Aplikacje i usługi Systemów Informacji Geograficznej
Michał Okulewicz, Aneta Rosłan
Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska
Sfera Elipsoida
Liczenie odległości i pola powierzchni
1 Sfera
Parametry Odległość Pole powierzchni
2 Elipsoida Parametry Odległość
Parametry sfery I
Sfera Parametry:
• R - promień
• (x0, y0, z0) - współrzędne środka sfery Wzór:
(x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 = R2
Sfera Elipsoida
Parametry Odległość Pole powierzchni
Najkrótsza odległość między punktami I
Koło wielkie (okrąg wielki)
Największe koło, jakie można wpisać w kulę. Jego średnica jest równa średnicy kuli, a samo koło dzieli ją na dwie symetryczne połowy zwane półkulami. [wiki]
Najkrótsza odległość między punktami II
Ortodroma
Najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami na powierzchni kuli biegnąca po jej powierzchni. Stanowi ona zawsze fragment koła wielkiego.
Sfera Elipsoida
Parametry Odległość Pole powierzchni
Najkrótsza odległość między punktami III
Długość ortodromy
D = arccos((sinφ1sinφ2) + (cosφ1cosφ2cos∆λ))
• φ1, φ2 - szerokości geogeraficzne obu punktów (w stopniach)
• ∆λ - różnica długości geograficznych obu punktów (w stopniach)
Pole powierzchni trójkąta sferycznego I
Trójkąt sferyczny
Trzy punkty połączone ortodromami
Pole powierzchni trójkąta sferycznego o kątach A, B, C na kuli o promieniu R2:
S = (A + B + C − π) ∗ R2
Ogólnie dla figury sferycznej o n kątach i ich sumie równej Σ:
S = (Σ − (n − 2) ∗ pi ) ∗ R2
Sfera Elipsoida
Parametry Odległość
Parametry elipsoidy I
Elipsoida ziemska
Parametry opisujące elipsoidę:
• a - półoś wielka
• b - półoś mała
• e2= (a2− b2)/a2 - mimośród
• e02= (a2− b2)/b2 - drugi mimośród
• f = (a − b)/a - (pierwsze) spłaszczenie
Najkrótsza odległość między punktami I
Linia geodezyjna
Linia łącząca najkrótszą drogą dwa punkty na powierzchni.
Sfera Elipsoida
Parametry Odległość
Najkrótsza odległość między punktami I
Zadanie wprost
Mając współrzędne geodezyjne punktu P1 na powierzchni elipsoidy, długość linii geodezyjnej s oraz azymut wprost A12, znaleźć
współrzędne geodezyjne punktu P2 oraz azymut odwrotny A21. Na rysunku poniżej na czarno oznaczono wielkości dane, a na
czerwono wielkości szukane.
Najkrótsza odległość między punktami II
Zadanie odwrotne
Mając dane współrzędne geodezyjne punktów P1 oraz P2 znaleźć długość linii geodezyjnej s między tymi punktami oraz azymut wprost A12 i odwrotny A21. Na rysunku poniżej na czarno oznaczono wielkości dane, a na czerwono wielkości szukane
Sfera Elipsoida
Parametry Odległość
Najkrótsza odległość między punktami III
Metoda Bowringa rozwiązywania zadania odwrotnego stosowanym do długości linii geodezyjnej ok. 150km. [wiki]
A =p
1 + e02cos4φ1
B =p
1 + e02cos4φ1
C =√ 1 + e02 w = A(λ2− λ1)
2
Zadanie odwrotne:
∆φ = φ2− φ1
∆λ = λ2− λ1
D = ∆φ2B(1 +3e4B022∆φ sin(2φ1+ 2/3∆φ)) E = sin D cos w
F = A1 sin w (B cos φ1cos D − sin φ1sin D) σ = 2 arc sin√
E2+ F2 aC σ
