RÓWNANIA LINIOWE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ

(1)

Projekt dofinansowała Fundacja mBanku

RÓWNANIA LINIOWE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ

Równanie postaci ax + b = 0, gdzie x jest niewiadomą, zaś a i b są danymi liczbami rzeczywistymi nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą.

Liczbę spełniającą równanie nazywamy rozwiązaniem równania lub pierwiastkiem równania.

Przykład równania liniowego: 2𝑥 + 1⏟

𝑝𝑟𝑎𝑤𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑟ó𝑤𝑛𝑎𝑛𝑖𝑎

= 10⏟

𝑙𝑒𝑤𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑎 𝑟ó𝑤𝑛𝑎𝑛𝑖𝑎

• Sprawdź, czy liczba 1 jest rozwiązaniem (pierwiastkiem) równania: 4x + 1 = 3x – 2

Obliczymy wartość lewej, a potem prawej strony równania podstawiając w miejsce x liczbę 1 i porównamy otrzymane wyniki:

L = 4x + 1 P = 3x – 2

L = 4∙1 + 1 = 4 + 1 = 5 P = 3∙1–2 = 3 –2 = 1 5 ≠ 1

L ≠ P

Liczba 1 nie jest rozwiązaniem (pierwiastkiem) równania.

• Sprawdź, czy liczba 2 spełnia równanie (jest rozwiązaniem równania): 6x + 4 = 4x + 8 L = 6∙2 + 4 = 12 + 4 = 16 P = 4∙2 + 8 = 8 + 8 = 16

16 = 16 L = P

Liczba 2 jest rozwiązaniem równania (czyli spełnia równanie).

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie pierwiastki równania (rozwiązania, czyli liczby, które spełniają to równanie) lub uzasadnić, że równanie nie ma żadnego rozwiązania.

Przy rozwiązywaniu równań należy pamiętać, że:

 do obu stron równania można dodać to samo wyrażenie lub liczbę,

 od obu stron równania można odjąć to samo wyrażenie lub liczbę,

 obie strony równania można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera,

 po obu stronach równania można wykonywać wskazane działania.

Rozwiązując równania dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się niewiadome (czyli litery), a po drugiej tylko liczby.

(2)

Rozwiąż równania:

a) 2x – 6 = 10 przekształcamy równanie tak, aby po jednej stronie były niewiadome, po drugiej liczby

2x – 6 = 10 |+ 6 do obu stron równania dodajemy liczbę 6 2x – 6 + 6 = 10 + 6 redukujemy wyrazy podobne

2x = 16 |:2 obie strony dzielimy przez 2 2x : 2 = 16 : 2

x = 8

rozwiązanie równania

Odpowiedź: Liczba 8 jest rozwiązaniem równania.

b) – x + 7 = 3 | –7 od obu stron równania odejmujemy liczbę 7 – x + 7 – 7 = 3 – 7 redukujemy wyrazy podobne

– x = – 4 |: (– 1) obie strony równania dzielimy przez ( – 1) – x : (– 1) = – 4 : (– 1)

x = 4

c) – 5x + 10 = – 2x – 8 |+ 2x do obu stron równania dodajemy 2x – 5x + 10 + 2x = – 2x – 8 + 2x redukujemy wyrazy podobne

– 3x + 10 = – 8 | – 10 od obu stron równania odejmujemy 10 – 3x + 10 – 10 = – 8 – 10 redukujemy wyrazy podobne

– 3x = – 18 | : (– 3) obie strony równania dzielimy przez ( – 3) – 3x : (– 3) = – 18: (– 3)

x = 6

Przy rozwiązywaniu równań wygodnie jest przenosić (pamiętając o zmianie znaku na przeciwny) niewiadome na jedną stronę równania, a liczby (czyli wiadome) na druga stronę.

d) – 3 + 2x – 6 = 3 – 4x przenosimy niewiadome na lewą stronę równania, a liczby na prawą stronę równania pamiętając, że zmieniamy znak na przeciwny

2x + 4x = 3 + 3 + 6 redukujemy wyrazy podobne

6x = 12 |:6 obie strony równania dzielimy przez 6 x = 2

e) 3x – (x – 1) = 6 opuszczamy nawias, pamiętamy, że skoro przed nawiasem jest znak „minus”, to opuszczając nawias zmieniamy znaki wyrazów

w nawiasie na przeciwne 3x – x + 1 = 6 redukujemy wyrazy podobne

2x + 1 = 6 przenosimy liczbę 1 na drugą stronę ze zmienionym znakiem 2x = 6 – 1 redukujemy wyrazy podobne

2x = 5 |:2 obie strony równania dzielimy przez 2 x = ⁵

2

Odpowiedź: Liczba ⁵

2 jest rozwiązaniem równania.

(3)

f) 3(x + 2) = 10 opuszczamy nawias, ale każdy wyraz w nawiasie mnożymy przez 3 3x + 6 = 10

3x = 10 – 6 3x = 4 |:3 x = ⁴

3

Odpowiedź: Liczba ⁴

3 jest rozwiązaniem równania.

g) 2(x + 4) – 5(x + 3) = 2 opuszczamy nawiasy wykonując mnożenie 2x + 8 – 5x – 15 = 2 redukujemy wyrazy podobne

– 3x – 7 = 2 liczbę ( – 7) przenosimy na drugą stronę z przeciwnym znakiem

– 3x = 2 + 7 – 3x = 9 |: (– 3) x = – 3

Odpowiedź: Liczba – 3 jest rozwiązaniem równania.

h) ^x₄− 1 = 2 | ∙ 4 aby pozbyć się „kreski ułamkowej” mnożymy obie strony równania przez mianownik, czyli liczbę 4

x

4∙ 4 − 1 ∙ 4 = 2 ∙ 4 skracamy czwórki x – 4 = 8

x = 8 + 4 x = 12

i) 3 + ^{8+ x}

2 = 2x + 13 | ∙ 2 każdy wyraz lewej i prawej strony mnożymy przez 2

2 ∙ 3 + 2 ∙ ^{8+ x}₂ = 2 ∙ 2x + 2 ∙ 13 6 + 8 + x = 4x + 26

14 + x = 4x + 26 x – 4x = 26 – 14 – 3x = 12 |: (– 3) x = – 4

Odpowiedź: Liczba – 4 jest rozwiązaniem równania.

j) ²₅(3 − x) = −2 |∙ 5 5 ∙²

5(3 − x) = −2 ∙ 5 skracamy piątki 2(3 − x) = −10

6 – 2x = − 10

− 2x = −10 – 6

− 2x = −16 |: (– 2) x = 8

k) ^x₃−⁵

6= ¹

12−^x

2 |∙12 obie strony równania mnożymy przez wspólny mianownik czyli przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 3, 6, 12 i 2 – zatem przez liczbę 12

4 2 1 6

12 ∙x

3− 12 ∙5

6= 12 ∙ 1

12− 12 ∙x

1 1 1 1 2

(4)

4 ∙ x – 2 ∙ 5 = 1 – 6 ∙ x 4x – 10 = 1 – 6x 4x + 6x = 1 + 10 10x = 11 |: 10 x = 1,1

Odpowiedź: Liczba 1,1 jest rozwiązaniem równania.

l) 3(x + 6) – x = 2(x + 9) usuwamy nawiasy 3x + 18 – x = 2x + 18

2x + 18 = 2x + 18 2x – 2x = 18 – 18

0 = 0 a to jest prawda! (w matematyce powiemy: zdanie prawdziwe)

Odpowiedź: To równanie spełnia każda liczba rzeczywista. Jest to równanie tożsamościowe.

m) 4(x – 2) – 2(x – 4) = 5(x + 1) – 3x 4x – 8 – 2x + 8 = 5x + 5 – 3x 2x = 2x + 5

2x – 2x = 5

0 = 5 a to jest fałsz, sprzeczność! (w matematyce powiemy: zdanie fałszywe) Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązania. Jest to równanie sprzeczne.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Rozwiąż równania:

a) 4x + 15 = – 5 b) 2x + 7 = 4x – 3

c) – 2(x + 3) + 4(2x + 3) = – 6 d) x – (7 + 2x) = 2(x – 1) + 1 e)

^x

2

−

³

4

=

⁷

8

+

^x

4

f)

^{x + 5}

3

− 5 = x − 2 g)

^{x + 4}

5

+

^{2x + 9}

10

=

^{−2− x}

2