Weekend nr 1 - zadania do przećwiczenia

Weekend nr 1 - zadania do przećwiczenia

1. W poniższych definicjach wskaż definiendum i definiens:

(a) Piłka jest to przedmiot w kształcie kuli, który służy do gry.

(b) Zbiór liczb naturalnych jest to zbiór składający się z liczb całkowitych dodatnich oraz z zera.

(c) Okrąg jest to brzeg koła.

(d) Zbiór nieskończony to taki zbiór, który jest równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem.

(e) Rozmaitość to przestrzeń topologiczna lokalnie przypominająca przestrzeń euklidesową.

(f) Podzbiór zbioru A, który jest od różny od A, nazywamy podzbiorem właściwym A.

(g) Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

(h) Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna, nazywamy liczbą niewymierną.

(i) Ciało F , takie że dowolny wielomian o współczynnikach z F ma pierwiastki w F , nazywamy ciałem algebraicznie domkniętym,

(j) Krawędź grafu to uporządkowana para wierzchołków tego grafu.

(k) Pętla w grafie, to krawędź będąca parą takich samych wierzchołków.

(l) Średnia arytmetyczna liczb a₁, .., a_n to wartość (a₁+ ... + a_n)/n.

2. Wykorzystując wprowadzone symbole oraz odpowiednie operacje logiczne, zapisz podane twierdzenie w postaci implikacji a następnie wskaż warunek konieczny oraz warunek dostateczny. Zapisz twierdzenie odwrotne, przeciwne i przeciwstawne do zadanego twierdzenia:

(a) Jeśli liczba n kończy się na cyfrę 2 lub 4, to n jest parzysta.

p – ”n kończy się na cyfrę 2”, q – ”n kończy się na cyfrę 4”, r – ”n jest parzysta”

(b) Jeśli proste k i l leżą na jednej płaszczyźnie Π, to proste te przecinają się.

p – ”k leży na płaszczyźnie Π”, q – ”l leży na płaszczyźnie Π”, r – ”k i l przecinają się”

(c) Jeśli n jest liczbą całkowitą podzielną przez 12, to n jest podzielne przez 3 i 4.

p – ”n jest liczbą całkowitą”, q – ”n jest podzielne przez 12”, r – ”n jest podzielne przez 3”, s – ”n jest podzielne przez 4”

(d) Jeżeli n jest liczbą całkowitą, która jest mniejsza od 4 i która nie jest mniejsza od 3, to n jest równe 3

p – ”n jest liczbą całkowitą”, q – ”n jest mniejsze od 4”, r – ”n jest mniejsze od 3”, s – n jest równe 3

(e) Jeśli W jest czworokątem, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w połowie oraz, którego boki są równej długości, to W jest kwadratem

1

p – ”W jest czworokątem, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym”, q – ”W jest czworokątem, którego przekątne przecinają się w połowie”,

r – ”W jest czworokątem, którego wszystkie boki są równej długości”, s – ”W jest kwadratem”

(f) Jeżeli liczba naturalna n jest większa od 4 lub jest mniejsza od 3, to n może być równe 1 lub n może być równe 2 lub n nie może być równe 3.

p – ”n jest większe od 4”, q – ”n jest mniejsze od 3”, r – ”n jest równe 1”, s – ”n jest równe 2”, t – ”n jest równe 3”

3. Sprawdź, stosując metodę zero-jedynkową, czy dana formuła logiczna jest tauto- logią:

(a) [(p ∨ q) ∧ ¬p] → q (b) (p → q) → [(p ∧ r) → q]

(c) (p → q) → [p → (q ∨ r)]

(d) p → [¬p ∨ q]

(e) [(p ∨ q) ∧ (p → q)] → (q → p) (f) p ∨ [(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]

(g) ¬[p ∧ (¬p ∧ q)]

(h) p → [(¬q ∧ q) → r]

(i) [(p → q) ∧ (q → p)] → (p ∨ q)

4. Dla zadanych zbiorów A, B, C wyznacz następujące zbiory: A⁰,(A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (C \ B), (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (A \ B) ∪ (C \ B):

(a) A = [0, 2], B = (4, 8), C = (5, 9)

(b) A = (−∞, 0], B = (−4, 7), C = (−3, 8) (c) A = [13, 9], B = (−9, 20), C = [0, 2]

(d) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

(e) A = (5, 6) \ {2, 3, 5}, B = {4, 5, 6} \ (4, 7), C = R

(f) A = [1, 20], B = [13, 30], C = ∅

(g) A = [1, 3] ∪ (4, 5), B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = [0, ∞]

(h) A = [−4, 0] ∪ (1, ∞), B = (0, 9), C = (−5, 4) ∪ (6, 7)

(i) A = {5} ∪ (8, ∞), B = {5, 6}, C = [18, 23]

(j) A = [−8, 9], B = (0, 3), A ∩ B =?

(k) A = (7, ∞), B = (∞, 7), C = {−1, 0, 1}

(l) A = {2}, B = [1, 3], C = [−1, 0] ∪ {2, 3, 4}

(m) A = [9, 18], B = [10, 20], C = [1, 2]

(n) A = (−∞, 5], B = (5, ∞), C = [−9, 9]

(o) A = (−∞0), B = [0, ∞], C = (−9, 9) (p) A = (4, 6), B = [7, 9], C = {10, 11}

(q) A = [−8, 7], B = (−8, 7), C = [0, 1]

(r) A = [9, 10], B = (−∞, 0) ∪ (9, 10], C = (−∞, 0)

(s) A = [5, 8], B = [9, 11], C = (0, 16) 5. Korzystając z zasady włączania i wyłączania, odpowiedz na poniższe pytania:

(a) W pewnej szkole jest 600 uczniów. 400 z nich gra w piłkę nożną, 200 w siatkówkę, a 300 w koszykówkę. W siatkówkę i w piłkę nożną gra 100 osób, w kosza i w nogę 150, natomiast w siatkę i kosza 50. Ile osób uprawia wszystkie trzy dyscypliny?

(b) W akwarium jest 60 rybek: 40 złotych i 30 jedzących rośliny. Ile jest złotych rybek, które jedzą rośliny?

2

(c) W salonie samochodowym są samochody czerwone, terenowe i używane. Czerwonych jest 50, 60 terenowych, a 30 używanych. Czerwonych terenowych jest 20, czerwonych używa- nych - 10, natomiast terenowych i używanych - 15. Czerwonych terenowych używanych samochodów jest 3. Ile jest samochodów w salonie?

(d) W pewnym zespole muzycznym jest 5 osób, które potrafią śpiewać altem, 4, które tenorem oraz 2, które śpiewają obydwoma głosami. Ile jest osób w tym zespole?

(e) W 100-osobowej grupie ludzi, 80 zna angielski, 40 niemiecki, a 20 hiszpański. Hiszpański i niemiecki zna 7 osób, niemiecki i angielski 25, natomiast hiszpański i angielski 10. Ile osób zna wszystkie trzy języki w tej grupie?

(f) W grupie 20 przedszkolaków 10 dzieci umie czytać, 12 liczyć, a 8 śpiewać. Wszystkie trzy czynności potrafi wykonać tylko jedno dziecko. Dwójka umie czytać i liczyć, trójka czytać i śpiewać. Ile dzieci potrafi liczyć i śpiewać?

(g) Spośród ankietowanych osób 1000 pojechało na wakacje w góry, a 1500 nad morze. 200 było i tu i tu. Ile osób było ankietowanych?

(h) (*) W pewnym mieście jest 10000 budowli z cegły i 2000 kamienic. Wiadomo, że jest przy- najmniej 1000 ceglanych kamienic. Ile może być co najwyżej kamienic i budowli ceglanych łącznie?

(i) (*) W penym zbiorze figur geometrycznych jest co najmniej 10 kwadratów i co najmniej 5 figur zielonych. Wiadomo, że zielonych kwadratów jest 3. Ile co najmniej figur geomerycz- nych jest w tym zbiorze?

(j) W szafie są koszule w kratkę i koszule ciemne. Jest 10 koszul w kratkę i 13 koszul ciemnych oraz 3 ciemne koszule w kratkę. Ile jest koszul w szafie?

(k) W koszyku są owoce. 50 z nich to jabłka, 40 owoce zielone, a 30 to niestety owoce robaczywe.

Robaczywych jabłek jest 10, zielonych jabłek 20, a robaczywych zielonych owoców 5. Jest tylko jedno zielone robaczywe jabłko. Ile owoców jest w koszyku?

6. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji:

(a) f (x) = x (b) f (x) = |x|

(c) f (x) = _x¹ (d) f (x) = x²

(e) f (x) = 6x + 7 (f) f (x) = |5x + 9|

(g) f (x) = |5x| + 9 (h) f (x) = _x+2¹ + 3

(i) f (x) = −3x³+ 9 (j) f (x) = −3x²+ 9

(k) f (x) = (x + 3)²− 8 (l) f (x) = _|x+7|¹

(m) f (x) = _(x+7)¹ 2

(n) f (x) = 5x²− 2x + 8 (o) f (x) = |_|x+8|¹ + 9|

(p) f (x) = 12x (q) f (x) = 2^x

(r) f (x) = 2^|x|

(s) f (x) = 2^−x

(t) f (x) = |x − 6| + 9

7. Sprawdź podane własności funkcji:

(a) f : R → R, f (x) = x, czy f jest rosnąca?

(b) f : R → R, f (x) = −x, czy f jest maleją- ca?

(c) f : R → R, f (x) = x², czy f jest nierosną- ca?

(d) f : R → R, f (x) =

( 0 gdy x < 0 x² gdy x ¬ 0 , czy f jest niemalejąca?

(e) f : R → R, f (x) = min{0, −x}, czy f jest nierosnąca?

3

(f) f : (0, ∞) → R, f (x) = _x+9¹ − 8, czy f jest malejąca?

(g) f : (∞, 0) → R, f (x) = |x|, czy f jest malejąca?

(h) f : R → R, f (x) = 3^x, czy f jest nierosną-

ca?

(i) f : (0, ∞) → R, f (x) = log2(x), czy f jest rosnąca?

(j) f : [−π/2, π/2] → [−1, 1], f (x) = sin x, czy f jest niemalejąca?

8. Zbadaj monotoniczność funkcji:

(a) f : [−9, ∞] → R, f (x) = |x + 9| − 2 (b) f : R → R, f (x) = (x + 1)²

(c) f : R → R, f (x) = x³

(d) f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) = ¹_x (e) f : R → R, f (x) = 2^x

(f) f : (0, ∞) → R, f (x) = log2(x) (g) f : Z → Z, f (x) = x

(h) f : {1, 2} → {1, 2}, f (1) = 2, f (2) = 1 (i) f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → {1, 2, 4}, f (n) = 4

4