Analiza - zestaw 7 Reguªa de L'Hospitala.
Nale»y si¦ zaznajomi¢ z reguª¡ de L'Hospitala.
Je±li mamy znale¹¢ granic¦ funkcji postaci lim
x→a f (x)
g(x), gdzie f i g s¡ funkcjami ró»niczko- walnymi o ci¡gªej pochodnej, natomiast a ∈ R lub a = ±∞, a granica jest typu 00 lub ∞∞, to stosujemy reguª¦ de L'Hospitala:
x→alim
f (x)
g(x) = lim
x→a f0(x) g0(x)
Je±li znów otrzymujemy granic¦ typu 00 lub ∞∞, to mo»emy t¦ reguª¦ zastosowa¢ jeszcze raz, a» do skutku.
Zadanie 1. Za pomoc¡ reguªy de L'Hospitala obliczy¢ granice:
a) lim
x→2
2x2−5x+2
5x2−7x−6; b) lim
x→0 x+1−ex
x2 ; c) lim
x→0 sin x
x ; d) lim
x→0
2−ex−e−x 1−cos2x ; e) lim
x→0 x−sin x
x3 ; f) lim
x→5
√x−1−2
x2−25 ; g) lim
x→π2 cos 3x
cos x; h) lim
x→2 ln(x−1)
x−2 ; i) lim
x→∞
x2
ln x; j) lim
x→∞
ex
x2; k) lim
x→∞
√3
x+5x−4
x ln x ; l) lim
x→∞
arcsin1x arctg x−π2; ª) lim
x→0 sin 3x
4x ; m) lim
x→0 1
x ctg x; n) lim
x→1+
√ln x
x2−1; o) lim
x→0
√x
1 + sin x.
Po odpowiednim przeformuªowaniu, mo»na te» u»y¢ reguªy de L'Hospitala do granic typu [0 · ∞], [∞ − ∞], [1∞], [00], [∞0].
Zadanie 2. Za pomoc¡ reguªy de L'Hospitala obliczy¢ granice:
a) lim
x→0+x ln x; b) lim
x→∞x(e1x − 1); c) lim
x→∞x sinx1; d) lim
x→0+tg x ln x; e) lim
x→0+
(ex− 1)x; f) lim
x→0+
(ex+ 3x)x1; g) lim
x→0+
xx; h) lim
x→1−
(1 − x)ln x; i) lim
x→∞(π − 2 arctg x) ln x; j) lim
x→∞(x − ln x); k) lim
x→5(x − 5)ex−51 ; l) lim
x→∞(ex− x3); ª) lim
x→π2−
(sin x)tg x; m) lim
x→1xx−11 ; n) lim
x→0[ln(e + x3)]x31 .
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski
1
