w analizie kosztów: modele

[IJJ 628

²⁰⁰³

Akademii Ekonomicznej w Krakowi.

R enata Wróbel-Rotter

Ka •• dra Ekonome'rU

Giętkie fOl"łuy funkcyjne

w analizie kosztów: modele

1. Wprowadzenie

Stochastyczne modele

graniczne (ang.

s l ochaJ li e frO llli ers model.,), które wprowadzili D. Aigner,

C.A .K .

Lovell i P.

Schmidt [19771 oraz

W. Meeu

sen

i J.

van

den Broeck r

^{1977], są}

wykorzystywane

w ekonometrycznej

analizie

efektywności przedsiębiorstw,

rozumianej

w sensie M.J. Farrella

r

^1957].

^Stoso-

wanie modeli

procesów produkcyjnych do coraz szerszej

grupy

zagadnieli

empirycznych przyczyniło się do poszukiwania i rozwoju

nowych typów

form funkcyjnych, ^głównie

tzw.

lokalnie i globalnie ^giętkich

form funkcyjnych, które

zastąpiły stosowane

dotychczas mniej

sparametryzowane modele,

np. Cobba i Douglasa.

Niniejsze opracowanie stanowi kontynuację badań zaprezentowa- nych w pracy pl. Gięlkie

fo rm y funkcyjne

^IV

empir)'cmej anali zie kas zlu. Podej-

ście

Diewerla

ⁱ

wIlioskowanie hayesuwskie [200Ic], o

publikowanej

na lamach

"Ekonomisty"

i jest

poświecone globalnie gi ętkim formom

funkcyjnym

stoso-

wanym

w empirycznej analizie kosztu

zmiennego.

Praca ta rozszerza i ^uzupeł­

nia

podejście,

które

zaproponowali

G. Koop,

J. Osiewa

Iski

i M.F.J. Steel [1994]

o formaln

e

porównanie

zdolności

modelowania procesu produkcyjnego przez

lokalnie i globalnie ^giętkie

formy

funkcyjne na gruncie wnioskowania

bayesowskiego.

* Praca wykonana w ramach projektu badawczego nr l-H02B-022- 18 . fioilnsowanego przez Komitet B adań Naukowych. Autorka pragnie złożyć podziękowania pro f. dr. hab. Jackowi OsiewaIskiemu za cenne uwagi i wskazówki w ^{trakcie pisania niniejszej pra9 .}

Renata Wróbel-Ratler

2. Globalnie

giętkie

formy funkcylne

Zastosowanie w ekonomii globalnie

giętkich

form funkcyjnych, zwanych

również

formami

^giętkimi

w sensie normy Soboleva (ang,

Sobo/ev-flexib/e functiona/ forms), zaproponował

A.R. Gallant [1981],

wykorzystując

do aproksymacji nieznanej funkcji kosztu szereg Fouriera (ang.

FOllrier f/exib/e form,

por. [Gallant 1981, 1982, 1984] , [Chalfant, Gallant

1985],

[Elbadawi, Gallant, Souza 1981]). Modele te

cechują się

tzw.

globalną giętkością,

czyli

zdolnością przybliżania

nieznanych funkcji (np. C

(p,

Q,

K)

w

całych

ich dzie- dzinach, nie

zaś wyłącznie

odpowiednich

wartości

funkcji wraz z jej pierwszy- mi i drugimi pochodnymi

cząstkowymi

w arbitralnych punktach, jak to

^miało

miejsce w przypadku lokalnie

giętkich

form funkcyjnych. Aproksymacji nie- znanej funkcji kosztu dokonuje

się

w taki sposób, aby wszystkie pochodne

cząstkowe względem interesujących

nas zmiennych (np. cen czynników pro- dukcji)

zostały zadowalająco przybliżone

oraz aby

dokładność

tej aproksyma- cji

wzrastała

wraz ze

zwiększaniem

liczby parametrów modelu, przy ustalonej

liczebności

próby. Precyzyjna aproksymacja co najmniej drugich pochodnych

cząstkowych

jest konieczna do zapewnienia poprawnego opisu procesu pro- dukcyjnego na podstawie uzyskanej funkcji kosztu. Zastosowanie szeregu Fouriera

^zostało

jednak skrytykowane (por. np. [Weaver 1984)): dobór liczby wyrazów jest arbitralny, przez co pojawia

się niebezpieczeństwo

nadmiernego dopasowania do danych empirycznych (ang.

overfitting)

w przypadku próby o ustalonej

liczebności.

Ponadto do aproksymacji zjawisk ekonomicznych sto- suje

się

funkcje trygonometryczne, takie jak sinus i cosinus, co

może

powodo-

wać trudności

z zapewnieniem warunków

regularności

ekonomicznej. W kon- sekwencji pierwsza globalnie

giętka

forma funkcyjna - szereg Fouriera - nie

znalazła szerszego zastosowania.

Alternatywnie

aproksymację

funkcji

użyteczności

i produkcji wielowymia- rowym

rozwinięciem

Miintza i Szatza (ang.

Miintz-Szatz series expansion)

za- proponowali W.A. Barnett i A.B. Jonas [1983]. Nieznana funkcja kosztu jest

przybliżana

szeregiem Miintza i Szatza, co prowadzi do modelu globalnie

^gięt­

kiego, o zmiennej liczbie parametrów,

uzależnionej

od liczby danych [Barnett, Yuc 1988].

Cechą charakterystyczną

funkcji

należących

to tej klasy jest

wła­

sność

globalnej

wklęsłości

i

monotoniczności,

zachowana dla

każdego rzędu rozwinięcia

poprzez

nałożenie

restrykcji

niezależnych

od danych. Nadmierne dopasowanie do danych empirycznych nie jest

możliwe

w sytuacji, kiedy funk- cja

aproksymująca

jest globalnie regularna,

ponieważ

funkcje regularne

odpowiadają

teorii mikroekonomicznej, a nie anomaliom ujawnianym w posta- ci oscylacyjnych

^zakłóceń

losowych. Dla ustalonej

liczebności

próby

^zwiększa­

nie liczby wyrazów szeregu

uwzględnianych

w modelu prowadzi do bardziej precyzyjnego

przybliżenia

funkcji kosztu, a w konsekwencji charakterystyk pro- cesu produkcyjnego.

Podejście

takie

łączy

w sobie

własność

globalnej regular-

ności

i globalnej

^giętkości (w

sensie asymptotycznym, tj. wraz ze wzrostem do

HI analizie koszu}),... ...

nieskończoności liczby parametrów modelu). co wydalo się idealne i zostało od- zwierciedlone w nazwaniu szeregu Muntza i Szatza modełem asympLOtycznie

ideałnym (ang. AsymplO/ically IdeaL Model . AlM; por. [Barnett . Yue 1988]).

Zdolność modelowania wybranych technołogii przez AlM, zastosowanym do aproksymacji długookresowej funkcji kosztu całkowitego. analizował m.in.

D. Terrel

r

^19951. który na podstawie wygenerowanych danych pokazał. że do- brze przybliża on technologię CES zarówno w sytuacji znacznej komplementar-

ności.jak i substytucyjności czynników produkcji . Zwiększenie liczby wyrazów szeregu skutkowało szybką poprawą aproksymacj i funkcji warunkowego popy- tu na czynniki produkcji oraz wygenerowane dane zostały lepiej opisane przez AIM niż przez funkcje translog i uogólnioną Leontiefa.

3.

^Postać

analityczna modelu I

^załoienla

Rozważmy długookresową funkcję kosztów całkowitych . w której wszyst- kie czynniki produkcji są czynnikami zmiennymi oraz funkcja ta jest jednorod- na względem produkcji

Q .

tzn. cechuje się stałym i efektami skali produkcji .

Mikroekonomiczną. długookresową funkcję kosztu całkowitego można przed-

stawić jako iloczyn wielkości produkcji

Q

i funkcji kosztów jednostkowych ICpl = j(p[ • .... Pc. PK):

Q(P. Q) = Qj(p), ( I )

gdzieJCp) jest tzw. agregatorem cenowym (ang . price aggrega/or). ^wyrażają­

cym minimalny koszt uzyskania jednostki produkcji

Q

^przy ustalonych cenach wszystkich czynników produkcji. Podejście półnieparametryczne do aproksy- macji tak zdefiniowanej funkcji kosztu będzie polegało na rozwinięciu agrega- tora cenowegofCp) w szereg Muntza i Szatza. a następnie przyjęciu n-tych sum

częściowychf"Cp) jako funkcji aproksymujących nieznan,! funkcję kosztu jed-

nostkowego:

C"Cp. Q) =

Qf,,(p).

Otrzymuje się w ten sposób nieskończony (gdy n ^{-->~) c iąg} modeli parametrycz- nych, których parametry. po uwzględnieniu w

C,,(p,

Q) czynnika losowego pod-

legają estymacji. Kryteria doboru rzędu rozwinięcia

n

są najczęściej zależne od

rozważanego zastosowania, tzn. liczby obserwacji - najczęściej przyjmuje się

kilka pierwszych sum częściowych szeregu. Jeżeli rząd rozwinięcia przestaje

mieć widoczny wpływ na oszacowania charakterystyk procesu produkcyjnego.

to jest to sygnał . że

n

jest dostatecznie duże. Warto podkreślić istotność nałoże­

nia w procesie estymacji warunków regularności ekonomicznej, ponieważ chro-

nią one przed nadmiernym dopasowaniem modelu do danych empirycznych.

Renata Wróbel-Rotler

Założeni e stałego

efek tu skali

produkcji

w

dlugookresowej funkcji kosztu

może zostać

uc hy lo ne po pr zez

przyjęcie dość arbitralnej

form y

funkcyjnej

dl a produk cji Q i zapisanie

:

C(P l' .. ., Pc' PK'

Q)

=

Q1l'f!.P l' ... ,

^{Pc' PK)'}

gdzie 13,'

^{jest współczy nnikiem efektu} skali produkcji , podlegającym estyma-

cji.

W

ce lu

dopuszczenia zmiennośc i

efe ktu s k a li w ra z

ze zmianą wielkośc i

produk cj i

można wprowadzić

dod a tk owy

parametr ~,

i

zapisać dlugookresową

funkcję kosz

tów

całkowitych

jako [K oop, Osiewa isk i , Steel 199 4 ]:

CCpl' ""PC, PK' Q) = QII,

. P""

QfCp" ""PC, PK)'

W pracy

rozważono wylącznie krótki

ok re s, kiedy ka pital rzeczowy traktow a - ny je st jako

^wielkość

us

talona, rozpatruje ^się

j ego

^nakład

zamiast ce ny oraz koszt z mi e nny:

Ccp

_{l' ... , P G'}

Q

_, ^{K) -}_-

QI". ' hl

_-

"Q j·Cp

_{I' ... ,} P _G' K) _.

Funkcja

z mi e nne go ko

sz

tu jedn os tk owego

f(P l ' ... , Pc ' K ) za leży od

ce n z mi e nn ych czy nnik ów produkcji oraz

n akładu

ka p italu , z at e m jej

przybliżenie

przez

rozwinięcie

Miint za i Szatza je

st ^niemożliwe -

proponuje

się więc nastę­ pującą modyfikację:

CCpl' ... ,

Pc, ^Q

^{, K) =} Q~ ,+ " h'QK~'

f(p " . .. ,

^{Pc)' (2)}

W tak za pisan y m modelu

agregator

ce no wy

jest funkcją wylącznie

cen zmiennych

czynnik ów produk cj i

j(P) = f (p ^{l ' ... ,} Pc)

i

^{może być rozlożo­}

ny w

szereg

Miintza i

Szatza. Każdy

z

powstałych

modeli:

C,,(p ,

Q,

K) =

=

QP ,.

P2IoQK~if" Cp)

je st il oczy nem

n-tej

s umy

częściowej

szere g u

(giętkiej

for - m y funk cyj nej ) oraz

^zalożonych

pos tac i analitycznych dla

Q

o r az K ,

co pow

o - duje ,

że

o tr zy mane m ode le

mogą być

" malo

giętkie".

Og ó lna

formuła

sze regu Miintz a i Szatza je st

dość skomplikowana, dlat

ego tutaj zapre ze ntowano

formułę naj częściej cytowan ą

na

n-tą sumę częściową

G-wymiarowego roz winięcia:

2'

f"Cp) =

L ^a, rr ^{p i ' '',}

ZE A~ ~; ~I J

gdzie

a , to

współczynniki rozwinięci a, a

A" to zb ió r 2" ,wymi arowyc h ind ek - sów z pos taci:

A _n= {( " _{'1·12'···. '}'_2n )" _{: tl 'l.-)···· , 1}. _{211 E} {l _•.... G}' _{; ' 1 - '}< . _{2' ... ' - '}<'₂₁₁} _.

Suma

wykładników

pr zy ce nach czyn ników pr o duk cji w

każdym

ze

składni­

ków

szeregu

wynosi

2"

. 2- "

=

l, c o oz nacza,

^że

d owo lna sum a

^częściowa

sze-

regu je s t

liniowo jedn

orod na

względem p.

Prz ykl adow e

rozwinięc ia szeregu

Miint za i Sza tza , wykorzystane

^następnie w

ilu

s

tra cj i empirycznej

, przeds

ta,

wiono dl

a dwóch ce n czy nników prod ukcji (G

= 2):

w analiz.ie km'ZIÓW" ,

L Rzędu pierwszego (n = I), w którym indeksy z pochodzą ze zbioru:

A ^I = {(i" i ²⁾ i ^I' i₂ ^E {I , 2}; i ^I

<

i ^2} = {(I , I ), (2, 2), (I , 2)} ; j =

I.

2.

Stąd

f

^{' f ,) p ) - a pl" p''' +a_" ll2 p "2+ a p"2p 'i2}

, l \J l ' ::: - I I l 1 22r ^{2 2 !} 2 l 2 '

czyl i

!,V']'P,)

^{= U,P,+ UJP2}

^{+ u}

₃

^{pl l2 p} i

^f2

II. Rzędu drugiego ⁽ⁿ

=

2), w którym indeksy ^z pochodzą ze zbioru: A,

=

= (Ci I ' i ^{2 '} i), i 4}: ; I ' ;" i 3' ;4 E {I, 2}; ; ^I

< ; ,

^{5, ; 3 5,} i 4} = {( I , I , I , I), (2, 2, 2. 2),

( l , I, 1,2), (l.1 , 2,2),(I ,2,2,2);j= 1, 2,3, 4 . Sqd

j . ₂ {p _{I '} p} -_{2 -}

a

_{111 1} p _I li4p_{. 1} lf' p ₁ lf' plf4 _l

+ a

₂₂₂

_n'"

_{2r 2} p'" p lf_{2 2} 4p _') ^,/4

+

czyli

j~(]J " ^1'2) =

u ,P ,

+ UJP2 +

u:J' j" pl"

⁺

^{u4I' 1 "} pl"

^{+ UsPI"}

pj" .

Warunkiem wystarczającym globalnej wkl ęs lośc i i monotoniczności agre- gatora cenowego !(P) jest nałożenie ograniczenia nieujemności na każdy z pa- rametrów a, [Bam et!, Geweke, Walfe 1991], które to jednak może skutkować

ograniczeniem globalnej giętkości, co stanowiJo konkluzję badań symulacyj- nych przeprowadzonych przez D. Terrela

r

^{1995] . Warunki} regularności lokal- nej - w zbiorze obserwacji bądź tylko w środku c i ężkości danych - okazują się

najbardziej odpowiednie w zastosowaniach empirycznych, ponieważ nie elimi-

nują globalnej giętkości w sensie normy Soboleva [Gall ant , Golub 1984]. Po-

stać analityczna rozw i nięc ia Miintza i Szalza rzędu pierwszego dla dlugookre- sowej funkcji koszlów przy stalym efekcie skali produkcji jest tożsama

z uogólnionym modelem Leontiera , wprowadzonym przez W.E. Diewerta

r

^{197 1].}

Łącząc przyjęte postacie analityczne C,,(p ,

Q ,

K) funkcji aproksymujących nieznaną funkcję kosztu ze strukturą stochastyczną złożonego skladnika loso- wego ^{zaproponowaną} przez D . Aignera, C.A .K. Lovella i P. Schmidta [1 977] oraz W . Meeusena i J. van den Broecka [1977], otrzymano stochastyczną gra-

niczną funkcję kosztu zmiennego (ang .

s tochas ti c !rol1tier cos t!ul1 ctiol1)

ogól- nej poslaci:

Y

_lt =

!(x

_{lt ,} ^y)

+

_Eit ^{A E}_{lt =} ^Ul

+ v

_lt dla i = l, .. ,

N,

t = l, .. .,

T,

gdzie:

Y

_lt

=

In ^Clt' czyli

Y

_lt jest logarytmem kosztu zmiennego i-lego obieklu

w kolejnych t okresach,J(x ,t , ^{y) =} InC,,(p,t' ^{Q lt' K It) -} lo postać funkcyjna slochastycznego modelu granicznego, N jest liczb'l obiektów, x _lt lo wektor zmiennych objaśniających będących funkcjami p ,

Q

oraz K, y lo weklor

Renata Wróbel-Roffer

parametrów giętkiej formy funkcyjn ej charakteryzujący t echnologię, \lit - składnik losowy o ^rozkładzie symetrycznym. Przyjmuje ^się standardowo, ^że

v

_it

mają niezależne identyczne ^rozkłady normal ne N(Q, a,2), zaś u_i to nieujemna zmienna losowa reprezentująca nieefektywność; zakład a się niezależność zakłóceń losowych od ^{nieefekt ywności} i ^{nieza leżność} v_it oraz ^lI_i od zmiennych

objaśniających . Miarą stopnia krótkookresowej efektywności kosztowej EK_it obiektu i w okresie t, jest: EK_it

=

exp(- u i). Ze ^względu na anali zę krótkookresową, za lożono stałość efektów indywidualnych w czasie, zatem

E^K _/I =EK _{I .}

4. Estymacia modelu

Podstawy bayesowskiej analizy stochastycznych modeli granicznych opra- cowa li J. van den Broeck, G. Koop, J . OsiewaIski i M.F.J. Stecl [1994],

a następnie rozwi nęli G. Koop, J. Osiewaiski i M.F.J. Steel [1 997], definiując

bayesowskie modele losowych i ^stałych efektów indywidualnych, ^zaś warun- ki istnienia rozkładów

a posteri ori

^{szczegółowo} omówili C. Fernandez, J . Osiewa Iski i M .F.J. Steel [1997]. W niniejszej pracy zostanie ^przyjęty, do definicji struktury stochastycznej złożonego skład nika losowego ~it' podstawo-

wy bayesowski model efektów losowych , tzw. model o wspólnym rozkladzie

efektywności (ang .

Co mmo n Effi ciency Distriblllion,

CED) będący szczegól- nym przypadkiem modelu o zmiennym rozkladzie efektywności (ang.

Varying Effic iency Distri b ulio n ,

VED). Bayesowskie modele efektów losowych trak-

tują parametry rozkladów nieefektywności jako zależne

a priori,

przez co uzy- skano brzegową zależ ność zmiennych u_{i .} W modelu CED zalożono, że u_i ma-

ją identyczne niezależne rozkłady wykladnicze o wspólnej średniej A: prU)

=

N

=

i ~' Je( u

_i ^{II , A-') , co o}znacza uznanie

dużego podobieństwa ź ró del

^nieefek-

tywności rozważanych N obiektów .

Statystyczny model bayesowski dla granicznej funkcji kosztu zmiennego, czyli łączny rozklad obserwacji, zmi ennych ukrytych i parametrów (przy

ustalonych wartościach zmiennych egzogenicznych) ma następującą postać:

n

N ¹

p( a , (3, a'; ,

U,

A - ', y I X, Z) = p( a)p«(3)p( aJ, A -') {N(

Y

_i I Xi (3

+

i "" I

(4) +

In(Zia)

+ u h,

^a,YT)!c(u_i ^{II, A-'),}

gdzie ^{Y(NTx I)} zawiera logarytmy koszt u zmiennego, ^Y_i to wektor o wymiarach (T x I), p(a) oraz p«(3) oznaczają rozklady a priori parametrów technologii , y = «(3', a')' (3= «(3i' (32' (33)',a=(a l, ... , af)',Xj,NTx l ) to macierz o wymiarach

(NT x 3), której wiersze mają postać: Xi' = [In{!it In²Qi InKi'), Xi jest macierzą

o wymiarach (T x 3), macierz Zi ma wymi ary (T x D ), gdzie D jest liczbą

parametrów danego ^{rozwinięcia ,} np .

D =

3, wtedy wiersze macierzy Zi ^są

formy . w analizie koszu)w, ..

Postaci: ^Z = [p . I' . /' 110 P 1i2], albo D = 5, dla któreoo

z ·

⁼ [I' . p, P ³¹⁴ p,'/4

. .., , 1 / . 11/ 2/{ lit ,'1\ . .., b ^/I lit ^,_1/ III _II

P l . I,_p 1.2 p 1,4 2· l . ^P 2^'/"1· · J, p(crI" -2 /..-) =] G (cr^l' -- I" 01 12 ' g 2 12){. . G (),.-II l ' - lnr) to łączny

rozldad'(I p~!{}ri

dla:

^cr,~2 - precyzji symetrycznego składnika losowego, oraz A- I - odwrotności przeciętnego poziomu nieefektywności: zapisy

l!;(.

^{I (I , B) oraz}

f( I

^{I c, bl} oznaczaji) odpowiednio: funkcję gęstości T-wymiarowego rozkładu

normalnego o wartości oczekiwanej

a

i macierzy kowariancji ^B oraz funkcje

gęstości jednowymiarowego rozkładu gamma o wartośc i oczekiwanej clI>

i odchyleniu standardowym

{C/b.

Parametry rozkładu a,~' założono dość arbitralnie: g I = li2 = 10-6, nie mają one praktycznie wplywu na wyniki wnioskowania, dla A -I przyjęto rozkład wykładniczy, w którym r' jest medianą

a priori rozkladu efektywności; por. [Koop, Osiewaiski , Steel

19971;

dla r'

przyjęto wartość

0,8,

oznaczającą prawdopodobieństwo a priori 1/2, że przedsiębiorstwo ma efektywność kOSZlową wyższą niż

80 % .

Rozklad ^(I posteriori jest (N

+

F

+

D

+

2)-wymiarowym , niestandardowym

rozkładem o ^gęstości proporcjonalnej do prawej strony wzoru ^(4):

p(a,~, U, cr,;' , A-II

y,

^X, Z) ~ [

0 -2 E'E

l

~ (a,~')<g , ^{+ NTJI2} p(a)p(~)exp - "2 - A-I (N;;

+

In r),

(5)

gdzie ^E = Y - X~

-

In(Za) - ^{U®I,., lT -} kolumna jedynek ^O wymiarach ^(T x I

l,

U

⁼ (u" .. .,

"NY'

Skomplikowana postać gęstości nie pozwala na analityczne wyznaczenie brzegowych rozkładów ^(I posteriori, natomiast możliwe jest, przy odpowiednim podziale wektora parametrów modelu: ^OJ = (a, ^{~, a,~',} A-I ^U) wyznaczenie układu warunkowych rozkladów a posteriOl'i, z których przynamniej ^część pozwala ^{bezpośredn i o generować} liczby losowe:

p(l,-I I

Ul

^{= fe (),.- I I I}

+

^{N, NU - In} r'),

(6)

, . ( " NT

+

li l

g2 ⁺

^{E'E ;}

p(a,;- I

a, ~,

^{U, y, X, Z) =}

fe a, ; - I

^{2 ' 2}

l ,

⁽⁷⁾

N

p(U 1 a ,~,

a, ; ',

A-I, ^y, X, Z) ~

n

^f~

^(u

_i ^{1 mi'}

^a,.

^T-O.5)J(U _i

^>

^O),

⁽⁸⁾

i ::: I

gdzie: ^mi = (l7:Y, - I/X,~ - l/In f(Z,a) - ^a,: A-I)T-I , ^J_{(u i}

>

O) jest funkcją

wskażnikową,

p(~ I

a ; ',

^U,

^y,

^{X) =}

= f~W

1 (I +

a; 'X'X)-1 (I~O

+

a ; 'X'( Y - U®IT)) ,

(I +

a;' X'X)-I),

(9)

gdzie ~o,

I

^{oznaczają wektor wartości} oczekiwanych i macierz

rozkładu a priori dla ~,

p(a I~,

u ;',

^{U, y , X, Z) ~} p(a)exp[-O,5U,~'(E'E)] ,

precyzJI ..

(10)

Renata Wróhel-Rotler

Powyższe

wzory

stanowią bezpośrednie

uo

gó

lni

e

nie na pr

zy

padek dan

yc

h przekroj

owo-czasowyc

h wyników. które uz

yska

li G. Koop

.

J

.

Osiewaiski i M .P.J. Steel [1994] dla przypadku danych przekrojowych. Do

wy

znaczenia charakterystyk

a posteriori

dla parametrów tec hnologii i

wskaźników efektywności

koszt

owej posłużą

metody Monte Carlo typu

lańcuchów

Markowa (ang.

Markov Cłwin MOllle Carlo.

MCMC). G

. Koop, J.

Osiewaiski i M.F.J. Steel [1994]

zapro

ponowali

wy

korzy

stanie

w mod

e

la

c

h

g

raniczny

c

h algorytmu Metropolisa i Hastingsa w ramach losowania Gibb

sa (por.

l Wróbel- -Rotler, Osiewaiski [200Ia, b], [Wróbe l-Ratler 2001a, bl).

5. Bayesowskie porównywanie modeli I

^łqczenle

wiedzy

Przyjęcie różnych

postaci funk

cyj

nychf(x

_ir ^, y) stochastycznej

granicznej funkcji kosztu zmienn

ego

prowad

z

i do zdefiniowania konkurencyjnyc h mod

e-

li. z których

następnie należy wybrać

najlepiej

^{opi s}ujący daną technologię . Na

gruncie wnioskowania bayesowskiego w

s

posób formalny traktuj

e się

niepew-

ność zw iązaną

z wyborem modelu poprzez

uwzględnienie

zarówno obserwa

-

cji,jak i wiedzy

wstępnej. Każdemu z ^In niezagnieżdżonych

mode li MI' ... , Mm

m

przypi

s

uj

e się prawdopodobieństwo

a

priori

P(M). takie

że

L

^{P(M) =}

^I

^,

^od-

.< = ^I

zwierciedlającc wiedzę co

do

^możliwości

opisu ob

serwacji

przez ten mod

e

l, a

następnie z

wzoru Bayesa otrzymuje

się

ich

prawdopodobieństwa

a

posteriori:

P( y l M,lP(M,l P(M I Y) = . .

.1 /li ,

L

^p(Y I M,)P(M,)

q = 1

i do dalszego wnioskowania wybiera

się

model najbardziej prawdopodobny a

posteriori,

czyli taki

,

dla któreg

o P(M,

I

Y)

jest

^największe

przy danych obserwacjach i

przyjętych prawdopodobieństwach a priori. Wielkości P(M,

I

Y)

mogą być s

ilnie

^{w rażliwe}

na

^{zm ianę}

rozkladów a

priori

pCw)

o

ra

z

prawdopodobieńSlw P(M) . Zależność

od

rozkładu

a

priori

wynika z defini

cji

brzegowej

^gęstości obserwacji p(Y I M),

która jest obli

czana

jako

^całka

z

łącznej gęstości pry

I

w,)

po w, pr

zy

ustalonym

Y. Wpływ prawdopodobieństw

a priori P(M) może być

wyizolowany poprzez

^analizę

szans

a posteriori

dla par mod

e

li

(a

ng.

posterior odds ratio):

P(M, I Y) P{Mq I Y)

P(Y IM) P(Y I Mq)

x

P(M,) P(M,)

Czynnik Bayesa B ,q (ang.

Bayes factor) , będ'ICY

ilora

ze

m brzegowych

gęstośc i wek

tora obserwacji, mierzy

relatywną

moc

wyjaśniającą

modeli

M.,

Giętkie formy . _w analizie koszfÓ"v ...

oraz M, i ujmuje informacje, w jakim stopniu obserwacje potwierdzają model M._I^, w 'porównaniu z modelem

Mg:

^BHI > l oznacza wskazanie przez obserwacje, ^że model ^M, jest bardziej adekwatny do ich opisu [Jeffreys 1961].

Wyznaczenie ilorazu szans a posleriori modeli wymaga znajomości stałych normujących rozkład a posteriori. Stosowane do przybliżania charakterystyk

rozkładu ^(l poster;or; metody MCMC umożliwiają aproksymację brzegowych

rozkładów a posteriori parametrów bez konieczności obliczania brzegowych

gęstości obserwacji i bez konieczności wyznaczania stałych normujących

warunkowe rozkłady a posteriori. Uniemożliwia to jednak bezpośrednie

obliczenie P(M, I Y) i należy zastosować dodatkowe metody numeryczne.

W zagadnieniach związanych m.in. z wyborem jednego z mniezagnieżdżonych

modeli metodę bezpośredniego (z pominięciem p(Y I M» wyznaczania

prawdopodobieństw ^(l posterior; P(M, I Y). Polega ona na wprowadzeniu zmiennej wskaźnikowej, o wartościach naturalnych, indeksującej modele i wyznaczenie dla niej rozkładu a posteriori. Podejście takie zaprezentowali m.in. B.P. Carlin i S. Chib [1995]. Zastosowanie tej metody w stochastycznych modelach granicznych nie doprowadziło do precyzyjnego obliczenia P(M, I Y),

ponieważ w sytuacji, kiedy prawdopodobieństwa a posteriori niektórych modeli są bliskie zera, metoda ta nie prowadzi do dokładnego ich wyznaczenia.

M.A. Newton i A.E. Raf tery [1994] zaproponowali przybliżenie brzego~

wej ^gęstości obserwacji za pomocą średniej harmonicznej z funkcji ^wiarygod~

ności obliczonej dla kolejnych wylosowanych wartości z rozkładu a posterior;:

L

p( Y I M) = {L~I [

2:

^{ftY I}

CJlV',

M)]~I }~I, gdzie ftY I

CJlV',

^M) są wartościami funkcji

I =' 1

wiarygodności. Estymator ten jest numerycznie zgodny, jednak często mało

stabilny, ponieważ odwrotność funkcji wiarygodności posiada nieskończoną wariancję. Możliwe jest w takiej sytuacji wprowadzenie funkcji wygaszającej

(ang. tuning fimctioll), lecz wtedy pojawia ^się problem jej specyfikacji i potencjalna wrażliwość wyników. Przyjęcie jako funkcji wygaszającej rozkładu normalnego z macierzą kowariancji i wartościami oczekiwanymi ustalonymi na poziomie wartości oczekiwanych a posteriori zostało

wykluczone przez osobliwość (z powodów numerycznych) macierzy kowariancji wszystkich (N

+

F

+

D

+

2) parametrów. Alternatywną metodę przybliżania brzegowej gęstości obserwacji zaproponował S. Chib [1995], która ^została zaadaptowana do obliczenia brzegowej ^gęstości obserwacji dla wybranych stochastycznych modeli granicznych (por. [Wróbel~Rotter 2001 bl).

6. lIustracla empiryczna

Rozważono dwie postacie analityczne granicznej funkcji kosztu dla

rozwinięcia Miintza i Szat za ^rzędu pierwszego i drugiego:

ReI/ola Wróbel-Ratler

MSI:

o',

_{IJ- L'}

^p

_,\1'

^Q

_,

K)=Q"'·"""QKI"(ap +a_o +a_n'!2p'12)e''' '

_{- - l L ?J .. M 51' L M · ,}

MS2: C(p _{L' M'}

p Q

_, K)=Q"'·~""QK~,«1p _{- - l . I.}

+"p

v:. . ^M +a_nI12[7'12+a.7,<1"p)11+ .'.1"' L M 41 l. M

+

a"p:'/4 p ^{114) el -r I',}

. I, M

gdzie C oznacza koszt zmienny poniesiony przez przedsiębiorstwo w danym roku,

Q

~ produkcję energii elektrycznej i cieplnej w teradżulach (TJ), K ~ sumę

aktywów, ^PL ~ średnie wynagrodzenie jednego pracownika wraz z narzutam,PM

~ średnią cenę materiałów (tj. l TJ energii zużytych paliw). Opisując proces produkcyjny ograniczymy ^się do krótkookresowych elastyczności kosztu zmiennego względem produkcji _{EC/Q '} ceny pracy ^ECif' i nakładu kapitału _{EC/K '}

W

przeciwieństwie

^do

rozważanych

^we

wcześniejszych

pracach lokalnie

giętkich form funkcyjnych (por. [Wróbel-Rotter 2001a, cJ) elastyczności kosztu

względem cen zmiennych czynników produkcji dla MS l oraz MS2 ^zależą

wyłącznie od poziomu cen i nie są związane z wielkością produkcji czy

nakładem kapitału. Efekt skali produkcji ^zależy od poziomu

Q,

zaś elastyczność

kosztu względem kapitału założono jednakową dla wszystkich obiektów.

Rozkład a priori dla parametrów a_i oraz ^~i zostanie tak wyspecyfikowany, aby odzwierciedlał wst<;pną wiedzę dotyczącą własności mikroekonomicznej krótkookresowej funkcji kosztu zmiennego. Indywidualne parametry strukturalne nie posiadają interpretacji ekonomicznej, dlatego wiedzę

o własnościach funkcji kosztu uwzględnia si<; w modelu poprzez ich funkcje

opisujące proces produkcyjny, tj. elastyczności. Założono

a

priori. ^że najbardziej prawdopodobny będzie stały efekt skali produkcji, niewielki ujemny wpływ na koszt zmienny nakładu kapitału oraz przyjęto, że elastyczności względem cen są

równe po ok. 0,5. Preferowany

a

priori jest model prostszy, tj. MS l, od modelu bardziej sparametryzowanego, tj. MS2. Opierając się na części wartości

zmiennych objaśniających i powyższych informacjach otrzymano następujące

wektory wartości oczekiwanych

a

priori: ~~lSI = ~~S2 = [1 O ~O,I]', a~Sl =

= [O O I]' oraz a~s' = lO O I O O]'. Założono, że rozkłady

a

priori są

wielowymiarowymi rozkładami normalnymi, o diagonalnych macierzach kowariancji odpowiednio:

La

^oraz

L"

co powoduje, że elastyczności kosztu

względem cen czynników produkcji są ilorazami kombinacji liniowych zmiennych losowych o rozkładach normalnych, nie posiadają więc momentów.

Skutkiem tego ^wyłącznie na drodze symulacji z ^rozkładu

a

priori można badać

efekt, jaki wywiera dana macierz kowariancji

La

na indukowany rozkład

a

priori

elastyczności (por. [Wróbel-Rotter 200Ia]). Generuje się wektor a ^lli z D-wymiarowego rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej ^0.(/ i macierzy kowariancji

La'

^{a następnie} oblicza wybrane charakterystyki procesu produkcyjnego, np. EI~'/" i buduje histogramy przybliżające ich rozkłady

a

priori, których

rozpf(i~zenie

^ocenia

się

^za

pomocą

kwantyli. Odchylenia standardowe

a

priori dla parametrów ~i zostały wybrane poprzez analizę elastyczności kosztu ^względem

Q

oraz K (por. [Wróbel-Rotter, OsiewaIski 2001a, b]). Ostatecznie przyjęto: a~ = ai" = 0,0001, a~ = 2,9 oraz a;' = l.

l _ :I ^I

Gięlkie ftJrmy . ^\V analizie kosztów ...

Oprócz zapreze nt o wania, który z dwóch modeli, MS I czy MS2, lepi ej o pi s uje obserwacje, pr ze prowadzon o

również

ich por ów nani e z

najczęściej

st

oso wanymi w prak t yce lokalnie

^giętkimi

formami funkcyjnymi,

przyjętymi

dla J(.r",

y)

w g r a ni cznej funkcji koszt u , o mówion y mi w pracach f Wrób e l- -Rotle r 200 I a. c ], tj

. funkcją

translog (TR.[ Christensen

,

J orge ns o n

,

Lau 19 7 1],

uogólnioną

Leo nti efa (G L. [Die we rt 1 97 1 n ^{i McFaddena ( MF, [Diew e rt}

^,

Wales 1987)) o raz

^funkcją

Cobb a i Douglasa z uzmienni ony m e fektem sk a l i produkcji (COlI [C hri stensen, Gr eene 1 976 ]). Spo sób d obo ru

^rozkładów {/ priori

przedstawi o no w pracach R . Wróbe l-Rotler i J. Osiewai

skiego f2001a]

dla funkcji tran s log or az R. Wróbel-R otte r [200Ia, bl dla

pozostałych.

Ze

względu

na

wrażliwość prawdopodobieństw ^(J poslaiori

m

odeli P(M,

I

Y)

n a

postać

rozkladu a

^{priori, wartości} ocze

kiwane i odchylenia

s

tandardow e

{/ priori zostały

tak

przyjęte ,

ab y info rma cja

, jaką uwzg lędnia się

w

każdy m

z mo deli granicznych

, u stałona

po pr zez

analizę

wybranych c ha rakter ys t yk proces u produk

cyj

ne go,

^{była zbliżona .}

W

^każdym

z modeli

wielkości opisujące

proces produk cyjny

wyrażają się

zasa dniczo innymi

formułami,

jednak

możliwe

jest w yb ranie parametrów

rozkładów

a

priori

tak, aby

rozkład

o priori

dla wybran yc h

elastyczności

byl

zbliżony.

Taki e

podejście

nie ozna cza jedna k

, ^{że rozkłady}

a

^priori

dla wszy

s

tki

c

h charaktery

sty

k proc esu pro

-

dukcyjnego

^będą

pod o bne.

Krótkookre sowe

elastyczności

kosz tu

z

mi e nnego

względem

ce n czy nnik ów produkcji w modelach MS l oraz MS2

są zbliżone

do

o

tr

zy

man yc h n a pod

stawie funk

cji tran s log i uo gólnio nej Leontiefa (por. [Wróbel-Rotler 200 I b]), natomia st efekt skali produk cj i i

^{elastyczność} względem kapitału

praktycznie

pokry wają się

z uzy s kanym i na podstawie funk cj i COlI.

Średnia

arytmetyczna

elastyczności

kosztu zmie nn ego

względem ceny

prac)' dla MS l i MS2 wy no si ok

.

0

,5: dla obiektów

mni ej

s

zych pod

^{wzgl ędem}

produkcji j es t ni eco

wyższa. Zbli żone

w arlo

k

i

^{elastycznośc i}

ko

s

z tu

^względem

ce n

czy

nnikó w produk cj i

,

o bliczon e dla

wartości

oczekiwanych

^Ci posteriori

pa rametrów te

c

hn o logii,

św iadczą

o uzyskaniu

zadowalającego przybliżeni a

funkcji kosztu i

mogą sugerować, że

dal sz e

zwiększan ie rzędu rozwinię­

cia MUntza i S

za

tza nie

będzie prowadzić

do popr aw y aproksymacji c harakterystyk procesu produkcyjnego

. Kr

ótkookresow y efekt

skali

produkcji ,

będący odwrotno ści ą elastyczności

ko

sz

tu

względem

produkcji, je

st

w

przybliżeniu s

taly, dla ob iektó w

^większych

po d

^{względe m}

produkcji ni ceo

malejący,

co ogó lni e

^mówiąc,

ws ka z uj e na prop o rcj o naln

y

w

z

rost ko

sz

tu

z

mi e nnego w od pow ie dzi na

zw i ększenie

produk cji

. E lastyczność

ko sz tu

względem nakładu czy

nnika stalego -

kapi tału

rzec zowego - oznacz a s p ad

e

k kosztu zmienn ego o o k. 0,05

% (przy

odc hyleniu standardo wym 0 ,027) w o dpowiedzi n a w

z

rost

wartości

ak tyw ó w o l

%. Średnia

arytmetyczn a

wartości

oczeki wa ny c h

a posleriori

dla

wskaźników efektywności

kosztow ej EKi je st jednakowa dla MSI oraz MS2 i wynosi 0,69

(

pr

zy średniej odchyleń

s

tandardo wyc h a

posteriori

równej 0.05)

.