ,
B* - pole w ektorow e indukcji m ag n ety czn ej w u k ła d z ie o d n iesien ia p o ru sz a ją c y m się z lo k aln ą p ręd k o ścią v , T ,
j - pole w ektorow e gęstości p rą d u przew odzenia o śro d k a p o zo stająceg o w stan ie spoczynku; A / m 2 ,
j* - pole w ektorow e gęstości p rą d u przew odzenia w u k ład zie odniesienia p o ru sz a ją c y m się z lokalną prędkością v , A / m 2 ,
e - przenikalność e lek try czn a ośrodka; F / m , H - przenikalność m ag n e ty c z n a ośrodka; H / m ,
a - przew odność elek try czn a (konduktyw ność skrośna) ośrodka; S / m {
q - w ypadkow a gęstość sw obodnych ładunków elektrycznych (elektronów sw obodnych oraz uw olnionych w sk u tek elektryzacji); C .
J a k zap isan o pow yżej, w o środku p o ru sz a ją c y m się z p ręd k o ścią v , n atężen ie p o la elektrycznego zaw iera dodatkow o składow ą po ch o d zącą, w n aszy m p rzy p ad k u , od p o la sam oindukcji m agnetycznej: ( v x B ) [144, 159, 200]. O dosobniony przew odnik w iodący p rą d elek try czn y in d u k u je p o le m ag n ety czn e, k tó re g o in d u k c ja w ła sn a B m a n a jego pow ierzchni jed y n ie składow ą styczną. D lateg o gęstość siły d ziałającej n a z n a jd u ją c y się w ru ch u ośrodek je s t skierow ana do w n ę trz a przew odnika.
Z atem w łasn e pole m agnetyczne przew odnika w y tw arza siły ściskające, u trzy m u jące ład u n k i w jego w n ę trz u - p rzeciw d ziałając m iędzy innym i siłom kulom bow skim [144].
J e s t to zn an e zjaw isko sam o sk u rczu (pinch effect), nie m a ją c e w iększego znaczenia d la fazy sta łe j, ale isto tn e w obszarze p ły n n eg o ją d r a zgrzeiny. Zjawisko to , będące efektem dodatkow ej składow ej p o la elektrycznego (w x B ) = ( v x //H ), nazyw anej polem H alla [144], p rz y m ały ch prędkościach p ły n ięcia v ją d r a zgrzeiny i m ałej indukcji m agnetycznej B w dia- i p aram ag n ety k ach , a naw et p rzy m a ły m n atężen iu p o la m agnetycznego H sam oindukcji w ferrom agnetykach, m o żn a rów nież pom in ąć, gdyż nie w nosi isto tn eg o u d z ia łu w bilansie m ocy w ydzielanego ciep ła J o u le ’a-Lenza.
W p ły w a n a to m ia st n a k ształto w an ie się ciekłego ją d r a zgrzeiny oraz tra n s p o rt składników stopow ych.
P rzenikalność elek try czn ą ośro d k a £ i jego przenikalność m ag n ety czn ą f i m ożna w yrazić przez odpow iednie w artości £o > Mo w próżni, w p row adzając w artości względne:
H - /XoMr • P rz y tym :
1 ci gdzie:
/i0 ~ 47r • 10~7; H / m , - w próżni,
(4.21)
(4.22)
28 Rozdział 4. Modele m atem atyczne zjawisk fizycznych
e0 — 10 9; F / m , - w p różni,
c - prędkość p ro p a g a c ji fali elek tro m ag n ety czn ej w p ró żn i c ~ (2,997925 + 0,000003) ■ 108; m / s ,
e r - w zględna przenikalność e le k try c z n a ośrodka,
l-ir - w zględna przenikalność m ag n e ty c z n a ośrodka.
W łasn o śc i m a te ria ln e k o n k retn eg o ośrodka, obok w zględnych przenikalności e r
i fjLr opisyw ane są rów nież przez p o d a n ie p o d a tn o śc i elektrycznej:
ne = er — 1 (4-23)
oraz p o d a tn o śc i m agnetycznej:
: P r 1» (4.24)
ja k o m ia ry jeg o zdolności do p o lary z acji o raz m ag n ety zacji.
W a ż n ą w ielkością c h a ra k te ry z u ją c ą w łasności e lek try czn e o śro d k a je st w sp ó łczy n n ik relaksacji:
r = ( i ) , (4.25)
b ę d ą c y w p rzew o d n ik u m ia rą szybkości zan ik u lu b n a r a s ta n ia p o la ele k tro m ag n ety czn eg o (np. w p rz y p a d k u dobrego przew odnika, ja k im je s t m iedź TCu — 10“ 19 s).
W sp ó łc z y n n ik relak sacji (4.25) je s t bow iem m ia rą p rzem ieszczan ia się k u pow ierzchni niezrów now ażonych ład u n k ó w elektrycznych. W przew odnikach m etaliczn y ch pro ces w y p ie ra n ia nadm iarow ego ła d u n k u k u pow ierzchni je st p ra k ty c z n ie n atychm iastow y. W y n ik a to w p ro st z p o sta c i ró w n a n ia u s ta la n ia się s ta n u przejściow ego ro z k ła d u gęstości ład u n k ó w sw obodnych, np. [144]:
q { r , t) = <7o (r) gdzie:
r - w ek to r p o ło ż e n ia p u n k tu m aterialn eg o ,
9o(r ) - p o czątk o w y ro z k ła d gęstości ład u n k ó w (<?o(r ) = ? (r. 0 )).
D lateg o pom inięcie w ro zw ażaniach stan ó w przejściow ych p o la elek tro m ag n ety czn eg o , naw et w p rz y p a d k u zgrzew ania p rą d e m zm iennym , je s t w p e łn i uzasad n io n e.
W spoczynkow ym u k ła d z ie o d n iesien ia ró w n an ia (4.10^-4.15) oraz (4.19) p rz y jm u ją z n a n ą z lite ra tu ry p o s ta ć [93, 95, 144, 156, 159], [200]:
4.2. Pole elektromagnetyczne w procesie punktowego zgrzewania oporowego__________ 29
S B
™‘ E = “ 9 P
d i v D = q ,
d i v B = 0,
(4.27)
(4.28)
(4.29)
<9D
d i v (j + lub
* j ~ i (4 3 i)
(4.32) oraz:
j = <tE .
Z p o ró w n an ia p o sta c i pierw szego i drugiego ró w n an ia M axw ella (4.10, 4.11) oraz (4.26, 4.27) w ynika, że zachodzą związki:
H* + v x D = H , (4 '33)
E * -d xB = E , (4 -34)
r + , » = j , (4 '35>
z k tó ry ch obliczono:
H * = H - v x D , (4 -36)
E* = E ł t ) x B , (4.37)
j * = j - q v . (4.38)
