Zbadaj stabilno±¢ punktów Lagrange'a w ograniczonym koªowym za- gadnieniu trzech ciaª wzgl¦dem kierunku osi Oz

Mechanika nieba 2003/2004 Pytania egzaminacyjne ( cz¦±¢ II )

1. Rozwi¡zania homograczne zagadnienia 3 ciaª i ich realizacja w przy- rodzie.

2. Wytªumacz znaczenie i pochodzenie poszczególnych wyrazów funkcji Hamiltona

H = ¹₂^X²+ Y²+ Z^2+ ω (yX − xY ) −µ1

r₁ −µ2

r₂. (1) i wyprowad¹ z niej caªk¦ Jacobiego. Jakie inne caªki posiada ograni- czone koªowe zagadnienie trzech ciaª ?

3. Kryterium Tisseranda  pochodzenie, zastosowania i ograniczenia.

4. Jaki jest zwi¡zek mi¦dzy punktami Lagrange'a a powierzchniami zero- wej pr¦dko±ci w ograniczonym koªowym zagadnieniu trzech ciaª ? 5. Z funkcji Hamiltona (1) wyprowad¹ warunki na poªo»enie punktów

Lagrange'a.

6. Zbadaj stabilno±¢ punktów Lagrange'a w ograniczonym koªowym za- gadnieniu trzech ciaª wzgl¦dem kierunku osi Oz. Podaj wyniki (tylko !) peªnego badania stabilno±ci liniowej dla wszystkich pi¦ciu punktów.

7. Aproksymacja Taylora, Lagrange'a i Hermite'a.

8. Metoda Eulera i jej bilans bª¦dów. Czy mo»na j¡ stosowa¢ w rachun- kach o wysokiej dokªadno±ci ?

9. Tablica Butchera jako reprezentacja metod RungegoKutty.

10. Co to s¡ metody symetryczne ? Na co nale»y uwa»a¢ szacuj¡c bª¡d lokalny i globalny takich metod ?

11. Co to s¡ integratory symplektyczne i jakie maj¡ wªasno±ci ?

12. Wyprowad¹ wzory dla integratora symplektycznego pierwszego rz¦du opisuj¡cego ruch wahadªa

H = 1

2Y²− cos y.

1

13. Sposoby szacowania bª¦du lokalnego i globalnego integratorów.

14. Co to jest transformacja bliska identyczno±ci i na czym polega zªo»enie sko±ne ?

15. Posªuguj¡c si¦ wzorem

sin E =

∞

X

k=1

2

k eJ_k(ke) sin kM , (2) znajd¹ rozwini¦cie funkcji

a

r = (1 − e cos E)⁻¹

w szereg trygonometryczny wzgl¦dem anomalii ±redniej. Jaka jest war- to±¢ ±rednia tej funkcji ?

16. Omów schematycznie procedur¦ rachunku zaburze« dla równa« alge- braicznych f(y; ε) = 0. Kiedy procedura ta wymaga modykacji ? 17. Na podstawie równa« Gaussa

˙a = 2 v

n²aS, (3)

˙e = 1 v

 S 2 p

r cos E + N^p1 − e² sin E



, (4)

opisz ewolucj¦ zmiennych ±rednich a^∗, e^∗ w zagadnieniu zaburzonym styczn¡ siª¡ tarcia

P = −εv.

18. Wyja±nij, czemu w zagadnieniu dwóch ciaª, zaburzonym niezale»n¡ od czasu siª¡ potencjaln¡, ±rednia póªo± wielka jest staªa. Jakie wnioski wyprowadziª z tego Laplace dla Ukªadu Sªonecznego ?

19. Co to jest szereg Liego i gdzie znajduje zastosowanie ?

20. Dla ukªadu z funkcj¡ H0(ξ) + εH₁(ξ)wyprowad¹ wzory metody Hori, deniuj¡ce now¡ funkcj¦ Hamiltona K(ζ) oraz funkcj¦ tworz¡c¡ trans- formacji W, ograniczj¡c si¦ do wyrazów rz¦du O(ε) wª¡cznie.

2