Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

Wykłady z matematyki inżynierskiej, wersja rozszerzona: z rozwiązanymi zadaniami

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

JJ, IMiF UTP

17

f (x , y )

DEFINICJA.

Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D ⊂ R², to przyporządkowanie każdemu punktowi (x , y ) ∈ D dokładnie jednej liczby rzeczywistej f (x , y ).

DEFINICJA.

Wykres funkcji f : D → R, to zbiór

W = {(x , y , z) : z = f (x , y ), (x , y ) ∈ D}.

PRZYKŁAD. Naszkicuj wykres funkcji z = x + y

.

D = R²

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−2 0 2 4 0 5 10 15 20

x y

z

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

PRZYKŁAD. Naszkicuj wykres funkcji f (x , y ) = 4 + x

− y

.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2 2 4 6

x y

z

0 2 4 6 8 f (x , y )

ZADANIE 1.

Narysuj dziedzinę funkcji f (x ) =

4 − x

− y

.

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne: 1 − x²− y² ­ 4, co oznacza, że x²+ y²¬ 4.

Równanie x²+ y² = 2² opisuje okrąg o promieniu 2 i środku w punkcie (0, 0). Nasza nierówność (¬) wyznacza obszar ograniczony tym okręgiem, zatem dziedziną jest następujące koło:

x y

0 1 2 3

ZADANIE 2.

Narysuj dziedzinę funkcji f (x ) =

+

·

9 − x

− y

.

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być

nieujemne: 1 − x²− y²­ 9, co oznacza, że x²+ y²¬ 9. Ponadto mianowniki nie mogą być zerami: y 6= 2, x 6= −1.

Dziedziną jest zbiór:

x y

0 1 2 3

−1 1 2

ZADANIE 3.

Narysuj dziedzinę funkcji f (x ) =

x

+ y

− 1.

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne: x²+ y²− 1 ­ 0, co oznacza, że x²+ y²­ 1.

x y

0 1 2 3

ZADANIE 4. Narysuj

dziedzinę funkcji f (x ) = ln(4 − y

) − arc sin

x .

Warunki do spełnienia: liczbalogarytmowana musi być dodatnia, a liczba, której liczymyarcus sinuspowinna być z przedziału

domkniętego od −1 do 1, zatem

( 4 − y² > 0

−1 ¬ ¹₃x ¬ 1 . Obie nierówności te łatwo rozwiązać:

x y

0 1 2 3

1

ZADANIE 4. Narysuj

dziedzinę funkcji f (x ) = ln(4 − y

) − arc sin

x .

Warunki do spełnienia: liczbalogarytmowana musi być dodatnia, a liczba, której liczymyarcus sinuspowinna być z przedziału

domkniętego od −1 do 1, zatem

( 4 − y² > 0

−1 ¬ ¹₃x ¬ 1 . Obie nierówności te łatwo rozwiązać: −2 < y < 2,

x y

0 1 2 3

1

ZADANIE 4. Narysuj

dziedzinę funkcji f (x ) = ln(4 − y

) − arc sin

x .

Warunki do spełnienia: liczbalogarytmowana musi być dodatnia, a liczba, której liczymyarcus sinuspowinna być z przedziału

domkniętego od −1 do 1, zatem

( 4 − y² > 0

−1 ¬ ¹₃x ¬ 1 . Obie nierówności te łatwo rozwiązać: −2 < y < 2, −3 ¬ x ¬ 3.

x y

0 1 2 3

1

ZADANIE 4. Narysuj

dziedzinę funkcji f (x ) = ln(4 − y

) − arc sin

x .

Warunki do spełnienia: liczbalogarytmowana musi być dodatnia, a liczba, której liczymyarcus sinuspowinna być z przedziału

domkniętego od −1 do 1, zatem

( 4 − y² > 0

−1 ¬ ¹₃x ¬ 1 . Obie nierówności te łatwo rozwiązać: Dziedzina:

x y

0 1 2 3

1

Otoczenie punktu

DEFINICJA.

Otoczeniepunktu P₀(x₀, y₀) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x , y ) : (x − x₀)²+ (y − y₀)²< δ²}.

Sąsiedztwo punktu (x0, y0) o promieniu δ > 0, to zbiór Sδ(x0, y0) = {(x , y ) : 0 < (x − x0)²+ (y − y0)²< δ²}.

P0

Otoczenie punktu

DEFINICJA.

Otoczeniepunktu P₀(x₀, y₀) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x , y ) : (x − x₀)²+ (y − y₀)²< δ²}.

Sąsiedztwo punktu (x0, y0) o promieniu δ > 0, to zbiór Sδ(x0, y0) = {(x , y ) : 0 < (x − x0)²+ (y − y0)²< δ²}.

P0

Otoczenie punktu

DEFINICJA.

Otoczeniepunktu P₀(x₀, y₀) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x , y ) : (x − x₀)²+ (y − y₀)²< δ²}.

Sąsiedztwo punktu (x0, y0) o promieniu δ > 0, to zbiór Sδ(x0, y0) = {(x , y ) : 0 < (x − x0)²+ (y − y0)²< δ²}.

P0

Otoczenie punktu

DEFINICJA.

Otoczeniepunktu P₀(x₀, y₀) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x , y ) : (x − x₀)²+ (y − y₀)²< δ²}.

Sąsiedztwo punktu (x0, y0) o promieniu δ > 0, to zbiór Sδ(x0, y0) = {(x , y ) : 0 < (x − x0)²+ (y − y0)²< δ²}.

P0

Otoczenie punktu

DEFINICJA.

Otoczeniepunktu P₀(x₀, y₀) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x , y ) : (x − x₀)²+ (y − y₀)²< δ²}.

Sąsiedztwo punktu (x0, y0) o promieniu δ > 0, to zbiór Sδ(x0, y0) = {(x , y ) : 0 < (x − x0)²+ (y − y0)²< δ²}.

P0

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x₀, y₀) nazywamy:

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem wewnętrznym zbioru D, gdy

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x₀, y₀) nazywamy:

punktem wewnętrznym zbioru D, gdy

istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze D;

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x₀, y₀) nazywamy:

punktem wewnętrznym zbioru D, gdy

istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze D;

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x₀, y₀) nazywamy:

punktem wewnętrznym zbioru D, gdy

istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze D;

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x₀, y₀) nazywamy:

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem brzegowymzbioru D, gdy

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem brzegowymzbioru D, gdy

każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem brzegowymzbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem brzegowymzbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem brzegowymzbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem brzegowymzbioru D, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera jakiś punkt ze zbioru D i jakiś punkt nienależący do D;

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem skupieniazbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem skupieniazbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.

Punkty

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem skupieniazbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.

Punkty

!

DEFINICJA. Punkt (x0, y0) nazywamy:

punktem skupieniazbioru D, gdy w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieje jakiś punkt ze zbioru D.

Zbiory

DEFINICJA.

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru D townętrzetego zbioru.

Zbiory

DEFINICJA.

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru D townętrzetego zbioru.

Zbiory

DEFINICJA.

Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru D townętrzetego zbioru.

Zbiory

DEFINICJA.

Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru D tobrzeg tego zbioru.

Zbiory

DEFINICJA.

Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru D tobrzeg tego zbioru.

Zbiory

DEFINICJA.

Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru D tobrzeg tego zbioru.

Zbiory

Zbiór D jestotwarty, gdy każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym tego zbioru.

Zbiory

Zbiór D jestotwarty, gdy każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym tego zbioru.

Zbiory

Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zbiory

Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zbiory

Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swojepunkty skupienia.

Zbiory

Zbiór D jest domknięty, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zbiory

Zbiór D nazywamyobszarem, gdy jest otwarty i gdy każde dwa punkty tego zbioru można połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze.

Zbiory

Zbiór D nazywamyobszarem, gdy jest otwarty i gdy każde dwa punkty tego zbioru można połączyć łamaną zawartą w tym zbiorze.

Ciągłośc funkcji

DEFINICJA.

Załóżmy, że dziedziną funkcji f (x , y ) jest zbiór D. Ponadto niech (x0, y0) ∈ D będzie punktem skupienia zbioru D.

Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie (x0, y0), gdy

^

>0

_

δ>0

^

(x ,y )∈D∩S_δ(x₀,y₀)

f (x0, y0) −  < f (x , y ) < f (x0, y0) + .

Załóżmy, że każdy punkt ze zbioru D jest punktem skupienia tego zbioru.

Funkcja f jest ciągła w zbiorze D, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

POCHODNA,

przypomnienie z pierwszego semestru

DEFINICJA.

Załóżmy, że funkcjaf (x ) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0. Jeżeli istnieje skończona granica

h→0lim

f (x₀+ h)−f (x₀)

h ,

to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f⁰(x₀).

POCHODNA CZĄSTKOWA

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcjaf (x , y )jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0). Jeżeli istnieje skończona granica

h→0lim

f (x0+ h, y0) − f (x0, y0)

h ,

to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x0, y0) i oznaczamy f_x⁰(x0, y0) lub _∂x^∂f(x0, y0).

Podobnie definiujemy pochodną cząstkową f_y⁰ = ^∂f_∂y funkcji f względem zmiennej y w punkcie (x0, y0):

f_y⁰(x₀, y₀) = lim

h→0

f (x₀, y₀+ h) − f (x₀, y₀)

h .

Pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.

POCHODNA CZĄSTKOWA

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcjaf (x , y )jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0). Jeżeli istnieje skończona granica

h→0lim

f (x0+ h, y0) − f (x0, y0)

h ,

to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x0, y0) i oznaczamy f_x⁰(x0, y0) lub _∂x^∂f(x0, y0).

Podobnie definiujemy pochodną cząstkową f_y⁰ = ^∂f_∂y funkcji f względem zmiennej y w punkcie (x0, y0):

f_y⁰(x₀, y₀) = lim

h→0

f (x₀, y₀+ h) − f (x₀, y₀)

h .

Pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.

POCHODNA CZĄSTKOWA

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcjaf (x , y )jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0). Jeżeli istnieje skończona granica

h→0lim

f (x0+ h, y0) − f (x0, y0)

h ,

to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x0, y0) i oznaczamy f_x⁰(x0, y0) lub _∂x^∂f(x0, y0).

Podobnie definiujemy pochodną cząstkową f_y⁰ = ^∂f_∂y funkcji f względem zmiennejy w punkcie (x0, y0):

f_y⁰(x₀, y₀) = lim

h→0

f (x₀,y₀+ h) − f (x₀,y₀)

h .

Pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.

Pochodna cząstkowa

PRZYKŁAD. Oblicz, z definicji, f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x , y ) = x²y .

f_x⁰(x , y ) = lim

h→0

f (x + h, y ) − f (x, y ) h

= lim

h→0

(x + h)²y − x²y

h = lim

h→0

x²y + 2xhy + h²y − x²y h

= lim

h→0(2xy + hy ) = 2xy

f_y⁰(x , y ) = lim

h→0

f (x ,y + h) − f (x ,y)

h = lim

h→0

x²(y + h) − x²y h

= lim

h→0

x²y + x²h − x²y

h = x²

Pochodna cząstkowa

Z poprzedniego przykładu (i z definicji pochodnej) wnioskujemy, że przy liczeniu pochodnej względem x jako zmienną przyjmujemy tylko x , a y traktujemy tak jak stałą. Podobnie, licząc pochodną względem y zmienną jest tylko y , a x taktujemy jak stałą. To samo dotyczy pochodnych cząstkowych funkcji większej liczby zmiennych.

Pamiętamy o wzorach: pochodna stałej to zero; pochodna stałej razy funkcja, to stała razy pochodna funkcji.

PRZYKŁAD. Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x , y ) =x²y.

f_x⁰(x , y ) =2xy, tutaj y to stała w iloczynie - zostaje, a(x²)⁰= 2x; dla ułatwienia będę zaznaczał (x²)⁰_x = 2x dla podkreślenia, że zmienną jest x (pochodną liczymy względem x ), podobnie (y²)⁰_y = 2y (tu pochodną liczymy względem y ).

f_y⁰(x , y ) = x², tutaj x² to stała w iloczynie - zostaje, a (y )⁰_y = 1, podobnie jak x⁰ = (x )⁰_x = 1.

Pochodna cząstkowa

Z poprzedniego przykładu (i z definicji pochodnej) wnioskujemy, że przy liczeniu pochodnej względem x jako zmienną przyjmujemy tylko x , a y traktujemy tak jak stałą. Podobnie, licząc pochodną względem y zmienną jest tylko y , a x taktujemy jak stałą. To samo dotyczy pochodnych cząstkowych funkcji większej liczby zmiennych.

Pamiętamy o wzorach: pochodna stałej to zero; pochodna stałej razy funkcja, to stała razy pochodna funkcji.

PRZYKŁAD. Oblicz f_x⁰ oraz f_y⁰, gdy f (x , y ) =x²y.

f_x⁰(x , y ) = 2xy , tutaj y to stała w iloczynie - zostaje, a (x²) = 2x ; dla ułatwienia będę zaznaczał (x²)⁰_x = 2x dla podkreślenia, że zmienną jest x (pochodną liczymy względem x ), podobnie (y²)⁰_y = 2y (tu pochodną liczymy względem y .

f_y⁰(x , y ) =x²·1= x², tutaj x² to stała w iloczynie - zostaje, a (y )⁰_y = 1, podobnie jak x⁰ = (x )⁰_x = 1.

Pochodna cząstkowa,

kolejne przykłady, to jest proste, jak dobrze popatrzymy co jest zmienną

POLECENIE.

Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe (pierwszego rzędu) funkcji:

ZADANIE 1. f (x , y ) = x²e^y + y³sin x .

f_x⁰(x , y ) = 2xe^y + y³cos x , f_y⁰(x , y ) = x²e^y+ 3y²sin x . ZADANIE 2. f (x , y ) = x⁵arctgy − x⁷y⁸.

f_x⁰(x , y ) = 5x⁴arctgy − 7x⁶y⁸, f_y⁰(x , y ) = x⁵·_1+y¹ ₂ − x⁷· 8y⁷. ZADANIE 3. f (x , y ) = arctg(x⁶+ y⁹).

f_x⁰(x , y ) = _1+(x6¹+y⁹)² · 6x⁵, f_y⁰(x , y ) = _1+(x6¹+y⁹)² · 9y⁸.

tradycyjnie: pochodna funkcji złożonej, to pochodna funkcji zewnętrznej (to co wnawiasie- funkcja wewnętrzna - pozostaje, stosujemy wzór (arctgx)⁰= ¹

1+x2)) razy pochodna funkcji wewnętrznej (pojawiły się różne pochodne

“wnętrza”, bo raz zmienną jest x , drugi raz y ).

Pochodna cząstkowa,

kolejne przykłady, to jest proste, jak dobrze popatrzymy co jest zmienną

POLECENIE.

Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe (pierwszego rzędu) funkcji:

ZADANIE 4. f (x , y , z) = 2x⁶+ 3y⁵+ 4z⁴. f_x⁰(x , y , z) = 2 · 6x⁵ = 12x⁵,

tu zarówno y jak i z traktujemy jak stałą, a pochodna stałej to zero;

f_y⁰(x , y , z) = 3 · 5y⁴ = 15y⁴, f_z⁰(x , y , z) = 4 · 4z³= 16z³. ZADANIE 5. f (x , y , z) = x⁶y⁵z⁴.

f_x⁰(x , y , z) = 6x⁵y⁵z⁴,

tu zarówno y jak i z traktujemy jak stałą, a pochodna stałej razy funkcja to stała razy pochodna funkcji;

f_y⁰(x , y , z) = x⁶· 5y⁴z⁴, f_z⁰(x , y , z) = x⁶y⁵· 4z³.

Pochodna cząstkowa,

kolejne przykłady, to jest proste, jak dobrze popatrzymy co jest zmienną

POLECENIE.

Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe (pierwszego rzędu) funkcji:

ZADANIE 6. f (x , y , z) = sin(2x + 3y²+ z) · ln(1 + x²+ y⁶+ z⁴).

Zastosujemy wzór na pochodną iloczynu: pochodna pierwszej funkcji razy druga dodać pierwsza funkcja razy

pochodna drugiej. Każdy z tych czynników jest funkcją złożoną - stosujemy odpowiedni wzór (pochodna funkcji

zewnętrznej, dla tego argumentu jaki był, razy pochodna funkcji wewnętrznej, na przykład

(sin(2x + 3y²+ z))⁰_x= cos(2x + 3y²+ z) · 2, tu pochodna “wnętrza” (względem x ) to 2 · 1 + 0 + 0).

f_x⁰ =

2·cos(2x +3y²+z)·ln(1+x²+y⁶+z⁴)+sin(2x +3y²+z)·_1+x2+y¹⁶+z⁴·2x, f_y⁰ =

3·2y ·cos(2x +3y²+z)·ln(1+x²+y⁶+z⁴)+sin(2x +3y²+z)·_1+x2+y¹_6+z4·6y⁵, f_z⁰ =

1·cos(2x +3y²+z)·ln(1+x²+y⁶+z⁴)+sin(2x +3y²+z)·_1+x2+y¹⁶+z⁴·4z³.

Pochodna cząstkowa,

kolejne przykłady, to jest proste, jak dobrze popatrzymy co jest zmienną

POLECENIE.

Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe (pierwszego rzędu) funkcji:

ZADANIE 7. f (x , y , z) = _x^x3+z^{2sin y4}+y.

Zastosujemy wzór na pochodną ilorazu: pochodna licznika razy mianownik odjąć licznik razy pochodna

mianownika, całość dzielona przez kwadrat mianownika. Zauważmy jednak, że zarówno pochodna licznika jak i

mianownika zależy od tego, względem której zmiennej ją liczymy, na przykład: (x²sin y )⁰_x= 2x sin y ,

(x²sin y )⁰_y= x²cos y , (x²sin y )⁰_z= 0 (pochodna stałej to zero, w ostatnim nawiasie nie ma z).

f_x⁰ = (2x sin y )(x³+z⁴+y )−x²sin y ·3x² (x³+z⁴+y )² , f_y⁰ = ^{(x2cos y )(x}_(x³3^+z+z^{44+y )−x}+y )^{2 2sin y ·1},

f_z⁰ = ^0·(x3+z_(x^{4+y )−x}3+z⁴+y )^{2sin y ·4z2 3} = ^−4x_(x3+z^2z43+y )^{sin y2}.

Pochodne wyższych rzędów

DEFINICJA.

Załóżmy, że n ­ 2 jest liczbą naturalną . Pochodna cząstkowa n-tego rzędu to pochodna cząstkowa pochodnej cząstkowej rzędu n − 1.

PRZYKŁAD. Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f (x , y ) = x²y .

f_x⁰ =2xy, f_y⁰=x², f_xx⁰⁰ = f_x^0
0_x = 2xy)⁰_x = 2y , f_yy⁰⁰ = (f_y⁰)⁰_y = (x²)⁰_y = 0, f_xy⁰⁰ = (f_x⁰)⁰_y = (2xy)⁰_y = 2x , f_yx⁰⁰ = (f_y⁰)⁰_x = (x²)⁰_x = 2x

TWIERDZENIE.

Jeżeli pochodne mieszane f_xy⁰⁰, f_yx⁰⁰ są ciągłe w pewnym obszarze, to są równe.

To już ostatni przykład

PRZYKŁAD. Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f (x , y ) = x¹¹+ xy + y¹²+ 1500100900.

Oczywiście zaczynamy od obliczenia pochodnych pierwszego rzędu. Zamiast f_x⁰(x , y ) będę zapisywał krócej: f_x⁰.

f_x⁰ = 11x¹⁰+ 1 · y + 0 + 0 =11x¹⁰+ y, f_y⁰ = 0 + x · 1 + 12y¹¹+ 0 =12y¹¹+ x.

Teraz kolej na pochodne z pochodnych.

f_xx⁰⁰ = (f_x⁰)x = (11x¹⁰+ y)⁰_x = 11 · 10x⁹+ 0 = 110x⁹, f_yy⁰⁰ = (f_y⁰)⁰_y = (12y¹¹+ x)⁰_y = 12 · 11y¹⁰= 132y¹⁰.

Zgodnie z twierdzeniem z poprzedniego slajdu na wyliczenie pochodnej mieszanej f_xy⁰⁰= f_yx⁰⁰ mamy dwie

możliwości: albo liczymy (f_x⁰)⁰_y, albo (fy)⁰_x. Podam obie możliwości, by było widać jak liczymy, ale w zadaniach

będziemy korzystać tylko z jednej z nich.

(f_x⁰)⁰_y = (11x¹⁰+ y)⁰_y = 0 + 1 = 1, (fy)⁰_x = (12y¹¹+ x)⁰_x = 0 + 1 = 1, Zatem f_xy⁰⁰ = 1.