Giętkie formy funkcyjne w analizie kosztów : modele półnieparametryczne

Pełen tekst

(1)[IJJ 628. 2003. Akademii Ekonomicznej w Krakowi.. Renata Wróbel-Rotter Ka ••dra Ekonome'rU. Giętkie fOl"łuy. funkcyjne w analizie kosztów: modele 1. Wprowadzenie Stochastyczne modele graniczne (ang. slochaJlie frO llliers model.,), które wprowadzili D. Aigner, C.A .K . Lovell i P. Schm idt [19771 oraz W. Meeusen i J. van den Broeck 1977], są wykorzystywane w ekonometrycznej analizie efektywno śc i przedsiębiorstw, rozumianej w sensie M.J. Farrella r1957]. Stosowanie modeli procesów produkcyjnych do coraz szerszej grupy zagadnieli empirycznych przyczyniło się do poszukiwania i rozwoju nowych typów form funkcyj nych, g łównie tzw. lokalnie i globalnie giętkich form funkcyjnych, które zastąpiły stosowane dotychczas mniej sparametryzowane modele, np. Cobba i Douglasa. Niniej sze opracowanie stanowi kontynuację badań zaprezentowanych w pracy pl. Gięlkie fo rmy funkcyjne IV empir)'cmej analizie kaszlu. Podejście Diewerla i wIlioskowanie hayesuwskie [200Ic], opubl ikowanej na lamach "Ekonomisty" i jest poś wiecone globalnie g i ęt kim form om funkcyjnym stosowanym w empirycznej analizie kosztu zmiennego. Praca ta rozszerza i uzup eł nia podejście, które zaproponowali G. Koop, J. Osiewa Iski i M.F.J. Steel [ 1994] o formalne porównanie zdolności modelowania procesu produkcyjnego przez lokalnie i globalnie g iętkie formy funkcyj ne na gruncie wnioskowania bayesowskiego.. r. Praca wykonana w ramach projektu badawc zego nr l-H02B-022 - 18 . fioiln sowanego przez K omitet B adań Naukowych . Autorka pragnie zł o ż y ć podziękowania pro f. dr. hab . Jackowi O siewaI skiemu za cenne uwagi i wskazówk i w trakcie pisania niniejszej pra9 . *.

(2) Renata Wróbel-Ratler. 2. Globalnie. giętkie. formy funkcylne. Zastosowanie w ekonomii globalnie giętkich form funkcyjnych, zwanych również formami giętkimi w sensie normy Soboleva (ang, Sobo/ev-flexib/e functiona/ forms), zaproponował A.R. Gallant [1981], wykorzystując do aproksymacji nieznanej funkcji kosztu szereg Fouriera (ang. FOllrier f/exib/e form, por. [Gallant 1981, 1982, 1984] , [Chalfant, Gallant 1985], [Elbadawi, Gallant, Souza 1981]). Modele te cechują się tzw. globalną giętkością, czyli zdolnością przybliżania nieznanych funkcji (np. C (p, Q, K) w całych ich dziedzinach, nie zaś wyłącznie odpowiednich wartości funkcji wraz z jej pierwszymi i drugimi pochodnymi cząstkowymi w arbitralnych punktach, jak to miało miejsce w przypadku lokalnie giętkich form funkcyjnych. Aproksymacji nieznanej funkcji kosztu dokonuje się w taki sposób, aby wszystkie pochodne cząstkowe względem interesujących nas zmiennych (np. cen czynników produkcji) zostały zadowalająco przybliżone oraz aby dokładność tej aproksymacji wzrastała wraz ze zwiększaniem liczby parametrów modelu, przy ustalonej liczebności próby. Precyzyjna aproksymacja co najmniej drugich pochodnych cząstkowych jest konieczna do zapewnienia poprawnego opisu procesu produkcyjnego na podstawie uzyskanej funkcji kosztu. Zastosowanie szeregu Fouriera zostało jednak skrytykowane (por. np. [Weaver 1984)): dobór liczby wyrazów jest arbitralny, przez co pojawia się niebezpieczeństwo nadmiernego dopasowania do danych empirycznych (ang. overfitting) w przypadku próby o ustalonej liczebności. Ponadto do aproksymacji zjawisk ekonomicznych stosuje się funkcje trygonometryczne, takie jak sinus i cosinus, co może powodować trudności z zapewnieniem warunków regularności ekonomicznej. W konsekwencji pierwsza globalnie giętka forma funkcyjna - szereg Fouriera - nie znalazła szerszego zastosowania. Alternatywnie aproksymację funkcji użyteczności i produkcji wielowymiarowym rozwinięciem Miintza i Szatza (ang. Miintz-Szatz series expansion) zaproponowali W.A. Barnett i A.B. Jonas [1983]. Nieznana funkcja kosztu jest przybliżana szeregiem Miintza i Szatza, co prowadzi do modelu globalnie gięt kiego, o zmiennej liczbie parametrów, uzależnionej od liczby danych [Barnett, Yuc 1988]. Cechą charakterystyczną funkcji należących to tej klasy jest wła sność globalnej wklęsłości i monotoniczności, zachowana dla każdego rzędu rozwinięcia poprzez nałożenie restrykcji niezależnych od danych. Nadmierne dopasowanie do danych empirycznych nie jest możliwe w sytuacji, kiedy funkcja aproksymująca jest globalnie regularna, ponieważ funkcje regularne odpowiadają teorii mikroekonomicznej, a nie anomaliom ujawnianym w postaci oscylacyjnych zakłóceń losowych. Dla ustalonej liczebności próby zwiększa nie liczby wyrazów szeregu uwzględnianych w modelu prowadzi do bardziej precyzyjnego przybliżenia funkcji kosztu, a w konsekwencji charakterystyk procesu produkcyjnego. Podejście takie łączy w sobie własność globalnej regularności i globalnej giętkości (w sensie asymptotycznym, tj. wraz ze wzrostem do.

(3) HI. analizie koszu}),... .... nieskończonośc i. liczby parametrów modelu) . co wydalo s ię idealne i zostało odzwierciedlone w na zwaniu szeregu Muntza i Szatza modełem asympLOtycznie ideałnym (ang. AsymplO/ically IdeaL Model . AlM; por. [Barnett . Yue 1988]). Zdolność modelowania wybranych technołogii przez AlM, zastosowanym do aproksymacji długookresowej funkcji kosztu całkowitego. analizował m.in. D. Terrel r19951. który na podstawie wygenerowanych danych pokazał. że dobrze przybliża on technologię CES zarówno w sytuacji znacznej komplementarności.jak i s ub stytucyjności czynników produkcji . Zwiększenie liczby wyrazów szeregu skutkowało szybką poprawą aproksymacj i funkcji warunkowego popytu na czynniki produkcji oraz wygenerowane dane zostały lepiej opisane przez AIM niż przez funkcje translog i uogólnioną Leontiefa.. 3.. Postać. analityczna modelu I załoienla. Rozważmy długookresową funkcję. kosztów całkowit yc h . w której wszystkie czynniki produkcji są czynnikami zmiennymi oraz funkcja ta jest jednorodna względem produkcji Q. tzn. cechuje s i ę s tał ym i efek tami skali produkcji . Mikroekonomiczną. długookresową funkcję kosztu ca łk ow itego można przeds tawi ć jako iloczyn wielkości produkcji Q i funkcji kosztów jednostkow yc h ICpl = j(p[ • .... Pc. PK): Q(P. Q) = Qj(p),. (I). gdzieJCp) jest tzw. agregatorem cenowym (ang . price aggrega/or). wyrażają cym minimalny koszt uzyskania jednostki produkcji Q przy ustalonych cenach wszystkich czynników produkcji. Podejście półnieparametryczne do aproksymacji tak zdefiniowanej funkcji kosztu będzie polegało na rozwinięciu agregatora cenowegofCp) w szereg Muntza i Szatza. a następnie przyjęciu n-tych sum częściowychf"Cp) jako funkcji aproksymującyc h niez nan,! funk cję kosztu jednostkowego:. C"Cp. Q) = Qf,,(p).. Otrzymuje s ię w ten sposób nies kończony (gdy n -->~) c iąg modeli parametrycznych, których parametry. po uwzględnieniu w C,,(p, Q) czynnika losowego podl egają estymacji. Kryteria doboru rzędu rozwinięcia n są najczęściej zależne od rozważanego zastosowania, tzn. liczby obserwacji - najczęściej przyjmuje się kilka pierwszyc h sum częściowych szeregu. J eże li rząd rozwinięcia przestaje mi eć widoczny wpływ na oszacowania charakterystyk procesu produkcyjnego. to jest to syg nał . że n jest dostatecznie duże. Warto podkreślić istotność nałoże nia w procesie estymacji warunków regularności ekonomicznej, ponieważ chronią one przed nadmiernym dopasowaniem modelu do danych empirycznych..

(4) Renata Wróbel-Rotler Założe ni e stałego. efektu skali produkcji w dlugookresowej funkcji kosztu może zost ać uchylone poprzez przyjęcie dość arbitralnej form y funkcyjnej dl a produkcji Q i zapisanie : C(P l' .. ., Pc' PK' Q) = Q1l'f!.P l' ... , Pc' PK)'. gdzie 13,' jest współczy nniki e m efektu skali produkcji , podle gający m estymacji. W celu dopuszczenia zmienn ośc i efektu skali wraz ze z mianą w i e lk ośc i produkcji m ożna wprowadzić dodatkowy parametr ~, i zapisać dlugookresową funkcj ę kosztów całkowitych jako [Koop, Osiewaiski, Steel 1994]: CCpl' ""PC, PK' Q) = QII, . P""QfCp" ""PC, PK)'. W pracy rozważono wy lącznie krótki okres, kiedy kapital rzeczowy traktowany jest jako wielkość ustalona, rozpatruje się jego nakład zamiast ceny oraz koszt zmi enny: j·Cp I' ... , P G ' K) . Ccp l' ... , PG' Q , K) -- QI". 'hl"Q Funkcja zmiennego kosztu jednostkowego f(P l ' ... , Pc ' K ) za l eży od cen zmienn ych czynników produkcji oraz n akładu kapitalu , zatem jej przybliżenie przez rozwinięcie Miint za i Szatza jest niemożliw e - proponuje się więc na stę pującą modyfikację:. CCpl' ... , Pc, Q , K) = Q~ , + " h'QK~' f(p " ..., Pc)'. (2). W tak zapisan ym modelu agregator cenowy jest funkcją wy lącznie cen zmiennych czynników produkcji j(P) = f (p l' ... , Pc) i m oże być rozlożo ny w szereg Miintza i Szatza. Ka żdy z powstały c h modeli: C,,(p , Q, K) = = QP ,. P2 IoQ K~if" Cp) jest iloczynem n-tej sumy czę śc i owej szeregu (g iętkiej formy funkcyjnej) oraz za l ożo n ych postaci analitycznych dla Q oraz K , co powoduje , że otrzymane mode le mogą być "malo giętkie". Ogólna formuła szeregu Miintza i Szatza jest do ść skomplikowana, dlatego tutaj zaprezentowano formułę naj częśc iej cytowan ą na n-tą s umę częściową G-wymiarowego ro z wini ęc ia: 2'. f"Cp) =. L a,. ZE A~. rr pi ''',. ~; ~I. J. gdzie a, to współczynniki rozwinięci a, a A" to zbiór 2" ,wymi arowych indeksów z postaci: . E {l •.... G}' < .2' ... '<' " 2'···. ''2n )" An= {( '1·1 : tl 'l.-)···· , 1211 ; '1-' - ' 211 } . Suma wykładników przy cenach czyn ników produkcji w ka żdym ze składni ków szeregu wynosi 2" . 2-" = l, co oznacza, że dowolna suma częśc iowa szeregu jest liniowo jedn orodna względem p. Przykladowe ro zwi ni ęc ia szeregu Miintza i Szatza , wykorzystane na st ę pnie w ilu stracj i empirycznej , przedsta, wiono dl a dwóch cen czynników produkcji (G = 2):.

(5) w analiz.ie km'ZIÓW" ,. L. R zędu. pie rwszego (n = I), w któ rym indeksy z. poc h odzą. ze zbioru:. A I = {(i" i 2) i I ' i 2 E {I , 2}; i I < i 2} = {(I , I ) , (2 , 2), (I , 2)} ; j = I. 2. Stąd. f. , 'lf\J,) l'. p)-a pl " p''' +a_" ::: II l 1 22r 2ll2 p 2" 2+ a ! 2 p"2p l 2'i2'. czyl i. !,V']'P,) = U,P,+ UJP2 + u 3pl l2 p if2 drugiego (n = 2), w którym indeksy z pochodzą ze zbioru: A, = = (Ci I ' i2 ' i) , i 4}: ; I ' ;" i 3' ; 4 E {I, 2}; ; I < ;, 5, ; 3 5, i 4} = {( I , I , I , I), (2, 2, 2. 2), ( l , I, 1,2), (l.1 , 2,2),(I ,2,2,2);j= 1, 2,3, 4 . Sqd - a 111 1p Ili4 p. 1lf' p 1lf' plf4 + a 222 2r _n'" p'" p 2lf4p '),/4 + j .2 {p I ' p} 2 l 2 2. II.. Rzędu. czyli j~(]J " 1'2) = u ,P, + UJP2 + u:J' j" pl" + u4I' 1" pl" + UsPI". pj".. Warunkiem wystarczającym g lobalnej wk l ęs lośc i i monotoniczności agregatora cenowego !(P) jest nałożenie ogranicze nia nieujemności na każdy z parame trów a, [Bam et!, Geweke, Walfe 199 1], które to jednak może skutkować ograniczen ie m g lobalnej giętkości, co stanowiJo konkluzję badań symulacyjnyc h przeprowadzonych przez D. Terrela r1995] . Warunki regularności lokalnej - w zbiorze obserwacji bądź tylko w środku c i ężko śc i danych - okazują się najbardziej odpowiednie w zastosowaniach empirycznych, ponieważ nie eliminują globalnej giętkości w sensie normy Soboleva [Ga ll ant , Golub 1984]. Pos ta ć analityczna rozw i n ięc ia Miintza i Szalza rzędu pierwszego dla dlugookresowej funkcji koszlów przy stal ym efekc ie skali produkcji jest tożsa ma z uogólnio nym modele m Leontiera , w prowad zo nym przez W.E. Diewerta r197 1]. Łącząc przyjęte postacie analityczne C,,(p , Q , K) funkcji aproksymujących ni ezna ną funkcję kosztu ze strukturą stoc has tyczną złożo nego skladnika losowego zapropo n owa ną przez D . Aignera, C.A .K. Lovella i P. Schmidta [1 977] oraz W . Meeusena i J. van den Broecka [1977], otrzymano s toc has tyczną graniczną funkcję kosztu zmiennego (ang . stochastic!rol1tier cost!ul1ctiol1) ogólnej poslaci:. Ylt = !(x lt , y) +. Eit A Elt. =. Ul. + vlt. dla. i = l, .. , N, t = l, .. ., T,. gdzie: Ylt = In Clt' czyli Ylt jest logarytme m kosztu zm ie nnego i-lego obieklu w kolejnych t okresach,J(x ,t , y) = InC,,(p,t' Q lt' K It) - lo postać funkcyjna slochastycznego modelu granicznego, N jest liczb'l ob ie któw, x lt lo wektor zmiennyc h objaśniających będących funkcjami p , Q oraz K, y lo weklor.

(6) Renata Wróbel-Roffer. parametrów giętkiej fo rmy funkcyjn ej charakteryzują cy t ech nologię, \lit składnik losowy o rozk ładzie symetrycznym. Przyjmuje się standardowo, że vit mają niezależne identyczne rozkłady normal ne N(Q, a,2), zaś u i to nieujemna zmie nna losowa repreze ntująca ni eefek tywność; z akład a się niezależno ść zak łóceń losowych od niee fekt yw n ośc i i ni eza l eżność vit o raz lI i od zmiennych obja ś niając yc h . Mi a rą stopnia krótkookresowej efektywności kosztowej EK it obiekt u i w okresie t, jest: EK it = exp(- u i). Ze względu na anali zę krótkookresową, za l ożo no stałość efektów indywidualnych w czasie, zatem E K /I =EKI .. 4. Estymacia modelu Podstawy bayesowsk iej analizy stochastycznych mode li graniczn yc h opracowa li J. van den Broeck, G. Koop, J . OsiewaI ski i M.F.J. Stecl [1994], a na s tępnie ro zwi n ę li G. Koop, J. Osiewaiski i M.F.J. Steel [1 997], definiując bayesowskie modele losowych i stałych efektów indywidualnych, zaś warun ki istnienia rozkładów a posteriori szczegółowo omówili C. Fernandez, J . Osiewa Iski i M .F.J. Steel [1997]. W niniejszej pracy zostanie przyjęty, do definicji struktury stochas tycznej złożonego s kład nika losowego ~it ' podsta wowy bayesowski mode l efektów losowych , tzw. model o wspólnym rozkladzie efektyw nośc i (ang . Co mmon Efficiency Distriblllion, CED) będący szczególnym przypadkiem modelu o zmiennym rozkladzie efektyw n ości (ang. Varying Efficiency Distribulion , VED). Bayesowskie modele efektów losowych traktują parametry rozkladów nieefektywn ości jako zależne a priori, przez co uzyskano brzegową za leż ność zmiennych u i . W modelu CED za l ożo no, że u i mają ide ntyczne niez ależne rozkłady wykladnicze o wspólnej średniej A: p rU) = N. = i~' Je(ui II , A- ') , co oznacza uznanie dużego podobieństwa źródel nieefektywności rozważanych. N obiektów . Statystyczny model bayesowski dla granicznej funkcji kosztu zmiennego, czy li łączny rozk lad obserwacji, zmi e nnych ukrytych i para metrów (przy ustalonych wart ościach zmiennych egzogenicznych) ma na stę pującą postać: N. p(a , (3, a'; , U, A- ' , y I X, Z) = p( a)p«(3)p( aJ, A-'). n {N( Yi I Xi (3 + 1. i "" I. + In(Zia) +. uh, a,YT)!c(u i II,. (4). A-'),. gdzie Y(NTx I) zawiera logarytmy koszt u zmiennego, Y i to wektor o wymiarach (T x I), p(a) oraz p«(3) oznaczają rozklady a priori parametrów technologii , y = «(3', a')' (3= «(3i' (32' (33)',a=(a l , ... , af)',Xj,NTx l ) to macierz o wymiarach (NT x 3), której wie rsze mają pos t ać: Xi' = [In{!it In 2 Qi InKi'), Xi jest macierzą o wy miarach ( T x 3), macierz Zi ma wy mi ary (T x D ), gd zie D jest liczbą parametrów danego rozw inięcia , np . D = 3, wted y w ie rsze mac ierzy Zi są.

(7) w analizie koszu)w, ... fo rmy .. Z = [p . I' . /' 110 P 1i2], albo D = 5, dla któreoo z· = [I' . p, P 314 p,'/4 Postaci: ..., ,1/. 11/ 2/{ lit ,'1\ . ., b /I lit ,_1/ III _II 2 P l I,_p . 2·1.2 p l 1,4 . P 2'/"1· · J, p(cr I"- /..-) =]G (cr l'-- I" 01 12 ' g 212){. . G (),.- II l ' - lnr) to łączny rozldad'(I p~!{}ri dla: cr,~2 - precyzji symetrycznego składnika losowego, oraz A- I - odwrotności przeciętnego poziomu nieefektywn ośc i: zapisy l!;(. I (I , B ) oraz f(I I c, bl oznaczaji) odpowiednio: funkcję gęstości T-wymiarowego rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej a i macierzy kowariancji B oraz funk cje gęstości jednowymiarowego rozkładu gamma o warto ś c i oczekiwanej clI> i odchyleniu standardowym {C/b. Parametry rozkładu a,~ ' założono do ść arbitralnie: g I = li2 = 10-6, nie mają one praktycznie wplywu na wyniki wnioskowania, dla A- I przyjęto rozkład wykładniczy, w którym r' jest medianą a priori rozkladu efektywności; por . [Koop, Osiewaiski , Steel 19971; dla r' przyjęto wartość 0,8, oznaczającą prawdopodobień stwo a priori 1/2, że przedsiębiorstwo ma efektywność kOSZlową wyższą ni ż 80% . Rozklad (I posteriori jest (N + F + D + 2)-wymiarowym , niestandardow ym rozkładem o gęs tośc i proporcjonalnej do prawej strony wzoru (4): p(a,~,. ~ (a,~')<g ,. + NTJI2. U, cr,;' , A- II y, X, Z) 0 - 2 E'E. p(a)p(~)exp [-. ~. l. (5). - A-I (N;; + In r),. "2. gdzie E = Y - X~ - In(Za) - U®I,., lT - kolumna jedyne k O wymiarach (T x I l, U = (u" .. ., "NY' Skomplikowana postać gęstości nie pozwa la na analityczne wyznaczenie brzegowych rozkładów (I posteriori, natomiast możliwe jest, przy odpowiednim podziale wektora parametrów modelu: OJ = (a, ~, a,~', A- I U) wyznaczenie ukł a du warunkowych rozkladów a posteriOl'i, z któryc h przynamniej część pozwala bezpo średn i o generować liczby losowe: p(l,-I I. ,. p(a,;- I a,. Ul = fe. (),.- I. I I + N, NU - In r'),. NT + li l a,;- I 2 '. . ( ". ~, U, y, X, Z) = fe. (6). g2 + E'E ; 2. l,. (7). N. p(U 1a ,~,. a,;', A- I, y, X, Z) ~. n f~ (u. 1mi' a,. T-O.5 )J(U i > O),. (8). - l/In f(Z,a) - a,: A-I)T-I , J(u i > O) jest. funkcją. i ::: I. gdzie: mi = (l7:Y, -. I/X,~. wskażnikową,. p(~. i. I a;', U, y, X) =. = f~W 1(I + a ; 'X'X)-1 (I~O + a ; 'X'( Y - U®IT)) , (I + a;' X'X)-I),. gdzie ~o, rozkładu. I. oznaczają. a priori dla p(a. (9) ... wektor warto śc i oczekiwanych i macierz precyzJI. ~,. I~,. u;', U,. y , X, Z). ~ p(a)exp[-O,5U,~'(E'E)] ,. (10).

(8) Renata Wróhel-Rotler Powyższe. wzory stan ow ią bezpośred nie uogólnienie na przypadek dan yc h przekrojowo-czasowych wyników. które uzyska li G. Koop . J . Osiewaiski i M .P.J. Steel [1994] dla przypadku danych przekrojowych. Do wy znaczenia charakterystyk a posteriori dla parametrów technologii i wskaźników efektywności kosztowej posłużą metody Monte Carlo typu lańcuchów Markowa (ang. Markov Cłwin MOllle Carlo. MCMC). G . Koop, J. Osiewaiski i M.F.J. Steel [1994] zaproponowali wykorzystanie w modelach granicznych algorytmu Metropolisa i Hastingsa w ramach losowania Gibbsa (por. l Wróbel-Rotler, Osiewaiski [200Ia, b], [Wróbel-Ratler 2001a, bl).. 5. Bayesowskie porównywanie modeli I. łqczenle. wiedzy. Przyj ęcie różnych. postaci funk cyj nychf(x ir , y) stochastycznej granicznej funkcji kosztu zmiennego prowad zi do zdefiniowania konkurencyjnych modeli. z których następnie należy wybrać najlepiej opi s ujący daną technologię . Na gruncie wnioskowania bayesowskiego w sposób formalny traktuje s ię niepewność zw iąza ną z wyborem modelu poprzez uwzględnienie zarówno obserwacji,jak i wiedzy wstępnej. Każdemu z In niezagnieżdżonych modeli MI' ... , Mm przypisuje się prawd opodobieństwo a priori P(M). takie że. m. L .<. =I. P(M) = I , od-. zwierciedlającc wiedzę. a następnie. co do możliwości opisu obserwacji przez ten model, z wzoru Bayesa otrzymuje s ię ich prawdopodobieństwa a posteriori: P(M.1 I Y) =. P( y l M,lP(M,l .. .. /li. L. ,. p(Y I M,)P(M,). q= 1. i do dalszego wnioskowania wybiera się model najbardziej prawdopodobny a posteriori, czyli taki , dla którego P(M, I Y) jest najwięks ze przy danych obserwacjach i przyjętych prawdopodobieństwach a priori. Wielkośc i P(M, I Y) mogą być silnie w ra ż liwe na zm ianę rozkladów a priori pCw) oraz prawdopodobieńSlw P(M) . Zależno ść od rozkładu a priori wynika z definicji brzegowej gęs tości obserwacji p(Y I M), która jest obliczana jako całka z łącznej gęstości pry I w,) po w, przy ustalonym Y. Wpływ prawd opodobieństw a priori P(M) może być wyizolowany poprzez analizę szans a posteriori dla par modeli (ang. posterior odds ratio): P(M, I Y) P{Mq I Y). P( Y IM) P(Y I Mq). P(M,) x. P(M,). Czynnik Bayesa B,q (ang. Bayes factor) , będ'ICY iloraze m brzegowych gęs to śc i wektora obserwacji, mierzy relatywną moc wyja ś niającą modeli M.,.

(9) Giętkie. formy .. w analizie koszfÓ"v .... oraz M, i ujmuje informacje, w jakim stopniu obserwacje potwierdzają model M.I, w 'porównaniu z modelem Mg: BHI > l oznacza wskazanie przez obserwacje, że model M, jest bardziej adekwatny do ich opisu [Jeffreys 1961]. Wyznaczenie ilorazu szans a posleriori modeli wymaga znajomości stałych normujących rozkład a posteriori. Stosowane do przybliżania charakterystyk rozkładu (l poster;or; metody MCMC umożliwiają aproksymację brzegowych rozkładów a posteriori parametrów bez konieczności obliczania brzegowych gęstości obserwacji i bez konieczności wyznaczania stałych normujących warunkowe rozkłady a posteriori. Uniemożliwia to jednak bezpośrednie obliczenie P(M, I Y) i należy zastosować dodatkowe metody numeryczne. W zagadnieniach związanych m.in. z wyborem jednego z mniezagnieżdżonych modeli metodę bezpośredniego (z pominięciem p(Y I M» wyznaczania prawdopodobieństw (l posterior; P(M, I Y). Polega ona na wprowadzeniu zmiennej wskaźnikowej, o wartościach naturalnych, indeksującej modele i wyznaczenie dla niej rozkładu a posteriori. Podejście takie zaprezentowali m.in. B.P. Carlin i S. Chib [1995]. Zastosowanie tej metody w stochastycznych modelach granicznych nie doprowadziło do precyzyjnego obliczenia P(M, I Y), ponieważ w sytuacji, kiedy prawdopodobieństwa a posteriori niektórych modeli są bliskie zera, metoda ta nie prowadzi do dokładnego ich wyznaczenia. M.A. Newton i A.E. Raftery [1994] zaproponowali przybliżenie brzego~ wej gęstości obserwacji za pomocą średniej harmonicznej z funkcji wiarygod~ ności obliczonej dla kolejnych wylosowanych wartości z rozkładu a posterior;: L. 2: ftY I CJlV', M)]~I }~I, gdzie ftY I CJlV', M). p( Y I M) = {L~I [ I. ='. są wartościami funkcji. 1. wiarygodności.. Estymator ten jest numerycznie zgodny, jednak często mało stabilny, ponieważ odwrotność funkcji wiarygodności posiada nieskończoną wariancję. Możliwe jest w takiej sytuacji wprowadzenie funkcji wygaszającej (ang. tuning fimctioll), lecz wtedy pojawia się problem jej specyfikacji i potencjalna wrażliwość wyników. Przyjęcie jako funkcji wygaszającej rozkładu normalnego z macierzą kowariancji i wartościami oczekiwanymi ustalonymi na poziomie wartości oczekiwanych a posteriori zostało wykluczone przez osobliwość (z powodów numerycznych) macierzy kowariancji wszystkich (N + F + D + 2) parametrów. Alternatywną metodę przybliżania brzegowej gęstości obserwacji zaproponował S. Chib [1995], która została zaadaptowana do obliczenia brzegowej gęstości obserwacji dla wybranych stochastycznych modeli granicznych (por. [Wróbel~Rotter 2001 bl).. 6. lIustracla empiryczna Rozważono rozwinięcia. dwie postacie analityczne granicznej funkcji kosztu dla Miintza i Szat za rzędu pierwszego i drugiego:.

(10) ReI/ola Wróbel-Ratler. MSI: MS2:. o', ', IJ- L' p ,\1' Q , K)=Q"'·"""QKI"(ap l L +a_o ?J ..M +a_n'!2p'12)e''' 51' L M· C(pL' p M' Q , K)=Q"'·~""QK~,«1p +"p l . I. v:. . M +a_nI12[7'12+a.7,<1"p)11+ .'.1"' L M 41 l. M + a"p:'/4 p 114) el -r I', . I, M. gdzie C oznacza koszt zmienny poniesiony przez przedsiębiorstwo w danym roku, Q ~ produkcję energii elektrycznej i cieplnej w teradżulach (TJ), K ~ sumę aktywów, PL ~ średnie wynagrodzenie jednego pracownika wraz z narzutam,PM ~ średnią cenę materiałów (tj. l TJ energii zużytych paliw). Opisując proces produkcyjny ograniczymy się do krótkookresowych elastyczności kosztu zmiennego względem produkcji EC/ Q ' ceny pracy ECif' i nakładu kapitału EC / K ' W przeciwieństwie do rozważanych we wcześniejszych pracach lokalnie giętkich form funkcyjnych (por. [Wróbel-Rotter 2001a, cJ) elastyczności kosztu względem cen zmiennych czynników produkcji dla MS l oraz MS2 zależą wyłącznie od poziomu cen i nie są związane z wielkością produkcji czy nakładem kapitału. Efekt skali produkcji zależy od poziomu Q, zaś elastyczność kosztu względem kapitału założono jednakową dla wszystkich obiektów. Rozkład a priori dla parametrów a i oraz ~i zostanie tak wyspecyfikowany, aby odzwierciedlał wst<;pną wiedzę dotyczącą własności mikroekonomicznej krótkookresowej funkcji kosztu zmiennego. Indywidualne parametry strukturalne nie posiadają interpretacji ekonomicznej, dlatego wiedzę o własnościach funkcji kosztu uwzględnia si<; w modelu poprzez ich funkcje opisujące proces produkcyjny, tj. elastyczności. Założono a priori. że najbardziej prawdopodobny będzie stały efekt skali produkcji, niewielki ujemny wpływ na koszt zmienny nakładu kapitału oraz przyjęto, że elastyczności względem cen są równe po ok. 0,5. Preferowany a priori jest model prostszy, tj. MS l, od modelu bardziej sparametryzowanego, tj. MS2. Opierając się na części wartości zmiennych objaśniających i powyższych informacjach otrzymano następujące wektory wartości oczekiwanych a priori: ~~lSI = ~~S2 = [1 O ~O,I]', a~Sl = = [O O I]' oraz a~s' = lO O I O O]'. Założono, że rozkłady a priori są wielowymiarowymi rozkładami normalnymi, o diagonalnych macierzach kowariancji odpowiednio: La oraz L" co powoduje, że elastyczności kosztu względem cen czynników produkcji są ilorazami kombinacji liniowych zmiennych losowych o rozkładach normalnych, nie posiadają więc momentów. Skutkiem tego wyłącznie na drodze symulacji z rozkładu a priori można badać efekt, jaki wywiera dana macierz kowariancji La na indukowany rozkład a priori elastyczności (por. [Wróbel-Rotter 200Ia]). Generuje się wektor a lli z D-wymiarowego rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej 0.(/ i macierzy kowariancji La' a następnie oblicza wybrane charakterystyki procesu produkcyjnego, np. EI~'/" i buduje histogramy przybliżające ich rozkłady a priori, których rozpf(i~zenie ocenia się za pomocą kwantyli. Odchylenia standardowe a priori dla parametrów ~i zostały wybrane poprzez analizę elastyczności kosztu względem Q oraz K (por. [Wróbel-Rotter, OsiewaIski 2001a, b]). Ostatecznie przyjęto: a~ l = ai" _ = 0,0001, a~ :I = 2,9 oraz a;' I = l..

(11) Gięlkie ftJrmy .. \V. analizie kosztów .... Oprócz zaprezentowania, który z dwóch modeli, MS I czy MS2, lepiej opi suje obserwacje, przeprowadzono również ich porów nani e z najczęści ej stosowanymi w prak tyce lokalnie g i ętkimi formami funkcyjnymi, przyjętymi dla J(.r", y) w granicznej funkcji kosztu , omówionymi w pracach fWróbel-Rotler 200 I a. c], tj . funkcją translog (TR.[ Christensen , Jorgenson , Lau 1971], u ogó lnioną Leonti efa (G L. [Diewert 197 1n i McFaddena (MF, [Diewert , Wales 1987)) oraz funkcją Cobba i Douglasa z uzmienniony m efektem ska li produkcji (COlI [C hri stensen, Greene 1976]). Sposób dobo ru rozkład ów {/ priori przedstawiono w pracach R . Wróbel-Rotler i J. Osiewaiskiego f2001a] dla funkcji tran slog oraz R. Wróbel-Rotter [200Ia, bl dla pozostałych. Ze wzg lędu na wrażliw ość prawdopodobieństw (J poslaiori modeli P(M, I Y) na pos tać rozkladu a priori, wartości oczekiwane i odchylenia standardowe {/ priori zostały tak przyjęte , aby informacja , jaką uw zg lędnia s ię w ka żdy m z modeli granicznych , u stałona poprzez analizę wybranych c harakterystyk proces u produkcyj nego, była zbli żo na . W każdym z modeli wielkości opisujące proces produkcyjny wyrażają się zasadniczo innymi formułami, jednak możliwe jest wyb ranie parametrów roz kładów a priori tak, aby rozkład o priori dla wybranych elastyczności byl zbliżony. Takie podej ści e nie oznacza jedna k , że rozkłady a priori dla wszystki ch charaktery sty k procesu produkcyjnego będą podobne. Krótkookresowe e la stycznośc i kosztu zmiennego wzg lęde m cen czynników produkcji w modelach MS l oraz MS2 są zbliżone do otrzy man ych na podstawie funkcji tran slog i uogólnionej Leontiefa (por. [Wróbel-Rotler 200 I b]), natomiast efekt skali produkcj i i elastyczno ść względem kapitału praktycznie pokry w ają s ię z uzy skanym i na podstawie funk cj i COlI. Średni a arytmetyczna elastycznośc i kosztu zmiennego względem ceny prac)' dla MS l i MS2 wynosi ok . 0 ,5: dla obiektów mni ej szych pod w zg l ędem produkcji jest nieco wyższa. Zbli żo n e warlok i ela styczno śc i kosztu wzg lędem cen czynników produkcj i, obliczone dla wa rto ści oczekiwanych Ci posteriori parametrów techno logii, św iad czą o uzyskaniu zadowalające go przybliżeni a funkcji kosztu i mogą sugerować, że dal sze zwięk szan i e rzędu rozwini ę cia MUntza i Szatza nie będzie prowadzić do poprawy aproksymacji charakterystyk procesu produkcyjnego . Krótkookresowy efekt skali produkcji , będą cy odwrotno śc i ą e lastyczn ości kosztu względem produkcji, jest w przybliżeniu staly, dla obiektów więks zych pod wzg l ęde m produkcji niceo malejący, co ogólnie mówiąc, wskazuje na proporcj onalny wzrost kosztu zmi ennego w odpow iedzi na zw i ększe nie produkcji . E l as t yc zność kosztu względem nakładu czynnika stalego - kapi tału rzeczowego - oznacza spadek kosztu zmiennego o ok. 0,05 % (przy odchyleniu standardowym 0 ,027) w odpowiedzi na wzrost wartości aktywów o l %. Średnia arytmetyczna wa rtośc i oczeki wanych a posleriori dla ws kaźników efek t ywnośc i kosztowej EKi jest jednakowa dla MSI oraz MS2 i wynosi 0,69 (przy ś redniej odchyleń standardowych a posteriori równej 0.05) ..

(12) Renata Wróbel-Ratler. Esty mator Newtona i Raftet-y'ego jest w rozważanych stochastycznych granicznych funkcj i kosztu zmiennego wielkością niestabilną numerycznie, wraż l i wą na wartośc i paramet rów wylosowane w obszarach znacznie odda lo nyc h od punktu . gdzie znajduje s ię maksim um funkcji w iarygod no śc i (rys. I).. 11 0. 811. ~~,--~~--------== ...... ... ...... . •. ·M,,' · ". """" . ". "".. ".. ". ". .,. O' ". 'o. ha ". ;o +-~-.--~~-.--~~-.--~~-.--~~-.--~~-.--~~~ sao lO 500 l O 500 ~ o 500 40 SDO 50500 (,O ~OO 70 JOO 80 500 <)05 00 100 000. logary tm bl"Zego weJ. gę sł ośc i ob ~ rwacJi. ma .... logal)·tm!l funkcji wiarygodn osci. - - - log:ll» tm f'ulIk cj l wi~r)"~ o d no kl. - -. min loga l)' ll11\1 fUllkcJi. wi ar~' g()d nosci. Rys. l . Warto ś c i logarytmów maksymalnej, minimalnej i wyznaczonej w danej iteracji walio Ści funkcji wiarygodności i kształt o wanie się logarytmu brzegowej gę s to śc i obserwacji w kolejnych cyklach Gibbsa Zródło: opracowanie w łasne .. Za pomocą algorytmu Gibbsa znajd uje s i ę wartości parametrów, dla których funkcj a wiarygodności przyjmuje maksimum po kilkuset iteracjach, natomi ast w d alszym ciągu pojawiające s i ę coraz mniejsze warto śc i funkcji wiarygod ności powodują skokowe spadki brzegowej gQstości obserwacji. Z tego wzgl ęd u do obliczenia brzegowych gęstości obserwacj i zastosowano m etodę zaproponowa n ą przez S. Chiba [1995) (por [Wróbel-Rotler 200 I bl) . Przy zało żeniu jednakowyc h prawdopodob ień stw a priori modeli ich prawdopodobieństwa a posleriori przedstawiają się nastę pująco : P(MMSl I = o, P(MMS2 I = o, P(M TR I Y) = 0,00638 , P(MGL I Y) = 0,047 12, P( M MF I = 0,94650 oraz. n. P(MCDIII. n. n. n =O.. Stochastyczne grani czne funkcje kosztu o najwyższych wartośc iach logarytmów brzegowych gęsto śc i obserwacji nal eżą do grupy mode li , w których funkcja kosztu jest przy bli żana przez lokalnie gię tkie form y funkcyjne . Przy pada na nie ponad 99,9% prawdopodobi eństwa a posteriori, co m oże oznaczać , że wa ż n ą rolę odgrywa tutaj s topień dopasowania do danych.

(13) w analizie kosZtóh' .... empirycznych . Przeprowadzone nieza l eżni e sy mulacje MCMC wskazaly na istnienie ni ew ie lkich różnic w otrzymywanych wartościach brzegowych gęstośc i obserwacj i. jednak ranking modeli pozostawal bez zmian , przy ustalonych parametrach rozkladów a priori . Prawdopodob ień stwa a poster;or; mode li w s kazują na dominację MF , kt órą równ i eż potwierdzala metoda MC' [Carlin , Chib 19951 , wskazująca na skupienie rozk ł ad u a poster;or; zmiennej w s kaź nikowej w jednym punkcie. Mode le przybliżane przez funkcje nie b ędące g i ę tkimi, MS I, MS2 oraz COlI, zostaly odrz ucone przez obserwacje; ich prawdopodobieIistwa a poster;ori są prawie rów ne zero, po przyjęciu identycznych prawdopodobieństwa priori modeli . Porów nując jedynie MS l i MS2 z COlI , nal eży stwierdzić, że ten ostatni jest preferowany. Pods um owując nal eży stwierdzić, że w badaniach empirycznych wskazane jest stosowanie raczej funkcji giętkich aniże li mniej sparametryzowanych form funkcyjnych . Ze względu na występowanie nieznacznych różnic w mocy wyja ś niaj ącej analizowanych funkcji, do zas tosowa ń praktycznych można wybrać modele najprostsze w implementacji . tj . translog.. 7.. Zakończenie. Formalne porównanie stochastycznych gran icznyc h funkcji kosztu zmiennego na gruncie wnioskowania bayesowskiego pokazala, że - dla danych obserwacji - proces produkcyjny najlepiej opisuje stoc hastyczna graniczna funkcja kosztu, przybliżana uogólnioną funkcj ą McFaddcna. Większe od zera prawdo p odob ień stwa a posterior; mają jedynie pozostale dwie giętkie formy funkc yjne . tj . uogólniona funkcja Leontiewa i tran slog. Najgorzej. przy przyjęt yc h za l ożeniach , proces produkcyjny opisywany jest przez modele nie będące g iętkimi, tj. MS l , MS2 oraz COII. Czynn iki Bayesa dla granicznej funkcji kosztu zmiennego przybliżanej przez funkcje: uogó lni o ną Leontiefa i McFaddena, są zbliżone do siebie , co jest kon se kwencją podobnych postaci analitycznych . Literatura Aigne r D .. Love ll C .A.K, Schmidt P. [19771, Forma/miol! and Estimarioll oj 5tochastic Frolllier ProdLU.:rioll FUI/ctioll Modds, ..Joumal uf Eco nomelrics", vol. 6. Barnett W .A. Gewe ke J . Wolfe M. r 19911, Seminol/paramerric Ba)'esiall E.stil1lation of (he Asymptotically Id{!(l{ ProductioJ! Model, "Jou rn al of Econometrics" , vol. 49. Barneu W .A . Jonas A.B. [1983], The Miintz-5zatz Demalld Syste m: (lIl Applicarion oj a Globally Well Behaved Series Expansion , "Economics Letters", vol. II. Barnetl W .A .. Yu e P. [19881, Semiparametric ESlimmioll of [h e As."vlJlptotically Idea! M odel : fil e A/M D ell/and SvstCI1l, .. Advances in Econometrics", vol. 7 . . Broek J. van den. Kaop G., OsiewaIski J" . Steel M .F.J . [19941. Sroclwstic Froł/tier Mode/s: A Bay l~shlll Perspeclive, "Journal of Economelrics" , vol. 6 1 ..

(14) Renata Wróbel-Roller. Browning M.J . r198 3], Nece:'i".w ry and S ufjiciem Conditiolls jor Conditional COSI Funcriolls, Econometrica", vol. 51 . Ca rlin B.P ., C hib S. [19951. Bayesitlll MOl/el Cho ice via Markov C/will Monte Car/o Methods . ..Jourmll of the Royal Stal isti ea l Socje ty", vo l. 57 . Cha lfant J .A. Ga ił a m A ,R. [1985 j, Estinwting SIIbstiwfioll ElaSlicitieJ wilh lhe Fourier Cost FUlIclion, "Jaurnal of Economctrics" , vol. 28. Chib S. [1995 J. Mar gil/al Likefihood Form lh e Gibbs Olllpur . .,Jou rnal of the American Stati stical Assotiation", vol. 90. Christensen L .R. , Greene W.H. [1976], Economies qf Scale in U,S. Electric Power Gellerarioll, "Journa1 of Political Economy", vol. g4 : 4. part 1. Chri stensen L.R .. Jorgensan D.W., Lau L.J. [19711. CO fljt/gale Dl/ality and the Trrlllscelldemal Logarvt/l1llic Productioll FrOł1fiers, "Econometri ca", \iol. 39. Diewerl W .E . 119711 , An Applicafion of lh e SJlepJwrd Dualit)! Th eorem: a Gelleralized Leontief Produclion Functi01z, "Journal of Political Economy", vol. 79. Diewert W .E .. Wale s T J {1987], Flexihle FUll ctiOlw ! Fomzs and Global Curvafure Conditiom', .,Economelrica", vol. 55 , Elbada wi I ., Ga ll ant A .R. , Souza G . [ 198 1] , Au Elaslicil.V Ca n be Estimated CO/ui.\·lellll.v wilhoU! a priori KllolVlel/ge of Func/iona l Form , ,.Econometri ca·'. vo l. 5 1. Farre ll M.J . l 1957 1. Tlfe Measurelllelll oj Produu; vc Effidency . .,Jo urnal of (he Roya l Stati sti ca l Soc jety" . Scries A, vol. 120. Fe rn illldez C., Os iewa Iski J ., Steel M.F.J. l I997J. 01/ the Use of Pan el Data in Stochastic F rontier ModeIs witIJ Improper Prior.\' . .,Joum al ot' Eco no metri cs" , vol. 79. Gallant A .R . lI9R 11. On the Bias in Flexib le FWKliOlll/ ( Form.\' and E.\·scmia lly Un biased Form . The Fourier Flexible Form, "Joumal of Eco nometrics", vol. 5. Ga ll an t A .R . [19821. Unbiased Delerminatiol1 of Prodtlctioll Teclmologies, "Joumal of Eco no metri cs". vol. 20. Gallant A .R . [1984J, The Fourier Flexible Form, "American Journal of Agriculture Economics" . May. Gallant A.R . Go lub G.H.l1984J. Imposing Curvature Res trictions 0 11 Flexible FUllctional Fo rms, "Joum ai ot' Econometrics", vol. 26 . Jeffrey, H . r196 J l. rh eory o/ ProhahililY, Oxford University Press, London . Koop G., Osie waJ ski J ., Steel M.F.J. [1994], Bayesiall E//icielley Allalysis with a Flexible Form: Th e A/M Co.)" Fun clion •• .J oumal ofBusiness and Economic Statistics", vol. 12 . Koop G ., 0.'\ ie walski J . Sleel M.FJ . [199 7], Bayesiall Efficiency Analy.}·is through Jndi vidual Ef/ecls: Hospital COSf Frolll;en- , "Joumal of Eco no melrics", vol. 79, Meeusen W ., va n den Broeck J . 11977J, Efficiellcy Estimatio fl from Cobh-Douglas Produclioll FUll clions wilh Composed Error, "International Economic Rev iew", vol. 8. New ton M.A " Raftery A.E . [1994], Approximate Bayesian lllferell ce by fhe Weighted Likelihood Bootstrap , "Joumal of the Roya t Stati stjcal", Society B. vo l. 56. Osiewais ki J . [1 99 11. Ba)'esowska estyJ1l(l(.ja i predykcja dla jednorÓWllaf/iowych modeli ek()llometrycznych, Akademia Ekonomiczna w Krakow ie , Monografie. Kraków, nr 100 . Terrel D. [1 995]. Flexihilit,v and Regu/arity Prope rties oj (he Asymptotically Ideał Produclioll Model. "Econometrics Review s", vo l. 14(1) . Varian A .H. [1 992], Mi croecoJlo11lics Analysis, Third Edition, W .W Norton, New York. Weaver R .D [ 19841. Caveats on fhe ApplicatiOl1 O/ fil e Fourier Flexible Form: Discussion, ., America n Joumal ot' Agriculture Economics". May. Wróbel -Roll er R . [200 JaJ, Bayesmvska allaliza techn ologii i efektywno.k'i kosztowej na podstawie uogólnionego modelu Leoll/ieja , opracowanie w ramach projektu badawczego KBN nr l-H02B-022-18 , Akademia Ekonomi czna w Krakowie, Kraków (maszynopis). t.

(15) · formy. w analizie. k OSZ IÓW . . .. Wróbel-Ratler R. [2nOlbl, BaYl'sowski wybór gię tkichformfullk cyjnyc h i Iqc:..enie wiedzy opa rte na far/ cuchach Markowa, opracowanie w ramach projektu badawczego KBN nr l-H02B-022-1 g. Akade mia Ekonomi czna w Krakowie , Kraków (maszynopis). Wróbel-Rotler R . [200 I cl . Giętkie forlllyfullk cy.Jlle w empir)'cznej analizie kOS:..: lIf. Podejście D;ewerta i wnioskowa nie bavesowskie , "Ekonom ista", nr 4 . Wróbel-Ro[[er R ", Osiew~ l s ki J . f200 l a] . Bayesow,yki model efekt ó w loso wych w analizie efektywllości kosztow(!j (lIa przykladzie elektrowni i elektrocieplowIli polskich ), .. Przegląd Sta[ys ryc zny" , nr l. W róbel-Rotter R., Os iewaiski J. [200 l b I, Tral1 slogarytmiczna grallfc:VUl funkcja kos z/ó w dla elektrowni i elektrocieplowni polskich. Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu , Wrocław. nr 895.. Globally Flexible Funclional Forms in Applicalion lo Slochaslic Cosl Fronliers The artic1e continues and expands the stud y: Flex ible fun ctiona l forms in e mpirical cos t analysis: Diewert's approach and Bayesian inference, which was published in Ekonomista l2001]. and is devoted to globally tlexible functional forms used in the empirical cost analysis. The Mtint z-Szatz series expansions of order one and two are co nsidered for the pri ce aggregator and then are combined with the arbitrary form for a produ ction and capital. The Common Efficiency Distribution model proposed by G. Koop , J. Osiewa Iski and M.F.J . Sleel [19971 is assumed for (he composed error stTllcture. Thc methodology proposed by G . Koop , J. Osiewaiski and M.F.J . Steel [1994] is e nri ched by the formai Bayes ian model comparison. We include to the comparison locally flexibJe form s, suc h as T ra nslog, Generali sed Leontief, Generalised McFadden and Genera lised Cobb-Douglas. The empirical study is based on the data of 32 Polish electric power slat ions in thc period 1995- 1997..

(16)