Fizyka I (Mechanika) Wykład VI:

Zasady zachowania

Fizyka I (Mechanika) Wykład VI:

• Zasady zachowania energii i p ˛edu (przypomnienie)

• Zasada zachowania momentu p ˛edu

• Zderzenia elastyczne

• Układ ´srodka masy

Zasada zachowania p ˛edu

II zasada dynamiki d~ p _i

dt = ~ F _i ^Σ

dp 2 1

2

4

3

dp 1

dp

dp ₃

4

izolowany układ inercjalny

P˛ed układu

Prawo ruchu układu:

F ~ _tot = ^X

i

F ~ _i ^Σ = ^X

i

d~ p _i dt

= d dt

X i

~ p _i

F ~ _tot = 0 ⇔ ^X

i

~

p _i =

Dla dowolnego układu izolowanego, suma p ˛edów wszystkich elementów układu pozostaje stała.

I odwrotnie: je´sli suma p ˛edów jest stała to

całkowita siła zewn ˛etrzna jest zero

Praca i energia

Energia potencjalna

Siła F ~ (~ r) jest zachowawcza (konserwatywna), je´sli praca przez ni ˛ a wykonana zale˙zy tylko od poło˙zenia punktów pocz ˛ atkowego (A) i ko ´ncowego (B)

⇒ mo˙zna j ˛ a wyrazi´c przez zmian ˛e energii potencjalnej

W _AB =

Z B

A

F ~ (~ r ) · d~r = E ^p (~ r _A ) − E ^p (~ r _B ) = −∆E ^p

Siła zachowawcza nie mo˙ze zale˙ze´c od czasu ani od pr ˛edko´sci.

Zwi ˛ azek siły i energii potencjalnej:

F ~ = − ^∂E _∂x ^p , − ^∂E _∂y ^p , − ^∂E _∂z ^p

!

= −~ ∇E ^p (~ r)

Znajomo´s´c potencjału siły zachowawczej jest rownowa˙zna znajomo´sci samej siły.

Energia potencjalna jest okre´slona z dokładno´sci ˛ a do stałej, istotne s ˛ a tylko jej zmiany.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii

Praca siły zachowawczej F ~ (~ r) pomi ˛edzy A i B wyra˙za si ˛e przez energi ˛e potencjaln ˛ a

W _AB =

Z B

A

F ~ (~ r ) · d~r = E _p ^A − E p ^B

Z drugiej strony, praca siły działaj ˛ acej na ciało zmienia energi ˛e kinetyczn ˛ a:

W _AB = E _k ^B − E _k ^A

⇒ E _k ^B − E _k ^A = E _p ^A − E p ^B

⇒ E _k ^B + E _p ^B = E _k ^A + E _p ^A

⇒ E = E _p + E _k =

W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana.

Zasada zachowania energii

Wahadło balistyczne

Pocisk o masie m wbija si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a ~ v ₁ w nieruchome wahadło o masie M

V

m M

V

Pr ˛edko´s´c jak ˛ a uzyska wahadło mo˙zemy wyznaczy´c z zasady zachowania p ˛edu (zderzenie całkowicie nieelastyczne)

~

p _i = m~ v ₁ = (m + M )~ v ₂ = ~ p _f

⇒ ~ v ₂ = m ~ v ₁

m + M

Zasada zachowania energii

Wahadło balistyczne

Wahadło wychyla si ˛e na wysoko´s´c h: energia kinetyczna zamienia si ˛e na potencjaln ˛ a

V

h

Z zasady zachowania energii: (przyjmujemy, ˙ze w poło˙zeniu pocz ˛ atkowym E _p = 0) E _i = E _k = (M + m)v ₂ ²

2 = E _f = E _p = (M + m)gh E _k = 0

⇒ h = v ₂ ² 2g

Pocz ˛ atkowa energia kinetyczna wahadła NIE jest równa energii kinetycznej pocisku!!!

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Siły centralne

Je´sli układ ciał (lub pojedy ´ncze ciało) działa jaka´s siła zewn ˛etrzna F ~ _tot 6= 0 to p ˛ed układu musi si ˛e zmienia´c: ^P p ~ _i 6= const.

Siły które działaj ˛ a na układ cz ˛esto s ˛ a

siłami centralnymi - działaj ˛ a w kierunku ustalonego ´zródła siły.

Je´sli poło˙zenie ´zródła przyjmiemy za ´srodek układu ⇒ F ~ _tot = F (r, . . .) ·~i ^r Przykład:

• siła grawitacyjna F (r) = −G ^m

_r

^m

• siła kulombowska F (r) = ^Q

^Q

4πǫ

r

• siła sp ˛e˙zysta F (r) = −k · r

Czy mo˙zna co´s “uratowa´c” z zasady zachowania p ˛edu ?...

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment p ˛edu

Zdefiniujmy dla punktu materialnego:

L ~ = ~ r × ~p ⇐ moment p ˛edu wzgl ˛edem O zale˙zy od wyboru pocz ˛ atku układu

Dla v ≪ c

L ~ = m ~ r × ~v L = m r v sin θ

Kierunek wektora momentu p ˛edu jest

prostopadły do płaszczyzny ruchu,

zwrot z reguły ´sruby prawoskr ˛etnej

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment p ˛edu

Ruch po płaszczy´znie:

L ~ = m ~ r × (~v ^r + ~ v _θ ) L = m r v _θ

⇒ L = m r ² dθ

dt = m r ² ω

Przypadek szczególny:

ruch po okr ˛egu - r=const

Zdefiniujmy moment bezwładno´sci I = m r ²

(dla punktu materialnego)

⇒ moment p ˛edu mo˙zemy przedstawi´c w ogólnej postaci

L ~ = I ~ ω

ω - pr ˛edko´s´c k ˛ atowa

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment siły

Definiujemy analogicznie do momentu p ˛edu

M ~ = ~ r × ~ F ⇐ moment siły wzgl ˛edem O Z II zasady dynamiki

d~ L

dt = d(~ r × ~p) dt

= d~ r

dt × ~p + ~r × d~ p dt

= ~ v × ~p + ~r × F ~

= 0 + M ~

M ~ = 0 ⇔ L ~ =

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Cz ˛ astka swobodna

Moment p ˛edu wzgl ˛edem dowolnego punktu 0 pozostaje stały:

L = m v r sin θ = m v b =

b - parametr zderzenia

odległo´s´c najmniejszego zbli˙zenia do O

Siła centralna

Moment siły: (wzgl ˛edem ´zródła) M ~ = ~ r × ~ F

= ~ r ×~i ^r · F (r, . . .) = 0

L ~ = const

Moment p ˛edu, liczony wzgl ˛edem ´zródła

siły centralnej pozostaje stały.

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Pr ˛edko´s´c polowa

Pole jakie wektor wodz ˛ acy punktu zakre´sla w jednostce czasu: ^dS _dt

dθ

r dθ

Ο

Y

X

V

r F

dS = 1

2 r rdθ = 1

2 |~r × ~ dr | = 1

2 |~r × ~v| dt

II prawo Keplera

dS

dt = 1

2 |~r × ~v| = L

2 m =

planeta

Slonce

V V

V₃

2

1

X Y

W ruchu pod działaniem sił centralnych

pr ˛edko´s´c polowa jest stała.

Zderzenia

Poprzednio rozpatrywali´smy zderzenia ciał z punktu widzenia zasady zachowania p ˛edu (i momentu p ˛edu)

zasada zachowania p ˛edu jest zawsze bezwzgl ˛ednie spełniona

Czy zachowana jest energia kinetyczna ?

TAK

- je´sli działaj ˛ ace siły maj ˛ a charakter zachowawczy siły kulombowskie, siły sp ˛e˙zysto´sci

∆E _p = 0 ⇒ ∆E _k = 0

NIE

- je´sli mamy wkład sił niezachowawczych

w wyniku zderzenia nast ˛epuj ˛ a trwałe zmiany

(np. odkształcenia) w zderzaj ˛ acych si ˛e ciałach

Zderzenia

Zderzenia spr ˛e˙zyste

Przypadek jednowymiarowy:

V

V =0

M

M

V’ V’

M

M

2

Z zasad zachowania:

po przed

p : m ₁ V ₁ ^′ + m ₂ V ₂ ^′ = m ₁ V ₁ E : m ₁ V ₁ ^′2

2 + m ₂ V ₂ ^′2

2 = m ₁ V ₁ ² 2 Przekształcamy:

p : m ₂ V ₂ ^′ = m ₁ (V ₁ − V 1 ^′ ) E : m ₂ V ₂ ^′2 = m ₁ (V ₁ ² − V ₁ ^′2 )

= m ₁ (V ₁ − V 1 ^′ )(V ₁ + V ₁ ^′ )

⇒ V ₂ ^′ = V ₁ + V ₁ ^′ ⇒ V ₂ ^′ − V ₁ ^′ = V ₁

warto´s´c bezwzgl ˛edna pr ˛edko´sci wzgl ˛ednej przed i po zderzeniu jest taka sama

Zderzenia

Zderzenia spr ˛e˙zyste

Przekształcaj ˛ ac dalej otrzymujemy:

m ₂ (V ₁ + V ₁ ^′ ) = m ₁ (V ₁ − V 1 ^′ )

⇒ V ₁ ^′ (m ₁ + m ₂ ) = V ₁ (m ₁ − m 2 )

Ostatecznie:

V ₁ ^′ = m ₁ − m 2

m ₁ + m ₂ V ₁ V ₂ ^′ = 2 m ₁

m ₁ + m ₂ V ₁

Przypadek szczególny: m ₁ = m ₂

⇒ V ₁ ^′ = V ₂ = 0 V ₂ ^′ = V ₁

Zderzaj ˛ ace si ˛e ciała “wymieniaj ˛ a si ˛e” pr ˛ed-

ko´sciami; rozwi ˛ azanie słuszne tak˙ze w przy-

padku V ~ ₂ 6= 0

Zderzenia

Zderzenia spr ˛e˙zyste

m ₁ > m ₂

Masa “pocisku” wi ˛eksza od masy “tarczy”:

Otrzymujemy: V ₂ ^′ > V ₁ ^′ > 0

Przypadek graniczny: m ₁ ≫ m 2

⇒ V ₁ ^′ = m ₁ − m 2

m ₁ + m ₂ V ₁ = V ₁ V ₂ ^′ = 2 m ₁

m ₁ + m ₂ V ₁ = 2 · V 1

“Pocisk” nie zauwa˙za zderzenia

“Tarcza” uzyskuje pr ˛edko´s´c 2 · V 1

Po zderzeniu oba ciała poruszaj ˛ a si ˛e w t ˛ a sam ˛ a stron ˛e.

Zderzenia

Zderzenia spr ˛e˙zyste

m ₁ < m ₂

Masa “pocisku” mniejsza od masy “tarczy”:

Otrzymujemy:

V ₁ ^′ = m ₁ − m 2

m ₁ + m ₂ V ₁ < 0 V ₂ ^′ = 2 m ₁

m ₁ + m ₂ V ₁ > 0 Pr ˛edko´s´c “pocisku” zmienia znak

⇒ “pocisk” odbija si ˛e od “tarczy”

Przypadek graniczny: m ₁ ≪ m 2

⇒ V ₁ ^′ = −V 1

V ₂ ^′ = 0

Spr ˛e˙zyste odbicie od

nieruchomej “´sciany”

Zderzenia

m ₁ ≪ m 2

“Tarcza” oddala si ˛e od “pocisku”

(“´sciana”)

“pocisk” traci energi ˛e

“Tarcza” przybli˙za si ˛e do “pocisku”

(“´sciana”)

“pocisk” zyskuje energi ˛e

Mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) si ˛e gazu przy rozpr ˛e˙zaniu (spr ˛e˙zaniu)

Zderzenia

Zderzenia centralne

Do tej pory rozpatrywali´smy tzw.

zderzenia centralne, dla których

“pocisk” trafia w sam ´srodek “tarczy”

parametr zderzenia (odległo´s´c mi ˛edzy pierwotnym torem pocisku i

´srodkiem tarczy) b = 0

Zderzenia nie centralne

W przypadku gdy b 6= 0 zderzenie trzeba rozpa- trywa´c w dwóch wymiarach:

V

V

V’

V =0

1

2

1

Θ

Θ

1

2

b

x y

Wci ˛ a˙z nie jest to sytuacja najbardziej ogólna!

Uwzgl ˛edniamy rozmiary pocisku i tarczy, ale traktujemy je jako punkty materialne,

zaniedbujemy ruch obrotowy (wirowanie, toczenie).

Zderzenia

Zderzenia nie centralne

Znajomo´s´c mas m ₁ , m ₂ i pr ˛edko´sci pocisku V ₁ (V ₂ = 0) nie wystarcza do wyznaczenia pełnej kinematyki zderzenia (pr ˛edko´sci i k ˛ atów rozproszenia: V ₁ ^′ , V ₂ ^′ , θ ₁ i θ ₂ ) !

⇒ mo˙zemy ustali´c b, ale wygodniej ustali´c jeden z parametrów rozproszenia np. k ˛ at θ ₁ Przyjmijmy, ˙ze rozpraszanie zachodzi w płaszczy´znie XY

V

V

V’

V =0

1

2

1

Θ

Θ

1

2

b

x y

Z zasady zachowania p ˛edu:

po zderzeniu przed

p _x : m ₂ V ₂ ^′ cos θ ₂ + m ₁ V ₁ ^′ cos θ ₁ = m ₁ V ₁ p _y : m ₂ V ₂ ^′ sin θ ₂ − m 1 V ₁ ^′ sin θ ₁ = 0

Dla zderze ´n sp ˛e˙zystych mamy te˙z:

E _k : m ₁ V ₁ ^′2

2 + m ₂ V ₂ ^′2

2 = m ₁ V ₁ ²

2

Zderzenia

Zderzenia nie centralne

Je´sli masy zderzaj ˛ acych si ˛e spr ˛e˙zy´scie ciał s ˛ a równe m ₁ = m ₂ ⇒ zagadnienie bardzo si ˛e upraszcza

V

V’

V

Θ

Θ

Θ

Θ

Z zasad zachowania:

V ~ _′1 + ~ V _′2 = ~ V ₁ V ₁ ^′2 + V ₂ ^′2 = V ₁ ²

⇒ wektory V ~ ₁ , V ~ _′1 i V ~ _′2 tworz ˛ a trójk ˛ at prostok ˛ atny.

θ ₁ + θ ₂ = π

2

Zderzenia

m ₁ = m ₂

Fotografia zderzaj ˛ acych si ˛e kul:

V ~ _′1

V ~ ₁

V ~ _′2

Zderzenie proton-proton w komorze p ˛echerzykowej:

niska energia padaj ˛ acej wi ˛ azki

⇒ dynamika nierelatywistyczna

Zderzenia

m ₁ = m ₂

V’

V’

b=2R b=0

b=0 b=2R

b=R

b=R

Stan ko ´ncowy pocisku i tarczy zale˙zy od parametru zderzenia b

• b = 0 ⇒ zderzenie centralne V ~ _′2 = ~ V ₁

V ~ _′1 = 0

• 0 < b < 2R ⇒ zderzenie nie centralne, ciała “dziel ˛ a si ˛e”

pocz ˛ atkow ˛ a energi ˛ a i p ˛edem

• b >= 2R ⇒ brak zderzenia (kule mijaj ˛ a si ˛e)

V ~ _′2 = 0

V ~ _′1 = ~ V ₁

Układ ´srodka masy

Układ izolowany

Izolowany układ wielu ciał:

m m

m m

CM

V ^CM

p

p

p

p

1

4

2

układ inercjalny Zasada zachowania p ˛edu:

P ~ = ^X

i

~

p _i =

Srodek masy ´

Klasyczna definicja poło˙zenia ´srodka masy:

R ~ =

P i m _i ~ r _i

P i m _i

⇒ ´srednia wa˙zona z ~ r _i (z wagami w _i = m _i ) Ruch ´srodka masy: m _i =const

V ~ _CM = d dt

R ~ =

P i m _{i dt} ^d ~ r _i

P i m _i

⇒



 X

i

m _i



 V ~ _CM = ^X

i

m _i ~ v _i

⇒ P ~ = M ~ V _CM = ^X

i

~ p _i

p ˛ed układu mo˙zemy zwi ˛ aza´c z ruchem ´srodka masy

Układ ´srodka masy

Pr ˛edko´s´c ´srodka masy: (klasycznie) V ~ _CM =

P i ~ p _i

P i m _i = P ~ M Zawsze mo˙zemy tak zmieni´c układ

odniesienia, ˙zeby ´srodek masy spoczywał

CM

p

p

p

p

2

4

3

⇒ układ ´srodka masy (CMS)

Układ ´srodka masy

Układ ´srodka masy jest w wielu przypadkach najwygodniejszym układem odniesienia

⇒ szereg relacji bardzo si ˛e upraszcza

Zasada zachowania p ˛edu w CMS:

(zmienne w CMS oznaczamy ^⋆ ) P ~ ^⋆ = ^X

i

~

p _i ^⋆ = 0

ogólna definicja układu ´srodka masy

słuszna tak˙ze w przypadku v ∼ c

Układ ´srodka masy

Zderzenia nie centralne

Układ laboratoryjny:

V

V

V’

V =0

1

2

1

Θ

Θ

1

2

b

x y

Skomplikowane wyra˙zenia na pr ˛edko´sci ko ´ncowe w funkcji np. k ˛ ata rozproszenia θ ₁ . Łatwiej je´sli m ₁ = m ₂

Układ ´srodka masy:

b

V

V

V’

1

1

Θ

x y

V’

Θ

Zasada zachowania p ˛edu: P ~ ^⋆ = 0 θ ₁ = θ ₂

V ₁

V ₂ = V ₁ ^′

V ^′ = m ₂

m ₁

Układ ´srodka masy

Zderzenia spr ˛e˙zyste

Układ ´srodka masy:

b

V

V

V’

1

1

Θ

x y

V’

Θ

Z definicji CMS: V ₂ = ^m _m

2

V ₁

Zasada zachowania energii:

m ₁ V ₁ ²

2 + m ₂ V ₂ ²

2 = m ₁ V ₁ ^′2

2 + m ₂ V ₂ ^′2 2 m ₁ + m ² ₁

m ₂

!

V ₁ ² = m ₁ + m ² ₁ m ₂

!

V ₁ ^′2

⇒ V ₁ ^′ = V ₁ ⇒ V ₂ ^′ = V ₂

Niezale˙znie od mas zderzaj ˛ acych si ˛e ciał, warto´sci ich pr ˛edko´sci przed i po zderzeniu spr ˛e˙zystym s ˛ a takie same.

W układzie ´srodka masy !

Układ ´srodka masy

m ₁ = m ₂

Układ ´srodka masy:

V’

V’

b=R

1 2

V V

b=R

V =0

Układ laboratoryjny:

V’

V

V = 0

V’

b=R

b=R

V

Do wszystkich pr ˛edko´sci dodane V ~ _CM

Układ ´srodka masy

m ₁ = m ₂

Układ ´srodka masy:

V’

V’

b=2R b=0

b=0 b=2R

b=R

1 2

V V

b=R

V =0

Układ laboratoryjny:

V’

V’

V

V = 0

b=2R b=0

b=0 b=2R

b=R

b=R

V

Do wszystkich pr ˛edko´sci dodane V ~ _CM

Układ ´srodka masy

m ₁ < m ₂

Układ ´srodka masy:

V’

V’

V

b=0 b=2R

b=2R b=0 V

V =0

Dla m ₁ = ¹ ₂ m ₂ ⇒ v ₁ = 2 v ₂

Układ laboratoryjny

V =0

V

V’

V’

b=0 b=2R

b=2R b=0

V

V _CM = ¹ ₃ V ₁

Układ ´srodka masy

m ₁ > m ₂

Układ ´srodka masy:

V’

V’

V

V

b=2R b=0

b=0 b=2R

V =0

Dla m ₁ = 2 m ₂ ⇒ v ₁ = ¹ ₂ v ₂

Układ laboratoryjny:

V’

V’

V

b=2R b=0

b=2R b=0

V =0

V

V _CM = ² ₃ V ₁

Układ ´srodka masy

m ₁ > m ₂

Układ laboratoryjny:

V

V’

V’

V =0

V’*

V’*

V

Θ

Zwi ˛ azek mi ˛edzy pr ˛edko´sciami:

V _CM = v ₂ ^⋆ = m ₁

m ₁ + m ₂ V ₁ v ₁ ^⋆ = m ₂

m ₁ v ₂ ^⋆ = m ₂

m ₁ + m ₂ V ₁

Maksymalny k ˛ at rozproszenia “pocisku”:

sin θ ₁ ^max = v ₁ ^⋆

V _CM = m ₂ m ₁ Dla “tarczy” ograniczenie nie zale˙zy od stosunku mas:

0 < θ ₂ < π

2

Układ ´srodka masy

Energia układu

Transformacja pr ˛edko´sci:

~ v _i = ~ v _i ^⋆ + ~ V _CM

M V

v

v

v

v

v v

v

v

1

3

4 2

*

*

* *

CM

Energia kinetyczna układu:

E _k = ^X

i

m _i v _i ²

2 = ^X

i

m _i |~ v _i ^⋆ + ~ V _CM | ² 2

= ^X

i

m _i (v _i ^⋆ ) ²

2 + 2 m _i v ~ _i ^⋆ V ~ _CM

2 + m _i V _CM ² 2

!

Z zasady zachowania p ˛edu:

X i

m _i v ~ _i ^⋆ V ~ _CM = ~ V _CM ^X

i

m _i v ~ _i ^⋆ = ~ V _CM P ~ ^⋆ = 0 Ostatecznie:

E _k = E _k ^⋆ + M V _CM ² 2 Energia kinetyczna układu jest sum ˛ a energii “wewn ˛etrznej” (E _k ^⋆ )

i energii kinetycznej układu jako cało´sci.

Układ ´srodka masy

Moment p ˛edu układu

Transformacja galileusza:

~ r _i = ~ r _i ^⋆ + ~ R _CM

~ v _i = ~ v _i ^⋆ + ~ V _CM

M V

v

v

v

v

v v

v

v

1

3

4 2

*

*

* *

CM

Całkowity moment p ˛edu wzgl ˛edem pocz ˛ atku układu L ~ = ^X

i

m _i ~ r _i × ~v i

= ^X

i

m _i ^ R ~ _CM + ~ r _i ^{⋆ } × ^ V ~ _CM + ~ v _i ^{⋆ }

=



 X

i

m _i



 R ~ _CM × ~ V _CM + ~ R _CM × ^X

i

m _i v ~ _i ^⋆ +



 X

i

m _i r ~ _i ^⋆



 × ~ V _CM + ^X

i

m _i r ~ _i ^⋆ × ~ v _i ^⋆ Z definicji CMS: ^P m _i v ~ _i ^⋆ = ^P m _i r ~ _i ^⋆ = 0

⇒ otrzymujemy:

L ~ = M ~ R _CM × ~ V _CM + ~ L ^⋆ _CM

Moment p ˛edu układu jest sum ˛ a “wewn ˛etrznego” momentu p ˛edu ( L ~ ^⋆ _CM ) (wzgl ˛edem CM)

i momentu p ˛edu układu jako cało´sci.

Układ ´srodka masy

Ruch ´srodka masy

Dla układu izolowanego

P ~ =

´srodek masy pozostaje w spoczynku lub porusza si ˛e ruchem jednostajnym prostoliniowym I Zasada Dynamiki

Pod działaniem sił zewn ˛etrznych:

F ~ ^zw = ^X

i

F ~ _i ^zw zmiana p ˛edu układu:

d ~ P

dt = ^X

i

d~ p _i dt

= ^X

i

F ~ _i ^zw + ^X

i

X j

F ~ _ij = ~ F ^zw

II Zasada Dynamiki W oparciu o poj ˛ecie ´srodka masy mo˙zemy opisa´c ruch układu jako cało´sci

stosuj ˛ ac równania ruchu punktu materialnego.

Egzamin

Przykładowe pytania testowe:

1. Dla ciała, poruszaj ˛ acego si ˛e w polu sił centralnych, zachowana(y) jest

A energia potencjalna B moment p ˛edu C energia kinetyczna D p ˛ed

2. Dla ciała, poruszaj ˛ acego si ˛e w polu sił zachowawczych, zachowana(y) jest

A moment p ˛edu B p ˛ed C energia kinetyczna D energia całkowita

3. Ciało A spuszczono swobodnie z wysoko´sci cztery razy wi ˛ekszej ni˙z ciało B: h

= 4h

. Uzyskane pr ˛edko´sci

A v

= 2 v

B v

= √

2 v

C v

= 4 v

D v

= 2 √ 2 v

4. Pocisk uderza centralnie z pr ˛edko´sci ˛ a ~ v w nieruchom ˛ a tarcz ˛e o takiej samej masie. Zakładaj ˛ ac, ˙ze zderzenie jest elastyczne, pr ˛edko´s´c pocisku po zderzeniu wyniesie

A ~ v

= −~v B ~ v

= 0 C ~ v

= −

~ v D ~ v

=

~ v

5. W zderzeniu spr ˛e˙zystym pocisku o masie m z nieruchom ˛ a tarcz ˛e o masie M suma k ˛ atów rozproszenia pocisku i tarczy była wi ˛eksza od 90

. Mo˙zna na tej podstawie wnioskowa´c, ˙ze

A m ≫ M B m > M C m < M D m ≪ M

Projekt współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego