Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą dynamiczną.
I.
Cel ćwiczenia: pomiar współczynnika sztywności dla stali metodą drgań skrętnych.II.
Przyrządy: dwa krążki metalowe, statyw, drut stalowy, stoper, suwmiarka, śruba mikro- metryczna, waga.III.
Literatura: 1. J. L. Kacperski, I Pracownia fizyczna, WUŁ Łódź 1998.IV. Wstęp
Rozpatrzmy „skręcanie” bryły w kształcie walca, zachodzące pod wpływem sił stycznych do obwodu (rys 1).
Siły takie działają m. in. na śrubokręty, wiertła, wały napędowe, a także cienkie nici w galwa- nometrach zwierciadlanych i wagach skręceń.
Naszym celem jest znalezienie współczynnika (modułu) sztywności materiału – ilościowej charakterystyki podatności na skręcenie. Jedna z podstaw walca przedstawionego na rys. 1 jest unieruchomiona, druga pod wpływem działających sił uległa obrotowi o kąt ϕ, a elementarny ”pro-
Rys.1 Skręcenie walca pod wpływem sił stycznych do obwodu.
x
dx dθ
A A′
β ϕ
r
l F
F
O′
O
że długość łuku AA’ pozwala związać ze sobą kąt obrotu podstawy ϕ oraz kąt β, o jaki obróciła się krawędź prostopadłościanu:
=lβ ϕ
′ x= A
A skąd
l
= ϕ
β x
(1) Załóżmy, że kąt obrotu krawędzi jest proporcjonalny do naprężenia stycznego f:
f l
f ⇒ = ϕ
=
β Gx
G
1 (2)
Współczynnik G nazywamy modułem sztywności. Na element powierzchni dS działa siła dF:
f = ϕ l θ
= G x dxd
dS dF
2
(3) ponieważ dS = xdθdx.
Element dS odległy jest o x od osi obrotu, więc moment siły dM wyraża się wzorem:
ϕ θ
=
= G x dxd
xdF dM
3
l (4)
Całkowity moment siły M znajdziemy, całkując wyrażenie (4) ze względu na x i kąt θ:
ϕ ϕ=
= π ϕ θ
=G
∫
x dx∫
πd Gr2 DM
r 4
0 2
0 3
l
l (5)
gdzie
l 2 D Gr
π 4
= , równe liczbowo momentowi siły powodującemu obrót o kąt jednostkowy, bę- dziemy nazywać momentem kierującym.
V. Metoda pomiaru
Równanie (5) wskazuje na możliwość pomiaru współczynnika sztywności przez doświadczal- ne znalezienie zależności pomiędzy przyłożonym momentem sił i kątem skręcenia ϕ. Taka metoda pomiaru nosi nazwę metody statycznej; w ćwiczeniu zastosujemy jednak inną metodę – nazywaną dynamiczną – nie wymagającą znajomości momentu siły M.
Użyjemy krążka zawieszonego na sprężystym drucie w roli wahadła torsyjnego (rys.2). Przy obrocie o kąt ϕ pojawia się moment sił sprężystości, skierowany przeciwnie do momentu sił ze- wnętrznych (wzór (5)) i do kąta ϕ, mającego zwrot prędkości kątowej nadanej krążkowi przy obro- cie:
ϕ
−
= D
M (6)
Po wykorzystaniu związku 2
2
dt Id
M= ϕ, gdzie I oznacza moment bezwładności krążka, a 2
2
dt d ϕ drugą pochodną kąta obrotu względem czasu (tzn. przyspieszenie kątowe), ostatnie równanie moż- na zapisać w postaci:
I 0 D dt d
2 2
= ϕ ϕ+
(7) w której rozpoznajemy równanie ruchu harmonicznego o częstości kołowej ω:
dt 0
d 2
2 2
= ϕ ω ϕ+
(8) gdzie:
D 2 I I T
D T 4
2 2
2 π = ⇒ = π
=
ω (9)
Ponieważ nie znamy ani momentu bezwładności wahadła I, ani momentu kierującego D, nie- zbędne jest dodatkowe równanie, wiążące obie te wielkości – otrzymamy je, dołączając do wahadła dodatkowy krążek (rys.2), którego moment bezwładności I1 można łatwo obliczyć. Okres drgań wyniesie wówczas:
D I 2 I
T1 = π + 1 (10)
Podnosimy do kwadratu obie strony równań (9) i (10):
D 4 I T2 = π2
D I 4 I
T12 = π2 + 1 (11)
Odejmujemy te równania (11) stronami:
D 4 I T
T12− 2 = π2 1 (12)
Z równania (12) można znaleźć moment kierujący:
2 2 1
1 2
T T
I D 4
−
= π (13)
oraz, na podstawie zależności (5), w której zdefiniowano moment kierujący, moduł sztywności wyniesie:
(
12 2)
4 1
4 r T T
I 8 r
D G 2
−
= π
= π l l
(14) Moment bezwładności dodatkowej bryły, którą jest wydrążony walec o promieniach r1 i r2 oraz masie m, wyraża się wzorem:
( )
2 r r I m
2 2 2 1 1
= + (15)
2r1 2r2
dodatkowy krążek
a) b)
Rys.2 a) Układ doświadczalny do wyznaczania modułu sztywności drutu, b) dodatkowy krążek mocowany do podstawowego krążka wahadła.
VI. Pomiary
1. Wyznaczyć kilkakrotnie średnicę drutu 2r za pomocą śruby mikrometrycznej. Obliczyć wartość średnią promienia drutu r .
2. Wyznaczyć kilkakrotnie długość drutu l za pomocą miarki milimetrowej. Obliczyć wartość śred- nią l .
3. Zmierzyć kilkakrotnie średnicę zewnętrzną 2r1 pierścienia dodatkowego za pomocą suwmiarki.
Obliczyć wartość średnią promienia r1.
4. Zmierzyć kilkakrotnie średnicę wewnętrzną 2r2 pierścienia dodatkowego za pomocą suwmiarki.
Obliczyć wartość średnią promienia r2. 5. Wyznaczyć masę m krążka dodatkowego.
6. Zmierzyć kilkakrotnie czas 20 wahnięć wahadła nieobciążonego dodatkowym krążkiem i na tej podstawie obliczyć wartość średnią dla jednego okresu T .
7. Zmierzyć kilkakrotnie czas 20 wahnięć wahadła obciążonego dodatkowym krążkiem i na tej podstawie obliczyć wartość średnią dla jednego okresu T . 1
Wyniki pomiarów można zebrać w tabelach 1 i 2.
Uwaga : Drgania są mało tłumione i można wyznaczyć ich okres przy użyciu stopera. Zaznaczamy na stole laboratoryjnym położenie znaczka na krążku (podłużna kreska wzdłuż promienia) i skręcamy krążek o dość duży kąt. Liczymy przejścia znaczka przez położenie równowa- gi. Przy pierwszym przejściu liczymy „zero”.
Tabela 1 Lp 2r
[mm]
r [mm]
l [mm]
l [mm]
2r1 [mm]
r1
[mm]
2r2 [mm]
r2
[mm]
1 2
…
Tabela 2 drgania wahadła
podstawowego
drgania wahadła z dodatkowym krążkiem
masa krążka dodatkowego lp.
t20 [s] T [s] t′ [s] 20 T [s] 1 m [g]
1 2
…
VII. Opracowanie wyników
1. Obliczyć moment bezwładności I1 krążka dodatkowego wg wzoru (15).
2. Obliczyć współczynnik sztywności G wg wzoru (14).
( )
2 2 21 2 2 1 2 2
1 1 2
T T T T T r 4
16 r I
G I
G
− + ∆
+
+ ∆
+ ∆
± ∆
=
∆ l
l
gdzie ∆l, ∆r, ∆T są niepewnościami pomiarowymi odpowiednio długości drutu, jego promienia i okresu drgań.
Niepewność pomiarową momentu bezwładności ∆I1 można oszacować metodą różniczki zupełnej:
+
∆ + +
± ∆
=
∆ 2
2 2 1
2 1 1
1 r r
r ) r r 2( m I m I
Założyliśmy tutaj, że ∆r1 = ∆r2 = ∆r.
4. Porównać otrzymaną wartość doświadczalną z wartością tablicową.
