Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚLĄ SK IEJ 1994
Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230
E ugeniusz ŚW ITO Ń SK I, Zdzisław RA K K a te d ra M echaniki T echnicznej P o litech n ik a Śląska w Gliwicach
A N A L IZ A W R A Ż L IW O Ś C I W A R T O ŚC I W ŁA SN Y C H NA P A R A M E T R Y K O N S T R U K C Y JN E U K Ł A D Ó W N A P Ę D O W Y C H
S treszczenie. W pracy przedstaw iono m eto d ę w yznaczania pochodnych w artości w łasnych w zględem p aram etró w konstrukcyjnych układów napędow ych. M ożna w ten sposób określić wrażliwość p aram etró w konstrukcyjnych na częstości drgań sw obod
nych tych układów . Z am ieszczono przykładow e wyniki dla układu napędow go głowicy ko m b ajn u węglowego.
S E N S IT IV IT Y A N A LY SIS O F E IG E N V A L U E S W IT H R E S P E C T T O D E SIG N P A R A M E T E R S O F D R IV IN G SY STEM S
S um m ary. A m ethod for the differentiation o f eigenvalues with resp ect to design p a ra m e te rs o f driving systems has b e e n p resen ted in the p ap er. In this way it is possible to d eterm in e free vibration frequencies ensitivity on design p a ra m e te rs of this system s. E xem plary results o b tain ed for a driving system o f a coal sh e a re r’s g e a rh e a d a re contained.
HYBCTBHTEJIbHHH AHAJIH3 COBCTBEHHUX 3HAHEHMM HA KOHCTPYKTHBHUE ÜAPAMETPU ÍIPHBOUHHX CHCTEM
P e 3 » M e. B p a ó o ' r e n p e n c T a r s j i e n o M eT on o n p e n e n n H M f t n p o M 3 B O ü H b i x c o 6 c T B e H H H x 3 H a u e n H M b OTHOuieHHH k KOH CTpyK THBHU M n a p a M e T p o M n pH BO U H H X CHCTGM . 3 T O T C n O C o 6 n 0 3 B 0 ] I S l G T O n p e Z l G t l H T b U y B C T B H - T G D b H o c T L c o6c t b g h h h x n a c T O T K O J t e 6 a H n ñ n a K O H C T p y K T H B H u e n a - p a M e T p n 3THX c h c t g m. B xnioneH O o c H O B a H H H e H a n p H M e p a x p e 3 y n b T a - t h n n s t n p u B o n a r o n o B K H y r o n b t t o r o K O M Ó a iłH a .
IN T R O D U C T IO N
D ynam ics o f driving system s o f working m achines is u n d er g reat influence o f design p a ra m e te rs o f th ese systems which have a decisive effect on values o f particular form s
380 E.Sw itonski, Z .R ak
of free vibrations as well. T h e know ledge o f a form o f free vibration an d o f eigenvalues o f driving system s is o f g reat im portance as regards harm onic function resp o n se o f the system. D efining o f free vibration frequencies m akes it possible to d eterm in e resonance regions w here dynam ic forces in kinem atic pairs of th e driving system exceed nom inal values. T h e re fo re it is necessary to aim at such a selection of design featu res ot the system th a t its free vibration frequencies be considerably different from frequencies of exciting forces resulting from ro tatio n al sp eed o f shafts, frequencies o f m eshings etc.
In g en eral, all design featu res of the driving system u n d er consideration have effect on a change o f eigenvalues o f this sytems. H ow ever, the influence o f som e featu res m ay be of vital im p o rtan ce. It is possible to evaluate th e influence o f p articu lar design featu res on eigenvalues (free vibration frequencies) of th e system w hen carrying out the sensitivity analysis. T h e p ro b lem resolves itselves into differentiation o f eigenvalues of a ch aracteris
tic m atrix fo r th e driving system and form ed from a m atrix o f th e stiffness and in ertia of this system . Thus, elem en ts o f this matrix are conditioned by design p a ra m e te rs o f the driving system being analysed.
D E R IV A T IV E S O F E IG E N V A L U E S L et us consider th e following eigenproblem
K X = \ M X , i 1)
w here A is a m atrix o f eigenvalues, A" is a m atrix of eigenvectors co rresponding with eiegnvalues, K a n d M are a torsional stiffness m atrix and a m atrix o f in ertia o f th e driving system respectively.
T h e m atrices o f torsional stiffness and of inertia are sym m etric and have real elem en ts. T h e size o f th ese m atrices corresponds with a n u m b er o f degrees o f freedom o f the system u n d e r consideration. As regards the above problem Fox and K a p o o r have sta te d th e follow ing relationship for derivatives o f eigenvalues related to design p a ra m e te rs [1]
ax, _
—
=xiT 30.dK__x dM
dàj i dàj Xp , (2)
i = 1,2, ... n j = 1,2, ... m
w here n is a n u m b er o f degrees of freedom o f the system, m is a n u m b er o f design p a ra m e te rs in relatio n to derivatives o f eigenvalues are d eterm in ed , SKIdSj , SMIdSj stan d fo r m atrices th e elem ents o f which are derivatives o f elem ents o f th e m atrices of to rsio n al stiffness an d th a t o f in ertia after j-th design p a ra m e te r respectively.
Analysis o f sensitivity o f eigenvalues 381
T h e realatio n sh ip (2) has b een deduced u n d er th e assum ption th at eigenvectors are norm alized in a way th a t [1,2]
X /M -X .= L (3)
N U M E R IC A L C A L C U L A T IO N S
T h e relatio n sh ip (2) has b een used to d eterm in e the influence o f design p a ra m e te rs on eigenvalues o f a driving system o f coal sh e a re r’s gearheads. A kinem atic diagram o f this system is show n in figure 1. A dynam ic m odel with 13 degrees o f freed o m an d with p a ra m e te rs p re se n te d in table 1 hase b een accep ted for analysis [3],
F ig .l. K in e m a tic sch em e o f a co al sh ea re rs's g earh ead d riving system R y s.l. S ch em at kinem atyczny u k ład u n ap ędow ego głowicy k o m b a jn u w ęglow ego
F re e v ibration frequencies o f the driving system for th e accep ted dynam ic m odel are c o n tain ed in tab le 2.
382 E.Sw itonski, Z .R a k
All m o m en ts o f in ertia and coefficients o f rigidity o f th e a ccep ted dynam ic m odel have b een assu m ed as design p aram eters in relation to which derivatives o f eigenvalues have b e e n d e te rm in e [4].
T a b le 1 D esign p a ra m e te rs o f th e dynam ic m o d el o f th e driving system
T ab le 2 F re e v ib ra tio n freq u en cies o f the d riving system
L.p.
M o m e n t o f in e rtia 'i
Stiffness coefficient
k i
kgm z x 10b N m /rad
1 1.721 1.507
2 0.190 24.570
3 0.104 17.950
4 0.415 0.901
5 0 . 0 1 0 9.369
6 0 . 2 2 0 0.619
7 0 .0 2 2 2.651
8 0.088 3.012
9 0.085 0.109
1 0 0 .0 0 2 65.870
1 1 0.011 87.680
1 2 0.375 70.060
13 12.239 3.430
L.p. “ i
H z
1 52
2 179
3 295
4 445
5 577
6 1279
7 1429
8 1676
9 2163
1 0 3582
1 1 4299
1 2 5215
13 5822
T h e tab le 3 p resen ts derivatives the o f the first five eigenvalues in relatio n to th ree design p a ra m e te rs o f th e system which had th e g reatest influance on th e basic form of free vibration.
T a b le 3 D eriv ativ es eig en v alu es w ith re sp ec t to design p a ra m e te rs d k i Id S j
5 i
X2 X3 A4 ¿ 5
k, 3 2 .3 3 -10b 1.04-163 4.01 -104 6 .5 2 -104 3 .4 1 -10b
1,3 -1.1 2-1 0b -1 .8 1 -103 -5 .5 4 -104 -6.71 d 04 -1 .9 6 ’10b
k ll 2 .0 3 -103 3.13-103 2 .8 7 -103 5.16-103 1.97-107
T he o b ta in e d results have b e e n verified u n d er using a m eth o d forecasting o f eigenvalues for a little change o f design p a ram eters according to the relatio n sh ip [1]
Xjp“ Xi+AST-VX1, > (4)
Analysis o f sensitivity o f eigenvalues 383
w here X f is a p red icted eigenvalue, VX,■ is a vector ( dXJdS„ dXJd&2 , . . . , dXJdSm ) w h ereas aS = (aSj,a& 2 > • ■ • > is a vector o f little changes o f design p aram eters.
A very good conform ity o f eigenvaules as co m p ared w ith eigenvalues d eterm in ed for th e system in w hich design p aram eters have b een changed by a vector aS is obtained.
T h e differences b etw een th e results do not exceed a few p e r cent.
R E C A P IT U L A T IO N
T h e p re s e n te d m eth o d m akes it possible, w hen using num erical m ethod, to d eterm in e in a sim ple w ay derivatives o f eigenvalues in relation to design p a ra m e te rs an d thus to d e te rm in e th e sensitivity o f free vibration frequencies o f the driving system on design p a ra m e te rs o f th e system being analysed. O ptim ization o f design p a ra m e te rs can be the next stage o f analysis. It shall be its task to d eterm in e such values o f th ese p a ra m e te rs for which th e selected form s o f free vibration o f the driving system being analysed are ch aracterized by th e req u ired values.
R E F E R E N C E S
[1] R.L. Fox, M .P. K apoor: R ates o f E igenvalues and Eigenvectors. A IA A Journal, vol.6, N o 12, 1968, pp. 2426-2429.
[2] A .R alston: A F irst C ourse In N um erical Analysis. M cG raw -H ill B ook C om pany, L ondon, 1965.
[3] E.Świtoński, A .M ężyk, Z .R ak: D ynam ic o f the M ining M achines Including E le c tro m e chanical P h en o m en a. M echanizacja i A utom atyzacja G órnictw a, N o 9-10 (259), 1991, pp. 111-116 (also in Polish).
[4] Identifing o f dynam ic p ro p ertie s o f pro to ty p e coal sh e a re r’s g e a rh e a d w ith resp ect to evalu atio n its technical state. R esearch re p o rt N B -222/R M T-4/87/C PBP 1.1, Gliwice 1989 (in Polish).
R ecenzent: Prof.dr hab.inż. Jerzy M aryniak W płynęło do R edakcji w grudniu 1993r.
384 E .Ś w ito ń sk i, Z .R a k
A N A L IZ A W R A Ż L IW O Ś C I W A R T O ŚC I W ŁA SN Y C H NA P A R A M E T R Y K O N S T R U K C Y JN E U K Ł A D Ó W N A P Ę D O W Y C H
Streszczenie
Z naczący wpływ na dynam ikę układów napędow ych m ają ich częstości, drgań sw obodnych. Z najo m o ść w artości tych częstości pozw ala na w yznaczenie obszarów rezonansow ych, dla których siły dynam iczne w p arach kinem atycznych układu p rz e k ra czają w artości nom inalne. Należy dążyć więc do takiego p rojektow ania układów napędow ych, aby ich częstości drgań swobodnych znacznie różniły się od częstości sił wymuszających, wynikających z prędkości w irow ania wałów, częstości zazębień itd. Na poszczególne częstości drgań swobodnych układu największy wpływ m ogą m ieć tylko niek tó re jeg o elem enty. O cen ę wpływu poszczególnych cech konstrukcyjnych na częstości sw obodne m ożna określić p rzeprow adzając analizę wrażliwości. Problem sprow adza się do w yznaczenia pochodnych w artości własnych w zględem p aram etró w konstrukcyjnych (2) [1] dla zagadnienia w łasnego (1). M acierze M i K są odpow iednio sym etrycznymi m acierzam i bezw ładności i sztywności skrętnej układu napędow ego. P rzedstaw iono przykładow e wyniki obliczeń pochodnych w artości własnych dla układu napędow ego głowicy kom bajnu węglowego (rys. 1). P aram etry m odelu dynam icznego o 13. stopniach sw obody zam ieszczono w tablicy 1 [3,4], W tablicy 2. przedstaw iono wszystkie częstości drgań sw obodnych tego układu napędow ego. W tablicy 3. przedstaw iono pochodne w artości własnych w zględem trzech p aram etró w m odelu dynam icznego, które miały największy wpływ na pierw szą częstość drgań swobodnych. O trzym ane wyniki m ożna spraw dzić m eto d ą przew idyw ania w artości własnych na podstaw ie zależności (4), gdzie
aS je st w ek to rem zm ian konstrukcyjnych, porów nując otrzym any wynik z w artościam i w łasnym i obliczonym i dla układu z p aram etram i m odelu dynam icznego zm ienionym i o w ektor aS .
P rzedstaw iona m eto d a umożliwia wyznaczenie pochodnych w artości własnych w zględem pa ra m e tró w konstrukcyjnych, a tym samym określenie wrażliwości częstości drgań sw obodnych układu napędow ego na jego param etry konstrukcyjne.
T h e w ork w as con d u cted as a p a rt o f the research project No. PB0994/P4/93 su p p o rte d by th e C o m m ittee o f Scientific R esearch es in gears 1993 - 1995 .
