Algebra liniowa, WNE, 2018/2019
ćwiczenia 19. – rozwiązania zadań domowych
6 grudnia 2018
Grupa 8:00
1. Niech W = lin((1, 1, 2)). Znaleźć bazę podprzestrzeni W⊥ w przestrzeni R3.
Jest to przestrzeń rozwiązań równania x1= −x2− 2x3, czyli jej baza to {(−1, 1, 0), (−2, 0, 1)}.
2. Niech W = lin((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (2, −2, 2, −4)) oraz V dana jako przestrzeń rozwiązań równania x1+ 2x2− x3+ x4= 0 będą podprzestrzeniami przestrzeni R4ze standardowym iloczynem skalarnym. Znaleźć bazy ortonormalne przestrzeni W i przestrzeni V .
Najpierw W :
w1= (1, 0, 1, 0), w2= (0, 1, 0, 2) −h(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2)i
h(1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)i(1, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 2) −0
2(1, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 2), w3= (2, −2, 2, −4) −h(1, 0, 1, 0), (2, −2, 2, −4)i
h(1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)i (1, 0, 1, 0) −h(0, 1, 0, 2), (2, −2, 2, −4)i
h(0, 1, 0, 2), (0, 1, 0, 2)i (0, 1, 0, 2) =
= (2, −2, 2, −4) −4
2(1, 0, 1, 0) − −10
5 (0, 1, 0, 2) = (0, 0, 0, 0).
A zatem baza ortogonalna W to {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2)}, czyli baza ortonormalna ton(1,0,1,0)
√2 ,(0,1,0,2)√
5
o . Baza V to {(−2, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}. Ortogonalizujemy:
v1= (−2, 1, 0, 0),
v2= (1, 0, 1, 0) − h(−2, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)i
h(−2, 1, 0, 0), (−2, 1, 0, 0)i(−2, 1, 0, 0) = (1, 0, 1, 0) +2
5(−2, 1, 0, 0) =1
5(1, 2, 5, 0), v3= (−1, 0, 0, 1) −h(−2, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1)i
h(−2, 1, 0, 0), (−2, 1, 0, 0)i(−2, 1, 0, 0) −h(1, 2, 5, 0), (−1, 0, 0, 1)i
h(1, 2, 5, 0), (1, 2, 5, 0)i (1, 2, 5, 0) =
= (−1, 0, 0, 1) −2
5(−2, 1, 0, 0) + 1
30(1, 2, 5, 0) = 1
30(−5, −10, 5, 30) = 1
6(−1, −2, 1, 6).
Czyli baza ortogonalna V to np.: {(−2, 1, 0, 0), (1, 2, 5, 0), (−1, −2, 1, 6)}, a baza ortonormalna to w takim razie:n(−2,1,0,0)
√5 ,(1,2,5,0)√
30 ,(−1,−2,1,6)
√42
o .
Grupa 9:45
1. Niech W = lin((1, 1, 3)). Znaleźć bazę podprzestrzeni W⊥ w przestrzeni R3.
Jest to przestrzeń rozwiązań równania x1= −x2− 3x3, czyli jej baza to {(−1, 1, 0), (−3, 0, 1)}.
2. Niech W = lin((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 2), (2, 2, −2, −4)) oraz V dana jako przestrzeń rozwiązań równania x1− x2+ 2x3+ x4= 0 będą podprzestrzeniami przestrzeni R4ze standardowym iloczynem skalarnym. Znaleźć bazy ortonormalne przestrzeni W i przestrzeni V .
Najpierw W :
w1= (1, 1, 0, 0),
1
w2= (0, 0, 1, 2) −h(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 2)i
h(1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)i(1, 1, 0, 0) = (0, 0, 1, 2) −0
2(1, 1, 0, 0) = (0, 0, 1, 2), w3= (2, 2, −2, −4) −h(1, 1, 0, 0), (2, 2, −2, −4)i
h(1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)i (1, 1, 0, 0) −h(0, 0, 1, 2), (2, 2, −2, −4)i
h(0, 0, 1, 2), (0, 0, 1, 2)i (0, 0, 1, 2) =
= (2, 2, −2, −4) −4
2(1, 1, 0, 0) − −10
5 (0, 0, 1, 2) = (0, 0, 0, 0).
A zatem baza ortogonalna W to {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 2)}, czyli baza ortonormalna ton(1,1,0,0)
√2 ,(0,0,1,2)√
5
o . Baza V to {(1, 1, 0, 0), (−2, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}. Ortogonalizujemy:
v1= (1, 1, 0, 0),
v2= (−2, 0, 1, 0) −h(1, 1, 0, 0), (−2, 0, 1, 0)i
h(1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)i (1, 1, 0, 0) = (−2, 0, 1, 0) + 2
2(1, 1, 0, 0) = (−1, 1, 1, 0), v3= (−1, 0, 0, 1) −h(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1)i
h(1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0)i (1, 1, 0, 0) − h(−1, 1, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)i
h(−1, 1, 1, 0), (−1, 1, 1, 0)i(−1, 1, 1, 0) =
= (−1, 0, 0, 1) +1
2(1, 1, 0, 0) − 1
3(−1, 1, 1, 0) = 1
6(−1, 1, −2, 6).
Czyli baza ortogonalna V to np.: {(1, 1, 0, 0), (−1, 1, 1, 0), (−1, 1, −2, 6)}, a baza ortonormalna to w takim razie:n(1,1,0,0)
√2 ,(−1,1,1,0)√
3 ,(−1,1,−2,6)
√42
o.
2
