4. Reguła de L’Hospitala

4. Reguła de L’Hospitala

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Reguła de L’Hospitala - motywacja

Ta część wykładu poświęcona jest bardzo skutecznemu sposobowi liczenia granic w sytuacjach, gdy licząc innymi metodami

otrzymujemy symbole nieoznaczone, czyli regule de L’Hospitala.

Reguła de L’Hospitala - wypowiedź

Reguła de L’Hospitala

Jeśli funkcje f oraz g są różniczkowalne w otoczeniu x0 ∈ R i zachodzi: lim

x →x0

f (x ) = lim

x →x0

g (x ) = 0([⁰₀]) lub

x →xlim0

f (x ) = lim

x →x0

g (x ) = ±∞([^±∞_±∞]) to

x →xlim0

f (x )

g (x ) = lim

x →x0

f⁰(x ) g⁰(x ).

Oczywiście, twierdzenie to działa też dla granic jednostronnych.

Zastosowanie reguły de L’Hospitala oznaczamy symbolem=.^H

Reguła de L’Hospitala - wypowiedź

Reguła de L’Hospitala

Jeśli funkcje f oraz g są różniczkowalne w otoczeniu x0 ∈ R i zachodzi: lim

x →x0

f (x ) = lim

x →x0

g (x ) = 0([⁰₀]) lub

x →xlim0

f (x ) = lim

x →x0

g (x ) = ±∞([^±∞_±∞]) to

x →xlim0

f (x )

g (x ) = lim

x →x0

f⁰(x ) g⁰(x ).

Oczywiście, twierdzenie to działa też dla granic jednostronnych.

Zastosowanie reguły de L’Hospitala oznaczamy symbolem=.^H

Reguła de L’Hospitala - przykład 1

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak:

x →2lim

x²− 3x + 2 x²− 4 =

h0 0

i _H

= lim

x →2

2x − 3 2x = 1

4.

Reguła de L’Hospitala - przykład 1

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak:

x →2lim

x²− 3x + 2 x²− 4 =^h0

0

i _H

=

x →2lim

2x − 3 2x = 1

4.

Reguła de L’Hospitala - przykład 1

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak:

x →2lim

x²− 3x + 2 x²− 4 =^h0

0

i _H

= lim

x →2

2x − 3

2x =

1 4.

Reguła de L’Hospitala - przykład 1

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak:

x →2lim

x²− 3x + 2 x²− 4 =^h0

0

i _H

= lim

x →2

2x − 3 2x = 1

4.

Reguła de L’Hospitala - przykład 2

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0lim sin x

x

Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo ważna (wręcz warto ją zapamiętać):

x →0lim sin x

x =

h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x 1 = 1

1 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 2

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0lim sin x

x

Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo ważna (wręcz warto ją zapamiętać):

x →0lim sin x

x =^h0 0

i _H

=

x →0lim cos x

1 = 1 1 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 2

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0lim sin x

x

Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo ważna (wręcz warto ją zapamiętać):

x →0lim sin x

x =^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x

1 =

1 1 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 2

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0lim sin x

x

Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo ważna (wręcz warto ją zapamiętać):

x →0lim sin x

x =^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x 1 = 1

1 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 3

Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz.

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

x →∞lim

x²− 3x + 2 x²− 4 =

h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

2x − 3

2x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

2 2 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 3

Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz.

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

x →∞lim

x²− 3x + 2

x²− 4 =^h∞

∞

i _H

=

x →∞lim

2x − 3

2x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

2 2 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 3

Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz.

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

x →∞lim

x²− 3x + 2

x²− 4 =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

2x − 3

2x =

h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

2 2 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 3

Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz.

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

x →∞lim

x²− 3x + 2

x²− 4 =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

2x − 3

2x =^h∞

∞

i _H

=

x →∞lim 2 2 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 3

Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz.

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

x²− 3x + 2 x²− 4 .

x →∞lim

x²− 3x + 2

x²− 4 =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

2x − 3

2x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

2 2 = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 4

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x² − 8x + 8 .

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x²− 8x + 8 =

h0 0

i _H

= lim

x →2 1 x −1 − 1

4x − 8 =^h0 0

i _H

=

= limH x →2

−_{(x −1)}¹ 2

4 = −1

4 .

Reguła de L’Hospitala - przykład 4

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x² − 8x + 8 .

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x²− 8x + 8 =^h0

0

i _H

=

x →2lim

1 x −1 − 1

4x − 8 =^h0 0

i _H

=

= limH x →2

−_{(x −1)}¹ 2

4 = −1

4 .

Reguła de L’Hospitala - przykład 4

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x² − 8x + 8 .

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x²− 8x + 8 =^h0

0

i _H

= lim

x →2 1 x −1− 1

4x − 8 =

h0 0

i _H

=

= limH x →2

−_{(x −1)}¹ 2

4 = −1

4 .

Reguła de L’Hospitala - przykład 4

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x² − 8x + 8 .

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x²− 8x + 8 =^h0

0

i _H

= lim

x →2 1 x −1− 1

4x − 8 =^h0 0

i _H

=

= limH x →2

−_{(x −1)}¹ 2

4 = −1

4 .

Reguła de L’Hospitala - przykład 4

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x² − 8x + 8 .

x →2lim

ln(x − 1) − x + 2 2x²− 8x + 8 =^h0

0

i _H

= lim

x →2 1 x −1− 1

4x − 8 =^h0 0

i _H

=

= limH x →2

−_{(x −1)}¹ 2

4 = −1

4 .

Reguła de L’Hospitala - symbol [0 · ∞]

Twierdzenie de L’Hospitala można zastosować również do innych symboli nieoznaczonych niż [^∞_∞] i [⁰₀].

Na przykład w sytuacji, gdy mamy do obliczenia granicę f (x ) · g (x ), typu [0 · ∞], możemy ją przekształcić do postaci ^{f (x )}1

g (x )

(typu [⁰₀]) lub

g (x )

1 f (x )

(typu [^∞_∞]) .

Reguła de L’Hospitala - symbol [0 · ∞]

Twierdzenie de L’Hospitala można zastosować również do innych symboli nieoznaczonych niż [^∞_∞] i [⁰₀].

Na przykład w sytuacji, gdy mamy do obliczenia granicę f (x ) · g (x ), typu [0 · ∞], możemy ją przekształcić do postaci ^{f (x )}1

g (x )

(typu [⁰₀]) lub

g (x )

1 f (x )

(typu [^∞_∞]) .

Reguła de L’Hospitala - przykład 5

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →−∞lim xe^x.

x →−∞lim xe^x =

h(−∞) · 0ⁱ= lim

x →−∞

x

1 e^x

= lim

x →−∞

x

e^−x =^h−∞

∞

i _H

=

=H lim

x →−∞

1

−e^−x =^h 1

−∞

i= 0.

Reguła de L’Hospitala - przykład 5

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →−∞lim xe^x.

x →−∞lim xe^x =^h(−∞) · 0ⁱ=

x →−∞lim x

1 e^x

= lim

x →−∞

x

e^−x =^h−∞

∞

i _H

=

=H lim

x →−∞

1

−e^−x =^h 1

−∞

i= 0.

Reguła de L’Hospitala - przykład 5

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →−∞lim xe^x.

x →−∞lim xe^x =^h(−∞) · 0ⁱ= lim

x →−∞

x

1 e^x

= lim

x →−∞

x

e^−x =^h−∞

∞

i _H

=

=H

x →−∞lim 1

−e^−x =^h 1

−∞

i= 0.

Reguła de L’Hospitala - przykład 5

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →−∞lim xe^x.

x →−∞lim xe^x =^h(−∞) · 0ⁱ= lim

x →−∞

x

1 e^x

= lim

x →−∞

x

e^−x =^h−∞

∞

i _H

=

=H lim

x →−∞

1

−e^−x =

h 1

−∞

i= 0.

Reguła de L’Hospitala - przykład 5

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →−∞lim xe^x.

x →−∞lim xe^x =^h(−∞) · 0ⁱ= lim

x →−∞

x

1 e^x

= lim

x →−∞

x

e^−x =^h−∞

∞

i _H

=

=H lim

x →−∞

1

−e^−x =^h 1

−∞

i= 0.

Reguła de L’Hospitala - symbole [1

], [0

] i [∞

]

Z kolei granice lim

x →x0

f (x )^{g (x )}, które okazują się być typu [1^∞], [0⁰] albo [∞⁰] możemy przekształcić do postaci e^{x →x0lim[ln f (x )}

g (x )]

, a następnie e^{x →x0lim}[g (x )·ln f (x )]

i granica w wykładniku jest typu: [∞ · 0].

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =

h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

=^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x

−_ln¹2x ·_x¹ = − lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ=

x →0lime^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

=^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x

−_ln¹2x ·_x¹ = − lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} =

x →0lime^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

=^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x

−_ln¹2x ·_x¹ = − lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}.

Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

=^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x

−_ln¹2x ·_x¹ = − lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =

h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

=^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x

−_ln¹2x ·_x¹ = − lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ=

x →0lim sin x

1 ln x

=

=^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x

−_ln¹2x ·_x¹ = − lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

=^h0 0

i _H

= lim

x →0

cos x

−_ln¹2x ·_x¹ = − lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

=^h0ⁱ _H

=

x →0lim

cos x

−_ln¹2x ·_x¹ = − lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

0 cos x

− lim

x →0cos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →0limx^{sin x}.

x →0limx^{sin x} =^h0⁰ⁱ= lim

x →0e^{ln xsin x} = lim

x →0e^{sin x ln x} = e^{x →0limsin x ln x}. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →0limsin x ln x =^h0 · (−∞)ⁱ= lim

x →0

sin x

1 ln x

=

=^h0ⁱ _H

= lim cos x

= − limcos x · ln²x · x .

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =

h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0. Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ=

x →0lim ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0. Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

=H

x →0lim

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0. Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

=

− lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0. Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0. Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i

= − limH x →0

2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0. Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

=

− lim

x →02x = 0. Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x =

0. Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0.

Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0.

Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x =

−^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0.

Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0,

i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0.

Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

x →0limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} =

e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 6

Pomocniczo obliczmy:

x →0lim ln²x ·x =^h−∞·0ⁱ= lim

x →0

ln²x

1 x

= limH x →0

2 ln x ·_x¹

−_x¹2

= − lim

x →0

2 ln x

1 x

=

=^h−∞

∞

i _H

= − lim

x →0 2 x

−_x¹2

= − lim

x →02x = 0.

Stąd:

x →0limsin x ln x = − lim

x →0cos x · ln²x · x = −^h1 · 0ⁱ= 0, i

limx^{sin x} = e^{x →0limsin x ln x} = e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x =

x →∞lim x^1x =^h∞⁰ⁱ= e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞ 1 x

1 = 0. Stąd

x →∞lim

√x

x = e^{x →∞lim}

1 xln x

= e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x = lim

x →∞x^1x =

h∞⁰ⁱ= e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞ 1 x

1 = 0. Stąd

x →∞lim

√x

x = e^{x →∞lim}

1 xln x

= e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x = lim

x →∞x^1x =^h∞⁰ⁱ=

e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞ 1 x

1 = 0. Stąd

x →∞lim

√x

x = e^{x →∞lim}

1 xln x

= e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x = lim

x →∞x^1x =^h∞⁰ⁱ= e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =

h∞

∞

i _H

= lim

x →∞ 1 x

1 = 0. Stąd

x →∞lim

√x

x = e^{x →∞lim}

1 xln x

= e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x = lim

x →∞x^1x =^h∞⁰ⁱ= e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =^h∞

∞

i _H

=

x →∞lim

1 x

1 = 0. Stąd

x →∞lim

√x

x = e^{x →∞lim}

1 xln x

= e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x = lim

x →∞x^1x =^h∞⁰ⁱ= e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

1 x

1 =

0. Stąd

x →∞lim

√x

x = e^{x →∞lim}

1 xln x

= e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x = lim

x →∞x^1x =^h∞⁰ⁱ= e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

1 x

1 = 0.

Stąd

x →∞lim

√x

x = e^{x →∞lim}

1 xln x

= e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x = lim

x →∞x^1x =^h∞⁰ⁱ= e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

1 x

1 = 0.

Stąd √ lim _x¹ln x

e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - przykład 7

Zadanie

Obliczyć granicę:

x →∞lim

√x

x

x →∞lim

√x

x = lim

x →∞x^1x =^h∞⁰ⁱ= e^{x →∞lim}

1 xln x

. Teraz obliczamy granicę wykładnika

x →∞lim 1

x ln x = lim

x →∞

ln x

x =^h∞

∞

i _H

= lim

x →∞

1 x

1 = 0.

Stąd

lim √^x

x = e^{x →∞lim}

1 xln x

= e⁰ = 1.

Reguła de L’Hospitala - uwagi o możliwych błędach

Doświadczenie sprawdzianów i egzaminów wskazuje, że stosując regułę de L’Hospitala, łatwo popełnić jeden z następujących błędów:

Stosując regułę de L’Hospitala liczymy pochodną licznika i mianownika osobno. Dlatego należy uważać, by nie pomylić wzoru de L’Hospitala z wzorem na pochodną ilorazu.

Zanim zastosuje się regułę de L’Hospitala, należy sprawdzić, czy spełnione są jej założenia (czyli, jakie są granice licznika i mianownika).

Reguła de L’Hospitala - uwagi o możliwych błędach

Doświadczenie sprawdzianów i egzaminów wskazuje, że stosując regułę de L’Hospitala, łatwo popełnić jeden z następujących błędów:

Stosując regułę de L’Hospitala liczymy pochodną licznika i mianownika osobno. Dlatego należy uważać, by nie pomylić wzoru de L’Hospitala z wzorem na pochodną ilorazu.

Zanim zastosuje się regułę de L’Hospitala, należy sprawdzić, czy spełnione są jej założenia (czyli, jakie są granice licznika i mianownika).

Reguła de L’Hospitala - uwagi o możliwych błędach

Doświadczenie sprawdzianów i egzaminów wskazuje, że stosując regułę de L’Hospitala, łatwo popełnić jeden z następujących błędów:

Stosując regułę de L’Hospitala liczymy pochodną licznika i mianownika osobno. Dlatego należy uważać, by nie pomylić wzoru de L’Hospitala z wzorem na pochodną ilorazu.

Zanim zastosuje się regułę de L’Hospitala, należy sprawdzić, czy spełnione są jej założenia (czyli, jakie są granice licznika i mianownika).

Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego zastosowania

Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej granicy jak:

x →−2lim

x²− 3x + 2 x²− 4

=H

x →−2lim

2x − 3 2x = −7

−4 = 7 4. Jednak jednocześnie, wiemy, że:

x →−2lim

x²− 3x + 2

x²− 4 =^h12 0

i,

więc ta granica nie istnieje (a jednostronne nie są skończone). Skąd ta rozbieżność? Otóż pierwszy sposób jest niepoprawny, gdyż nie wolno stosować reguły de L’Hospitala do granic typu [^a₀], a taką mamy w tym przypadku. Tak więc, przejście

x →−2lim

x²−3x+2 x²−4

= limH x →−2

2x −3

2x było nieprawidłowe.

Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego zastosowania

Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej granicy jak:

x →−2lim

x²− 3x + 2 x²− 4

= limH x →−2

2x − 3

2x =

−7

−4 = 7 4. Jednak jednocześnie, wiemy, że:

x →−2lim

x²− 3x + 2

x²− 4 =^h12 0

i,

więc ta granica nie istnieje (a jednostronne nie są skończone). Skąd ta rozbieżność? Otóż pierwszy sposób jest niepoprawny, gdyż nie wolno stosować reguły de L’Hospitala do granic typu [^a₀], a taką mamy w tym przypadku. Tak więc, przejście

x →−2lim

x²−3x+2 x²−4

= limH x →−2

2x −3

2x było nieprawidłowe.