3.1 Dodawanie macierzy

(1)

1 Macierz – definicja i zapis

Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę

A =







a₁₁ . . . a_1n ... ... ... a_m1 . . . a_mn







złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili, że „A jest macierzą m na n/m×n” lub „A jest wymiaru m×n”.¹Takie macierze oznaczamy przez (a_ij)_mn lub skrótowo (a_ij). Liczby a_ij nazywamy współczynnikami macierzy. Zbiór macierzy wymiaru m × n o współczynnikach rzeczywistych oznaczamy przez M (m, n). Przez przekątną główną macierzy rozumiemy elementy (aii). Dwie macierze są równe, gdy są tego samego wymiaru oraz ich współczynniki są sobie równe, tzn. (a_ij) = (b_ij) wtw., gdy ∀i∈{1,...,m},j∈{1,...,n} a_ij = b_ij.

2 Przegląd macierzy

• macierze m × 1 — wektory (kolumnowe), np.

A =^h 1 ⁱ, B =







1 2 3





, C =







1 2 3 4 5







;

• macierze kwadratowe (gdy m = n), np.

A =^h −3 ⁱ, B =

"

1 2 3 4

#

, C =







1 2 3 4 5 6 7 8 9





;

• macierze diagonalne — macierze kwadratowe, których jedyne niezerowe elementy znajdują się na

głównej przekątnej, np. A = ^h −3 ⁱ, B =

"

1 0 0 4

#

, C =







−2 0 0 0 5 0 0 0 4





, D =







−2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3







;

• macierze jednostkowe (identyczności) – macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

jedynki: I₁ =^h 1 ⁱ, I₂ =

"

1 0 0 1

#

, I₃ =







1 0 0 0 1 0 0 0 1





, I₄ =







1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







;²

• macierzą zerową (ozn. ją przez 0 (0 ∈ M (m, n)), z kontekstu wnosząc jaki jest jej wymiar) jest (dowolna) macierz złożona z samych zer.

• macierze górnie trójkątne to macierze, które poniżej głównej przekątnej mają same zera (dualnie:

dolnie trójkątne to takie, które powyżej głównej przekątnej mają same zera), np. B =

"

1 3 0 4

#

,

C =







−2 0 0 1 5 0 1 0 4





.

1Aby uprościć notację i zawęzić na razie naszą uwagę, wszystkie definicje i twierdzenia formułujemy dla macierzy o współ- czynnikach rzeczywistych, ale analogiczne definicje i twierdzenia zachodzą dla macierzy o współczynników zespolonych.

2W obliczeniach zazwyczaj będziemy opuszczać indeksy pisząc I, wymiar macierzy wnioskując z kontekstu.

(2)

3 Działania na macierzach

3.1 Dodawanie macierzy

Możemy dodawać jedynie macierze posiadające tę samą liczbę kolumn i wierszy. Dla A, B ∈ M (m, n), A = (a_ij), B = (b_ij) mamy

A + B = (aij+ bij).

Podobnie

A − B = (a_ij− b_ij).

Łatwo można sprawdzić, że

• 0 + A = A + 0 = A (mówimy, że 0 ∈ M (m, n) jest elementem neutralnym dodawania w M (m, n)),

• A + B = B + A (dodawanie macierzy jest przemienne),

• (A + B) + C = A + (B + C) (dodawanie macierzy jest łączne)

3.2 Mnożenie przez skalar

Jeśli α ∈ R, A = (aij), to

α · A = (αa_ij).

3.3 Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy (na pierwszy rzut oka) nie jest tak intuicyjne jak ich dodawanie. Taka a nie inna jego postać wynika z zależności pomiędzy odwzorowaniami liniowymi i ich macierzami (zależności te omówione są nieco dalej w tekście, patrz pkt 4.3). Należy pamiętać, że dla dowolnych macierzy A, B:

A · B istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn A odpowiada liczbie wierszy B

Wtedy jeśli A ∈ M (m, n), B ∈ M (n, p) (czyli liczba kolumn pierwszej macierzy równa jest drugiej), to C = A · B istnieje, oraz C = (c_ij) ∈ M (m, p), gdzie

c_ij =

n

X

k=1

a_ikb_kj.

Aby łatwiej było zapamietać jak mnoży się macierze warto zauważyć, że w i-tym wierszu, j-tej kolumnie macierzy C = A · B mamy wartość iloczynu skalarnego i-tego wiersza macierzy A, w_i(A), i j-tej kolumny macierzy B, k_j(B) (traktowanych jako wektory z Rⁿ), czyli

cij = hwi(A), kj(B)i.

Własności mnożenia macierzy

• Dla dowolnych macierzy A, B, C, które można przemnożyć, mamy A(BC) = (AB)C;

• mnożenie macierzy NIE JEST PRZEMIENNE (nawet w przypadku mnożenia macierzy kwadrato- wych);

(3)

3.4 Transponowanie macierzy

Niech A ∈ M (m, n). Macierz transponowana A^T (transpozycja macierzy A), to macierz, która powstaje poprzez zamianę wierszy z kolumnami. Np. A =

"

1 2 3 4 5 6

#

, A^T =







1 4 2 5 3 6







Własności transponowania. Zakładając, że A, B są takie, że odpowiednie działania można wykonać, mamy

• jeśli A ∈ M (m, n), to A^T ∈ M (n, m),

• A^T^T = A,

• (A + B)^T = A^T + B^T,

• (AB)^T = B^TA^T. Warto też zauważyć, że dla dowolnych x, y ∈ Rⁿ mamy

hx, yi = x^Ty.

3.5 Ślad macierzy

Ślad macierzy A to suma współczynników znajdujących się na głównej przekątnej:

tr A =

m

X

i=1

a_ii.

4 Macierz odwzorowania liniowego

4.1 Reprezentacja odwzorowania liniowego

Niech A ∈ M (m, n), v ∈ Rⁿ, czyli

A =







a₁₁ . . . a_1n ... ... ... am1 . . . amn







, v =







v₁ ... vn







.

Wtedy

Av =





 Pn i=1

a_1iv_i ...

n

P

i=1

amivi







.

Przypomnijmy, że odwzorowanie (przekształcenie) T : Rⁿ7→ R^m jest liniowe, jeśli dla dowolnych x, y ∈ Rⁿ i α ∈ R zachodzą równości:

T (x + y) = T (x) + T (y) i T (αx) = αT (x).

Kluczowy dla nas jest następujący fakt:

Uwaga 1. Odwzorowanie liniowe T może być utożsamiane z macierzą M_T wymiaru m × n, gdzie T (x) = M_T · x.

(4)

Uzasadnienie Uwagi 1 — wyprowadzenie.

Niech

e¹ =^h1 0 . . . 0ⁱ^T, e² =^h0 1 0 . . . 0ⁱ^T , . . . , eⁿ =^h0 0 . . . 0 1ⁱ^T ∈ Rⁿ oraz

f¹ =^h1 0 . . . 0ⁱ^T , f² =^h0 1 0 . . . 0ⁱ^T , . . . , f^m =^h0 0 . . . 0 1ⁱ^T ∈ R^m. Niech T : Rⁿ7→ R^m będzie przekształceniem liniowym. Wtedy

T (ej) = a1jf¹ + ... + amjf^m =

m

X

i=1

aijfⁱ, dla a_1j, ..., a_mj ∈ R, j = 1, . . . , n. Stąd dla dowolnego x ∈ Rⁿ mamy:

x = x₁e¹ + x2e²+ ... + xneⁿ, x = (x₁, ..., x_n), y = T (x) =

m

X

i=1





n

X

j=1

a_ijx_j



fⁱ.

Widzimy, że odwzorowanie T jest jednoznacznie wyznaczone przez współczynniki a_ij. Co więcej, łatwo zauważyć, że

m

X

i=1





n

X

j=1

a_ijx_j



fⁱ = M_T · x, gdzie

M_T =







a₁₁ a₁₂ . . . α_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn







jest macierzą odwzorowania T . Kolumny macierzy MT tworzą wektory, które są obrazami wektorów e¹, . . . , eⁿ poprzez przekształcenie liniowe T :

M_T= [T (e¹) T (e²) ... T (eⁿ)].

Ostatecznie mamy

T (x) = M_T · x.

Oznacza to, że zamiast badać odwzorowanie liniowe T : Rⁿ 7→ R^m, możemy badać jego macierz M_T ∈ M (m, n).

4.2 Przekształcenia płaszczyzny

• identyczność:

T

"

x₁ x₂

#!

=

"

x₁ x₂

#

, M_T =

"

1 0 0 1

#

;

• „rozciąganie i ściąganie”:

T

"

x₁ x₂

#!

=

"

ax₁ bx₂

#

, M_T =

"

a 0 0 b

#

;

• Symetria względem prostej y = x:

T

"

x₁ x₂

#!

=

"

x₂ x₁

#

, M_T =

"

0 1 1 0

#

;

• Obrót o kąt α ∈ [0, 2π):

(5)

4.3 Sumowanie i mnożenie macierzy a odwzorowania liniowe

To w jaki sposób (i kiedy) dodajemy i mnożymy macierze jest ściśle związane ze związkami macierzy z odwzorowaniami liniowymi. Dokładniej,

1. jeśli S, T : R^m 7→ Rⁿ, ich macierze to M_S, M_T ∈ M (n, m), to M_S+T = M_S + M_T, gdzie M_S+T jest macierzą odwzorowania S + T ,

2. jeśli S : R^p 7→ R^m, T : R^m 7→ Rⁿich macierze to M_S ∈ M (m, p), M_T ∈ M (n, m), to M_{T ◦S} = M_T· M_S, gdzie M_{T ◦S} jest macierzą odwzorowania T ◦ S.

Ważne pojęcia i zagadnienia: macierz, współczynniki macierzy, rodzaje macierzy, dodawanie, mnożenie, transpozycja macierzy i własności tych działań, reprezentacja odwzorowania liniowego, macierz odwzorowania liniowego macierze wybranych przekształceń płaszczyzny, zastosowania ekonomiczne macierzy.