WPŁYW SZTYWNOŚCI SPRĘŻYNY ROTACYJNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ WŁASNYCH KOLUMNY GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ OBCIĄŻONEJ SIŁĄ PODŚLEDZĄCĄ

41, s. 377-384, Gliwice 2011

WPŁYW SZTYWNOŚCI SPRĘŻYNY ROTACYJNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ WŁASNYCH KOLUMNY

GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ OBCIĄŻONEJ SIŁĄ PODŚLEDZĄCĄ

KRZYSZTOF SOKÓŁ

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: sokol@imipkm.pcz.czest.pl

Streszczenie. W pracy rozpatruje się kolumnę wspornikową geometrycznie nieliniową złożoną z dwóch członów. Elementy jednego z członów połączone są przegubem i sprężyną rotacyjną o sztywności C. Obciążenie zewnętrzne kolumny wywołane jest poprzez siłę skupioną P. Kierunek działania siły zmienia się w zależności od współczynnika śledzenia η. Głównym celem badań jest określenie wpływu sztywności sprężyny rotacyjnej na wartość obciążenia dywergencyjnego i flatterowego jak i na częstość drgań własnych kolumny.

Prezentowane wyniki dotyczą także wpływu wartości współczynnika śledzenia η na badane wielkości.

1. WSTĘP

Badania dotyczące drgań poprzecznych i stateczności geometrycznie nieliniowych smukłych układów prętowych poddanych obciążeniom niekonserwatywnym były tematem wielu prac naukowych. Pierwsze publikacje z tego zakresu pojawiły się już w latach sześćdziesiątych.

Rozpatrywano między innymi wpływ parametru śledzenia, asymetrii sztywności na zginanie oraz sztywności sprężyn podpierających badane kolumny na rodzaj utraty stateczności i wartość obciążenia dywergencyjnego i flatterowego.

W pracy przedstawiono zagadnienie drgań własnych kolumny geometrycznie nieliniowej tracącej stateczność poprzez dywergencję lub flatter w wyniku działania obciążenia zewnętrznego wywołanego siłą skupioną P. Siła P przyłożona jest osiowo, a kierunek jej działania zmienia się w zależności od współczynnika śledzenia. Badania dotyczące dywergencyjnej i flatterowej utraty stateczności prowadzili między innymi Przybylski [2]

i Tomski [4]. Zagadnienie stateczności i drgań własnych sformułowano, wykorzystując zasadę Hamiltona [3]. Ze względu na nieliniowości geometryczne badanego układu rozwiązanie przeprowadzono na podstawie metody małego parametru [1]. W niniejszej pracy bada się wpływ sztywności połączenia prętów członu drugiego na wartość obciążenia dywergencyjnego i flatterowgo oraz częstość drgań własnych układu. Analizuje się również influencję wartości współczynnika śledzenia η na badane wielkości.

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

W ₁ (x ₁,t), W ₂ (x ₂,t) W₃(x ₃,t)

x ₁, x ₂ x₃

Pręt(2) E _2, J₂ , A ₂

Pręt (3) E_3, J₃ , A ₃ Pręt (1)

E_1, J₁, A₁

C P

l₃

l₂ l₁ )

, (1 '

1lt

W Wa

,

Człon I

Człon II

( )^{l t}

W Wa

1,

' 1

= η

Rys. 1. Schemat ugiętych osi układu pod obciążeniem siłą P

a) b) c)

Rys. 2. Przykładowe modele układów rzeczywistych

Na rys. 1 przedstawiono model kolumny wspornikowej, której człon I stanowi pręt pierwszy (1), a elementy członu II to pręty (2) i (3) połączone przegubem i sprężyną rotacyjną o sztywności C. Badany układ obciążony jest siłą skupioną P przyłożoną w miejscu połączenia pręta pierwszego i trzeciego. Kąty ugięć tych prętów w punkcie przyłożenia siły są identyczne. Kierunek działania siły zmienia się w zależności od współczynnika śledzenia η.

Pręty mają długości odpowiednio l1, l2, l3. Modelem fizycznym omawianego układu może być kolumna złożona z dwóch współosiowych rur (lub rury i pręta) lub płaska rama.

Zagadnienie stateczności i drgań własnych układu formułuje się, korzystając z zasady Hamiltona

0 ) (

2

1

=

−

∫

−

t

t

n dt

L V

δ T . (1)

gdzie energia kinetyczna T i potencjalna V oraz praca Ln sił niezachowawczych są wyrażone następująco:

∑∫

₌ ^⎜_⎝^⎛∂ _∂ ^⎟_⎠^⎞

= ³

1 0

) 2

, ( 2

1

i l

i i i i i

i

t dx t x A W

T ρ , (2)

) , ) (

, ( )

, ( 2 1

) , ( 2 ) 1 , ( )

, ( 2

1

1 1 2

2 2 2 3 0

3 3 3

1 0

2 2

0

2

2 2

2 2 3

t l x PU

t x W x

t x C W

x dx t x W x

t x A U E x dx

t x J W E V

l x x

i

l

i i

i i i

i i i i l

i i

i i i i

i i

⎟ +

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−∂

∂ + ∂

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

∂ + ∂

⎢⎣

⎡

∂ + ∂

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

= ∂

=

=

∑

=

∫ ∫

, (3)

1

1 1

1 1( ,)

l x

n x

t x P W L

∂ =

=η ∂ . (4)

Wielkości występujące w powyższych wzorach to: Ai – pole przekroju, Ei – moduł Younga, Ji – moment bezwładności, P – siła zewnętrzna, C – sprężyna rotacyjna, ρi – masa pręta, Ui – przemieszczenie wzdłużne, Wi – przemieszczenie poprzeczne, η – współczynnik śledzenia.

Wstawiając wyrażenia na energię T i V oraz pracę Ln do zależności (1) oraz wykonując operacje wariacyjne i całkowania, przy założeniu że przemieszczenia wirtualne wzdłużne

) , (x t U_{i i}

δ i poprzeczne δW_i(x_i,t), gdy i=1,2,3 są w przedziale 0 < xi < li dowolne i niezależne, otrzymuje się:

- równania drgań poprzecznych każdego z prętów:

( )

^{( ,) ( , )}

( )

^, ₀

2 1 ) , ( ,

2 2 2

4 4

∂ = + ∂

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

∂ + ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

t t x A W x

t x W x

t x W x

t x U A x

x E t x J W

E _{i i} ^{i i}

i i i i

i i i

i i i i i i

i i i

i ρ ,

(5) i = 1, 2, 3,

- równania ruchu w kierunku równoległym do osi kolumny:

) 0 , ( 2 1 ) ,

( ²

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ + ∂

∂

∂

∂

∂

i i i i

i i

i x

t x W x

t x U

x i = 1, 2, 3, (6)

Uwzględniając w równaniu (5) definicje siły wzdłużnej

( )

_⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ + ∂

∂

− ∂

=

2

) , ( 2 1 ) , (

i i i i

i i i i

i x

t x W x

t x A U E t

S i = 1, 2, 3, (7)

otrzymano:

) 0 , ( )

, ) ( ) ( , (

2 2 2

2 4

4

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

t t x A W x

t x t W x S

t x J W

E _{i i} ^{i i}

i i i i i

i i i

i ρ i = 1, 2, 3. (8)

Przemieszczenia wzdłużne w i-tym pręcie kolumny wyrażone są poniższą zależnością:

( )

i x

i i i i

i i i i

i dx

x t x W A

E x t t S x U

∫

i^⎢_⎣^⎡∂ _∂ ^⎥_⎦^⎤

−

−

=

0

, 2

2 ) 1 ) (

,

( i = 1, 2, 3. (9)

Badaną kolumnę opisano za pomocą następujących geometrycznych warunków brzegowych:

( )

^0, 1

( )

1^, 0 ⁰ 1

1

=

= ₌

x

I x t

W t

W , W2

( )

^0,t =W2^I

( )

x2^,t _x2=0=⁰, ¹

( )

^1, _{1 1} ³

( )

^3, x₃ l₃ I

l x

I x t W x t

W ₌ = ₌

,

( )

^{l t W}

( )

^t

W_{2 2}, = ₃ 0,

,

^W1

( )

^l1^,t =^W3

( )

^l3^,t

,

U1

( )

^0,t =U2

( )

^0,t =⁰,

( )

^{l t U}

( )

^t

U_{2 2}, = ₃ 0, , ^U1

( )

^l1^,t =^U3

( )

^l3^,t . (10 a-k) które uwzględnione w równaniu wariacyjnym umożliwiły otrzymanie brakującego zestawu naturalnych warunków brzegowych

( )

1^, _{1 1} 3 3 3

( )

3^, _{3 3} ⁰ 1

1

1JW^II x t _x=l +EJW^II x t _x=l =

E ,

( )

1^, _{1 1} 1

( )

1^, _{1 1} 3 3 3

( )

3^, _{3 3} ⁰ 1

1

1JW^III x t _x=l +PW^I x t _x=l +E JW^III x t _x=l =

E ,

( )

2^, 2 2

( )

2^, 3 3 3

( )

3^, 0 3 3

( )

3^, 0 ⁰ 2

2

2JW^III x t _x2_=l2+SW^I x t _x2_=l2−EJW^III x t _x3₌ +SW^I x t _x3₌ =

E

,

( )

3^, 30

[

3

( )

3^, 30 2

( )

2^, 2 2

]

⁰

3 3

3 + − =

−EJW^II x t _x= CW^I x t _x= W^I x t _x=l ,

( )

2^, 2 2

[

3

( )

3^, 30 2

( )

2^, 2 2

]

⁰

2 2

2JW^II x t _x=l −CW^I x t _x= −W^I x t _x=l =

E

,

S2= ,S3 S1+S2=P.

(11 a-g) Badania przeprowadzono stosując następujące wielkości bezwymiarowe:

l d_i =lⁱ ,

=

∑

i i iJ E

c Cl ,

=

∑

i i iJ E p Pl

2

,

1 1

2 2

J E

J r_m =E ,

2 2

3 3

J E

J

r_w = E ,

( ) ( )

i i i

i EJ

l t k S

2

τ = ,

l x_i

i=

ξ , τ =Ωt,

l t x w_{i i} Wⁱ( ⁱ, )

) ,

(ξ τ = ,

l t x u_{i i} Uⁱ( ⁱ, )

) ,

(ξ τ = ,

i i

i i

i EJ

l Ω A

4 2

2 ρ

ω = .

(12a-k) Rozwiązanie przedstawionego problemu przeprowadzono za pomocą metody małego parametru ε, zgodnie z którą przemieszczenie poprzeczne i wzdłużne, siłę wzdłużną oraz częstość drgań własnych i-tego pręta rozpisano w szeregi potęgowe:

( )

^,

( )

^{, ( 2 1)}

1

1 2 1

2 +

= − − +

=

∑

^{N N}

n

i n n

i w O

w ξ τ ε ξ τ ε

( )

^{, ( )}

( )

^{, ( 2 1)}

1 2 2 0

+

=

+ +

= ⁱ

∑

_n^{N n i n N}

i u u O

u ξτ ξ ε ξτ ε

( ) ( )

^{( 2 1)}

1 2

2 +

= +

+

=

∑

^{N N}

n

n i n io

i k k O

k τ ε τ ε ( ^{2 1})

1

2 2 2 2

0

2 +

=

+ +

=

∑

^{N N}

n

n i n i

i ω ε ω O ε

ω

(13 a-d) 3. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

W ramach przeprowadzonych badań numerycznych wykonano obliczenia odnośnie do postaci i częstości drgań własnych kolumny. W rozważaniach przyjęto następujące bezwymiarowe relacje pomiędzy sztywnościami na zginanie rm = 0.76 oraz rw = 1. Przy zadanym położeniu przegubu i sztywności sprężyny rotacyjnej łączącej pręty członu II zmieniano wartość współczynnika śledzenia η. Na podstawie otrzymanych wyników wykreślono krzywe na płaszczyźnie obciążenie zewnętrzne – częstość drgań własnych.

Wszystkie zaprezentowane w niniejszej pracy wyniki badań numerycznych przedstawiono w wielkościach bezwymiarowych. Na rysunkach 3 i 4 zobrazowano wpływ parametru śledzenia η na częstość drgań własnych kolumny i wartość obciążenia dywergencyjego i flatterowego. W tabeli 1 umieszczono postacie drgań badanego układu z uwzględnieniem różnej sztywności sprężyny rotacyjnej.

0.0 4.0 8.0 12.0 16.0

=1 η

9 .

=0 η 7 .

=0 η

8 .

=0 η

6 .

=0 η

p

8.0 5 .

=0 η

4 .

=0 η

3 .

=0 η

=0 η

1 .

=0 η

2 .

=0 η

0.0 4.0 12.0 16.0

ω

=1 η

9 .

=0 η

8 .

=0 η

5 .

=0 η

4 .

=0 η

3 .

=0 η

2 .

=0 η

1 .

=0 η

=0 η 7

.

=0 η

6 .

=0 η

p

ω

16.0 12.0 8.0 4.0 0.0 0.0 4.0 8.0 12.0 16.0

Rys. 3. Krzywe częstości drgań kolumny przy zmianie parametru śledzenia

(pozostałe

dane: d2 = 0.3, c = 1, rm = 0.76, rw = 1)

Rys. 4.Krzywe częstości drgań kolumny przy zmianie parametru śledzenia (pozostałe dane: d2 = 0.3, c = 10, rm = 0.76, rw = 1)

Analizując otrzymane wyniki, stwierdzono, że zwiększenie sztywności sprężyny rotacyjnej powoduje wzrost obciążeń dywergencyjnych i flatterowych. Przy sztywności sprężyny rotacyjnej c > 5 niezależnie od położenia przegubu zmiana częstości drgań własnych i obciążeń maksymalnych jest nieznaczna. Przykładowo, wartość obciążenia bifurkacyjnego przy c > 5 i η = 0 ustala się na poziomie p =

4

π2. Uzasadnieniem tego zjawiska są wyniki badań postaci drgań własnych kolumny, które przy dużej sztywności połączenia prętów członu drugiego są identyczne. W przypadku zmniejszenia sztywności sprężyny rotacyjnej uzyskano spadek wartości obciążeń zarówno dywergencyjnych jak

i flatterowych. Przy c = 0 badane wielkości są najmniejsze. Niezależnie od wartości parametru c zmiana wartości współczynnika śledzenia η prowadzi początkowo do utraty stateczności poprzez dywergencję. Dalsze zwiększanie parametru η powoduję utratę stateczności poprzez flatter. Zmiana typu utraty stateczności jest ściśle zależna od lokalizacji przegubu jak i sztywności sprężyny rotacyjnej, przy czym wraz ze zbliżaniem się przegubu do swobodnego końca kolumny maleje wpływ sztywności sprężyny rotacyjnej na badane wielkości. Stwierdzono również występowanie punktów, w których krzywe częstości drgań typy flatter przecinają się niezależnie od wartości współczynnika śledzenia.

Tabela 1. Wpływ sztywności sprężyny na pierwszą i drugą postacie drgań (d2 = 0.5, rm = 0.76, rw = 1, p = 1, η = 0)

c = 1 c = 10

wi

ξ

wi

ξ

c = 1 c =10

wi

ξ ^ξ

wi

Na rys. 5 przedstawiono wpływ sztywności sprężyny rotacyjnej na wartość sił dywergencyjnych i flatterowych, przy zmianie współczynnika śledzenia η. Zaprezentowane krzywe wykreślono przy parametrze śledzenia równym odpowiednio: η=0,0.1,0.4,1. Niezależnie od wartości współczynnika śledzenia wraz ze zwiększeniem sztywności sprężyny rotacyjnej uzyskano wzrost nośności kolumny. Największe różnice w wartościach obciążeń występują przy małych sztywnościach połączenia prętów członu II kolumny. W przypadku, gdy sztywność sprężyny rotacyjnej jest większa od c = 5 niezależnie od wartości współczynnika śledzenia następuje stabilizacja nośności kolumny.

0.0 5.0 10.0 15.0

p

c η = 1

η = 0.4 η = 0.1 η = 0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

Rys. 5. Wpływ sztywności sprężyny rotacyjnej na nośność kolumny, przy zmianie parametru śledzenia (pozostałe dane: d2 = 0.5, rm = 0.76, rw = 1)

Następnie na podstawie otrzymanych wyników przystąpiono do wyznaczenia obszarów niestateczności dywergencja – flatter. Krzywe zmiany obciążeń maksymalnych zobrazowano na płaszczyźnie siła zewnętrzna p – współczynnik śledzenia η, przy zadanym położeniu przegubu i sztywności sprężyny. Przykładowe wyniki badań zaprezentowano na rys. 6.

5.0 15.0

0.0 20.0

10.0

0.0

Dywergencja Flatter

η p

c = 10 c = 1

c = 0 c = 0.5

0.20 0.40 0.60 0.80

Rys. 6. Wpływ zmiany parametru śledzenia na obszar niestateczności dywergencja – flatter, (pozostałe dane: d2 = 0.5, rm = 0.76, rw = 1)

Niezależnie od sztywności sprężyny rotacyjnej wraz ze wzrostem parametru śledzenia rośnie wartość sił dywergencyjnych (krzywe ciągłe). Punkt, w którym układ zaczyna tracić stateczność poprzez flatter, zależny jest nie tylko od położenia przegubu, ale również od sztywności połączenia prętów (2) i (3). Im większa sztywność tego połączenia, tym utrata stateczności typu flatter (krzywe przerywane) następuje przy mniejszej wartości parametru śledzenia. Wartość siły typu flatter ulega zmianie wraz ze wzrostem parametru η. Charakter zmian sił flatterowych (spadek/wzrost) jest zależny od sztywności połączenia elementów członu II kolumny.

4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI

Celem niniejszej pracy było określenie wpływu sztywności sprężyny rotacyjnej na wartość siły dywergencjnych i flattererowych oraz częstość drgań własnych kolumny geometrycznie nieliniowej obciążonej zewnętrzną siłą podśledzącą P przyłożoną osiowo. Po przeprowadzeniu badań numerycznych i analizie otrzymanych wyników stwierdzono, że:

• istnieje taka wartość sztywności sprężyny rotacyjnej łączącej pręty kolumny, powyżej której zarówno częstość drgań układu jak i jego nośność zmienia się w sposób nieznaczny. Efekt ten występuje powyżej sztywności c = 5;

• sztywność sprężyny rotacyjnej ma istotny wpływ na wartość obciążenia maksymalnych jak i na częstość drgań własnych kolumny. Sterując sztywnością połączenia prętów członu II, można w pełni kontrolować nośność kolumny jak i wielkość obszarów utraty stateczności,

• stwierdzono występowanie punktów, w których niezależnie od wartości współczynnika śledzenia częstość drgań jest stała,

• zauważono, że wpływ na typ utraty stateczności (dywergencja lub flatter) ma także kierunek działania zewnętrznej siły obciążającej, który jest uzależniony od wartości współczynnika śledzenia η.

LITERATURA

1. Osiński Z.: Teoria drgań. Warszawa: PWN, 1978,s. 52-54.

2. Przybylski J.: Drgania i stateczność dwuczłonowych układów prętowych wstępnie przy obciążeniach niezachowawczych. Częstochowa 2002.

3. Skalmierski B.: Mechanika. Warszawa: PWN, 1982, s. 283-285.

4. Tomski L., Szmidla J., Uzny S.: The local and global instability and vibration of the system subjected to non-conservative loading. “Thin Walled Structures” 2007, 45, s. 945- 949.

INFLUENCE OF THE ROTATIONAL SPRING STIFFNESS ON NATURAL VIBRATION FREQUENCY

OF THE GEOMETRICALLY NONLINEAR COLUMN SUBLECTED TO THE FOLLOWER FORCE

Summary. In this paper the geometrically nonlinear cantilever column consisting of two members has been taken into account. Two segments are joined together by a pin strengthened by a rotational spring with stiffness C. The external load is induced by a concentrated force P. The direction of action of the force is dependant on follower factor η. The main purpose of this paper is to investigate an influence of the rotational spring stiffness on bifurcation (divergence) and critical (flutter) loading and natural vibration frequency. The presented results of numerical calculations also take into consideration the follower factor η value on investigated parameters.