Répartition modulo 1 des suites g-additives

(1)

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I: COMMENTATIONES MATHEMATICAE XXI (1979) ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO

Séria I: PRACE MATEMATYCZNE XXI (1979)

Jean Coquet (Aulnoy-les-Valenciennes)

Répartition modulo 1 des suites g-additives

0. Introduction 0.1. Rappel de définitions.

0.1.1. Soit q un entier ^ 2.

Une fonction g de N dans C est dite ^-multiplicative ([11], [12]) si:

g{ 0) = 1 et

g(aqk+b) = g(aqk)g(b) quels que soient ke N, a e N et b e { 0 , qk— 1}.

Une fonction / de N dans C est dite g-additive si:

/ (aqk+b) = f (aqk) + f (b) quels que soient k e N, a e N et b e { 0 , qk— 1}.

0.1.2. g étant une fonction de N dans C, on appelle spectre de Fourier- Bohr de g et on note S (g) l’ensemble suivant:

0.1.3. Une fonction g de N dans C est dite pseudo-aléatoire (au sens de Bertrandias, [1], [2]) si, pour tout feiV, la fonction qui, à tout n e N associe g(n + t)g (n) a une valeur moyenne y (r), la corrélation y ayant de plus une moyenne quadratique nulle.

0.1.4. Pour tout x réel, on pose ||x|| = Min \x — n\.

neZ

0.2. Quelques résultats.

On sait qu’une fonction pseudo-aléatoire a un spectre vide et que la réciproque est fausse en général : g(n) = e (>/ü) est à spectre mais n’est pas pseudo-aléatoire.

Dans la première partie, nous prouverons les résultats suivants énoncés dans la note [5] et qui généralisent un théorème obtenu par Mendès-France et l’auteur ([8]) pour une classe particulière de fonctions ^-multiplicatives : avec la convention que e(u) = е 1Ш.

(2)

Théorème 1. / est une fonction q-additive réelle. On pose g(n) = e (f(n)), pour tout n e N , de sorte que g est q-multiplicative de module 1. Les 4 assertions suivantes sont équivalentes:

(A) g est à spectre vide.

(B) g est pseudo-aléatoire.

+ oo q — 1

(A') Pour tout a réel, £ \\f (aqr)+ctaqr\\2 = + o o .

r = 0 a = 1

+ 00

(В') Е I \\f(<uf)-af(<f)\\2 = +C0.

n = 0 2 $ q

Théorème 2. g i , . . . , g s sont des fonctions q-multiplicatives de module 1, P i , . . . , p s sont des entiers naturels. On pose g(n) = gi (n) , ..., gs(n) et g*{n)

= Q\ (n +Pi ) ••• Gsin + Ps)- Les 4 assertions suivantes sont équivalentes:

(A) g est à spectre vide.

(B) g est pseudo-aléatoire.

(C) g* est pseudo-aléatoire.

(D) g* est à spectre vide.

Dans la deuxième partie, nous donnons une application de ces résultats à la répartition modulo 1 des suites g-additives. Enfin, dans la troisième partie, nous étudions la répartition modulo 1 de certaines sous-suites de suites ^-additives.

I. Démonstration des théorèmes 1 et 2 I.A. Théorème 1.

La démonstration du théorème 1 se fait selon le schéma logique suivant : (B) => (A) => (A;) => (B) => (B). On utilisera (B') sous la forme suivante: l’une au moins des 2 séries (Si) et (S2) diverge:

(51) X Z \ \ f ( ^ ) - a f ( q r)\\2 (q ^ ^3).

r = 0 q — 1

+ oo

(52) I \\f(<f*l) - qf ( <n \\ 2.

r = о

Le fait que (B) implique (A) est évident.

I.A .l. Preuve de (A) => (A').

Lemme 1. (A) о (A').

+ oo q — 1

D é m o n s tr a tio n . Si £ £ \\f(aqr)+ocaqr\\2 = + oo, la fonction /ia

r = 0 a = 1

(3)

Répartition modulo 1 des suites q-additives 25

définie par h7(n) = g(n)e(ocn), ^-multiplicative de module 1 a une valeur moyenne nulle d’après les résultats de Delange [11].

+ 00^{q — l}

S’il existe a0 tel que £ £ ||/(a g r) + a 0 agr||2 < + o o , alors il existe r = 0 a = 1

r0 e/V tel que:

q-1

pour tout Г > r0, £ K 0 {aqr) Ф 0.

a— 0

Par conséquent, compte tenu des résultats de [11], h1Q n’a pas une valeur moyenne nulle sur qr° N . Donc h7Q n’a pas un spectre vide, et g non plus.

I.A.2. Preuve de (A') => (B'). Elle repose sur deux lemmes : Lemme 2. Lorsque (SJ converge, (A') équivaut à:

+ ⁰⁰

(A*) pour tout cl réel, \\f (qr)+&qr\\2 = + o o .

r = 0

D é m o n s tr a tio n . Elle est immédiate.

Lemme 3. (A*) => (S2) diverge.

D é m o n s tr a tio n . Elle figure dans [8].

Il reste à prouver que (B') => (B). Pour cela, nous avons besoin de renseignements sur la corrélation.

I.A.3. Existence de la corrélation. L’existence de la corrélation y de g se démontre comme dans [4] ou [13].

Nous nous contentons d’énoncer les lemmes.

Lemma 4. Soit t e N et f une fonction q-additive réelle. Il existe une partition de N en progressions arithmétiques Pm, me N* , telles que:

f (n + t)—f (n) reste constant (égal à Âm) si n décrit Pm.

Lemme 5. Soit {Pm; mEl S*} la partition précédente, Xm la valeur de f(n + t)—f ( n ) si n décrit Pm, soit d( Pm) la densité de Pm: la fonction

g = e ( f ) a une corrélation y donnée par:

y{t) = X d(Pm)e(Àm).

m>- 1

N o t a t io n s . (1) Pour tout k e N , posons f k(n) = f ( q kn) et gk(n) = g(qkn)

= e ( f k(n))

(2) Le lemme 5 implique que gk a une corrélation notée yk. D’après le théorème de Wiener affirmant que toute suite définie positive a une cor

rélation, on peut dire que y a une corrélation, notée Г, et que yk a une corrélation notée Гк.

Le fait que g soit pseudo-aléatoire se traduira par Г(0) = 0.

(4)

I.A.4. Relations entre les Г к.

Lemme 6. Pour tout a e { 0 , q — 1}, tout u e N et tout k e N , on a : yk(qu + a) = — {yk + l (u) Z 9k(b)gk(b + a) +

9 O^büq-a-l

+ yk+1( u + l ) Z ⁹k(b)gk(b + a + q)}.

q - a ï ! b ^ q — 1

D é m o n s tr a tio n .

q N - 1 ______ q - 1 N - 1 ______________

Z 3kNéft(m + ^ + a ) = Z Z (фи'+b)gfk(g(m4u) + a + 6)

m = 0 b = 0 m ' = 0

______ /V - 1 ___________

Z ⁹k(b)gk(b + a) Z ^gk+i(m')⁰k+i(m' + u) +

0 ^ b i q — a - 1 m' = 0

+ Z ^k(b)âffc(b + a-4)x

q — a i b ^ S L q — 1 /V - 1 ___________

X Z gk+i(m')gk+1(m' + u + l ) .

m ' = O

Il ne reste plus qu’à diviser les 2 membres par giV et à faire tendre N vers l’infini.

N o t a t io n s . Pour tout k e N et tout a e { 0 , q} , posons:

Aa, k = Z ⁰кФ)дкФ + а), А'аЛ = Z gk(b)gk(b + a - q ) .

O i b ^ q — a — l q - a i b i q - l

Remarquons que A'aJk = d 9_ûJb A'0,k = 0, Аол = q, \AaJ ^ q - a . R em arque. La conclusion du lemme 6 se traduit par:

yk(qu + a) = y (АаЛук+1(и) + А'аЛук + 1{и+1)).

Lemme 7. On a, pour tout k e N

u t r k( o) = 4 - { n +. ( 0 ) - i 1(i/)„.ti2 + K ti2) + n +i ( i ) - 1 ’ ÂZkà:,k+

q a = 0 a = 0

+ Г к+1 ( ¹) * Z Аа,кА'аЛ} ‘,

a = 0

(2⁾

(3)

Lk(l) = Гк(— 1);

1 « - 1 ___ ___

L f c ( l ) = — з - { Г к + 1 ( 0 ) - Z ( ^ a , f c ^ a + l , k + ^ a , k ^ e + l , f c ) +

9 a = 0

q - 1 ___ q - 1 ___

+ r , +1(D- I Aa+ i k + r k+i ( - D - £

a = 0 a= 0

(5)

D é m o n s tr a tio n . (2) évident (1)

qN~l J V - l r l

Z ^\Ук^(u')\2⁼ Z Z ^\^Ук(ци⁺^а^)\:

u‘ = 0 u = 0 a = 0

JV — 1 q — 1

- I I

u = 0 a = 0

1 (^a.fc Ук+ 1 (w)+da,fc'yfc+i (w + 1))

d’après la remarque qui suit le lemme 6

= Z Z ~ r {\Aa,k\2\yk+l(u)\2+№a.k\2\yk+ t ( u + l)\2 +

u = 0 a = 0 <7

+ d a,k + ! (U) yfc + 1 {U+ 1)'+ Aa,k A'a,k yk +l (u)yk+1( u+l ) } . D ’où le résultat en divisant le premier et le dernier membre par qN et en faisant tendre N vers l’infini.

qN - 1_____ JV — 1 q - 1_________

(³) Z Ук(и')ук{и'+1) = Z Z yAqu + a)yk(qu + a + l )

u' = 0 u = 0 a = 0

JV — 1 J _______________________________________

= Z Z - т ( А а,кУк+1 (и) + Аа,кук + 1( и + 1))х

u = ⁰⁰^{^a^q}^-2^Я

X ^{(Aa+Uk Ук+}¹ (и)+ A'a + икУк+l («+ ¹)) +

JV — 1 ____________

+ Z yk(qu + q - l ) y k(q(u+\))

u = 0

= ^—^y I Z [ Z (^a,k ^{Aa + l k} |y^{fc+1 (u}^)\2 +

q u = 0 0 < о ^ - 2

"b Agfk A'a + i k\yk + 1)|2 + + АаЛЛ'а + i tkyk + i {u)yk + 1 (u+ 1) + + A'a,kAa+Ukyk + i { u + l ) y k +l {u)) +

+ q{Aq- i , kyk+i(u) + A,q..l 'kyk + 1(u+ l))yk + 1(u + 1)]}.

D ’où le résultat en divisant les 2 membres par qN et en faisant tendre N vers l’infini, comptetenu du fait que:

Aq—i,k Aqk~\~ Aq—i<k Aqk qAq — i k et N o ta tio n . Pour tout k e N , posons

A k Bk Bk N k = Dk Ek Fk Dk Fk Ek

A q — l , k A q tk q A q — l tk ’

(6)

OÙ

4 - l ' t K ^ + K * ! 2).

Я. a = 0

BL 1 q~ l — Г S ^a,k^a,k’

4 a = 0

J «-1 _ _ _ _

* к 3~ На,к ô+ l,k â,k â+ l,k)’

4 a = 0

1 9 - 1 ---

Ek = 3~ X ^a,k^a+l,k’

4 a — 0

1 q~ 1—r~

^k 3~ ^a,k^a+l,k*

4 a = 0

Le lemme 7 implique, compte-tenu des notations précédentes:

Lemme 8. Pour tout IeN*

~ Г ( 0 ) ~ П ( 0 )

Г ( 1 ) = i V0 . . N , - 1 Л ( 1 )

Г ( - 1 ) Л ( - 1 )

I.A.5. Cas où (S^ diverge (q étant > 2). Posons + 00

a0 = Inf { я е { 2 , . . . , $ - 1 } / Х \\f{aqr) - a f { q r)\\2 = + co}

r = 0

et

"к = /к Ы - /к ( 1 ) - /к ( а о “ 1)- Alors

|е(Л(««о-1)) + е(Л (о о )-Л (1 ))|+ 2 abüq-a0I *

^ ^ — a0—l + |l + e(cok)|

= q - a 0 -1-1 + 2 (cos лшк — 1)

< 4 - a 0 + l - 4 | | œ k||2.

N o t a t io n . Comme dans [13], à toute matrice, carrée d’ordre 3,

3

A = [ a j , on associe la norme ЦИ1Н = Max ( £ \аи\).

1 2=1

Il est facile de voir que ||| • ||| est une norme d’algèbre:

Н И * 1 Н ^ Н И Н 1 111*111.

Lemme 9. Quel que soit k e N ,

^ 1 -

4 |K I |2

(7)

Répartition modulo 1 des suites q-additives 2 9

D é m o n s tr a tio n .

Л ^ -т[ Z (Ma,J2 + M«,J2)+ K -1)2+(4-«o + l - 4ll"fcll2)2]

Q аФа0~ 1

Z ( ( q - a)2 + a2) + (a0- l ) 2 + {q-ao)2 + 2(q- ao) +

q а Ф О

аф a0 — 1

+ 1 -8 ||<uJ 2 + 1 6 K | | 4]

£ ( (« - a ) 2 + a2) - 4 ||< u j 2] .

4 a = 0

La majoration triviale de |Bk| étant:

1 ч- l

|в*1 < —г Z a ( q ~ a)>

q a — 0

on obtient:

Hd + 21 Bk\ « 1 - 4 ||cot ||2

„ 3

D ’autre part,

lDk l ^ “V [ Z ( ( q - a ) ( q - a - \ ) + a{ a+l ) ) + { q - a 0)\Aao_ Uk\ +{ a0- l ) a 0]

q а Ф а 0 - 1

< -т[ Z ( ( q - a ) { q - a ~ l ) + a ( a + l ) ) - 4 \ \ œ k||2],

q a = 0

\Ek\ ^ -~ r Z ( q - a ) ( a + 1)

q a =0 et

\Fk\ ^ - T Z a ( q - a - l ) .

q a = 0

Donc

|BJ + |£ J + |F J < 1 -

4 ||® J 2

„3 Lemme 10. Si (S!) diverge, g est pseudo-aléatoire.

D é m o n s tr a tio n . Pour tout l e N , 0 ^ |Г,(1)| = \ r t ( —1)| ^ Г,(0) ^ 1.

Il en résulte, d’après le lemme 8 qui:

П 0) n ( l - 4 y . ) (lemme 9).

(8)

Il suffit donc de prouver que On aurait:

+ 00 Z M 2

к = 0 + oo. Supposons le contraire.

Ï Ш а о ) - Л ( 1 ) - Л ( в о - 1 ) ||2 < + ° ° .

k = 0

D’autre part, d’après la définition de a0, on a:

+f 1 1 Л (в о -1 )-(а о -1 )Л (1 )||2 < + c o .

k = 0

Des 2 affirmations précédentes, il en résulterait que:

+ 00Z И/кЫ-«оЛ(¹)¹¹² < +oo,

k= 0

en contradiction avec la définition de a0.

I.A.6. Cas où (Si) converge.

On se ramène au 1er cas (divergence de (Si)) en changeant de base.

On pose d = q2.

Lemme 11. Toute fonction q-additive (resp. q-multiplicative) est d-additive (resp. d-multiplicative).

D é m o n s tr a tio n . Ce lemme est trivial.

Lemme 12. Si (SJ converge et (S2) diverge, g est pseudo-aléatoire.

D é m o n s tr a tio n . La divergence de (S2) implique celle de L I 11/(а<Г)-а/(«')||2

r = 0 2 ^ a < d

donc celle de l’une au moins des deux séries suivantes:

00

(Sf) I S Wf(ads) —af(iF)\\2,

s= 0 2S~a<d

( S D î Z \\naq<?)-af(qce)\\2.

s = 0 2 ^ a < d

Si (S*) diverge, g = e ( f ) , est pseudo-aléatoire d’après le lemme 10. Si (S**) diverge, g x = e ( / J est pseudo-aléatoire d’après le lemme 10 et, d’après le lemme 8, g l’est aussi. Le lemme 12 est démontré, le théorème 1 aussi.

I.B. Théorème 2.

Le démonstration est faite selon le schéma logique suivant:

(A) => (B) => (C) => (D) => (A).

(9)

Le fait que (A) implique (B) est contenu dans le théorème 1. Le fait que (C) implique (D) est connu.

I.B.l. Démonstration de (D) => (A). La démonstration repose essentiellement sur le lemme 4 qui va nous permettre de démontrer, avec les notations du théorème 2:

Lemme 13. Une condition suffisante pour que g ait une valeur moyenne nulle sur N est que la fonction g* ait une valeur moyenne nulle sur les progressions qrN + v (r e N , v e N ).

D é m o n s tr a tio n . Posons g fri) = e(f(n)) où f est q-additive réelle.

D’après le lemme 4, il existe une partition de N en progressions sur lesquelles toutes les fonctions f ( n + Pi)—f ( n ) restent constantes. Ces prog

ressions, mises en évidence par Bésineau [4], sont de la forme qrmN + + vm (m ^ 1).

Sur ces progressions Pm,

g(n) = K mg*(n) où K m est une constante de module 1.

Donc, d’après l’hypothèse, g a une valeur moyenne nulle sur toutes les progressions Pm.

On en déduit que g a une valeur moyenne nulle sur N.

R em arques. 1° On pourrait démontrer un résultat plus général, mais que nous n’utiliserons pas: g* a une valeur moyenne nulle sur toutes les progressions qrN + v si et seulement si g a la même propriété.

2° Par une technique indépendante, on peut prouver en supposant seulement que les fonctions ^-multiplicatives gt sont de module ^ 1 que, si g a une valeur moyenne nulle sur toutes les progressions qrN + v , il en est de même pour g *, la réciproque étant d’ailleurs fausse.

Lemma 14. (D) implique (A).

D é m o n s tr a tio n . Supposons que g* soit à spectre vide. Alors quelle que soit la progression qrN + v et quel que soit a réel, la fonction g*(n)e(ccn) a une valeur moyenne nulle sur qrN + v . Il en est donc de même pour la fonction:

Le lemme 13 appliqué à cette fonction montre que g(n)e(an) a une valeur moyenne nulle sur N. Donc g a un spectre vide.

I.B.2. Démonstration de (B)=>(C). Pour simplifier les notations dans la démonstration, on suppose que s = 2. Par translation, on se ramène à prou

ver que, si g(n) = gi {n)g2 {n) est pseudo-aléatoire, la fonction g*{n) = gi (n)x X 9i ( n + P) l’est aussi (p e N *).

(10)

N o ta tio n s . 1° y désigne la corrélation de g, Г celle de y, y* celle de g* et Г* celle de y*.

2° K est l’entier naturel défini par 9K~ l ^ P < qK■

3° Pour tout re/V, on pose:

01.г(л) = 9i (q rn), g2,r(n) = g2 {qrn) et gr(n) = g(qrn).

Il s’agit de prouver que Г*(0) = 0, c’est-à-dire que |y*|2 a une valeur moyenne nulle.

1 -ère étape.

Nous nous ramenons à des calculs de corrélations plus simples. On a:

J qKN - 1 _____

y*(t) = lim —г.— Y g*(n)g*(n + t) pour tout teiV.

Л/- + СО q K N „ = o

Posons: n = qKn’ + n" avec n"e { 0 ,..., qK — 1} et t = qKt' + t” avec t"e{ 0 ,...

y * (î)= lim - d — Y У 9 l (9k n '+ n " )9 i(/(n ' + t')+«" + t'')x + » (j iV n, = 0 n,, = 0

x 9г (9* «' + n" + p) g2 (qK (П' + 1') + n" +1").

Dans cette somme double, des termes différents apparaissent selon les valeurs de n" et t". On distingue plusieurs cas:

1- er cas: t" ^ p :

(a) si n"-K" + p < qK■ On obtient des termes en

9ик(п')ди к (п'+Г) д2,к {п')д2 л (п’ + Р) = 9K(n')gK(n'+t');

(b) si n” + t” + p ^ qK et n" + p < qK (alors ri' + t" + p < 2qK), termes en 9 и к Ю 9 и к ( п' + 1') 92.x (л')92,х («' + *'+1);

(c) si n” + p ^ qK et n” + t" < qK (alors n" + r" + p < 2qK), termes en 9i,x (n')9i,K (n'+ f ) g 2,K (n'Æ l)âf2.к (n' + t' + 1);

(d) si n" + t" ^ qK et n"-H" + p < 2qK, termes en

9i,x(n')9i.x(H' + r' + 1)д2,к{п'+ \)дЛ K(ri + t'+ 1);

(e) si n" + t" ^ qK et n" + t" + p ^ 2qK, termes en

9 i.x (и') 9i.x («' + *' + 1)92.х(л'+ 1)9г,х («' + *'+ 2).

2- ème cas: t” > p:

(a) si n" + t" + p < qK, termes en

9к(п’) 9 к ( п ' + 0 ;

(11)

Répartition modulo 1 des suites q-udditives 33

(b) si n” + t” + p ^ qK et n" + t" < q k , termes en 9i.k (п')дик (n' + t')g2,K (ri)g2,K (w' + 1'+ 1);

(c) si ri’ + t” ^ q K et n” + p < q K, termes en дк(п')дк(п' + 1 '+ 1);

(d) si n” + p ^ qK et n" + t" + p < 2q K, termes en

g uk (n>) g i,K + ? + 1)д2,к(п'+ i ) g 2, K ( r i + t ' + 1);

(e) si n" + p ^ qK et r i’ + t" + p ^ 2q K, termes en

guK(ri)guK(ri + f + l ) g 2yK( r i + l ) g 2tK(ri + t' + 2).

N o ta tio n s . Pour tout rel S, on définit les corrélations suivantes (leur existence se prouve comme le fait Bésineau dans [4] pour un cas particulier):

1 JV — 1

ïurit') = lim — Y. gi^(ri)gur(ri)gur(ri + t,) g2<r(ri + t ' + l ) , N-* + co N n. = o

J N ~ 1 _______________________

72,г( 0 = lim — X 0 1,г(и')02.г(л '+1)01>г(и' + О02,г(л' + *, + 1)>

1 V — 1

7з.г(0 = lim — £ gur(ri)g2,r(ri)gUr(ri + t' +l)g2'r(ri + t' +l), N - 1

74,г( 0 = lim — £ 9ur(ri)g2,r(r i+ l)guAri + t' +l)g2tr(ri + t' +l), V- + 00 N

N-1

7s,r(0 = lim — I И1,г(и')?2.г(и' + l)0i,r(n' + l' + l)fl3,r(«' + t 4 2 ) .

■V- + CO N „. = 0

Enfin y, est toujours la corrélation de gr.

De ce qui précède, on déduit qu’il suffit montrer que |y1>K|2,.. . --*•* I7s.a-|2 et l7xl2 ont une moyenne nulle: on remarque en effet que y(f) est combinaison linéaire de 7i,k(0»*---» 7s,k(0 et yK(t'), les coefficients ne dépendant que de p et t”.

On remarque aussi que Уз,А(t7) = y ^ f '- f l) et У5,к(0 — 72,k(*, + 1). On est donc ramené à prouver que yltA;, 72,к» У*,к et У к ont une moyenne quadratique nulle: c’est la 2-ème étape.

2-ème étape.

Nous montrerons seulement que yK et у 1ж ont une moyenne quadratique nulle (les calculs pour y2>K et y4>A: étant semblables à ceux faits pour y1Jt).

(a) 1Ук12 est nulle en moyenne.

En effet, si g est à spectre vide, gK l’est aussi (d’après le théorème 1) gK étant g-multiplicative de module 1, est donc pseudo-aléatoire.

3 - Prace Matematyczne 21.1

(12)

(b) |7i,a-|2 est nulle en moyenne.

Posons t' = qti + t2 et n' = qnl + n 2 avec (t2, n2)e { 0 , q — l } 2.

q N - 1 _________ _________

Z 9\,r(л')9i,r(n' + £')02,r(Юg2,r(n' + £' +1)

n' = 0

N - 1 « - 1 _______________ ____________________

= Z Z ^ l , r ( ^ l + « 2 ) 0 2 , r ( 0 « l + « 2 ) 0 1 , r ( 0 ( « l + ? l ) + « 2 + ^ l ) x

= О л2 = O

X 0 2 , r ( 0 ( « l + ï l ) + « 2 + Ï2 + l )

N -l _______ ____

= ( Z 0 r + l ( " l ) 0 r + l ( « l + f l ) M Z ^ r ( « 2 ) 0 1 , r ( f 2 + « 2 ) 0 2 , r ( Î 2 + « 2 + l ) ) +

«1 = 0 J)^n2^.q — t2 — 2

N - 1 ___________

+ ( Z 9 r + i { n i ) g i , r + i ( n i + t i ) g 2 , r + i { n 1 + t 1 + l ) ) g r ( q - t 2 - \ ) g U r ( q - l ) +

= O

N — 1 ___________

+ ( Z 0 r + l ( t t l ) 0 r + l K - K l + l ) ) x

и j = O

x ( Z gr(n2)gi,r{t2 + n 2 - q ) g2,r(t2+ n 2 + l - q ) ) . q - t^ n ^ q - 1

Divisons les 2 membres par giV et faisons tendre N vers l’infini. Il vient:

7 i,r(0 = — {Vr+ i(ti)- Z gr(n2)gi,r(t2 + n2) g2,r{t2 + n 2 + l) +

g 0^n2^q-t2~2

H - T l . r + l ( f l ) - ^ r ( 0 - ^ 2 - l ) 0 1 , r ( 0 - l ) +

+ y r + 1 ( t 1 + l ) - Z g r ( n 2) g i , r ( t 2 + n 2 - q ) g 2 , r ( t 2 + n 2 + l - q ) }

q~t2^n 2^q~ 1

= — {0r(t2)yr+ l ( t l ) + e r ( t 2)yi,r+l ( f l ) + e " (f2)Vr+ iCfi + 1)}

g

avec |0r(f2)l ^ g - t 2- l , m 2)\ = 1, №'(*2)l < h . On a donc:

j q i V —1 j V — 1 q - 1

- T C Z l7i,r(OI2 ^ - T T C Z Z I M * 2 ) ) V + i ( ï i ) + 0 ^ 2 ) y i , r + i ( ï i ) +

g^ f= о 0 [r= o ( 2=o

+e"(b)y,+i(t. + DI2

« - J r f l I [ f a - t 2- l ) 2y,+1((i)l2 + 0 u = ° »2 = 0

+ | y 1 ,r + 1 (<l )| 2 + ' 2 1Уг+ 1 ( I l + l ) i 2]

d’après l’inégalité de Schwarz.

(13)

Comme yr+1 est nulle en moyenne quadratique:

lim

q N - 1

+oo qN t.=0Z l7i.r(OI:^ —г lim -гг Z lyi,r+i(c)l³ ^__ ^{1 N -l}

q n- * +oo ™ t x= о

^ ! lim -кг Z iyi,r+i(*i)i2-

N -> + oo f i = 0

Par conséquent, quel que soit q eN*, t o ] г S ' l ) ’i.K(t')l2 « ( ! ) s t o N -» + оо N f = 0 N-> + О

|у1Л-|2 est nulle en moyenne.

j л -1

“ГГ Z IVi./r+e

,' = o (O î ^ (0 e,

II. Application à la répartition modulo 1 II.A. Rappel: suites à spectre vide.

Soit ( / (n)),ets une suite de réels. On appelle spectre de la suite / (au sens de Mendès-France [14]) et on note Sp ( / ) l’ensemble:

[cceR /Z /(f (n) + cm),eN n’est pas équirépartie modulo 1}.

On peut relier le spectre S p ( / ) aux spectres de Fourier-Bohr cf(e {m f)) des fonctions e(mf(n)) en remarquant que, d’après le critère de Weyl

Sp ( / ) = [ a e R /Z j 3 m e N *, ma e - f (e (m/))}.

Remarquons que, dans [9], Daboussi et Mendès-France donnent une défini

tion légèrement differente de Sp ( / ) mais les résultats que nous énoncerons sont encore valables si on remplace la définition donnée dans [14] par celle donnée dans [9].

Dans l’article [14], Mendès-France étudie les suites à spectre vide et montre qu’elles ont une propriété intéressante:

Si la suite ( /) est à spectre vide, quelle que soit A une suite d’entiers croissante au sens large, dont la fonction caractéristique généralisée xa est presque-périodique B, de moyenne > 0, la suite ( / (n)\,eA est équirépartie modulo 1.

La théorème 1 permet d’obtenir le résultat suivant, qui apparaît dans [5].

II.B. Application du théorème 1.

Théorème 3. q i , . . . , q s sont des entiers ^ 2, premiers entre eux 2 à 2.

Pour tout j e { 1 ,..., s}, fj est une fonction qj-additive réelle. Si Гипе au moins

S

des suites (fj(n))neN est à spectre vide, la suite ( Z f j( n)\>eN l'est aussi.

j= i

D é m o n s tr a tio n . Si la suite ( /i («)) est à spectre vide, pour tout

(14)

m e N*, e{mf{) a un spectre de Fourier-Bohr vide et est donc pseudo-aléa

toire d’après le théorème 1. En remarquant comme le fait Bésineau dans [4]

S

que la corrélation de la fonction e(m X fj(n)) est égale au produit des j= i

corrélations des fonctions e(mfj(n)), on en déduit que, pour tout m e N*,

S

X[ e (mfj) est à spectre de Fourier-Bohr vide.

j= i

R em arque. À l’aide du théorème 2, on pourrait donner des résultats sur les translatées généralisant les résultats de Mendès-France [14] sur les fonctions „somme des chiffres”.

III. Répartition modulo 1 des sous-suites de suites Q - additives Nous étudions d’abord les suites qui ne font intervenir que le dévelop

pement d’un entier dans un base. Ensuite, en utilisant des fonctions presque- périodiques B et pseudo-aléatoires, ([5], [7]), nous donnons des résultats concernant les suites qui font intervenir les développements d’un entier dans plusieurs bases.

Enfin, nous mettons en évidence les différences avec les résultats sur les suites additives obtenus par Daboussi, Delange et Mendès-France ([9], [10])

III.A. Résultats préliminaires.

III.A.1. Valeur moyenne (tune fonction q-multiplicative. Nous rappelons d’abord 2 théorèmes dûs à Delange [11], où g est une fonction g-multipli- cative de module ^ 1.

Théorème A. Une condition nécessaire et suffisante pour que g ait une valeur moyenne non nulle sur N est que:

+ 00 q — 1

la série (S): X [ Z (1 ~У(ЩГЩ converge et,

r —0 a = 1 Я ~ 1

pour tout relS , X У(а4г) Ф 0.

a — 0

Th éorèm e B. Une condition nécessaire et suffisante pour que g ait une valeur moyenne nulle sur N est que:

+ oo ( - 1

la série (T): X X (1— Re д((Щг)) diverge ou,

r = 0 a = 0 q - 1

il existe r e N tel que X 9 (acf ) = 0.

a — 0

Ces résultats font apparaître un cas particulier de valeur moyenne nulle,

(15)

celui où l’un des facteurs du produit infini

+ 00 / J q ~ l \

П - Z g W n est nul.

r = 0 \ Я a = 0 J

C’est ce cas que nous évitons dans les lemmes suivants qui nous permettront de donner des résultats de répartition modulo 1.

Le m m e 15. JJne condition nécessaire et suffisante pour qu4l existe R elS tel que g ait une valeur moyenne non nulle sur la progression qR N est que la série (S) converge.

D é m o n s tr a tio n . Г Si g a une valeur moyenne non nulle sur qRN , on définit g*, ^-multiplicative de module ^ 1 par g*{n) = g(qRn). g* a une valeur moyenne non nulle sur N, il suffit de lui appliquer le théorème A pour conclure.

2° Si (S) converge, il existe R elS tel que, pour tout r R:

q - 1

Re(t+ Z g(acf)) > °-

a = 1

q - l

Donc, pour r ^ R, Z У(ас1г) Ф 0-

a = 0

D’après le théorème A, g sl une valeur moyenne non nulle sur qRN.

Lemme 16. Une condition nécessaire et suffisante q pour que, quel que soit R e N , g ait une valeur moyenne nulle sur qRiV est que la série (T) diverge.

La démonstration, semblable à celle du lemme 15, est basée sur le théorème B.

III.A.2. Autre résultat. On suppose ici que g est de module 1 (ce n’est pas nécessaire) et on pose g = e ( f ) où / est g-additive réelle.

+ oo q — 1

Théorème C. S'il existe m0 eN * tel que la série Z [ Z (1 — 9т°{щ г)}]

r = 0 a = 1

converge, pour tout m e N*, gm a une valeur moyenne sur toutes les progres

sions qR N

D é m o n s tr a tio n . Les séries

Z Z \\mo f(a q r)\\2 et f Z sin (2nm0f (aqr))

r = 0 q = 1 r = 0 a = 1

convergent.

+ oo q — 1

Soit H = [ me N* / Z Z ilw/ ( a<?r)ll2 < + o o }.

r = 0 e = 1

On démontre comme dans [10] pu [5] que:

H est non vide et est de la forme kN* (k e N *).

Si тфН, gm a une yaleur moyenne nulle sur qR]S (lemme 16).

(16)

+ oo q — 1

Si m e H , £ [ £ (1 — gm(aqr)J] converge. Donc gm a une valeur moy-

r = 0 a = 1

enne sur qR N (théorème A).

III. B. Résultats faisant intervenir une base.

/ désigne toujours une fonction q-additive à valeurs réelles.

III.B.l. Enoncés.

Théorème 4. 1° Les 3 assertions suivantes sont équivalentes:

(a) i/ existe RgN te/ que /a suite ( f {qRN))nei\ ait une répartition non uniforme modulo 1;

(b) il existe u e N* et v e N tels que la suite ( / (un + v))„eis ait une réparti

tion non uniforme modulo 1;

+ oo q — 1

(c) il existe m0 eN * tel que [ £ (1 — c [m0/( a q r)])] converge.

r = 0 a = 1

2° Si /’une de ces conditions est remplie, quels que soient c e IS* et d e N, la suite ( / (en + d)\,ei\ a une répartition modulo 1, uniforme ou non uniforme.

Théorème 5. Les 4 affirmations suivantes sont équivalentes:

(a') quel que soit R e N , la suite (f ( q Rn))neN est équirépartie modulo 1;

(b') quels que soient u e N* et v e N , la suite ( / (un + v ) ) ieis est équirépartie modulo 1;

+ oo q — 1

(c') quel que soit m elS*; £ \\mf (aqr)\\2 = + o o ; (d') Sp ( f ) n Q /Z = 0 .

III.B.2. Démonstration du théorème 4. 1° (c) => (a).

+ oo q — 1

S’il existe m0 e N* tel que X [ Z (1 — e [m0 /(u q r)])] converge, d’après

r = 0 a = 1

le lemme 15, il existe R e N tel que e(m0 f ) ait une valeur moyenne non nulle sur qRN. Le théorème C permet de conclure.

(a)=>(b) évident (b)=>(c).

N o t a t io n s . Xu.v est la fonction caractéristique de uN + v.

( zn

Qm.zin) = e \ mf { n ) + ----

V u

L’hypothèse faite implique qu’il existe m^^eN* tel que la fonction y(n) = е(тх f (n))xu,v(n) ait une valeur moyenne g Ф 0.

1 u ~ * f — vz \ ( zn \

Comme Xuvin) = — Z c --- ) e --- K il est impossible que toutes

« z = o \ « / V u J

les fonctions gmiZ, 0 ^ z ^ u— 1, aient une valeur moyenne nulle. Donc,

(17)

d’après le théorème B, il existe z0e { 0 , u— 1} tel que 9m1,z0{aqr) r-zrr^ 1 Pour tout

Partageons alors les éléments de { 0 , . . . , n —1} de la manière suivante:

Z i = { z e { 0 , q - 1}, ^ liZ« ) rT ^ 1}»

Z 2 = { 0 , u — 1} — Z 1.

Si z e Z 2, gmi,za une valeur moyenne nulle (théorème B).

Si z e Z b gmi,z(aqr)gml,Zo(aqr) 1 pour tout a e ( 1 , q - 1}.

Donc

( z - z 0) aqr

1

Ceci implique qu’il existe gz e N tel que, pour tout r ^ ^{q z} et tout ( z - z 0) aqr

a e { 0 , q - 1 } , e = 1.

Donc, pour r ^ g = Max (gz),on a, quels que soient z eZxet a e{0 , — 1}:

zeZ

gm^zi^g ) gmi,z0{^g )•

Par conséquent, pour tout t e N*

u - 1

1 q 1 1 - - / - v z - i r r I = - l e —

gQ „=о ^{u z% \} ^u

Q + t 4

2 r - i

t ^ 3mi,z W

= - I *

U

VZ

ne +g n=о

j r - 1

zeZ 2 \ u J \ q“ n

1

I ( 7 )

e + t—¹ U _{z e Z i} _V u J ^{r = 0}П

t /ü] ( ^ 0 ) ”1”

r - 1

Faisant tendre t vers + o o , on obtient:

0 = ) n Y - lim e+n Y - q^ g mi,z0m r) ).

I U zTz, \ U J r = 0 \ g a = 0 ) J f ^ +œ r = e V g 0 = 0 J Autrement dit,

e + t-i / 1 4-1

П — I ! ? » „ , „ « )

r = Q \ g a = 0

a une limite non nulle lorsque t tend vers + oo.

Ceci implique (voir [11]), la convergence de la série

+ oo q — 1

E [ I

r = 0 a = l

(18)

Un raisonnement simple de montrer que:

+ oo q — 1

Z [ I (1- * , . * „ « ) ) ]

r = 0 a = 1

converge, c’est-à-dire que

Z [ Z (!-?!>! u/(u<f)])]

r = 0 a = l

converge.

Ш.В.З. Démonstration du théorème 4. 2°. Il s’agit de prouver que, quels que soient m eN *, c e N * et z e { 0 ,..., c — 1}, gm,c.z (n) ~ e ^wi/(n)4-z a une valeur moyenne.

Si

I I

r = 0 o = l

mf (aqr) + zaqr j 2

4-ос, Gm.c.z a une valeur moyenne d’après le théorème B.

+ oc q - 1

Dans le cas contraire, £ £ ||mç/'(aqr)||2■< -foo donc me appartient

r = 0 a = l

à l’ensemble H introduit dans la démonstration du théorème C.

+ oo q — 1

Donc Z- [ Z (1 — e [tncf (aqr)2)] converge. On en déduit, comme dans

r = 0 o = 0

[5] ou [10], la convergence de

r = 0z

q- 1

Z ( 1 - г

fl = 1 m f(aqr) + zaq Les théorèmes A et B permettent de conclure.

III.B.4. Démonstration du théorème 5. (b') => (ar) évident (a') => (c')- Ceci résulte du lemme 16.

(c') => (b'). Supposons qu’il existe une progression u0N + v0 sur laquelle / n’ait pas une distribution limite uniforme modulo 1.

Alors il existe m0 e N* tel que e{m0 f ) n’ait pas une valeur moyenne nulle sur u0N + v0.

Donc, il existe z0e ( 0 ,..., u0 — 1} tel que e une valeur moyenne nulle sur N.

D ’après le théorème B, ceci implique que:

u0 n’ait pas

+ 00 q - 1

Z Z

r = 0 0=1 m0 f ( a q r) + Zp aqr u0

!! 2

ij < 4~ go

(19)

Répartition modulo 1 des suites ц-additives ⁴¹

donc que:

+ oc, q — 1

Z Z IN oW o/W )!!2 < + °o.

r = 0 a = 1

(b')<=>(d'). C’est le corollaire I du théorème I de [9].

III.B.5. Remarques. 1° Selon la définition donnée dans [9], une suite d’entiers A, croissante au sens large, non stationnaire est une (2/Z-suite si sa fonction caractéristique généralisée /л est presque-périodique B, à spectre contenu dans Q /Z et si ~/л a une valeur moyenne > 0.

Dans cet article, Daboussi et Mendès-France ont démontré que, si Sp (./ ) n Q /Z = 0 et si A est une Q/z -suite, alors (f(n))„eA est équirépartie modulo 1 ( / n’étant pas nécessairement ^-additive). Les conditions du théorème 5 sont donc équivalentes à:

(e') Pour toute Q/ Z-suite A, (f(n)),w.q est équirépartie modulo 1.

2° En modifiant légèrement la preuve du théorème 4, on peut prouver que (a), (b) et (c) sont équivalentes à:

(d) Il existe une (2/Z-suite ,40 telle que ( / (n))„eA0 ait une répartition non uniforme modulo 1.

Ш.С. Résultats faisant intervenir plusieurs bases.

Le théorème suivant qui concerne la répartition non uniforme modulo 1 est semblable au théorème 3.

Théorème 6. q i , . . . , q s sont des entiers ^ 2, premiers entre eux 2 à 2.

Pour tout j e { 1 ,. .. , s}, j) est une fonction qj-additive réelle. Supposons que, pour tout j e { ! , . . . , s], il existe Uj eN* et VjGN, tels que la suite ( fj(itjn + Vj))ll€:\ ait une répartition non uniforme modulo 1. Alors il existe

S

U e N* et V e N tels que la suite ( Z fj(Un + V)),,eiy ait une répartition non j= i

uniforme modulo 1.

De plus, pour toute suite d’entiers A, à caractère presque-périodique,

S

( Z fj(n)\>eA a une répartition modulo 1.

j= i

La démonstration est basée essentiellement sur l’implication (b) => (c) du théorème 4 et sur le résultat auxiliaire qui suit:

Th é o r è m e D. Soit g une fonction q-multiplicative de module 1. S’il existe m0 e N* tel que y m° soit presque-périodique B à spectre non vide, alors, pour tout m e N*, gm est presque-périodique B à spectre non vide, ou pseudo

aléatoire.

(20)

Références

[1] J. B ass, Suites uniformément denses, moyennes trigonométriques, fonctions pseudo-aléatoires, Bull. Soc. Math. France 87 (1959), p. 1-69.

[2] J. P. B e rtra n d ia s , Espaces de fonctions bornées et continues en moyenne asymptotique d'ordre p, Suppl. Bull. Soc. Math. France, mémoire 5 (1966), p. 3-106.

[3] — Siutes pseudo-aléatoires et critères d'équirépartition modulo 1, Compositio Math. 16 (1-2) (1964), p. 23-28.

[4] J. B es in e a u , Indépendance statistique d'ensembles liés à la fonction „somme des chiffres", Acta Arith. 20 (1972), p. 401-416.

[5] J. C o q u e t, Thèse de 3ème cycle (Orsay, mars 1975),

[6] — Sur les fonctions q-multiplicatives presque périodiques B, C. R. Acad. Sci. Paris 281, sér. A, p. 63-65,

[7] — Sur les fonctions q-multiplicatives pseudo-aléatoires, ibidem 282, sér. A, p. 175-178.

[8] — et M. M e n d è s -F ra n c e , Suites à spectre vide et suites pseudo-aléatoires, Acta Arith.

32 (1977), p. 99-106.

[9] H. D a b o u s s i and M. M e n d è s -F ra n c e , Spectrum, almost-periodicity and equidistribution modulo 1, Studia Scientiarum.Math. Hung. 9 (1974), p. 173-180.

[10] H. D el ange, On the distribution modulo 1 of additive functions, J. Indian Math. Soc.

34 (1970), p. 215-235.

[11] — Sur les fonctions q-additives ou q-multiplicatives, Acta Arith. 21 (1972), p. 285-298.

[12] A. O. G e lfo n d , Sur les nombres qui ont des propriétés additives ou multiplicatives données, ibidem 13 (1968), p. 259-265.

[13] M. M e n d è s-F ra n c e , Nombres normaux-applications aux fonctions pseudo-aléatoires, J.

Analyse Math. (Jérusalem) 20 (1967), p. 1-56.

[14] — Les suites à spectre vide et la répartition modulo 1, J. Number Theory 5 (1973), p. 1-15.