Mechanika dla AiR Wykład 6: Ruch bryły wokół stałej osi i teoria żyroskopu Gniewomir Sarbicki

Mechanika dla AiR

Wykład 6: Ruch bryły wokół stałej osi i teoria żyroskopu

Gniewomir Sarbicki

α x y z

~ ω L~

~˙ L F~

F~ d

Rozważmy tarczę o promieniu R osadzoną na wale mimoosiowo.

W układzie bryły wprowadzamy UW wzdłuż jej osi własnych. Jej momenty główne to ¹₄mR²,¹₄mR²,¹₂mR².

Wektor ~ω jest stały: ~ω = ω[cos α, 0, sin α].

Wektor momentu pędu jest równy ~L = ¹₄mωR²[cos α, 0, 2 sin α].

Jego pochodna po czasie to~L = −˙ ¹₄mωR²cos α sin α~ey.

Pochodna ta pochodzi od momentu, zatem w łożyskach działa para sił przeciwstawnych o wartościach −¹₄mωR²/d cos α sin α, gdzie d to odległość między łożyskami.

Ten sam wynik uzyskamy całkując moment siły odśrodkowej w ukła- dzie związanym z bryłą.

ε α F~A

F~B

d

Załóżmy, że tarcza jest dodatkowo osadzona mimośrodowo Jej środek ciężkości porusza się po okręgu o promieniu ε sin α.

Na bryłę musi zatem działać wypadkowa siła mω²ε sin α,

o zerowym momencie wzgl. środka ciężkości, czyli wkłady od łożysk są odwrotnie proporcjonalne do ich odległości od środka ciężkości.

Dla równych odległości środka tarczy od łożysk: FA = F_B = mω²ε sin α/2.

Ten sam wynik uzyskamy całkując siłę odśrodkową w układzie zwią- zanym z bryłą.

~L Stabilizator okrętowy. Na wale osadzonym w ramie poprzecznej wiruje ciężkie koło. Rama jest osadzona w burtach i może się kiwać (yaw).

Spiętrzenie wody przy jednej burcie (napór fali) powoduje po- jawienie się momentu siły wyporu przechylającej kadłub.

Całka po czasie z tego momentu to ωx (prędkość kątowa prze- chyłu).

Z tą prędkością przechyla się też wektor ~L, jego pochodna to ~ω_x× ~L. Pojawi się zatem moment rekacji wzdłuż osi y (yaw) obracający ramę.

Całka z tego momentu to prędkość kątowa obrotu ramy ωy.

Pojawia się wkład ~ω_y× ~L do L wywołujący moment wzdłuż osi x (roll),~˙ przeciwdziałający przechylaniu kadłuba.