Toepassingen van asymptotische methoden in de vloeistofmechanica

b

74

.

VLOEISTOFMECHANICA B.O.

Toep.§ssingen_ van_ asymptotische methoden J_n de vloeistofmechanica

De vergelijl<ingen die de stroDling van vloeistoffen beschrijven, zoals de vergelijkingen van Euler voor wrijvingloze vloeistoffen en die van Navier-Stokes vaor viskeuze vloeistoffen, 1(unnen in het algemeen niet (analytisch) of met veel moei te (muneriek) varden opgclost. Di t \-Tordt onder andere veroorzaakt d08r de niet-lineaire termen in dcze verge--lijl(ingen. Ook Imnnen de randvoorwaarclen extra moeilijl(heden veroor-za1(en, bijv. een vrij oppervlak, of een be,vegencie wand. den streeft er dan ook naar voor speciale gevallell eenvo-tlCliger vergelijkingen af te leiden uit de meer algemene. Deze vcrgelijkingen voor specinle ge vnJ-len zijn gemakkelijker oplos1Jaar, hetzij analyti~ch dan \Vel ntull':criek. Voorbeeld: uit de vergelijkingen voor behoud van massa en impulsie kunnen met rand-Iroon-marden aan bodem en vrij oppervlak en en1,_e10! bena-, deringc:n de l ange golf vergelijkingen ,'lorden af'geleid. Een belangrijl'~e vereenvoudiging die hierbij ,·rordt -"rerJ.;:regen is de beperking -"rb.li :i\:;i; aante-l ruimtelijke dimensies, omdat de vertikale dir:1ensie vervalt. De vergelijkine;en voer bijv. kombergingsbere1ceningen en die vool' hoog',v,,- t.er-golvell 1cunnen weer beschoU\vd ,.JOrden als speciale gevallen van de lange golf vergelijkingen.

In het hierna volgende zal @et behulp van een aantal toepassingen

gel;'c%cnstreerd ,.lorden hoe het afleiden VeW vergelijl;;ingen VOOT speci81'2 geva11en uit meer algemene op systematische wijze kan geschieden. De hierbi,j getruikte zgn. aSYlilptotische methorlen zi.jl'l afkomstig uit dp toegepaste "li sl<.:un de . De geldi _{gheid van de be'.,Terkingen die bij gepoelwle} toepassingen uitgevoerd .wrden, kan meestal niet exakt "lOrden 8.ang<:,:t.c)0(J(1, maar ",el aannemelij1c ",orden gemaakt" Het is dan ooJ, C;E:blekeD dBt de ve:r-1~reger! resultat-en vaale goed overeenstemmen met '.iB_t experimenteel vordi:. -Ivaargenomen.

2.

2. Voorheeld van de toepassing van een aSYTnptotisehe methode

l.Jij zullen de meest eenvoudige vorm van' een asymptotische henadering uiteenzetten met een voorheeld hetreffende de niet-permanente,

een-dimensionale hei'Teging van een lichaam in een stilstaande vloeistof. De impulsvergelijl~ing voor het lichaam luidt

( 2. 1 )

vaarln t

=

tij d,

f

= op het lichaam ui tgeoefende kracht, hi = veer -stand t.g.v. i-rand\.Jrijving en loslaten van de stroom, V

=

snelheid,

m = hydrodynamische massa, d.i. de massa van het lichaam vermeerderd met een lwnstante afkomstig van de integratie over het oppervlak van het lichaam van de drukeomponenten in de he,·regingsrichting. He verond

er-,

stellen dat de weerstand W 211een afhangt van de snelheid. VerdeI' is VY1 een Konstante, zodat (2. 1) ove:r.gae,t in

(2.2)

Uitgaande van een hegim-raal"de kan door integratie van (2.2) de snelheid V als funktie van de tijd h~paald vorden. Dit is In het algemeen ana-lyti seh niet mogelijk, een numerieke (ev. grafisehe) aanpalc is vereist. We kunnen ons riu afvragen onder velke omstandigheden (2.2) te vereen-voudigen is, zodat op eenvoudiger I'Tijze een (henaderende) oplnssing verl~regen kan Horden. Dat is hier I'lel direld in te zien; als de

ver-schijnselen zeer langzaam verlopen dus de versn~l;Lingen l~leirl zi.jn,

1mn de versnellingsterm IY1 r}J;

I

dA:

vervallen (quasi-statiol1sire henadering). Als daarentegen de vreerstand relatief l,lein is (\ VJ(V) \

<-<

\

f (i:)

i

),

hetgeen

slechLs het geval Imn zijn in een niet-rermanente s-i tuatie, dan kan de term W(v) gcsehrapt '-lOrden.

We zullen in het onderstaande het afs~hatten ~an t ermen lD een vergeliJking op i-rat meer systematische I'Tijze uitvoeren.

2.1. Bet invoeren van schaalgrootheden

We schrijven iedere term 1n de vergelijking 1n de volgende vorm

l

t erm") = Lkonstante met de orde van grootte van de term] sieloze variabele met de orde van gl'ootte van

1J

3.

\. dimen-(2.3)

Met "X heeft de orc1e van grootte van y" ,wl'dt bedoeld dat c1e absolute ,,,aarc1e van de grootheid X niet voortdurend veel groter of veel klei ner

is dan de absolute ,marde van grootheid Y. X en Y zijn variabel of konstant. De in (2.3) genoemde lwnstante ,wrdt aangeduid als schaal· -grootheid, ,wrc1t posi tief genomen, en heeft de dimensie van de t erm. Voorbeelden van het invoeren van schaalgrootheden:

1. Toepassen van (2.3) op de snel-heid geeft

v"

Y

v

eM1 Voor een afgeleide, bijv.

OJ::

is c1eze bewerking wat

ingewik-v

l~elder:

de orde van grootte van

rLv / oVc

1 S

V /

T

:.

T i s de

tijdschaal van het verschijnsel. Maken we de tijd dimensieloos met de tij dschaal,

-l

=

T

.

1.

, dan vinden ve

J.v

y

dvv

-dk

T

dX:

De schaalgrootheid lS

V /

T

,

oUi

I

ott

18 de c1imensieloze variabele met orde van grootte v~n 1.

2. Konstante snelheid met een verstoring erop gesuperpo-neerc1:

v:::

y

.

v

oW

~

oW

dJc -=

f

oik

3. Snelheic1 afwisselenc1 positief en negatief:

-V-

.

"'V

v::

V

. dvv

I {

_d.JJ

-=

-cJ;t

_T

_/1::

v

4

.

Opmerkingen:

1. De preciese grootte van de schaalgrootheden ligt, zoals uit de definitie blijkt, niet geheel vast. Voorbeeld:

flt)

,,:,

f

s;."wt. Als

tijdschaal kunnen ve lI:iezen de periode

'2.lI/

w , mas.r ool\: de l~euze -i!l.u lS

bruil~baar. Een lwnstante faktor die niet te veel van 1 verschilt doet er niet toe.

2. De grootte van de schaalgrootheden is vaal~ af' te leiden ui t globale

beschouvingen met behulp van de randvoarvaarden die bij het probleem

behoren, of door gebruil~ te mal~en van een bekende term in de ver-gelijl<:ing. Di t laatste is het geval in (2.2): als

+

relatief

langzaam varieert, zal dit ool<: zo zijn met V , enz. Zijn de

schaalgroot-heden eenmaal gekozen, dan is daarmee bepaa1d ,{elk verschijnse1 wordt bekeken (bijv. relatief 1angzaam verlopend, of snel verlopend, of er tussen in).

3. Bij problemen ,marln ruimtelijl~e koordinaten een 1'01 spelen lmnnen lengtescha1en op deze1fde vijze vorden ingevoerd als de tijdschaal

vaor de tijd.

Invoeren van schaa1grootheden In (2.2) geeft met: 'W-=.

V{

w

en

+

~

t=f

mY

oLv 1-

W

WLv

\

:::

F

f

l~)

T

ov;..

(

2.4

)

of

Vv1V

_--

olv

_1-

v.J

W

(v)

(

(

t;

)

TF

M

F

_(2.5)

Bij dit zgn. norma1iseren van de vergelijl<:ing bli'jken een &o.nt.al

dimensie10ze parameters te ontstaan, in dit geval

'rrIV)TF

~::1

-

w

/1=

De C\.uasi-stationaire benadering geldt als

Oak

'NIV

- '

«~--I

Tf

dus a1s

h \ V

If

stelt een tijdschaal v~~r. Om dit aan te tonen bekijken ve

de responsie van een lichaEL'll in rust op een stapfunldie in de kracht. De

-1 1- -o

v

t"a.ct-klij 1'1 ('1'1

t

= 0

~

-

~-;;-=-=---=--==---=-

.

-=-=

~ o r-' +

-5.

( V

= v (co) , enz.) De uitdrukll:ing voor de gruotheid T (zie figuur)

voIgt met w(o)=- 0 uit (2.5),

TF

zodat In niet-dimensieloze grootheden

L ::. \ . ;: I""V

f

;:

Tf

(? c_ • 6\ )

De tij d 1:. 'Iwrdt de re1axatietij ~ van het systeem (hier hct oe,·regende

1ichaam) genoemd. Het is de tijdschaal van de aanpassing van het systeem

aan een nlemre si tuatie.

De 9.1 genoemde quasi-stationaire benadering lS dus toelaatbaar als

tijdschaal van het verschijnse1

»

relaxatietijd

2.2. Ontuil\:keling naar een kleine paramet er

He beschomren relatief l angzaam verlopende veranderingen, zodat (2.7)

geldt en stel1en

In dit geval zullen

-W

en

F

van dezelfde orde van grootte zlJn.

VIe kiezen

W

-=-

f

6

.

Hien-nee gaat (2.5) over Hl _{(slangetj es boven de variabelen 'Heggelaten)}

De oplossing van

(

2

.

9)

voor de snelheid V zal van de parameter

S afhangen:

We veronderstellen dat V onhrikl<eld kan vorden In een Taylor-reeks

naar de parameter

S

<£..1..

o\/(t1o)

- '- +---'Z.. ~ o'l. ~ (2.10) Noem \ k~ dan 'Iwrdt (2. 10) (2.11)

vaarin de funl<:ties VI<. (.l::) nog onbekend zlJn. De 'I'Teerstand hange af van

de snelheid en kan dus ook ontwikkeld worden in machten van £ VIe

bel<.ijken hlee gevallen, n .1. het geval dat de \'leerstand evenredig lS

.

met de snelheid en het geval dat hij evenredig is met het l<''Ivadraat van de snelheid.

2.2.1. Weer stand evenredig met de snelheid, \N-.:. c, v

Vergelijking

(2.9)

wordt

dJJ

-t

(to)

f

olt-

+

v=

(2.12) 1l1~f:

mV

'~11f nl'l Z ::: =- _'" TF TelV' ell

7.

He substitueren cle reell:.s (2.11) In (2.12) en nemen gelij~e machten van [ sarnen. Dit geeft

lV

o-tc

t )]

+

£

C

'::

-\- v I )

+-

£.. '- (

ct

_otic: VI +-v'-- ) -\- ... 0

k

Aan deze relatie vTorclt voldaan als \'le de coefficienten van

E.

(k

=

0,1,

2, ... ) gelijk aan nul stellen:

o . . .

o

orcle vergellJklng o . . . 1 orde vergellJklng (2.13) o o . . . 2 orde vergellJklng enz.

De 00 orde vergelijll:.ing is niets anders dan de quasi-stationaire

benaderil1g. De oplossing van deze vergelijking geeft Vo , die,

gesub-stitueerd in de 10 orde vergelijking, VI geeft. Dit herhaalt zich

vaor de 20 orde vergelijking, enz. (successieve approximatie).

Hebl)en ve n+l fUI'-ll:.ties VI,(-l:.\ (k= O,l, .. ,n) bepaald, dan vinden \ie

o

na substi tutie in (2.11) een n orde benadering van de oplossiag. ,.Je

noteren dit als voIgt

" k.

V

G:-

)

:=;

L

£. V

k

C

t )

k

=

0

+

_(2.14)

Het orde s;vmbool

0

(

£W'

)

("orde £\VI,,) is als voIgt gedefinieerd:

voor als

De limiet hoeft niet te bestaan. Voorbeelden:

Sw" 7.. £.

=

0

('i. ), maar ook >w,'Lt.= 2£

+

o-C'E.?)

V {

-

(t.

=

0-

0)

maar ook yW,

1

'0:

oC

q

0-

l'-{~)

_aCif£

_\

_U[;,)

(J

C

i )

,

limiet bestaat limiet bests.at

limiet besta3.t

limiet bestaat niet

Dit orde symbool geeft elus een lJovengrens aan (-I.rat orde, van grootte

betreft) van

~

(j..) als £. ,-';> 0 •

8

.

Opm. : gemakkelijl~ is aan te tonen dat bij overgang op de oorspronkelijl<:e

niet-dilllensieloze grootheden de parameter £ en de schaalgrootheden

uit de oplossing ver~Tijnen. Daarom hoeven de schaalgrootheden niet exakt vast te liggen.

We kunnen ons afvragen of de op de aangegeven W1Jze verkregen oplossing

nadert tot ele exal\.te oplossing van (2. 12) als ve de orde van de benadering

(het getal n in (2.14)) opvoer-en. De vraag is dus of de reelcs (2. 11)

convergeert naar de juiste oplossing. We zullen dit nagaan voor het geval dat de kracht

f

harmonisch met de tijd varieert,

.L

:o,

f

""elWt:

\ , kies en

T

-=.

_W I

De exakte oplossing van (2.12) luidt dan

De reeks (2. 11 ) ,vordt, samen met (2. 13) ,

, dan lS

L ~ 1. L

1;

,' -~ Lt

\:.Le + Ct.i..) e.. _~L)e. +, ..

(2.15)

De m~etlmndige reeks in de laatste ui tdrulds:ing convergeert tot de

exalde oplossing (2. 15) mi ts

(2.16)

dus als de tijdschaal van de veranderingen in de kracht groter is dan de relaxatietijd. We Imnnen met een l<:.lein aantal termen in de reeks

(2. 11) volstaan als (zie (2.8))

9

.

2.2.2. l.Jeerstand evenredig met het }nvadraat van de snelheid, IV::: c2. V \ V \

We beschom,en alleen het geval dat V

>

D , dan lS

(2.17)

He sUbstitueren de reel~s (2.11) in (2.17) en stel1en veer de coef'f'icienten

van E. k (

k-

=

0, 1 , ..• ) gelijJ( aan nul. Met

vinden ,}e dan

~O'.

v,}--f

(t) ='0 c

~:

d-vo -\_

"v v - 0 c.. '- 0 1 - cU;;-enz.

f

IlL geef't:

v

D =

geef't: v _,- _ _{- 2..V",}

1

civo:> _elk (2.18)

De ui tdruJ~kingen voor de funll:.ties V_k

Ct)

"lorden nu (door de niet-lineari tei t

van ·het probleem) al snel int!e,·rikkeld. Bet aantonen van convergentie

zoals in 2.2. 1 is dan ooJ( niet meer mogelijk. Het is echter nag 'I·rel

aannemelijl( dat de ont'l'lild(eling bruikbaar is als [.(.<::.l . Hel blijkt

uit (2.18) dat

-

f

niet te dicht b::'j nul mag liggen (

f

niet () (<Z) ten-rijl een afgel eide 0(1) is), orndat andel's de termen In de reeks te groot

,·rorden.

Als toepassing van het voorgaande berekenen ve de gemiddelde snelheid

van het licbaam voor bet geval dat de l<.:.racbt (:!"elatief langzaarn) fluctueert

om een gemiddelde \·marde, voldoende groter dan nul.' De bveeue orde benadering voor de snelheid luidt volgens (2.18)

0'2.

.

.

\

.

c

-

~l

f

flh _

_£

'L

f

.1-

₊

V=-

z:

+ ~

)

4f

f

'5,/,1...

8

(~h Middelen volgens

It,

~:=c ~ ~(-I:::)oU::-t..:;>cfo

-t-,

I 0

10. geeft

V::..

fit

-

~

l{ -e-'I

\

£

oCt

o

f1;,/1-Partieel integreren van de integraal :Levert na limietovergang

V ::.. fIlL

+

(2.19)

De 20 orde term stelt het gemiddelde voor van een grootheid (,marin

de invloed van de fluctuaties) die steeds positief is. De gemiddelde

snelbeid is dus .e;roter dan uit de quasi-stationaire benadering (Ii =

fh

zou volgen. Ret verschuiven van h~t gemiddelde is een algemeen

voor-komend verschijnsel bij niet-lineaire problemen. Bij lineaire problemen

treedt het niet op: ui t (2. 12) voor het geval met lineaire ,.,reerstand

volgt

Ii:::

f .

2.3. Kleine verstoringen or een bekende toestand. Stabiliteit

'Hij nemen nu bet geval dat de parameters in (2.5) beide van de orde

van grootte van 1 zijn en l\:iezen ze'daarom gelijk aan 1:

(2.20)

Jvlet de in bet voorgaande bebandelde asyrnptotische methode is nu niets

te beginnen. Stel ecbter dat vre een oplossing van (2.20) kennen:

met (2.21)

Vervolgens gaan ve na ,,,rat de invloed op de snelbeid is vail een kleine

vel' storing (t ~C\:)) £<:-<'.1) in de l\.racbt

fC-t).

(2.20) vordt dan

(2.22)

De snelheiCi ontl,rikJ.\.elen ,{e veer naar

E

(2.23)

Invullen in (2.22) en nul stellen van de coefficienten ll1 de machtreeks

- ---- - . . - . - - I~ -11. ~ 0: dJJK- ~ w lV-J.-L ')

_=-

\'b

)

dk

,

Zle

(

2

.

2

1

)

1

_O'vV

_,

1 _clw 'l.. \

d-

(~

)

I ,

_+-

_{VJ [ V~L [-l-)}

_j

V

\

:::. W:::

>0

clt-

oL

v

enz.

De eerste orde vergelijl(ing is lineair en kan analytisch I-lOrden opgelost.

Hetzelfde geldt voor de hogere orde vergelijkingen. Deze bewerking wordt

dan ook aangeduid als lineariseren van het probleem. Vaal( is de ongestoorde

toestand een permanente situatie.

Het lineariseren van een probleem uordt vaa1( toegel)ast om de stabili tei t

ervan tc onderzoeken. \~e lichten di t toe met een voorbeeld vaarbij de ]"racht

f

in

(2

.

22

)

niet van de tijd maar van de snelheid afhangt. (bijv. aandrijving door een scheepsschroef, of een gestuurd systeem waarbij de

~"racht momentaan wordt aangepast bij de gemet.en snelheid). In plaats van

(

2

.

22)

hebben we dan

De kracht f~-C-l:) vertegemroordigt de altijd aamlezige uihlendige verstoringen

op cle ]"racht

-f

.

He onderzoeken de stabili tei t van een eenparige be"eging, V::: V-'I\ Substi tutie van de ree1(s

(2.

23

)

geeft nu als 1 o orde _ vergellJklng . . .

(2.24)

He bekijken de responsle op een stootje, dat het systeem op

_t==

_o

ondervindt,

d

~

\

70 <S _{o -<. -t;-} L _6~

§fu

£i.e ) .6.-(; 6 I ::- 0 -t-:- -f 0 )

t'>

6-1:.

,6-\::-~ 0 -~ 6\:0

Voor

+>/..'lt

is

1

lt

)

=-o

en speelt dus aIleen de oplossing van de homogene

vergeli3king van

(2

.

24)

een rol:

Aan te tonen lS dat C(=

G

.

uit (2.25) blijkt dat de verstoring

uit-dempt (het systeem stalJiel is) al s

en dat de verstoring opslingert (het systeem instabiel is) als

12.

Voor het verl~rijgen van di t resultaat lS dus aIleen de oplossing van de

homogene storing~vergelijl~ing (2.24) nodig. Als het systeem instabiel lS

gaan al gamr de hogere orde termen in (2.23) een rol spelen.

Het op deze \vij ze verkregen l'esul taat i s voor di t eenvoudige geval ook

,·rel direkt in t e zien: als de snelheid op een bepaald moment toevallig

\-rat grot er Hordt dan v 1(: en de aandrijvende kracht f neemt snel ler toe

dan de veerstand \'J (

f

'

(V-x-)

>

w'

(VJ.f-) ), dan \wrdt het lichaam versneld,

de snelheid neemt verder toe, enz. De be\·reging is dan dus instabiel.

Bij scheepsschroeven l S

1

\v)

..(

D , dus de be\.reging stabiel .

2.4. Enkele algemene opmerkingen

.

---

f

Cv)

stabiel --~~,--~

-t

LV)

instabiel - ' - .

-1. Eij praktische toepassingen van asymptotische methoden \·rordt meestal

11.uL<U-

"

f

volstaan met eer0?"eerste orde beGe.dering, omdat het bepalen van

hogere orde vergelijkingen i. h. a. a1 gam! veel rekemverk gaat vergen.

2'. De convergentie van d.e gevonnde reeks kan meestal niet \vard.en

aan-get06nd, niet alleen omdat de 'Irergelijkingen t e inge\.}ikkelcl zijn,

13.

geval is vaak echter 'vel de afbree1dout, gemaakt door het meenemen van

slechts een beperkt aantal termen in de onhri1d\.eling naar de kleine parameter, klein als ook de parameter z~lf klein is. Zie bijgaande

figuren. Met dit verschijnsel hangt de aanduiding asymptotisch smnen.

l

afbreek-fout\

aantal termen in de ree1,-s dat 'Hordt meegenomen Convergente reeks jafbreek -foutl o o--"-j----; aantal teY'lIlen Divergente ree1\.s

De conclusie van apm. 1 en 2 lS dat om praktische en theoretische

redenen de ontwikkeling naar een parmneter all een zinvol is als de

parruneter 11klein" is. Hoe klein is moeilijk te zeggen , ' l i t 1wn bijv. volgen ui t een experiment, of door vergelijking met een exa1\.te

op-lossing voor een vereenvoudigd geval.

3. De vorm van de hier gebruikte reeks (2.11) (een zgn. reguliere ont -"Tikkeling) geeft niet altijd bruikbare resultat en. Bij sO;llmlge rand-vaardenproblemen bijv. is het nodig de II C 11

ook

in een van de onaf-han1<.elijk variabelen op te nemen (singuliere ontvikkeling) .

4

.

In de l"ee1<.s (2.11) is aangenomen dat de funkties V_k (1<

=

0,1, .. ) niet meer van £ afhangen. Strikt genomen is dit niet nodig, de enige

elS die aan de fun1<.ties V_k moet vorden gesteld, lS dat zij o( 1) :t.ijn. Als er dan n+1 termen worden meegenomen, wordt toch een nO orde be na-deting verkregeD.

(3.3)

(3.4)

(3.5)

b 7~. Vloeistofmechanica b.o. 1972

Toepassing van asymptotische methoden in de vloeistofmechanica

3.

~oepasBing op lange golven

Uitgegaan wordt van de lange-golfvergelijking in de volgende vorm:

Normaliseren van de variabelen9 analoog met §2:

Ll.::

U

.

.

iA.

?l..=L;(..

t~ "1-~

De vergelijkingen gaan dan over in:

dk

111 -

~c..

U.T

c..

~

~

'dr

+

TU.~

+

L

'"C}i...

)G:

-\-

UL

d"Q

U2..

-~~

"di:

~HT

"YE+

'J~

u.~

_"""

==

0,

TL

u'2.L

~ -+ c.2..'

r

z.

\r:!u.::O.

k

In deze vergeIijkingen zijn de volgende dimensieloze parameters te

onderkennen:

U \~

L

IL

H

We zullen in de eerste plaats kijken naar de eerste hrae parameters.

Deerste parameter is zoiets als het getal van Froude; dit getal kan in de buurt van 1 zijn,

of

veel kleiner dan 1; veel groter dan 1

kunnen we weI direkt uitsluitena

In

de tweede parameter komeu een

lengte en een tijdscaal voor ; als

L

een kwart golflengte voorstel t en Tear kwart golfperiode, dan is

LIT

de voortplantingssnelheid van de golf; al s we te maken hebben met een betrekkelijk kort kanaal

'kor_\ ' -'-_lJ .L _tJ" 0 ₀ --_{V •} de goHlengte) dan zal

t-

de lengte van het kanaal

voorstellen. Aangezien de voortplantingssnelheid niet veel groter

kan worden dan

V<j-H:)

kan Dole he't geval dat

L/T'@»l

direld

worden uitgesloten.

In het geval dat zowel

U/Vo,H'

~

1, als

L/T~H' ~

1 is geen van de belangrijkste termen te verwaarlozen, dus dit is uit een oo

(3.6)

(3.7)

(3.8

)

(3.9

)

(

3.

10)

(3.U»

Bekijk het volgende geval:

l./V7JH

«i

zeg

L/T'Ja.;~

'

~

i

v zeg

u / V--;;;t

=

£

L./T

\l')+f

=

1

Voor dit geval krijgen we de volgende vergelijkingen:

ppag. 3.2

In de bewegingsvergelijking is de orde van grootte van de laatste

twee termen voorlopig in het midden gelaten.

De variabelen

k

en

iA

worden 1m naa1' de kleine parameter ont-wikkeld:

~'"

-

i-l

_o

+

i:

"'-1

1-

£~

ka

+

...

l

u.

=

_U.o

?:::

U ₁

+

t. Ua. t ...

Subsiitutie van deze ontwikkelingen in de vergelijkingen is nu iets

moeilijker dan in het vorige hoofdstuk~ omdat verscheidene termen niet-lineair zijno Neem b.v. de term

:z

)

.

('J~

'dk

z'dk

)

.- (!..to

+

~

u.

_t

+

t.

U_z {-... ~1f

+

t clir,1

+

'...

~'l.

+

...

=

Op dezelfde manier

k

d~

k

dU.o

+

d~

..

~x.

-~~

= Ll

~

u..

dx.

0

~-i.

Veel lastiger is de weerstandgterm:

I

Li

l

iA

=

l

u.

_o

+?

IJ..,\

+

~2 u.~

+

...

.

\(

I.l..\~ ~

t.l.l,+

'i,'2. lA.;j:

+

...

.)

=

::::

lu.

o { Ue.

+ '[

.2

\

I..ta

\

l.(.1

+ ..

.

.. )

(30

1

6

)

(3.18

)

("7 _{\ .J •} C)_L.. O)

(3.21)

omdat _Llc 2

₊

_{f lAc; U'I, als}

... .1 ~~ I I . . als

- "'''0 ~ ~ '-"-0 "'" 1

I

lA.g

I

_""'0

+

1: ( _{14.0 \} 1.{1 "

Veel ,gemakkelijker is het als steeds U.

,>0

.

-2 ~ n " { ? \ .

u.

== Uo 4- d.iU.ctt1+~'" .u.;-+-2v."u.:t )-t .. , ...

Het resultaat is

I\i.~~=

~.I.\c>

4

t

(

zjl.(.o!

~'l

_ .

t

l..lQl

\40 "'-\

'J

+

k

11\0

!.t

o

h!

pag.3.3

li

>~ (ang, als

_""'0

_{'>" )}

\A.

<

0 (ong. als

u.

,,< (

. /

Deze ontwikkelingen van de afzonderlijke termen kunnen we oak ill

aIle volgende gevallen gebruikeno Verder is hat aIleen een kwesti0

van inv.llen in de differentiaalvergelijkingen. Vol gens het recept

van het vorige hoofdstuk ,,'orden dan cie coefficH1nten van elke mach-t

van £ afzonderlijk =0 gesteld.

De coefficiente& van fO zijn:

Stel dat Als nu \,(0 const.ant in de tijd zau zijn zou er Hog

weI cen mogelijkp oplossing 'oor dit stelsel te bedenken zijn; echter

een eenduidige oplossing is niet te vinden. Het feit dat dit stelGe]

vergelijkingen raoonelt, is een aanduidigg dat de combinatie van

dimensi,"l oz

lang zijn dat

lager is dan

parameters in fe .. te niet mogelijk _s. Golven die zo

~

~1,

he!Jb(

~

n

een vortplant ingssnelheid die veel C'''''H''

~

; elus dan zou

L

IT

\{~K«

l

zijn.

Er i s weI een opl osRlng mogelijk als

L

veel kleiner is.

, zeg

Dan blijft over als nulde-orde oplossing:

1

(horizontaal oppervlak)

Dit stelt een rusttoestand v~~r. Evenwel,

a

_o komt nu in de nulde

-orele vel'geli.ikingen uiat Ulcer voorp echtel' \{e1 in de eerste-orde

vergelijkingen~ die 11liden:

'dk

₁ "-, l

ko

~

+

u.~

-{-~

=0 ~ o ~1i.

~t...'\

+

d~

₊

,

\ u.J

1.4.(1 ()

dlt.

Je:

he>

-Iii erin zijn

k

en _lAo de onbekenden.

'\ De vergelijkingen zijn te herkl.-'lIn,'·

(3~22)

(

30 23

)

(

3.25

)

(

30 26

)

(3

.

27)

(

3.28)

rnderdaad is de voortplantingsi'lnelheid van een dergelijke golf

V(!f

Ui t het fei t dat Irt.~ en IA.@ samen in d: eers'lie-orde vergelijkingen

voorkomen. hlijlct dat de vari.aties in

t,,,

een orde kleiner zijn doll di e in

U.

bij di t type go 1 ven. De I Bernoull i-t.erm t ti J~ k omen "le

bij deze golven pas in de tweedc-orde vergelijkingen tegen.

3.3.

geval n~ komberging

Stel

~/~

«

.1 ) zeg

I.A/~

₌₌

_\[?

₎

en

LIT

Vfj1,.1'

«

1 i zeg

L/T\J~H'

=

\f?

.

De tweede voorwaardeu kan twee~rlei betekenis hebben; het kan zijn dat we met een kort kanaal (lengte

L

)

te maken behben; bet kan

ook zijn dat de voortplantingssnelheid laag i8~ In deze paragraaf

bekijken we het geval van een kort kanaal, en weI zo kort dat

I. zeg

Nu

ontxtaat 11eJ - volgende stelsel

dk

₊

~

'Jk

+

k

dfA.

-

0

d£

')i. ~ - I 'l!.

"dk

i- f:

~~

₊

~

-

~iA.

IL

£

lQllA. 0 ~i- ~ v.,. t ..

_t1;c.

--::-

-

_H

.I.-

~.:

.

Er zijn de volgende I'':WdVool',vaarden: voor x.=0 is

k

gegeven, VOOl'

i..=1, of

?t..=L

is gegeven u.:::O.

O-de orde:

~c

dE

+

u.

0'dj

aka

p:..

-+

I<"~o

',)

~ I.h>

-

o

p

~o

::::

IL

'dtt.

-H

Uit

(

3

.28)

is

k

o

op te lossen, gebruik makend van de randvoorwaar~c voor ~(..:); daarna is

lto

op te lossen uit

(3.27),

met de randvoo r-waarde 1Aj)(i)=Oo Het stelsel vergelijkingen staat bekend als k

om-bergingsgeval. Het resultaat is nauwkeuriger te maken door ook de

l-e orde vergelijkingen erbij te betrekken:

1b-t

+

'

\..t.

clk,

L "

~o

.L

k

~\A

1

l

~ ~Q

=-

0 •

dt

'0

'1fi:

.

....

...1 c)1t'" (\

.,Ix.

"f" 1 d)(. ,

~·t

-t

d~()

+

u.

~~

-l- (l.lol u.\l =: 0

~i. ~ ~

u

L'lo

Nu lost men uit (3.30)

k1

op, met randvoorw-aarde

ki(CI)

=0, en nit

(3.33)

(3.3

1

1

)

(3.35

)

(3

.

37

)

(3

.39)

3.40

geval C, hoo~vatergolf Evanals in

§3.3

i[3

\)../

\f¥f

«'\

L

I

T~

<,<1

zeg p zeg;

u /

V-"}H

::

\f?

L/T~

::;\{i'

Deze maal bekijken we golv~n met een zo grate lengte dat

!L. IA? L _~

_1.

-~ _{t{ ce~::.}

Siel

_U:::.

(: \fHi'

en

IL

:::

1

H

De nulde-orde oplossing voldoei aan

d.ho

1_ IJ.

~~

.

k

JI,.~

:::;0

df"

°ait.;

0 ')i.. I

d~o

_

1

-+

114,,~~

= () .

'd'i.

Q

Hei karakter van deze oplossing zullen W~ wat verder onderzoeken. Siel u. ..

kQ=q(l

en neem aan da-/:;

fA.

sieeds positief is. Dan

'dk"

+

~<>

=0

'*

11t

2-~~

-1+

~~

::::

O

da. \...~

De afgeleiden van

k

o

kunnen dieru1~

'"d2.l) -

d

~;

_

,..~~

0 ._

~o

5,0

~2 - --rr ~. - . 1. 1 ':'1-geelimineerd .., t ~i

+

~ cJ'''o _ ~11

'-st

,,1t. ~ en: i"<Q' . I:> ~t

::

~

_ Qs.'?

?jo _

~~?

d~o

"'" 0,

'J

'i.

'2 I-.i..}

e

~

~f.I-"

,,,orden •

Een analytische oplossing i s te vinden als we daze vergelijking

lineariseren~ wat er bier op neer komi dat we veronderstellen dnt

de cotiffici~nten in de differentiaalvergelijking konstant zijn9 stel hierin

u.~

en

~

(konstanten) in plaats van Uti en

~\()

0 Dus

,)'2.'.\0

~~:

c:

~

o

'5

~-' ~

r(

_

V

d'i.

2. -

~.

~

L

J{7

-t

~

1L

Lle

J1<..

')

-

'

Dit soort vergelijkingen komi in de mathematische fysica vaak ~oo~.

hetstaat bekend als diffusievergelijking; men komt hem tegen bij

warmtege 1 eiding en bij grondwater stroming, zij het in deze gevall en

zonder de term Ji1G/dii." Een van de mogelijke oplossingen heeft, de

V; ~/' ,

vorm

."

.

t:-

.;.f-.ex.t(~

...

(7C._

..

.

i:)

~); door substiiueren voIgt:

~

*'

_

u..~.

(u_2u..,t)

Ole =:- .". \

~

~

-~~--1 2.1'/ ~«'flI. *: '"

"

(J

.40

)

'1

Als de golflengte nog veel langer is, zal

Il/H

veel groter dan

1

worden. Vergo

(3034)

blijft van kracht, maar in plaats van

(3

.35

)

geldt

,

IL/H:::.1/'i..

Verruenigvuldig de bewegingsvergelijking met

e;

dan lui den de 0-e verge lijki ngE~n

~ho

'* -.-

-'-

u.

Jh

o •

~

';}u...

..

0 J,

Q ~.... 0

'd£

_1+

/v..oll..\./?._

0

,,~o

- ,

De term d~o(d'?<. is nu ui teraard vervalleno Als 'We '<leer de afgeleiden

van

kQ

elimineren, krijgen we

,

':)"0

I~i.

+

~

0.0

~9

,,

/~i:

==

0,

Als ook deze vergelijking ,,,ordt gelineariseerd

(u:

i. p. v. l.lo ), dan krijgen ,.,e

J.

_qo

=0 langs

J.~/J.t:: 1..(.,:.

"

;

di t zijn gol yen met onvervorm

-de voortplanting. Afvlakking van de golf treedt nu niet op, maar van

te voren was reeds de eis gesteld, dat golf al erg vlak ruoest zijn~ want

L

moest erg groot zijn.

Zonder lineariseren vinden ivB dat J,\o ==0 langs

ol')(.

/J

t

==

i

'

u.

_{o •}

(karakteristieken-methode, in dit geval met rechte karakteristieijen).

In fig.302 staat een voorbeeld van een dergelijke golfvoortplanting.

Doordat de helling van de karakteristieken afhangt van de snelheid (dus door het niet-lineair effekt) wordt de helling aan de voorkant

van de golf in de loop van de tijd steiJ.ert aan de achterkant flauw1n',

Dit laatste type golven vinden we ook als we niet meer veronderstel

len dat

u../\f<;H'

en

LIT

\[~H'

klein Zijll; het is voldoende al s

l,~) )

o ~ I

pag.}.7

Fig.3.2

3.5.

geval D, starre-kolom-geval

In dit geval bebben we een kort kanaal, d.w.z.

, zeg

en een tamlijk snelle stroming

, zeg

Nu

luiden de differentiaalvergelijkingen met

'i..

'dk

+

~

)~

+

u.

'de.

=0

'dt

d

x.

cl

it. ""\~

')-

'""-.

-

l '

U

2

_L

liAl~

~+

£

~'+u.~~_

~...J--

'

-

- - - = 0 , a 'X. ~t

dii.

H (~H ~l. '[;. ale O-d~ orde vergelijkingen:

t~ d""-o

+

loA

"d\..o

- (}

o d~ (>

dx

~ zodat

-d~"

.J.

u

du.o

II

u."L il(olu.

o

_

A

'Ji

r ~ ~ - ~4

+

c..

~ H '<l. ~-.- -....,.

c

Dit is gaheel ana]oog met het

starrr-kolom-geval bij waterslag.

Het treedts h.v. op in cen korte verhinding (met lengte

L

)

tussen

ee) lagnne en een zee lJlet getij.

_ _ _ •• L:::c .. .:..

b

74.

V10eistofmechanica b.o~

TOe12FlSsing van. asymptotische methoden in de vloe? stofmechani ca

4.

Afleiding van ~~ 1an.tr.e golfverge1i.:iJsing§!~~.9ussinesg-verge­

lijlcingen, de KorteHeg-·de Vries vergeli,-jkingl. alsmede enige

toe-~ssingeB-y'a~_deze vergelijki ngen

.4.L1~Me golfvergelijkingen

Een systematische afleiding van de lange golf vergelijkingen met

als uitgangspunt de al gemene bewegingsvergelijkingen is mogelijk voor:

a) twee horizontale dimensies, groot t.o.v. de derde, vertj.kale dimensie

b) ~6n horizontale dimensie, groot

t.o.v

.

de andere~ horizontale

dimensie en de v8rtikale dimensie

c)

~~n horizontale dimensie, groot t.o.v. de enige andere, vertikale

dimensie (twee-dimensionaa1)

Wij zu11en ons beperken tot geval c). De m~thodBn OlD de verge lijkin-gen in de andere gevallen af te 1eiden zijn ana100g aan die in

het beschouHde geval.

coBrdinatensysteem en grootheden x-as y-as p(x,y,t) u(x1y,t) v(x,y,t) ~(xrt)

hex)

~ g - horizontaal

- v8rtikaal, naar boven. toe positief

- druk

- horizontale snelheid

vertikale snelh~id

- "Iaterspiegel

- bodem

- dichtheid water

- versnelling t.g.v. zwaartekracht

Het water zal beschouwd worden als incompressibel, Hrijvingsloos

algemene vergelijkingen

'Ol-L 6V

= 0

~ -I'

_''CSj

cont. vgl.

(Euler ) "dlA. 0 l:; + L\. 6u~

ox

-+ V '?I~+ ~"'.:J J....

r

~ 'Of =:0 Q

du ... dV ,,>V ..L cip

1

co (.) 4- _{LA- "ax} i- v _{C j} -r c- 0'0 'f "a c 6'--'. 0 '-' 6.':) OA rotatievrijheid

De oplossingen van bovenstaande vergelijkingen mooten voldoen

aan de volgende condities aan de randen:

kinematische eOllditie

ort

d

,1)

1

'j::

-ell:

_+ LA..

Tx = v or'

aan oppervlakte

dynul11ische conlli tie

_'P

= 0 Of ~.'\ :::;

aan oppervlakte

kinematische conditie aan or

bodem

Vo or de vo 19cndo ni emve onafhankc lijke val' iabe len in:

y

_J. y

t:

X_. 1::

v'Jd'

L

'I

;v

I

L - kuraktcristieke horizontale lengtc(bv golflengte) d '"

"

vcrticule ,! (bv di epte)

Na substitutie van de niouwc vuriabelen in de vergelijhingen

4.1 tim 4.7 ontstnat (sterretjes wcggelaten)

-+ ~:::;o '0,::) i> l( " '-' () () .;.. u-- )x -+ v"O:l .+ ~ : = 0 =v (strctehing; paramctcl") .L/_ i Ll-2. L\ _-~ J-{-t'.j LI_ G L( ,

L

}<- L(. ~ f J.l' L ,f /-[·3 X

L

t·

~ ;'\- L-\.S' I· Ll, C, )< L/,7

I:~

4..3

Als <1'<:'<1 spreelet men van ondiep water theorie (shallo,,, ,vater theory).

Merle op,dit ar in fcite nog niets gebeurd is met de 'vergelijkingen 4.1 tim 4.7; zij zijn aIleen andel's geschreven.

De hier toegepaste wijze van normaliseren is afleomstig van Friedrichs (zie bv Stoker ,Water Waves).

Aan ~ lean nog een fysisehc betekenis worden geheellt;de para-meter referecrt aan de leromming van het oppervlak.

De volgende stap is,dat u,v,p en ~ naar maehten van ~ ont

-wikleeld worden volgens

lP

If

f

:.::

tot

(J' F \ t 0-'

i

'2 \-0' t j t

waarin f ,fo,f1 ,f

2 , ..• funeties zijn van X,y en t •

Dit lean gesubstitueerd ,,,orden in de vergelijkingen ~4.1 t/m*Ll.7.

Door te eisen ,dat de verzameling van termen nwt gelijke macht

van ~ gclijle is aan nul, kan het stelsel vergelijkingen a.h.w.

uit elknar gerafeld worden (successieve approximatie).

De oppervlaktecondities geven een probleem,d~ar het hier om een b0wegentie grehs gaat (y-eo~rdinaat\variabel),waar een bepaalde

betrekking moet gelden.

Bv. fO is gevonden als funetie van y,zodat de waarde op de over

-eenleomstige bcnadering voor de waterspiegel

1D

is fo(1~. In cerste orde benaderingisf= fO+ ~fl ,zodat de waarde van f

op de waterspiegel in eerste orde benadering 1=~o~if1Iwordt

~(lYj

v

tiJ'!11)'=

[.

0

(I\'L +\["",\,) -l

-:r,

(fr)vl-oll'\,)

..:: tn(!rlJ

1-1lf1')

U

'Q

/'

+

<Jr,

(n1J

{-

0(0-'2)

I c'j ~~/lla

Met andere woorden: op de waterspiegel wordt de functie

-waarda van f in eerste orde benadering gecorrigeerd met een

term

((11~.:i°.

Voor hogere orde benaderingen geldt iets soortgelijlcs.

Subtitueerd men de volgehde uitdrukkingen in He verge1ijleingen

F

4 •

5

t/

m l-ll.

7

l>l:~rJll.xlRl(gll:RNX~UX

u.(Il)o!-Q'"(\)\)

=

4 0 (1\10) t \)'1Yj

Cl"'?

1

I- (JUt

I "T'j 'j; "l;,

het volgende op

d U<:> oVo

- - 1 :=-0

p - 0

\ 0

-. 0 \ '

Uit x. If.lt

o

voIgt dat uO=uO

(

4,)

dit is ecn homogetlc horizontale

sllelheidsverdeling.

voIgt ~.anp lvIet tilt,70 voIgt ,flat

zodat

_Vo=

Deze resultaten gesubtituecrd in *4.2

0 cn 14.50 gevcn de volgen -de vergelijkingen:

= 0

4

.

I~ r

( (o",l ;r.~f~t5 vv-~l l. ) )f L(, ~ 0

D

it

zijn de gewone lange golfvergelijkingen.Normaliter is de

verhang-kracllt t.g.v. de bodcmhelling verdisconteer~ in de bcwegingsver

ge-lijld.ng i.p.v. zoals nu in de continuiteitsvcl'geJijking.IIet maer

gebruikelijke resultant kan bereikt worden door d~ x-ns

evem~ij-dig aan de bodem te leggen

l1.2 Boussinesq·-ve~i.ikinp;cn

De Doussines~-vergelijkingen zijn de vergelijkingen, di.B ontstaan

als op basis van de voorgaande afleiding de verschillende af

-hank~iljke variabelen ~~n orde nauwkeuriger worden bepaald.

De eerste orde termen van de vergelijkingen N4.1

tim

~4.7

geven de volgende uitdrukkingen:

o-LA

,

+-

'eN,

ox

oJ f17 1 _.

aer

_2>':)

o

_"--1"', lit , _~ cL~) +v) = 0 u

Q1'o

()1 ~ V'" _~

v,

'"0)( = ( I 'VtJ :=0 = 0

Uit.*4'~-1 is m,b,v ·y-J!.8 of te leiden,dat

[Vl~

=

-

~(';j'\1{ ~

-

'2 'j

~c?0 S~

-

'j

LlDB

-1-

u,

(x,

1:)

I

Om het rekenwerk te beperken wordt van nu af veronderstold,dat

de bodem horizontaal is (dh= 0 ).Dan voIgt voor riP to~ U~ ~Oe

Substitutie van doze uitdrukkingen in

*

4,3

1 levart een uit

-drnkJ(ing voor P1 :.

~p,

~

('-1+\.,)(

.

~!!..

-t U_o d(\.{o

_r?;yo

)'2}

u.'j J

l

Of. "01: 0)( L

\:0

x .

\- - - =-p--~

welke na integratie levert:

'1' \

-~

.

t (

Lj 1-

l,)

;'

F

-+

~

(>(

1

t)

J

~

('j

1

.

1)'F

waarin P1 een intogratieconstante is,die nog afhangt van x en t.

Snbstitutie van de tot nn toe vek~egen nitdrukkingen in vergelij

-Na 'tti tll'orldng levert dit do volgende vergolijking op:

[

_

",U,-

+lAo

;'"U:

,

.

6

t

'Ox

.~

OJ

X L{ 1,

>f "'-(, 2 ~

Vergelijking }'.-/1.l5 heeft de gedaante van een be,,'eGings.vergelijkillg

in U

l en Pl ,

1[ e t bell u 1 P v u n d eve r gel ij kin g e n )(ll. J 1

,!

l} •

5

1 ,)( 'l •

6

1 e n Y h.

7

1 i s

Ilet mogelijk een continuitcitsvcrgclijking af te leiden,

v 1 is op tc OV,

-- =

_o~ lossen uit fh,1 1 :

i(

lj~

u'

-

o"C{o ._

}:'U,

ox

3 '(l.><

functie van y is.

-

re

De integraticconstante C kan :1I.b.v. l 1_l.

₇

1 opgelost worden: voor

y==

-

h

is

v

:= 0 :=

n

6-'-Z, . C

, 'Ox -\

zoclat v

1 wordt:

De verschillencle resultuten gesubstitueercl in vergelijking ~.51

...

geven nu uitwerking de volgende continuiteitsvergelijking:

?\~-;;\I

.

P.',

0'1-',

0

7

T-

'oI'1() (r l'l"d LA, J (

I)

'

,-(

o

f

I.{ OF')

l-(fll

~

\"f

()

l{O

0,. ,. '2t t + l{ 0

'

0/

-+ vI..,

D7

oj

l'1

0

+

'./~)(

=

-

L A\ v-\-....

';)'t

1- v '<>, dO> 2. r ,1 'Ox +

.... 2 J J (}c{

.l ( )'2 ~o~ ' (~J .\ ~ ) . _ 0 ==-{-=:to

4- 'l.

n\ ()

t h (J, ' -T b , • ()i 3 '-= Vt.

In

de vergelij~ingcn komen ,naust U

o

en,Q ook nog voor U1

en PloEr zijn echt.er vier vergelijkingen heschikb<~ur, n.l, 101.9

begin- en rundvoorwaarden het stelael opgelost kan worden.

D~ moeilijkheid is cchter,dat het niet lJIogeli.ik is'de

",ater-spiegel en de horizontale snelheid te scheiden in respectieve

-lijk ~o ,1'1 en HO,U

l ,omdat ieder van de componenten onbclccn(l is. Deze mocilijkheid kan ",orden omzcild ,door te rekehcn loot de

(in y- richting) gcmiddelde snclheid en de ,.,cr!cclijl,e ,·raterspi.e

-4.6

Combineert men nu de verschillende vcrgclijkingcn volgcns: cont.vgl: vermeercler vgl )('/1.10 met. r.T'nHlalX 1-i.18 bew. vgl: vermcerder vgl ;<4.9 met cTmaal x h.15

Met behulp van ~ 4..19 en :;1'4..20 !cunnan u

O+Q'U1 en

10+

\lPl geHlimincercl worden uit bovenstaande vcrgelijkingen,Na (vrij

1 angdurig) ui twa rkcn krijgt men he t vo 1gende resul t.aa t vo or

de cont.i nu '1 tei t.sverge 1 i,iki nl1...~ _ _ ....

~

.

/12

()

Cl.Cl""\Il() = 0

~ + ·c)~

---

----

----4

In feite is dit resultaat nogal trivianl.Direkt toepassen vnn de massabalans op een moot dx geeft hetzelfde resultaat.

De b e,,,e g i ngsvo r go 1 ijlc i ng ",orelt:

[ ~ 6Cf -+

u..

~

dU Dx ;

-J11et

If e t r e c h t e r 1. i cl i n v g 1 'f. 4. • 2

3

i s ve r d ,; e n e 11. e n a. h . "'. \IT e e r t e

voorschijn gekol1lcn in vgl, ,: l1,211.1n clit l1c1':hbnilid zi.in

l'YLo

en U

o

vervangen cloor resp.

ilL

en u . In de ordc van benadering

is dit korrekt.

I;c'll' vgl. j( l1.2/± te vermenigvuldigen met h+1. en dan te vermeel'

-deren lUet. u maal de continuj:-~,e i tsverge 1 i,iki ng, lean de impul s

-Een dergelijke vergelijleing lean ook ,y-orclen gevondenfdoor direkt

de impulsbalans toe te passen op een moot dx.De mcest rechtse d

term onder ()-" zou cchter nict knnnen wOl'dcll hepaald. Zoals deze

nu hier g;evonclen i8, breng;t deze t.erm de inltolllol~enc horizontalc

snclhcidsverdeling en de niet-hydl·ostai.ische drukvercleling in

4.8

"Lj

In het algemeen Hord t in vgl

4.24

aIleen de term .!J12 in b erekenin-J o

t\j)!:-gen meet\j)!:-genomen; de overige,niet-lineair~ termen in het rechterlid

worden dan verwaarloosd. Ook dan zijn de oplossirigen van de

ver-gelijkingen

4.23

en

4.24

gecompliceerd. Om een belangrijke

eigen-schap van het beschouwde stelsel te demol1stre6ren zal nog verder

gelineariseerd worden en een harmonische oplossingen beschoU\vd

worden.

Het gelineariseerde stelsel is

Elimineer

hl. ~w/;

Beschouw oplossing van de gedaante u=~~e ,en su~titueer in

bovenstaande vgl. Het resultaat is een gewone tweede orde .

differentiaalvgl

1-,,-_ _ W _ _ _

u..

~

:::-

0

~h_

3-

(,I,)·~rt..

die als oplossing heert

met

De volledige oplossing v~~r u stiLl t tVlee ,l rp:mde golven voor,

welke zich in tegenstelde richting voortplantell. De voortpl

antings-snelheid van deze golven is

C' c:::: tV

₌₌

Dit resultaat komt overeen met de eerate termen in de

reeksont-Vlikkeling voor de voortpl antingssnelheid van de Korte golf

1..

C

=

~

[

~

-

j

l'I?Y

+

..

.

] i1

I

I <. I '2.

~)_

yLV

h

Het resul taat v~~r de voortplantingssnelheid va or een l opende golf

geeft aan, dat deze afhankelijk i s geworden van de frequentie. Met

andere woorden: als een willekeurige golf beschouwd wardt, dan zal

Dit verschijnsel &oemt men frequentie-dispersie.

Zoals reeds bekend is bij de normale lange golf vergelijkj.ngen de

vo

~r

tpl

~ntingssne

lheid

van een bepaalde constante 'hoogte-tvan een

translatiegolf gelijk aan

Dit impliceert, dat een willekeurige translatiegolf vervormt; de

voorkant wordt steiler, de achterkant flauwer. Dit verschijnsel

heet amplitude-dispersie.

Concluderend kan dus gesteld worden, dat de Boussinesq-vergelijkingen

z()Vlel amplitude als ffquentie-dispersie van translatiegolven toe

-laat. De vergelijkingen kunnen gebruikt worden in gevallen, Vlaar

de verschijnselen zich nog ongeveer met

\'jV

voortplanten, maar reeds

zodanige snelheden in verticale richting met zich meebrengen, dat

de gevolgen daarvan niet langer verwaarloosd kunnen worden. Enkele

voorbeelden hiervan zullen in het volgende hoofdstuk behandeld

worden.

80

Korteweg-de Vries vergelijking

Een belangrijke klasse van problemen wordt gevormd door die gevallen,

waarbij de gol yen prakti sch de voortplan tingssnelheid he b'oen VEJ,n

y;I;""7

~'

maar weI vervormen door relatief zwakke effectenf

"0

~~& {l)l?~.\t.~{,sL-\.v"\~)

~z.oals bv door de convectieve versnellingsterm (

U

1;'

)'lin de - -

-beViegingsvgl en de

ter~

U~?

in de cont.vgl. Bijzondere oplossingen

k

zijn dan Heel' de stationaire (\1i(l,{; Van vorm veranderen(~) cnoi aale

en so111;aire golf (eenlinggolf), in \velke gevallen

It-''-o ,

8.1s met

de golf meebewogen wordt. Deze golven hebben een eindige hoogte en

een constante voortplantingssnelheid. Deze oplos~ingen kunnen

ui t de Doussim~sq-vergelijkingen afgeleid \vo~'rJ.en. Ret nul

eC\I~r

stellen van

1l

in deze vergelijkingen geeft"Ynlet U:':::'8r.t cie ge\'lenste

resultaten, daarvoor moe ten verdere vereenvoudigingen Vlorden ingevoerd.

Om de benodigde vergelijkingen af te lei den zal ~ebruik worden

gemaakt van de eigenschap, dat de verschijnselen slechts langzaam

veranderen, als met de golf wordt meebewog~. Dit impliceert een

grote tijdschaal. Daze was oorspronkelijk ~ en za] nu een orde

I -

Viii

groter ges t eld Horden 1 nl _-_ ,zoda t 0

'i1fjJ

L7f-t: ::::

waarmee de Doussinesq-vergelijkingen overgaan in (streepjes boven

4. 10

met nu

Go

-

[

~~

)

In het vervolg zal verondersteld worden, dat

Er zal worden onderzocht of er oplossingen mogelijk zijn van de

gedaante

Lt.::: (.(o·/- J::lL/ + f''2.ll.

L

+

~

::>

2:~

1

-1-

<c

"2.

~'1-Dulde orde termen

(

CO

)

constant (afhankelijkheid van de tijd

zal buiten beschouwing blijven)

eerste orde termen ((')

~ ~

.f-

h

~~L

~

D

l

~~

D!{/ 1-

V

~ ~

=-

0

)(

bY.

Uit deze vergelijkiU.gen voIgt direct

(

lo::.:t

\

!f;

m.a.H. in het nu gebruik·

te co6rdinatenstelsel (vaste oorsprong) moet in nulde arda benadering

het water stromen met de kritische snelheid of voortplantin

gs-snelheid van sen golf met infinitesimale hoogte. Dit karnt oversen

met een beschouwingswijze waarbij met de gol f meebewogen Hordt. In

het vervolg zal het -teken worden aangehouden. Verder kan worden

afgeleid door integratie en differentiatie

(geen additianele

functie van de tijd)

1:. <., .?l'l

J.)oor vgl

4.30

te vermenigvuldigen met l~,,_\\h en dan af te trekken van

vgl

4.29

kunnen de termen

;~t

en

~t

geelimineerd Horden. Door

verder steeds gebruik te maken van vergelijkingen

4.2

7

en

4.28

voIgt

'o

q,

A

s;{

j J

7

'"d

~

I

<r

~

.f.. . - I

_+-

₌

D

OC

1.

v

-

_h

ox

1;;-

_O}(~ .)f. ll. J I

L .... ~·

4.11 en is zwak niet-lineair door de tweede term in het Ij.nkerlid. In de gehanteerde beschouwingswijze moet deze beweging gesuperp

o-neerd Harden op een hoofdstroom met snelheid U·o=---Vh. Door een

I

transformatie t = t en xl= x+u t/ kan de hoofdbeweging ge~limi­

o

ll-neerd worden. Het resultaat wordt dan ( ~l ge§limineerd door over

te gaan op niet-dimensieloze grootheden)

~

+-

\(h

(I-}-

.:!.!L

)

!tL

-+-

Jr'V;~

h

'"

l}t

:;

D

'Oc

f c.!'l DX b q ) )C<J

Uitgaande van vgl 4.32 kunnen oplossingen voor stationaire

golven bopaald Horden. Dit houdt in, dat, a18 we met de golf

meebeHegen de golf niet van vorm verandert. Dus voer meebewegend

assenkruis in en stel dan de afgeleiden naal' de tijd gelijk aan nul.

I ~

=

)(

-",aarin voortplantingssnelheid

f

\f;;\;

(door ein

Hiermee gaat vgl

4.32

over in digeO golfhoogte)

E~nmaal integraren geeft

d

l~

+-

~

rt

_.

.-f.

~

7

+-

C

₁ = 0

d\(

1.

1..h

h

"l.

l]

jh

. ~'JJ

lntegr. const.

Een oplossing van daze vgl is

O(~'h~/) maar in praktische gevallen b)7' .. h-)~ t

"marin c\li(~)(I~o'\) de cnoidale functie met IT! als parameter voorstelt.

Zie voor verdere betekenis de toelichting (blz 12a).

Tweemaal differentieren geeft

d

1.11

LL-

' )

"'!.. (1

1

~

-

J"

Q cG _ IHI') -+-

':t

(I

~ 1.~'11 C\"

(c

h

j

h-»

)

1- J

m

c/" (c!>t{hl ) t

c:il{1. . .J

Substi tutie in vgl

4

·

.33

en nul stellcn van coefficienten van

geJ.ijke machten Van Cl1tolh:\\·.,)geeft

Q -==

!i.

hi tJ~

-

~)

.3

4.12

Elliptische functies van Jacob~

Van de verschillende elliptische functies van Jacobi gebruiken

we sri

z

;

cn z en dn z. Deze functies kunnen worden gedefinieerd

als

Ylaarbij

bi;j zander gcwal ~h'-afgeleiden relaties I

dn

~

_

[1

_

\tvj"

sv..:1.ep]

7.:

D

4.13

Vt>\~

Het bijzondere geval m = 0, ~ ~Q~~~K ; dit is direct te zien door rechtstreeks substitueren in vgl

4.33.

Het bijzondere geval m ~ 1, geeft de solitaire golf

vO.Q.Ttplan tir!.gs sne Iheid

C

~

c-l-

~

==

.,\~l

-

't

u~.~

1)

~~¥

+

¥

':::

~

Vih'

(/

.j

.

i

·

:)J

~~

I

..

fo

)

~ ~?

'(

I

~

_

,"~_

J

,

-~

) .,

Merk op, dat deze voortplantingssnelheid C

<

IA+

\

JO

'

,w..)\

\'Iant deze i s maximaal voor de solitaire golfs n1

, golflengte

r

hl

)

:l..

_

_

_ ----=-J _ Q.

~

-

e

y 1-.

k<'

'11

Aan deze be trekking is ~oed de niet-lineairiteit van de oplossing te zien. Bij constante gol flengte L, verandert bij varierende amplitude de golfvorm (via m).

(), ,<. '

De verleiding is groat om _{~ \ (} ._) als ~ te besGhouwen. TIit i8 echter

,

niet juist, daar de karakteristieke lengte korter is. Dit is voural duidelijk in het speciale geval van de solitaire golf9

WI"" })

k

c Ct>

Stokes (andere parameter,l) cnoidale

!

801i taire golf I golf I" ' ( ,- - J 1'10

'I

so

- -;0>0

I

,

I 1

~

r

I ' , ;; i ~ ~ ' , ~

:~I

~

'

~

I/) , ;/ i /

/

1

~

-77' '

.- --'

~

'I

Golvende waterspromg

Wij willen nagaan, hoe de vloeistofstroming zich gedraagt bij

de volgende beginto~stand

1(

:-:'0

)

",

Q

1

{)(ID ) -: 0 !JDbr X >0

4. 14

\-/e veronderstellen, dat

f'<;

'

s zodat He kunnen lineariseren. De

golf zal zich ongeveel' met een snelheid

¥'

voortplanten, zodat

we zullen uitgaan van vgl.

4.31,

welke in niet dimensieloze vorm

is _{met snelheid}

~

=D

D/:

~h1

)

~

~

1-1fii:

h'-In principe is een Laplace (Fourier) transformatie aangewezen om

tezamen met de beginconditie dit probleem op te 1088e11. De terug

-transformat~e is echter niet eenvoudi~. Daarom zal een enigszins

andere oplossingsmethode worden gebruikt.

Voer in de nieuHe onafh. variabele

L..=

x

{

,

P

en stel waarin

p

nog geschikt gekozen kan worden.

De afgeleiden in vgl

4.

34

gaan over in

zodat de d.v. over gaat in

),{ ( - J

r

~

_

/

3.

t

- 17.. /' ch .. J

Kies ~ zo, dat

t

verdwijnt, dus

of of

~:Jt

_

~

.

d!2.

=

~

e;-17.3

:J

/

,

d<.. met met

Aan deze vgl is te zien, dat, als

en do i.v. wordt

W,>

0 (JIAI.l G> 0 ) )(). 0 ) \;J

<

0

(

t.L<..w

'?-

<

0 J k

(0

)

(dalencle) e-mach ten

oGcillaties

I

4.15

Zender de verdere oplessillg te kennen, kan dus nu al

gecon-stateerd worden, dat een dergelijke oplossing overeenkomt met

hetfysische verschijnsel. Achter het front zullen oscillaties

(golven met kortere golflengte, die zich langzamer voortplanten)

optreden, voor het front niet.

Vgl

4.35

is van het zgn Lommeltype. Een oplossing, die tevens

aan de beginvoorwaarde voldoet is

Haarin Airy-functie voorstelt (zie figuur)

Integratie naar

W

van bovenstaande uitdrukking geeft

(i.:)

7

=

(1

J

A

Lt\

\,~

)

c:I\\)1

\J>../

waarin de grenzen v~~r integratie zo zijn gekozen, dat aan de

4.16

Merk op, dat de vorm van dit golfstysteem in fei te niet verandert.

In het begin, t

=

0, is het hel e systeem samengeperst op x

=

O.

Met toenemende tijd wordt het golfsysteem steeds verder uitgerekt,

maar de hoogte verandert niet. In een x- t diagram kunnen dus

krommen getekent worden, waarop de golfhoogte constant is

In het hieronder geschetste dia~ram wordt niet meer met het

golfsysteem meebewogen. J.P~Th. Kalkwijk nov. 1972 \ \

,

h

"

\

"

\

\

\

"

' -

'-x

"

"- '- "-"-

'-,