M Matlab/Octave

Matlab/Octave

Tomasz Sobiech,

Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki

29 stycznia 2016

M

atlab jest środowiskiem stworzonym głównie w celu wykonywania obliczeń numerycznych. W skład środowiska wchodzi język wysokiego poziomu, w większości kompatybilny z darmowymi odpowied- nikami takimi jak Octave oraz interpreter tego języka.

Matlab posiada zaawansowane funkcje do numerycznego rozwiązywania powszechnych problemów algebry liniowej, analizy sygnałów, statystyki, przetwarzania obrazów i innych. Jest łatwo rozszerzalny i konfigu- rowalny poprzez definiowane funkcji w języku Matlab lub używając dynamicznie ładowanych modułów napisanych w C++, C, Fortran lub innych językach.

1 Wprowadzenie

Poniższy poradnik będzie stanowił pomoc w pierwszych krokach nauki programowania w Matlabie, jednak praw- dopodobnie niezbędne okaże się korzystanie z innych źródeł i pomocy, jak np. dokumentacja dostępna na stronie:

http://www.mathworks.com/help/matlab/. Można również wykorzystać wbudowaną pomoc i dokumentację, dostępną po wpisaniu:

• doc

• docsearch

• help - spis dostępnych kategorii funkcji, lista funkcji należących do danej kategorii, opis wybranej funkcji

• lookfor - przeszukanie za pomocą słowa kluczowego

• demo

• echodemo

Kilka dodatkowych uwag:

• Możliwe są dwa podstawowe typy pracy: interakcja w linii poleceń lub uruchamianie gotowych skryptów zapisanych w M-plikach.

• Rozróżniane są duże i małe litery.

• Średnik na końcu linijki powoduje, że nie zostanie wyświetlony wynik tego polecenia.

• Komentarze rozpoczynają się znakiem %.

2 Podstawy

2.1 Ogólnie

Podstawową strukturą danych jest macierz. Standardowo liczby przechowywane są jako double (zakres < 10⁻³⁰⁸, 10³⁰⁸>), możemy korzystać z wbudowanych stałych, takich jak: liczba π, jednostka urojona i, itd. i wbudowanych funkcji sin, exp, besseljitd.

2.2 Operacje na macierzach

Skalar – Macierz o rozmiarze 1x1:

>> a = 1 a = 1

Wektor – w tym przypadku macierz o jednym wierszu:

>> b = [2 4 6 8]

b =

2 4 6 8

Wektor – tutaj macierz o jednej kolumnie:

>> c = [2; 4; 6; 8]

c = 2 4 6 8

Transpozycja macierzy:

>> c’

ans =

2 4 6 8

Macierze można budować bezpośrednio:

>> d = [1,2,3,4; 5,6,7,8]

d =

1 2 3 4

5 6 7 8

>> e = [8,7,6, 5; 4,3,2,1]

e =

8 7 6 5

4 3 2 1

Lub łączyć składowe:

>> f = [d; e]

f =

1 2 3 4

5 6 7 8

8 7 6 5

4 3 2 1

Istnieje możliwość definiowania każdego elementu osobno:

>> b b =

2 4 6 8

>> b(1) = 1 b =

1 4 6 8

W ten sposób można automatycznie rozszerzyć macierz:

1 4 6 8 0 0 0 10

Macierze można dodawać:

>> b+b ans =

2 8 12 16 0 0 0 20

Mnożyć (element po elemencie):

>> b.*b ans =

4 64 144 256 0 0 0 400

Brak kropki oznaczałby, że operacja ma zostać wykonana w sensie macierzowym:

>> b*b’

ans = 868

Tak samo jest również w przypadku potęgowania:

>> p=[1,2;3,4]

p =

1 2

3 4

>> p.^2 ans =

1 4

9 16

>> p^2 ans =

7 10 15 22

2.3 Generatory macierzy

Można stworzyć macierz zawierającą same zera, jedynki lub liczby losowe z zakresu [0, 1):

>> z = zeros(2,4) z =

0 0 0 0

0 0 0 0

>> o = ones(3,3) o =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

>> n = rand(1,5) n =

0.868423 0.195988 0.861193 0.717563 0.099785

Można otrzymać wektor liczb z pewnego zakresu:

>> 1:10 ans =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> 1:2:10 ans =

1 3 5 7 9

linspace(a, b, n) zwraca n liczb z zakresu ha, bi

>> linspace(1, 3, 5) ans =

1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000

2.4 Instrukcje sterujace, p ˛etle i funkcje

Instrukcja warunkowa if:

1 if warunek 1

2 instrukcje - wersja 1

3 elseif warunek 2

4 instrukcje - wersja 2

5 else

6 instrukcje - wersja N

7 end

Pętla while

1 while warunek

2 instrukcje

3 end

Pętla for umożliwia wykonanie bloku instrukcji dla każdego elementu wektora.

1 for i = wektor

2 instrukcje

3 end

Oprócz korzystania z funkcji standardowych można tworzyć także własne funkcje:

1 function [zmienne wyjsciowe] = nazwa_funkcji(argumenty wejsciowe);

2 instrukcje

3 end

Istnieje również możliwość definiowania funkcji anonimowych. Są to krótkie, jednolinijkowe funkcje (wyrażenia lambda):

1 nazwa_funkcji = @(argumenty wejsciowe) instrukcja

2.5 Prezentacja wyników

Podstawową instrukcją tworzącą dwuwymiarowe wykresy jest funkcja plot:

>> x = -2*pi: 0.1 : 2*pi

>> plot(x, sin(x))

Do rysowania histogramów wykorzystujemy funkcję hist:

>> hist(randn (100, 1), 20)

a) b)

Rysunek 1: Wykres funkcji sinus (a), histogram (b)

Do rysowania wykresów 3D służą funkcję takie jak: mesh, surface, waterfall i wiele innych, przykład:

>> z = peaks(25);

>> mesh(z);

>> colormap(hsv)

Przykład 1. Zadanie do wykonania: zrobić sprawozdanie z prawa Ohma (lab. CLF)

1 %niepelne dane

2 U = [0.09, 0.18, 0.29, 0.37, 0.46, 0.54, ..., 3.4, 4, 4.5, 5.5, 6, 6.5, 7, 8, 8.5, 9, 9.5];

3 I = [0.0017, 0.00341, 0.00565, 0.00713, 0.00905, 0.01053, ..., 0.125, 0.138, 0.150, 0.186];

4 dI = [0.0001,0.00005,0.00008,0.0001,0.0001,0.0002,...,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003,0.003];

5 % errorbar rysuje wykres z niepewnosciami pomiarowymi (tylko dy)

6 % argument 'r*' oznacza rysuj czerwone gwiazdki (standardowo niebieska linia)

7 errorbar(U, I, dI, 'r*');

8 hold on; % wstrzymuje wykres przed usunieciem zawartosci po ponownym rysowaniu

9

10 P = polyfit(U, I, 1); %dopasowanie wielomianu stopnia n,

11 %zwraca P = [a_n, ..., a_0] - wektor wspolczynikow wielomianu

12 x = 0:0.01:10;

13 %polyval oblicza wielomian y = a_n.*x.^n + ... + a_1.*x + a_0

14 plot(x, polyval(P, x)); hold off;

15

16 %podpisywanie osi

17 xlabel('U [V]');

18 ylabel('I [A]');

19

20 %wypisywanie na ekran z formatowaniem

21 fprintf('Opor elektryczn R = %0.2f Ohm\n', P(1));

Rysunek 2: Charakterystyka napięciowo prądowa

Przykład 2. Zadanie do wykonania: zgubiłeś wyniki pomiarów śrubą mikrometryczną, ale musisz oddać jutro sprawozdanie.

1 % srednica preta 10 [mm] odchylenie standardowe sig = 0.05

2 d = 0.05*randn(1, 20) + 10;

3

4 mu = mean(d); %warosc srednia

5 sig = std(d); %odchylenie standardowe

6

7 hist(d)

Przykład 3. Rozważ krzywą daną równaniami parametrycznymi x(t) = sin(2t), y(t) = cos(t), z(t) = t, gdzie t ∈ h0, 2πi).

Oblicz długość łuku tej krzywej. Długość łuku liczymy ze znanego z analizy wzoru: L =

b

R

a

p(dx(t))²+ (dy(t))²+ (dz(t))².

1 t = 0:0.1:3*pi;

2 plot3(sin(2*t),cos(t),t);

3 % definiujemy funkcje podcalkowa jako funkcje anonimowa

4 f = @(t) sqrt(4*cos(2*t).^2 + sin(t).^2 + 1);

5

6 len = integral(f,0,3*pi);

3 Praca zdalna

Matlab kosztuje niemało, więc aby z niego korzystać legalnie musimy iść na wydział:

$ ssh -Y user@student.fizyka.pw.edu.pl

a następnie wejść do sali 228 i usiąść przy wolnym komputerze, na przykład 02:

$ ssh -Y sl228-02

Opcja -Y w poleceniu ssh przekieruje okno matlaba na twój komputer. Teraz uruchamiamy matlaba:

$ matlab

4 Operatory (raz jeszcze)

4.1 Operator zakresu

Składnia operatora : wygląda następującostart : krok : nie większe niż. Przykład:

>> a = 3:0.7:7 a =

3.0000 3.7000 4.4000 5.1000 5.8000 6.5000

Domyślna wartość kroku to jeden, składnia upraszcza się wtedy do postaci:

>> a = 3:7 a =

3 4 5 6 7

W kontekście macierzy operator ten może przybrać jeszcze jedną formę:

>> A = zeros(3,4);

>> A(:,2) = 1 A =

0 1 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

Zapis A(:,2) weź wszystkie wartości z kolumny 2. Operatora zakresu możemy też używać z typem danych char:

>> s = ’a’:’f’

s = abcdef

4.2 Działania arytmetyczne

4.2.1 Operatory macierzowe

Możliwość wykonywania działań macierzowych jest absolutnie niezbędna dla programisty-fizyka, środowisko

Matlab/Octave pozwala na wykonywanie takich obliczeń w szybki sposób przez zdefiniowane operatory (tab. 1), bez pisania zbędnych pętli for.

Tablica 1: Operatory macierzowe

Operacja Operator

Dodawanie +

Odejmowanie -

Mnożenie *

Potęgowanie ^

Lewostronne dzielenie \ Prawostronne dzielenie /

Jeszcze słowo komentarza á propos dzielenia, oprócz dzielenia prawostronnego (/) mamy do dyspozycji dzielenie lewostronne (\). Dzielenie takie stosowane jest w równaniach macierzowych. W szczególności polecenie x = A\b rozwiązuje równanie Ax = b. Jest ono odpowiednikiem inv(A)*b, ale działa szybciej i numerycznie stabilniej.

4.2.2 Operatory tablicowe

Prawdopodobnie dużo częściej wykorzystywane są operatory tablicowe (tab. 2). Za ich pomocą możemy uzyskać takie struktury jak v.*w = [v1w₁, v₂w₂, ..., v_nw_n], czy v.^w = [v1^w1, v₂^w2, ..., v^w_nⁿ]. Te same zasady stosują się do macierzy. Dla dwóch macierzy A i B polecenie C = A.*B, w wyniku daje macierz z elementami Cij = A_ijB_ij.

Tablica 2: Działania tablicowe

Operacja Operator

Dodawanie +

Odejmowanie -

Mnożenie .*

Potęgowanie .^

Lewostronne dzielenie .\

Prawostronne dzielenie ./

4.3 Operatory relacji

Działania z użyciem operatorów relacji dają wynik w postaci macierzy o tej samej wielkości co argumenty, gdzie 1 oznacza prawdziwość relacji, a 0 oznacza fałsz.

Tablica 3: Operatory relacji

Operacja Operator

Mniejszy niż <

Mniejszy lub równy <=

Większy niż >

Większy lub równy >=

Równy ==

Różny od =

Przykłady:

>> x = [1, 5, 3, 7];

>> y = [0, 2, 8, 7];

>> k = x<y k =

0 0 1 0

>> k = x>=y k =

1 1 0 1

>> k = x~=y k =

1 1 1 0

4.4 Operatory logiczne

Operatory logicznie działają analogicznie do operatorów relacji, zwracają macierz o tej samej wielkości co argumenty:

Tablica 4: Operatory logiczne

Operacja Operator

Koniunkcja &

Alternatywa |

Negacja ~

Alternatywa wykluczająca xor

5 Praca z macierzami

5.1 Indeksowanie macierzy

W środowisku Matlab/Octave istnieją dwa sposoby indeksowania tablic (patrz rys. 3) tzw. index oraz subscripts, jak to działa sprawdzimy na prostym przykładzie:

>> A = rand(4, 5) A =

0.6557 0.6787 0.6555 0.2769 0.6948 0.0357 0.7577 0.1712 0.0462 0.3171 0.8491 0.7431 0.7060 0.0971 0.9502 0.9340 0.3922 0.0318 0.8235 0.0344

>> A(4) %w notacji index ans =

0.9340

>> A(4,1) %to samo w notacji subscripts ans =

0.9340

>> A(5) %w notacji index ans =

0.6787

>> A(1, 2) %to samo w notacji subscripts ans =

0.6787

Oczywiście tyczy się to też macierzy o większej ilości wymiarów. Do konwersji pomiędzy tymi dwoma stylami indeksowania macierzy można wykorzystać funkcję ind2sub oraz sub2ind. Przykład (Macierz A z poprzedniego przykładu):

>> idx = [sub2ind(size(A), 3, 2), sub2ind(size(A), 4, 4), sub2ind(size(A), 4, 5)] ...

%tworzymy wektor 3 indeksów które chcemy wybrać z macierzy idx =

7 16 20

>> A(idx) %wypisujemy podane elementy ans =

0.7431 0.8235 0.0344

>> A(idx) = 0; %nadpisujemy wartość podanych elementów

>> A A =

0.6557 0.6787 0.6555 0.2769 0.6948 0.0357 0.7577 0.1712 0.0462 0.3171

0.8491 0 0.7060 0.0971 0.9502

0.9340 0.3922 0.0318 0 0

Możemy też podawać w obu konwencjach wektory. W konwencji index przykład jest już wyżej, z macierzy wybierane są wszystkie elementy, których index jest podany w wektorze. Trochę więcej przykładów:

>> A([1, 3, 5, 6, 7]) ans =

0.6557 0.8491 0.6787 0.7577 0

>> A(1:2:20) %co drugi element ans =

Columns 1 through 9

0.6557 0.8491 0.6787 0 0.6555 0.7060 0.2769 0.0971 0.6948

Column 10 0.9502

>> i = 5:5:20 %co piąty indeks od piątego do dwudziestego

i =

5 10 15 20

>> A(i) ans =

0.6787 0.1712 0.0971 0

W konwencji subscripts zwracany jest produkt kartezjański podanych indeksów:

>> A([1, 2], [1, 2]) %produkt kartezjański to elementy (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) ans =

0.6557 0.6787 0.0357 0.7577

>> A(1:3,1:3) %wykorzystując operator zakresu ans =

0.6557 0.6787 0.6555 0.0357 0.7577 0.1712

0.8491 0 0.7060

>> A(1:2:3,1:3) %co drugi wiersz od pierwszego do trzeciego i od pierwszej kolumny do trzeciej ans =

0.6557 0.6787 0.6555

0.8491 0 0.7060

Należy tu jeszcze wspomnieć o kolejnym ważnym elemencie dotyczącym indeksowania, mianowicie słowo kluczowe end. Standardowo słowo end kończy blok kodu po for, if itd., w tym kontekście indeksowania ma ono inne znaczenie, tj.

oznacza ostatni element macierzy.

>> A(end) ans =

0

0 0.6948 0.3171 0.9502 0

>> A(end-1:end, 1) %korzystając z subscripts: przedostatni i ostatni element pierwszej kolumny ans =

0.8491 0.9340

>> A(2:end, 1:end-3) ans =

0.0357 0.7577

0.8491 0

0.9340 0.3922

Typowe zastosowanie wybierania indeksów z którym na pewno się spotkacie:

>> x = 0:0.01:10*pi;

>> y = sin(x);

>> idx = find(abs(y) < 5e-3); ...

%funkcja find zwraca indeksy elementów wektora równych 1 (działanie operatora relacji już znacie)

>> plot(x, y, ’b-’, x(idx), y(idx), ’ro’)

Na rysunku 4 przedstawiony jest wynik powyższych operacji.

Rysunek 4: Miejsca zerowe funkcji f (x) = sin(x)

5.2 Wektoryzacja

Przez wektoryzację rozumiemy nadanie obliczeniom takiej struktury, w której można zastosować zmienne wektorowe lub tablicowe z operatorami tablicowymi zamiast seryjnych obliczeń skalarnych. Jako przykład rozważ aproksymację funkcji wykładniczej za pomocą pierwszych dziesięciu wyrazów rozwinięcia w szereg

e^x=X

k

x^k−1 (k − 1)!

Można to liczyć w pętli, co jest czasochłonne, gdyż interpreter musi dziesięć razy wykonać tą czynność (interpreter jest wolny). W formie zwektoryzowanej interpreter parsuje jedną linijkę, reszta liczy się w wewnętrznych funkcjach Matlab/Octave napisanych w szybkich językach typu C/C++

>> x = 1;

>> k=1:10;

>> e = sum(x.^(k-1)./factorial(k-1)) e =

2.7183

>>%lub w inny sposób po wykonaniu drobnych przekształceń w głowie

>> format long

>> sum(1./factorial(0:10))-exp(1) ans =

-2.731266102173890e-08

>> sum(1./factorial(0:10))-exp(1) %policzmy błąd takiego przybliżenia ans =

-2.731266102173890e-08

>> sum(1./factorial(0:20))-exp(1) %zwiększmy nieco ilość wyrazów szeregu ans =

0

W ten oto prosty sposób policzyliśmy liczbę Nepera. Stosować wektoryzację należy zawsze (o ile to jest możliwe)! Inny przykład, odtworzymy sobie działanie funkcji diff, i policzmy pochodną funkcji:

>> plot(x, y, x, Dy)

>> dx = 0.001;

>> x = 0:dx:2*pi;

>> Dy = [Dy, Dy(end)]; %powielenie ostatniego elementu, żeby zgadzały się długości wektorów

>> plot(x, y, x, Dy)

Rysunek 5: Funkcja f (x) = sin(x) oraz jej pochodna f⁰(x) = cos(x)

5.3 Trudniejsze przykłady

Rozwiążmy teraz typowy fizyczny problem tj. rozwiążemy dwuwymiarowe równanie Poissona (∇u(x, y) = f (x, y) ∀_(x,y)∈ h0, 100i × h0, 100i = Ω

u(x, y)

_∂Ω= 0

gdzie

f (x, y) =

(100 ∀_(x,y)∈ h49, 51i × h10, 90i = ω

0 ∀_(x,y)∈ Ω\ω

Przedstawione tu rozumowanie jest nieco uproszczone, więcej o rozwiązywaniu równań różniczkowych można dowiedzieć się na wykładnie z Metod Numerycznych lub w internecie. Dyskretyzując równanie dla prostokątnej siatki otrzymujemy:

u_i−1,j+ u_i,j−1+ u_i+1,j+ u_i,j+1

4 − ui,j= f_i,j (1)

u_0,j = u_100,j = u_i,0= u_i,100= 0 (2)

Obliczenie tego wyrażenia w C wymagałoby iteracji po całej macierzy w dwóch pętlach for, możemy jednak to zwektoryzować. Graficznie pierwszy składnik tego równania można przedstawić jak poniżej:













1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25

























1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25











 +













1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25

























1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25











 +













1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25

























1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25











 +













1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25

























1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25











 +

Tak powstałą nową macierz należy jeszcze podzielić przez cztery i odjąć od niej macierz początkową.

1 close all, clear all, clc %zamknij wszystkie wykresy, wyczysc zmienne, wyczysc linie komend

2

3 %definicja geometrii

4 N = 100;

5 u = zeros(N, N);

6 %rysuje prostokat

7 %wybieramy podmacierz i przypisujemy ladunek

8 %floor (podloga) zaokraglenie, aby miec pewnosc ze bedzie liczba calkowita

9 w1 = floor((N/2))-1;

10 w2 = floor((N/2))+1;

11 u(10:N-10, w1:w2) = 100;

12

13 for i = 0:1e4

14 %liczymy laplasjan (to tu cala magia)

15 nabla = zeros(N, N);

16 nabla(1:end-1,:) = nabla(1:end-1,:) + u(2:end,:);

17 nabla(2:end,:) = nabla(2:end,:) + u(1:end-1,:);

18 nabla(:,1:end-1) = nabla(:,1:end-1) + u(:,2:end);

19 nabla(:,2:end) = nabla(:,2:end) + u(:,1:end-1);

20 nabla = nabla./4.0;

21 nabla = nabla - u;

22

23 u = u + nabla;

24

25 %warunki brzegowe

26 u(1,:) = zeros(1, N);

27 u(end,:) = zeros(1, N);

28 u(:,1) = zeros(1, N);

29 u(:,end) = zeros(1, N);

30

31 u(10:N-10, w1:w2) = 100;

32 end

33

Rysunek 6: Rozwiązanie równania

Zadanie 1. Wygenerować macierz 3D zgodnie ze wzorem v = x ∗ sin x²− y²− z²
w przedziale [−2, 2] z krokiem 0.05.

Wyświetlić ją na ekranie.

1 close all, clear all, clc %zamknij wszystkie wykresy, wyczysc zmienne, wyczysc linie komend

2

3 [X,Y,Z] = meshgrid(-2:0.05:2,-2:0.05:2,-2:2); %tworzymy 3 macierze 3D

4 V = X.*sin(X.^2-Y.^2-Z.^2); %tworzymy nowa macierz 3D z wartosciami ze wzoru

5

6 for i = 1:5

7 % conturf rysuje wykres w formie mapy

8 [¬,h] = contourf(X(:,:,3), Y(:,:,3), V(:,:,3)); hold on;

9

10 %tu troche magicznych funkcji w sumie nieistotne

11 hh = get(h,'Children');

12 set(hh, {'ZData'}, cellfun(@(x) (i-3)*ones(size(x)), get(hh,{'XData'}), 'UniformOutput',false))

13 end

Rysunek 7: Mapy kostki

6 Wizualizacja

W tym rozdziale przedstawione zostały różne przykłady wizualizacji danych w Matlab/Octave. Najbardziej użyteczną funkcją generującą wykresy jest plot, jej składnia wygląda następująco:

plot(vec_x1, vec_y1, ’opcje stylu’, vec_x1, vec_y1, ’opcje stylu’, ...) Przykładowo:

plot(y) %tworzy domyślny wykres na osi x odłożone są ideksy wektora y plot(x,y,’--’) %zamiast linii ciągłej jest przerywana

plot(x,y,’ro’) %rysuje czerwone kółka

Tablica 5: Opcje stylów

Opcje koloru Opcje stylu linii Opcje stylu znacznika

yżółty -linia ciągła +symbol plusa

mpurpurowy –linia przerywana okółko cgranatowy :linia kropkowana *gwiazdka rczerwony -.linia kreskowo-kropkowa x znak x

gzielony .kropka

bniebieski ^daszek

wbiały skwadrat

kczarny drąb

6.1 Etykiety, tytuły, legendy i inne

Wykresy można opisywać za pomocą poleceń:

xlabel(’napis x’) % tytuł osi x ylabel(’napis y’) % tytuł osi y title(’tytul’) % tytuł wykresu

text(x, y, ’napis’) % umieszcza na wykresie napis w pozycji (x,,y) Legendę można utworzyć, jak nie trudno się zgadnąć, za pomocą funkcji legend

legend(’linia 1’, ’linia 2’, ...) % tworzy legendę zawierającą etykiety ’linia 1’, ...

legend(’StylLinii1’, ’linia 1’, ...) % przypisuje każdej etykiecie styl linii

legend(..., pos) % pos = 1 (lub inna wartość) ustawia pozycję legendy

legend off % wyłącza legendę

Ustawiać zakresy osi możemy za pomocą polecenia axis

axis([x_min, x_max]) % ustawia zakres osi x axis([x_min, x_max, y_min, y_max]) % ustawia zakres osi x i y

axis(’equal’) % ustawia jednakową skalę na obu osiach

itd.

6.2 Wykresy nakładane

1 t = linspace(0, 2*pi, 100);

2 y1 = sin(t);

3 y2 = t;

4 y3 = t - (t.^3)/6 + (t.^5)/120;

5

6 %rysuje y1 jako ciagla linie (domyslnie)

7 plot(t,y1)

8 % %dodaje y2 jako linie przerywana

9 line(t,y2, 'linestyle', '--')

10 % %dodaje y3 jako serie kolek

11 line(t,y3, 'linestyle', 'o')

12

13 %inaczej ale robi to samo

14 plot(t,y1)

15 hold on

16 plot(t,y2, 'linestyle', '--')

17 plot(t,y3, 'linestyle', 'o')

18 hold off

19

20 %w ten sposob podobnie ale dodatkowo automatycznie zmienia kolory linii

21 plot(t,y1,t,y2, '--',t,y3, 'o')

22

23 axis([0 5 -1 5]) %nowe zakresy osi

24 xlabel('t')

25 ylabel('aproksymacja sin(t)')

26 title('Wykresy nakladane')

27 legend('sin(t)', 'aproksymacja liniowa', 'aproksymacja piatego rzedu')

6.3 Tworzenie wykresów równoległych

Do rysowania kilku wykresów w jednym oknie służy polecenie subplot. Funkcja ta dzieli okno na siatkę (n, m) podwykresów, na przykład:

subplot(3,2,1) % trzeci argument oznacza na którym wykresie aktualnie rysujemy plot(x)

subplot(3,2,2) plot(y)

...

1 t = linspace(0, 8*pi, 200);

2 y = t.*sin(t);

3

4 figure(1) %tworzy okno

5 subplot(1, 2, 1)% dzieli okno na macierz (1,2) wykresow rysuje na 1

6 area(t, y);

7 subplot(1, 2, 2)% teraz rysuje na 2

8 t = linspace(0, 2*pi, 200);

9 y = sqrt(abs(2.*sin(5.*t)));

10 polar(t, y)

11

12 figure(2) %tworzy drugie okno

13 subplot(1, 2, 1)

14 hist(randn(1, 1000));

15 subplot(1, 2, 2)

16 t = linspace(0, 2*pi, 500);

17 r = sqrt(abs(2.*sin(5.*t)));

18 x = r.*cos(t);

19 y = r.*sin(t);

20 fill(x, y, 'r')