1. Gramatyki i języki – odpowiedzi do zadań 1.1.

1. Gramatyki i języki – odpowiedzi do zadań

1.1. Język nad alfabetem {a, b} będący zbiorem wszystkich łańcuchów zawierających co najmniej dwie litery a.

1.2. Język nad alfabetem {a, b} będący zbiorem wszystkich łańcuchów, które zawierają dwie kolejne litery a.

1.3. Język nad alfabetem {a, b} będący zbiorem wszystkich łańcuchów, w których przedostatnim symbolem jest litera a.

1.4. Język nad alfabetem {a, b} zawierający słowa, które rozpoczynają się i kończą literą a;

między tymi literami znajduje się dowolnej długości ciąg liter a i b, taki że każde dwie litery b są oddzielone co najmniej jedną literą a.

1.5. Język nad alfabetem {a, b} zawierający niepuste słowa rozpoczynające się literą a oraz kończące się literą b, lub bardziej formalnie:

k}

i dla ) m (n

, k

| b ...a b a b

{a^{n1 m1 n2 m2 nk mk} 1 _i  1  _i  1 1  1.6. { aⁿb^n+m a^m+kb^k | n  1, m  1, k  1 }

1.7. { aⁿb^m a^mbⁿa^kb^k | n  1, m  1, k  1 } 1.8. { aⁿ⁺¹b^mabc^2mbaⁿ | n  0, m  0 } 1.9. { aⁿb^m a^kb^ka^mbⁿ | n  1, m  1, k  1 } 1.10. { a²ⁿba^mbab^2mabⁿ | n  0, m  0 }

1.11. L(G) = { aⁿbⁿc^k | n, k  0 }  { a^kbⁿcⁿ | n, k  0 }

Gramatyka nie jest jednoznaczna, wieloznacznymi słowami są:

{ aⁿbⁿcⁿ | n  0 } = ( { aⁿbⁿc^k | n, k  0 }  { a^kbⁿcⁿ | n, k  0 } )  L(G)

1.12. L(G) = { aⁿbⁿc^kd^k | n, k  0 }  { a^kbⁿcⁿd^k | n, k  0 }

Gramatyka nie jest jednoznaczna, wieloznacznymi słowami są:

{ aⁿbⁿcⁿdⁿ | n  0 } = ( { aⁿbⁿc^kd^k | n, k  0 }  { a^kbⁿcⁿd^k | n, k  0 } )  L(G) 1.14. { baⁿcbⁿ⁺¹ | n  1 }

1.15. { aⁿb^m | n  0, m  0, n  m }

1.16. { x  {a,b}⁺ | liczba symboli a w słowie x jest równa liczbie symboli b w x } 1.17. { x  {aa,bb}⁺ | słowo x rozpoczyna się sekwencją aa oraz kończy sekwencją bb } 1.18. { wv  {a,b}^* | w = w1w2...wn, v = v1v2...vn, n  0,

jeśli wi = a to vn–i+1 = b, jeśli wi = b to vn–i+1 = a } 1.19. { wv  {a,b}⁺ | |w| = |v|  1, w = v^R }

1.20. { x | x  {ab,ba}⁺ } 1.21. { a^mb^maⁿ | n  1, m  1 } 1.22. {a,b}^*

1.23. { aⁿb^m c^n+m | n  1, m  1 }

1.24. { ab, bbc, ccca, aaaab, bbbbbc, cccccca, aaaaaaab, ... } 1.25. { a, ab, abc, abca, abcab, abcabc, abcabca, ... }

1.26. Język nad alfabetem {a,b} zawierający słowa, które rozpoczynają się i kończą literą a;

między tymi literami znajduje się dowolny ciąg liter a i b, taki że każde dwie litery b są oddzielone co najmniej jedną literą a

1.27. { abb, abbaab, abbaababb, abbaababbaab, ... }

1.28. { x  {a,b}⁺ | liczba symboli a w słowie x jest równa liczbie symboli b w słowie x, każdy przedrostek słowa x zawiera nie więcej symboli b niż symboli a } 1.29. { a, b, ab, ba, aba, bab, abab, baba, ababa, babab, ... }

1.30. Język nad alfabetem {(, )}, którego słowa są ciągami prawidłowo zagłębionych nawiasów, np.: (), (()), ()(), ()(()()), (()(()))(), itd.

1.31. Język nad alfabetem { (, ), [, ] }, którego słowa są ciągami prawidłowo zagłębionych nawiasów okrągłych i kwadratowych, przy czym nie jest możliwe zagłębianie

nawiasów kwadratowych wewnątrz nawiasów okrągłych, np.: (), [], (()), [(())], [[()()]], []()[(()())], (()(()))[], [][[]], itd.

1.32. Tzw. język Dycka dla k=3, czyli język nad alfabetem  = { (1, )₁, (₂, )₂, (₃, )₃ }, którego słowa są ciągami prawidłowo zagłębionych nawiasów trzech rodzajów, np.: (₁ )₁,

(2 (1 )1 )2, (1)1(2)2, (3 )3 (1 (2 )2 (3 )3 )1, (1 (3 )3 (2 (1 )1 )2 )1 (2 )2, itd.

1.33. {a,b}^*

1.34. { aⁿbc^mbabc^mbaⁿ | n  0, m  0 } 1.35. { aⁿbcbc^m+1bⁿ | n  0, m  0 } 1.36. { abⁿ aⁿbc^mb^mc | n  1, m  1 }

1.37.

(a) L1 = {w{a,b}^* | każda sekwencja tych samych liter jest nie krótsza niż 3 } (b) L₂ = {w{a,b}^* | każda sekwencja tych samych liter jest nie dłuższa niż 2 } 1.38.

(a) L1 = {aⁿb^mc^k | n≥0, m≥1, k≥0}

(b) L₂ = {aⁿb^mc^k | n≥1, m≥0, k≥1}

(c) L₃ = L₁  L2 = {aⁿb^mc^k | n+m≥1, m+k≥1}

1.39. Język niepustych słów nad alfabetem {a,b} zawierających dwa razy więcej liter a niż b.

1.40. Język niepustych słów nad alfabetem {a,b} zawierających tę samą liczbę liter a i b.

1.41. Język wszystkich słów nad alfabetem {a,b} niebędących palindromami.

1.42. Język wszystkich słów nad alfabetem {a,b} nie mających postaci aⁿbⁿ dla n≥0.

1.43. Język wszystkich słów nad alfabetem {a,b} niebędących palindromami.

1.44. Język nad alfabetem {(, )}, którego słowa nie są ciągami prawidłowo zagłębionych nawiasów

1.45.

L = {aⁿb^mc^k | n,m,k ≥ 1, (n ≥ 2m  k ≥ 2m) }

1.46.

L = {aⁿb^mc^k | n,m,k ≥ 1, (n  2m  k  2m) }

1.47.

L = {aⁿb^m | n,m ≥ 0, |n–m|  1}

1.48.

L = {aⁿb^m | n,m ≥ 1, (n  m  n  2m) }

1.49.

L = {aⁿb^mc^k | n,m,k ≥ 0, (m  n  m  k) }

1.50.

L = {aⁿb^m | n,m ≥ 0, (n  m  n  m+1) }

1.51.

L = { 0ⁿ1w | w  {0,1}^*, n ≥ 0 }

1.52.

L = {aⁱb^jc^kd^m | i,j,k,m ≥ 0, i+j = k+m } 1.53.

L = {a,b}^* – { ww | w  {a,b}⁺ }