8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

1 Wstęp

2 Wykresy funkcji dwóch zmiennych

3 Definicje analogiczne do jednowymiarowych

4 Pochodne cząstkowe

5 Różniczka funkcji wielu zmiennych

6 Podstawowe zastosowania ekonomiczne

Motywacja

Dotychczas badaliśmy głównie zachowanie funkcji jednej zmiennej, czyli zjawisk (np. ekonomicznych) zależących tylko od jednego czynnika.

Oczywiście, sytuacje, w których jakieś zjawisko zależy tylko od jednej rzeczy zdarzają się w rzeczywistości bardzo rzadko. Już na początku roku, przy okazji omawiania relacji, rozważaliśmy funkcje użyteczności zależne od dwu zmiennych. Tutaj rozwiniemy analizę podejścia tego typu. Najczęściej będziemy omawiać przykłady funkcji 2 i 3 zmiennych (ze względów czysto praktycznych - czasu

prowadzenia obliczeń), ale łatwo będzie te rozważania przenieść na przypadek dowolnej, skończonej liczby wymiarów.

Motywacja

Dotychczas badaliśmy głównie zachowanie funkcji jednej zmiennej, czyli zjawisk (np. ekonomicznych) zależących tylko od jednego czynnika. Oczywiście, sytuacje, w których jakieś zjawisko zależy tylko od jednej rzeczy zdarzają się w rzeczywistości bardzo rzadko.

Już na początku roku, przy okazji omawiania relacji, rozważaliśmy funkcje użyteczności zależne od dwu zmiennych. Tutaj rozwiniemy analizę podejścia tego typu. Najczęściej będziemy omawiać przykłady funkcji 2 i 3 zmiennych (ze względów czysto praktycznych - czasu

prowadzenia obliczeń), ale łatwo będzie te rozważania przenieść na przypadek dowolnej, skończonej liczby wymiarów.

Motywacja

Dotychczas badaliśmy głównie zachowanie funkcji jednej zmiennej, czyli zjawisk (np. ekonomicznych) zależących tylko od jednego czynnika. Oczywiście, sytuacje, w których jakieś zjawisko zależy tylko od jednej rzeczy zdarzają się w rzeczywistości bardzo rzadko. Już na początku roku, przy okazji omawiania relacji, rozważaliśmy funkcje użyteczności zależne od dwu zmiennych.

Tutaj rozwiniemy analizę podejścia tego typu. Najczęściej będziemy omawiać przykłady funkcji 2 i 3 zmiennych (ze względów czysto praktycznych - czasu

prowadzenia obliczeń), ale łatwo będzie te rozważania przenieść na przypadek dowolnej, skończonej liczby wymiarów.

Motywacja

Dotychczas badaliśmy głównie zachowanie funkcji jednej zmiennej, czyli zjawisk (np. ekonomicznych) zależących tylko od jednego czynnika. Oczywiście, sytuacje, w których jakieś zjawisko zależy tylko od jednej rzeczy zdarzają się w rzeczywistości bardzo rzadko. Już na początku roku, przy okazji omawiania relacji, rozważaliśmy funkcje użyteczności zależne od dwu zmiennych. Tutaj rozwiniemy analizę podejścia tego typu. Najczęściej będziemy omawiać przykłady funkcji 2 i 3 zmiennych (ze względów czysto praktycznych - czasu

prowadzenia obliczeń), ale łatwo będzie te rozważania przenieść na przypadek dowolnej, skończonej liczby wymiarów.

Podstawowe oznaczenia

Rozważamy przestrzeń Rⁿ, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami.

W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować. Rozważamy funkcję f : Rⁿ ⊃ D_f → R.

Oczywiście, jak w przypadku jednej zmiennej, by zdefiniować porządnie taką funkcję musimy podać nie tylko jej wzór, ale też jej dziedzinę. Jeśli dziedzina nie jest podana, naturalną dziedzinę funkcji wyznaczamy tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej (zwracając uwagę na ułamki, pierwiastki, funkcje logarytmiczne itp., a następnie rozwiązując odpowiednie nierówności).

Podstawowe oznaczenia

Rozważamy przestrzeń Rⁿ, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować.

Rozważamy funkcję f : Rⁿ ⊃ D_f → R. Oczywiście, jak w przypadku jednej zmiennej, by zdefiniować porządnie taką funkcję musimy podać nie tylko jej wzór, ale też jej dziedzinę. Jeśli dziedzina nie jest podana, naturalną dziedzinę funkcji wyznaczamy tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej (zwracając uwagę na ułamki, pierwiastki, funkcje logarytmiczne itp., a następnie rozwiązując odpowiednie nierówności).

Podstawowe oznaczenia

Rozważamy przestrzeń Rⁿ, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować. Rozważamy funkcję f : Rⁿ ⊃ D_f → R.

Oczywiście, jak w przypadku jednej zmiennej, by zdefiniować porządnie taką funkcję musimy podać nie tylko jej wzór, ale też jej dziedzinę. Jeśli dziedzina nie jest podana, naturalną dziedzinę funkcji wyznaczamy tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej (zwracając uwagę na ułamki, pierwiastki, funkcje logarytmiczne itp., a następnie rozwiązując odpowiednie nierówności).

Podstawowe oznaczenia

Rozważamy przestrzeń Rⁿ, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować. Rozważamy funkcję f : Rⁿ ⊃ D_f → R.

Oczywiście, jak w przypadku jednej zmiennej, by zdefiniować porządnie taką funkcję musimy podać nie tylko jej wzór, ale też jej dziedzinę.

Jeśli dziedzina nie jest podana, naturalną dziedzinę funkcji wyznaczamy tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej (zwracając uwagę na ułamki, pierwiastki, funkcje logarytmiczne itp., a następnie rozwiązując odpowiednie nierówności).

Podstawowe oznaczenia

Rozważamy przestrzeń Rⁿ, złożoną z wektorów n-wymiarowych, które będziemy nazywać punktami. W naturalny sposób, możemy te punkty sumować i odejmować. Rozważamy funkcję f : Rⁿ ⊃ D_f → R.

Oczywiście, jak w przypadku jednej zmiennej, by zdefiniować porządnie taką funkcję musimy podać nie tylko jej wzór, ale też jej dziedzinę. Jeśli dziedzina nie jest podana, naturalną dziedzinę funkcji wyznaczamy tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej (zwracając uwagę na ułamki, pierwiastki, funkcje logarytmiczne itp., a następnie rozwiązując odpowiednie nierówności).

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x , y , z) = ln xy +√

z²− 1.

Oczywiście, D_f jest podzbiorem R³. Musimy rozwiązać dwie nierówności:

xy > 0, z²− 1 ­ 0.

Otrzymujemy stąd: (x > 0 ∧ y > 0 lub x < 0 ∧ y < 0) i z ∈ R \ (−1, 1). Możemy zapisać:

D_f = [((0, ∞) × (0, ∞)) ∪ ((−∞, 0) × (−∞, 0))] × (R \ (−1, 1)).

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x , y , z) = ln xy +√

z²− 1.

Oczywiście, D_f jest podzbiorem R³.

Musimy rozwiązać dwie nierówności:

xy > 0, z²− 1 ­ 0.

Otrzymujemy stąd: (x > 0 ∧ y > 0 lub x < 0 ∧ y < 0) i z ∈ R \ (−1, 1). Możemy zapisać:

D_f = [((0, ∞) × (0, ∞)) ∪ ((−∞, 0) × (−∞, 0))] × (R \ (−1, 1)).

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x , y , z) = ln xy +√

z²− 1.

Oczywiście, D_f jest podzbiorem R³. Musimy rozwiązać dwie nierówności:

xy > 0, z²− 1 ­ 0.

Otrzymujemy stąd: (x > 0 ∧ y > 0 lub x < 0 ∧ y < 0) i z ∈ R \ (−1, 1). Możemy zapisać:

D_f = [((0, ∞) × (0, ∞)) ∪ ((−∞, 0) × (−∞, 0))] × (R \ (−1, 1)).

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x , y , z) = ln xy +√

z²− 1.

Oczywiście, D_f jest podzbiorem R³. Musimy rozwiązać dwie nierówności:

xy > 0,

z²− 1 ­ 0.

Otrzymujemy stąd: (x > 0 ∧ y > 0 lub x < 0 ∧ y < 0) i z ∈ R \ (−1, 1). Możemy zapisać:

D_f = [((0, ∞) × (0, ∞)) ∪ ((−∞, 0) × (−∞, 0))] × (R \ (−1, 1)).

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x , y , z) = ln xy +√

z²− 1.

Oczywiście, D_f jest podzbiorem R³. Musimy rozwiązać dwie nierówności:

xy > 0, z²− 1 ­ 0.

Otrzymujemy stąd: (x > 0 ∧ y > 0 lub x < 0 ∧ y < 0) i z ∈ R \ (−1, 1). Możemy zapisać:

D_f = [((0, ∞) × (0, ∞)) ∪ ((−∞, 0) × (−∞, 0))] × (R \ (−1, 1)).

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x , y , z) = ln xy +√

z²− 1.

Oczywiście, D_f jest podzbiorem R³. Musimy rozwiązać dwie nierówności:

xy > 0, z²− 1 ­ 0.

Otrzymujemy stąd: (x > 0 ∧ y > 0 lub x < 0 ∧ y < 0) i

z ∈ R \ (−1, 1). Możemy zapisać:

D_f = [((0, ∞) × (0, ∞)) ∪ ((−∞, 0) × (−∞, 0))] × (R \ (−1, 1)).

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x , y , z) = ln xy +√

z²− 1.

Oczywiście, D_f jest podzbiorem R³. Musimy rozwiązać dwie nierówności:

xy > 0, z²− 1 ­ 0.

Otrzymujemy stąd: (x > 0 ∧ y > 0 lub x < 0 ∧ y < 0) i z ∈ R \ (−1, 1).

Możemy zapisać:

D_f = [((0, ∞) × (0, ∞)) ∪ ((−∞, 0) × (−∞, 0))] × (R \ (−1, 1)).

Przykład - dziedzina funkcji wielu zmiennych

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem f (x , y , z) = ln xy +√

z²− 1.

Oczywiście, D_f jest podzbiorem R³. Musimy rozwiązać dwie nierówności:

xy > 0, z²− 1 ­ 0.

Otrzymujemy stąd: (x > 0 ∧ y > 0 lub x < 0 ∧ y < 0) i z ∈ R \ (−1, 1). Możemy zapisać:

Wykresy funkcji wielu zmiennych

Rysowanie wykresów funkcji wielu zmiennych jest znacznie trudniejsze niż jednej zmiennej.

Skupmy się na przypadku funkcji dwóch zmiennych (czyli o dziedzinie będącej podzbiorem R²) - bo przy większej ich liczbie jest tylko gorzej.

Rozważmy wykres funkcji f (x , y ) = ¹₄(x²+ y²).

Wykresy funkcji wielu zmiennych

Rysowanie wykresów funkcji wielu zmiennych jest znacznie trudniejsze niż jednej zmiennej. Skupmy się na przypadku funkcji dwóch zmiennych (czyli o dziedzinie będącej podzbiorem R²) - bo przy większej ich liczbie jest tylko gorzej.

Rozważmy wykres funkcji f (x , y ) = ¹₄(x²+ y²).

Wykresy funkcji wielu zmiennych

Rysowanie wykresów funkcji wielu zmiennych jest znacznie trudniejsze niż jednej zmiennej. Skupmy się na przypadku funkcji dwóch zmiennych (czyli o dziedzinie będącej podzbiorem R²) - bo przy większej ich liczbie jest tylko gorzej.

Rozważmy wykres funkcji f (x , y ) = ¹₄(x²+ y²).

Wykresy funkcji dwóch zmiennych

Próby narysowania tego samego wykresu pod innym kątem nie są o wiele łatwiejsze i czytelniejsze.

Wykresy funkcji dwóch zmiennych

Podobnie jest z jeszcze prostszą funkcją f (x , y ) = x − y .

Wykresy funkcji dwóch zmiennych

W przypadku funkcji dwu zmiennych, uratować nas może idea znana z kartografii - by narysować przestrzenną strukturę na płaskiej mapie, najczęściej rysuje się poziomice funkcji, czyli krzywe łączące punkty, w których funkcja przyjmuje tę samą wartość.

Czasem zaznaczamy wartości funkcji w tych punktach, a czasem tylko strzałki wskazujące, w którą stronę funkcja rośnie. Na przykład dla f (x , y ) = ¹₄(x²+ y²) taki poziomicowy wykres może wyglądać tak:

Wykresy funkcji dwóch zmiennych

W przypadku funkcji dwu zmiennych, uratować nas może idea znana z kartografii - by narysować przestrzenną strukturę na płaskiej mapie, najczęściej rysuje się poziomice funkcji, czyli krzywe łączące punkty, w których funkcja przyjmuje tę samą wartość. Czasem zaznaczamy wartości funkcji w tych punktach, a czasem tylko strzałki wskazujące, w którą stronę funkcja rośnie.

Na przykład dla f (x , y ) = ¹₄(x²+ y²) taki poziomicowy wykres może wyglądać tak:

Wykresy funkcji dwóch zmiennych

W przypadku funkcji dwu zmiennych, uratować nas może idea znana z kartografii - by narysować przestrzenną strukturę na płaskiej mapie, najczęściej rysuje się poziomice funkcji, czyli krzywe łączące punkty, w których funkcja przyjmuje tę samą wartość. Czasem zaznaczamy wartości funkcji w tych punktach, a czasem tylko strzałki wskazujące, w którą stronę funkcja rośnie. Na przykład dla f (x , y ) = ¹₄(x²+ y²) taki poziomicowy wykres może wyglądać tak:

Wykresy funkcji dwóch zmiennych

Warto zauważyć, że podpisywanie poziomic (przynajmniej strzałkami) jest istotne, gdyż wykresu funkcji f , która w (0, 0) ma minimum („dolinkę”) nie można dzięki temu pomylić np. z funkcją

g (x ) = −x²− y², która w (0, 0) ma maksimum („szczyt”).

Wykresy funkcji dwóch zmiennych

Podobnie można narysować wykres funkcji f (x , y ) = x − y .

Otoczenie

Wiele pojęć opartych na idei otoczenia (np. granice, ciągłość) przenosi się łatwo z przypadku funkcji jednej zmiennej na funkcje wielu zmiennych. Trzeba tylko uogólnić pojęcie otoczenia punktu - zamiast odcinka wokół danego punktu jest nim teraz koło,

trójwymiarowa kula, czy też w ogólności kula n-wymiarowa o środku

Otoczenie

Otoczeniem punktu a = (a₁, . . . , a_n) ∈ Rⁿ o promieniu δ > 0 nazywamy zbiór U_δ(a) = {x = (x₁, . . . , x_n) : ||x − a|| < δ}.

Granica funkcji wielu zmiennych

Granica

Granicą funkcji f : Rⁿ→ R w punkcie a = (a1, . . . , a_n) nazywamy taką liczbę g , że:

∀_>0∃_δ>0∀_{x ∈Uδ(a)}: |f (x ) − g | < .

Zapisujemy lim_{x →a}f (x ) = g .

Analogicznie definiujemy granice równe ±∞.

Ciągłość funkcji wielu zmiennych

Ciągłość

Funkcja f : Rⁿ→ R określona w otoczeniu punktu a jest ciągła w tym punkcie, jeśli limx →af (x ) = f (a).

Funkcja f : Rⁿ→ R jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Podobnie jak w wypadku funkcji jednej zmiennej, wszystkie funkcje powstałe przez podstawowe działania na funkcjach elementarnych są ciągłe.

Idea

Dla funkcji wielu zmiennych istnieje formalne pojęcie pochodnej i różniczkowalności, jednak nie jest ono nam potrzebne dla

podstawowych zastosowań.

Dlatego skupimy swą uwagę na tym, co jest nam naprawdę potrzebne: definicji pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych. Ideą tej definicji jest sprowadzenie badania pochodnej funkcji n zmiennych do pochodnej funkcji jednej zmiennej z n − 1 parametrami.

Idea

Dla funkcji wielu zmiennych istnieje formalne pojęcie pochodnej i różniczkowalności, jednak nie jest ono nam potrzebne dla

podstawowych zastosowań. Dlatego skupimy swą uwagę na tym, co jest nam naprawdę potrzebne: definicji pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych.

Ideą tej definicji jest sprowadzenie badania pochodnej funkcji n zmiennych do pochodnej funkcji jednej zmiennej z n − 1 parametrami.

Idea

Dla funkcji wielu zmiennych istnieje formalne pojęcie pochodnej i różniczkowalności, jednak nie jest ono nam potrzebne dla

podstawowych zastosowań. Dlatego skupimy swą uwagę na tym, co jest nam naprawdę potrzebne: definicji pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych. Ideą tej definicji jest sprowadzenie badania pochodnej funkcji n zmiennych do pochodnej funkcji jednej zmiennej z n − 1 parametrami.

Pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa

Niech f : Rⁿ ⊃ D_f → R będzie funkcją zmiennych (x1, . . . , x_n) i a = (a₁, . . . , a_n) ∈ D_f. Wtedy pochodną cząstkową f względem zmiennej x_k (potocznie: po x_k) w punkcie a nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona):

h→0lim

f (a₁, a₂, . . . , a_k + h, . . . , a_n) − f (a)

h .

Oznaczamy ją przez f_x⁰

k(a) lub _∂x^∂f

k(a). Zazwyczaj będę używać tej pierwszej notacji.

Pochodne cząstkowe obliczamy zatem tak jak pochodne funkcji jednej zmiennej, przy czym wszystkie zmienne poza tą, względem której pochodną cząstkową liczymy, traktujemy jako parametry.

Pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa

Niech f : Rⁿ ⊃ D_f → R będzie funkcją zmiennych (x1, . . . , x_n) i a = (a₁, . . . , a_n) ∈ D_f. Wtedy pochodną cząstkową f względem zmiennej x_k (potocznie: po x_k) w punkcie a nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona):

h→0lim

f (a₁, a₂, . . . , a_k + h, . . . , a_n) − f (a)

h .

Oznaczamy ją przez f_x⁰

k(a) lub _∂x^∂f

k(a). Zazwyczaj będę używać tej pierwszej notacji.

Pochodne cząstkowe obliczamy zatem tak jak pochodne funkcji

Różniczkowalność

Różniczkowalność

Niech f : Rⁿ ⊃ D_f → R będzie funkcją zmiennych (x1, . . . , x_n) i a = (a₁, . . . , a_n) ∈ D_f. f jest różniczkowalna w punkcie a, jeśli posiada pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych w tym punkcie. f jest różniczkowalna jeśli posiada pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych w każdym punkcie swojej dziedziny.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) =

− 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²

+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy

− 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y

+ 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) =

x²+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²

+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y

− 2x.

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

3z²− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

− 4xz.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe funkcji f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

f_x⁰(x , y , z) = − 2z²+ 2xy − 2y + 3.

f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

Druga pochodna cząstkowa

Podobnie jak w wypadku funkcji jednej zmiennej, możemy zdefiniować pochodne wyższych rzędów. Na tym wykładzie nie będziemy się zajmować pochodnymi cząstkowymi rzędu wyższego niż 2, więc tylko takie pochodne zdefiniujemy:

Druga pochodna cząstkowa

Niech f : Rⁿ ⊃ D_f → R będzie funkcją zmiennych (x1, . . . , x_n) i a = (a1, . . . , an) ∈ Df. Wtedy drugą pochodną cząstkową f względem zmiennych x_k, x_j (potocznie: po x_k, x_j) w punkcie a nazywamy f_x⁰⁰

kxj(a) = [(f_x⁰

k)⁰_x

j](a). W innym zapisie _∂x^∂2f

k∂xj(a) = [

∂f

∂xk

∂xj](a) (dla uproszczenia ^∂2f (a) zapisujemy ^∂2f(a)).

Druga pochodna cząstkowa

Podobnie jak w wypadku funkcji jednej zmiennej, możemy zdefiniować pochodne wyższych rzędów. Na tym wykładzie nie będziemy się zajmować pochodnymi cząstkowymi rzędu wyższego niż 2, więc tylko takie pochodne zdefiniujemy:

Druga pochodna cząstkowa

Niech f : Rⁿ ⊃ D_f → R będzie funkcją zmiennych (x1, . . . , x_n) i a = (a1, . . . , an) ∈ Df. Wtedy drugą pochodną cząstkową f względem zmiennych x_k, x_j (potocznie: po x_k, x_j) w punkcie a nazywamy f_x⁰⁰

kxj(a) = [(f_x⁰

k)⁰_x

j](a). W innym zapisie _∂x^∂2f

k∂xj(a) = [

∂f

∂xk

∂xj](a) (dla uproszczenia ^∂2f (a) zapisujemy ^∂2f(a)).

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_x⁰(x , y , z) = −2z²+ 2xy − 2y + 3.

Zatem

f_xx⁰⁰(x , y , z) =

2y .

f_xy⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_xz⁰⁰(x , y , z) = − 4z.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_x⁰(x , y , z) = −2z²+ 2xy − 2y + 3.

Zatem

f_xx⁰⁰(x , y , z) = 2y .

f_xy⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_xz⁰⁰(x , y , z) = − 4z.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_x⁰(x , y , z) = −2z²+ 2xy − 2y + 3.

Zatem

f_xx⁰⁰(x , y , z) = 2y .

f_xy⁰⁰(x , y , z) =

2x − 2.

f_xz⁰⁰(x , y , z) = − 4z.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_x⁰(x , y , z) = −2z²+ 2xy − 2y + 3.

Zatem

f_xx⁰⁰(x , y , z) = 2y .

f_xy⁰⁰(x , y , z) = 2x

− 2.

f_xz⁰⁰(x , y , z) = − 4z.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_x⁰(x , y , z) = −2z²+ 2xy − 2y + 3.

Zatem

f_xx⁰⁰(x , y , z) = 2y .

f_xy⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_xz⁰⁰(x , y , z) = − 4z.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_x⁰(x , y , z) = −2z²+ 2xy − 2y + 3.

Zatem

f_xx⁰⁰(x , y , z) = 2y .

f_xy⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

− 4z.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_x⁰(x , y , z) = −2z²+ 2xy − 2y + 3.

Zatem

f_xx⁰⁰(x , y , z) = 2y .

f_xy⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x .

Zatem

f_yx⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_yy⁰⁰(x , y , z) = 2.

f_yz⁰⁰(x , y , z) = 0.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x . Zatem

f_yx⁰⁰(x , y , z) =

2x − 2.

f_yy⁰⁰(x , y , z) = 2.

f_yz⁰⁰(x , y , z) = 0.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x . Zatem

f_yx⁰⁰(x , y , z) = 2x

− 2.

f_yy⁰⁰(x , y , z) = 2.

f_yz⁰⁰(x , y , z) = 0.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x . Zatem

f_yx⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_yy⁰⁰(x , y , z) = 2.

f_yz⁰⁰(x , y , z) = 0.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x . Zatem

f_yx⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_yy⁰⁰(x , y , z) =

2.

f_yz⁰⁰(x , y , z) = 0.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x . Zatem

f_yx⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_yy⁰⁰(x , y , z) = 2.

f_yz⁰⁰(x , y , z) = 0.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x . Zatem

f_yx⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_yy⁰⁰(x , y , z) = 2.

0.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_y⁰(x , y , z) = x²+ 2y − 2x . Zatem

f_yx⁰⁰(x , y , z) = 2x − 2.

f_yy⁰⁰(x , y , z) = 2.

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Zatem

f_zx⁰ (x , y , z) =

− 4z.

f_zy⁰⁰(x , y , z) = 0.

f_zz⁰⁰(x , y , z) = 6z − 4x .

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Zatem

f_zx⁰ (x , y , z) = − 4z.

f_zy⁰⁰(x , y , z) = 0.

f_zz⁰⁰(x , y , z) = 6z − 4x .

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Zatem

f_zx⁰ (x , y , z) = − 4z.

f_zy⁰⁰(x , y , z) =

0.

f_zz⁰⁰(x , y , z) = 6z − 4x .

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Zatem

f_zx⁰ (x , y , z) = − 4z.

f_zy⁰⁰(x , y , z) = 0.

f_zz⁰⁰(x , y , z) = 6z − 4x .

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Zatem

f_zx⁰ (x , y , z) = − 4z.

f_zy⁰⁰(x , y , z) = 0.

6z − 4x .

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Zatem

f_zx⁰ (x , y , z) = − 4z.

f_zy⁰⁰(x , y , z) = 0.

4x .

Przykład - obliczanie pochodnych cząstkowych

Przykład

Obliczyć drugie pochodne cząstkowe funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Wiemy, że f_z⁰(x , y , z) = 3z²− 4xz.

Zatem

f_zx⁰ (x , y , z) = − 4z.

f_zy⁰⁰(x , y , z) = 0.

Hesjan

Drugie pochodne funkcji często zapisuje się w postaci macierzy, tzw.

hesjanu (macierzy Hessego).

Hesjan

Hesjanem, czyli macierzą Hessego dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : Rⁿ→ R w punkcie a ∈ Rⁿ nazywamy macierz złożoną z jej drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie, zapisanych w sposób następujący:

H_f(a) =











f_x⁰⁰_1x1(a) f_x⁰⁰_1x2(a) . . . f_x⁰⁰_1xn(a) f_x⁰⁰

2x1(a) f_x⁰⁰

2x2(a) . . . f_x⁰⁰

2xn(a) . . . . . . . . . . . . f_x⁰⁰_nx1(a) f_x⁰⁰_nx2(a) . . . f_x⁰⁰_nxn(a)











Jak widać, hesjan jest zawsze macierzą kwadratową.

Hesjan

Drugie pochodne funkcji często zapisuje się w postaci macierzy, tzw.

hesjanu (macierzy Hessego).

Hesjan

Hesjanem, czyli macierzą Hessego dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : Rⁿ→ R w punkcie a ∈ Rⁿ nazywamy macierz złożoną z jej drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie, zapisanych w sposób następujący:

H_f(a) =











f_x⁰⁰_1x1(a) f_x⁰⁰_1x2(a) . . . f_x⁰⁰_1xn(a) f_x⁰⁰

2x1(a) f_x⁰⁰

2x2(a) . . . f_x⁰⁰

2xn(a) . . . . . . . . . . . .











Jak widać, hesjan jest zawsze macierzą kwadratową.

Hesjan

Drugie pochodne funkcji często zapisuje się w postaci macierzy, tzw.

hesjanu (macierzy Hessego).

Hesjan

Hesjanem, czyli macierzą Hessego dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : Rⁿ→ R w punkcie a ∈ Rⁿ nazywamy macierz złożoną z jej drugich pochodnych cząstkowych w tym punkcie, zapisanych w sposób następujący:

H_f(a) =











f_x⁰⁰_1x1(a) f_x⁰⁰_1x2(a) . . . f_x⁰⁰_1xn(a) f_x⁰⁰

2x1(a) f_x⁰⁰

2x2(a) . . . f_x⁰⁰

2xn(a) . . . . . . . . . . . .











Hesjan - przykład

Przykład

Wyznaczyć hesjan funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Na podstawie wcześniejszych obliczeń, otrzymujemy:

H_f(x , y , z) =







2y 2x − 2 −4z

2x − 2 2 0

−4z 0 6z − 4x







Warto zauważyć, że dla każdego punktu (x , y , z) hesjan funkcji f jest macierzą symetryczną. Czy jest to prawdą dla dowolnej funkcji f ? Okazuje się, że w zastosowaniach ekonomicznych można niemal zapewnić, że tak jest.

Hesjan - przykład

Przykład

Wyznaczyć hesjan funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Na podstawie wcześniejszych obliczeń, otrzymujemy:

H_f(x , y , z) =







2y 2x − 2 −4z

2x − 2 2 0

−4z 0 6z − 4x







Warto zauważyć, że dla każdego punktu (x , y , z) hesjan funkcji f jest macierzą symetryczną. Czy jest to prawdą dla dowolnej funkcji f ? Okazuje się, że w zastosowaniach ekonomicznych można niemal zapewnić, że tak jest.

Hesjan - przykład

Przykład

Wyznaczyć hesjan funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Na podstawie wcześniejszych obliczeń, otrzymujemy:

H_f(x , y , z) =







2y 2x − 2 −4z

2x − 2 2 0

−4z 0 6z − 4x







Warto zauważyć, że dla każdego punktu (x , y , z) hesjan funkcji f jest macierzą symetryczną. Czy jest to prawdą dla dowolnej funkcji f ?

Okazuje się, że w zastosowaniach ekonomicznych można niemal zapewnić, że tak jest.

Hesjan - przykład

Przykład

Wyznaczyć hesjan funkcji

f (x , y , z) = z³− 2xz²+ x²y + y²− 2xy + 3x − 1.

Na podstawie wcześniejszych obliczeń, otrzymujemy:

H_f(x , y , z) =







2y 2x − 2 −4z

2x − 2 2 0

−4z 0 6z − 4x







Warto zauważyć, że dla każdego punktu (x , y , z) hesjan funkcji f jest macierzą symetryczną. Czy jest to prawdą dla dowolnej funkcji f ?

Równość pochodnych mieszanych

Równość pochodnych mieszanych

Niech f : Rⁿ ⊃ D_f → R będzie funkcją zmiennych (x1, . . . , x_n) i a = (a₁, . . . , a_n) ∈ D_f. Jeśli f ma w punkcie a pochodne cząstkowe drugiego rzędu i są one ciągłe to wówczas kolejność różniczkowania nie ma znaczenia, czyli pochodne „mieszane” drugiego rzędu są równe tj.:

∀j ,k∈{1,2,...,n} f_x⁰⁰_kxj(a) = f_x⁰⁰_jxk(a).

Innymi słowy, przy tych założeniach hesjan f jest macierzą symetryczną.

Równość pochodnych mieszanych

Równość pochodnych mieszanych

Niech f : Rⁿ ⊃ D_f → R będzie funkcją zmiennych (x1, . . . , x_n) i a = (a₁, . . . , a_n) ∈ D_f. Jeśli f ma w punkcie a pochodne cząstkowe drugiego rzędu i są one ciągłe to wówczas kolejność różniczkowania nie ma znaczenia, czyli pochodne „mieszane” drugiego rzędu są równe tj.:

∀j ,k∈{1,2,...,n} f_x⁰⁰_kxj(a) = f_x⁰⁰_jxk(a).

Innymi słowy, przy tych założeniach hesjan f jest macierzą symetryczną.

Pierwsze zastosowanie - różniczka

Jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, możemy zdefiniować pojęcie różniczki i użyć go do obliczenia przybliżonej wartości funkcji „w okolicy” punktu, w którym jej wartość znamy.

Różniczka funkcji wielu zmiennych

Jeśli funkcja f : Rⁿ→ R w punkcie a = (a1, . . . , a_n) posiada pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, to jej różniczką w pobliżu punktu a nazywamy nazywamy funkcję dfa : Rⁿ→ R, która przyrostowi argumentu ∆a = (∆a₁, . . . , ∆a_n) przypisuje wartość df_a(∆a) = f_x⁰₁(a) · ∆a₁+ f_x⁰₂(a) · ∆a₂+ . . . + f_x⁰_n(a) · ∆a_n.

Pierwsze zastosowanie - różniczka

Zastosowanie różniczki też jest bardzo podobne jak w przypadku funkcji jednej zmiennej.

Różniczka a wartości przybliżone

Jeśli funkcja f w punkcie a = (a₁, . . . , a_n) posiada pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, to dla niewielkich przyrostów

∆a = (∆a₁, . . . , ∆a_n) możemy oszacować:

f (a + ∆a) ≈ f (a) + df_a(∆a).

Różniczka - przykład

Przykład

Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99)^2,02.

Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x , y ) = x^y i punktu a = (3, 2) oraz ∆a = (−0, 01; 0, 02).

Oczywiście, f (a) = 9. Wystarczy teraz policzyć:

f_x⁰(x , y ) = yx^{y −1}, f_y⁰(x , y ) = x^yln x ,

f_x⁰(3, 2) = 6, f_y⁰(3, 2) = 9 ln 3. Otrzymujemy:

(2, 99)^2,02= f (a + ∆a) ≈ 9 + 6 · (−0, 01) + 9 ln 3 · 0, 02 ≈ 9, 13775.

Różniczka - przykład

Przykład

Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99)^2,02.

Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x , y ) = x^y i punktu a = (3, 2) oraz ∆a = (−0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9.

Wystarczy teraz policzyć:

f_x⁰(x , y ) = yx^{y −1}, f_y⁰(x , y ) = x^yln x ,

f_x⁰(3, 2) = 6, f_y⁰(3, 2) = 9 ln 3. Otrzymujemy:

(2, 99)^2,02= f (a + ∆a) ≈ 9 + 6 · (−0, 01) + 9 ln 3 · 0, 02 ≈ 9, 13775.

Różniczka - przykład

Przykład

Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99)^2,02.

Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x , y ) = x^y i punktu a = (3, 2) oraz ∆a = (−0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9.

Wystarczy teraz policzyć:

f_x⁰(x , y ) =

yx^{y −1}, f_y⁰(x , y ) = x^yln x ,

f_x⁰(3, 2) = 6, f_y⁰(3, 2) = 9 ln 3. Otrzymujemy:

(2, 99)^2,02= f (a + ∆a) ≈ 9 + 6 · (−0, 01) + 9 ln 3 · 0, 02 ≈ 9, 13775.

Różniczka - przykład

Przykład

Za pomocą różniczki obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 99)^2,02.

Zastosujemy twierdzenie o różniczce dla f (x , y ) = x^y i punktu a = (3, 2) oraz ∆a = (−0, 01; 0, 02). Oczywiście, f (a) = 9.

Wystarczy teraz policzyć:

f_x⁰(x , y ) = yx^{y −1}, f_y⁰(x , y ) =

x^yln x ,

f_x⁰(3, 2) = 6, f_y⁰(3, 2) = 9 ln 3. Otrzymujemy:

(2, 99)^2,02= f (a + ∆a) ≈ 9 + 6 · (−0, 01) + 9 ln 3 · 0, 02 ≈ 9, 13775.