Wykład 10

Rezonans stochastyczny

(

t t

)

D t t x x x V t t A dx dV dt dx s ′ − = ′ + − = + + − = δ ξ ξ ξ ω 2 ) ( ) ( 4 1 2 1 ) ( ) ( sin 4 2

Zjawisko, polegające na maksymalizacji

odpowiedzi układu (zwykle nieliniowego)

na pobudzenie periodyczne przez dodanie

szumu stochastycznego na wejściu.

Przykład: cząstka przetłumiona w pobudzanym okresowo potencjale bistabilnym

Przy optymalnym natęŜeniu szumu D połoŜenie cząstki w studniach potencjału

synchronizuje się z sygnałem periodycznym

Prawdopodobieństwo opuszczenia studni na jednostkę czasu dane jest wzorem Kramersa i zmienia się asymetrycznie wraz z modulacją okresową.

( )

,

sin

exp

2

1











 ∆

₋

=

±

D

t

A

V

t

r

s K

ω

π

m

Charakteryzacja rezonansu stochastycznego

S_P(ωωωω_S) S_N(ωωωω_S)

Sygnał wyjściowy:

   > + < − = 0 ) ( dla 1 0 ) ( dla 1 ) ( t x t x t y

Charakterystyki:

_{( )}

( )

; SPA

( )

2 log 10 SNR A S S S _{P S} S N S P

ω

ω

ω

= =

Inny przykład: układ progowy z czasem

dyskretnym

(

)

[

]

( )

( )

b A D x x x x b n A y m n m n i n s i n < = ≤ = Θ > = Θ − + Θ = + , 2 , 0 dla 0 , 0 dla 1 , sin , 2 ) ( ) ( 1

δ

η

η

η

ω

Aperiodyczny rezonans stochastyczny

Zjawisko, polegające na maksymalizacji odpowiedzi układu nieliniowego na

dowolny sygnał aperiodyczny (np. szum skorelowany) przez dodanie

szumu wejściowego. Miarą rezonansu aperiodycznego moŜe być funkcja

korelacji między aperiodycznym sygnałem wejściowym i sygnałem

n₊ - prawdopodobieństwo, Ŝe cząstka jest w prawej studni potencjału (x≈ +c)

n_- = 1-n₊ - prawdopodobieństwo, Ŝe cząstka jest w lewej studni potencjału (x≈ -c)

Rozkład prawdopodobieństwa moŜna przybliŜyć przez p

( )

x,t = n₊

δ

(

x −c

)

+ n₋

δ

(

x+c

)

( )

− +

( )

+ −

( )

[

−

( )

+

( )

]

+ − − + _{= − = − = − +} n t W t W t W n t W n t W dt dn dt dn Równanie Master

Jest to równanie pierwszego rzędu, liniowe, ze współczynnikami zaleŜnymi od czasu, którego rozwiązanie ma postać

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

(

( )

( )

)

        ′ ′ + ′ =         ′ ′ ′ + = − ₊

∫

₋

∫

_{+ −} + t t t t t d t W t W t g t d t g t W t g t n t g t n 0 0 exp , 0 0 1 Wprowadźmy ogólnie:

µ - bezwymiarowy parametr, opisujący stosunek natęŜenia szumu do wysokości bariery potencjału,

η₀ - bezwymiarowy parametr, opisujący modulację µ przez sygnał periodyczny

( )

(

)

(

)

( )

( )

µ

η

α

µ

α

ω

η

α

ω

η

α

α

ω

η

µ

n n n n s s s d f d n f t t t f t W ! 1 , cos cos 2 1 cos 2 1 0 2 1 2 2 0 2 0 1 0 0 − ≡ ≡ + ≈ ± = ± m mK

Równanie Master moŜna wówczas scałkować, otrzymując

Funkcja autokorelacji

W granicy t₀ → -∞ otrzymujemy coś w rodzaju „stacjonarnej” funkcji autokorelacji (zaleŜnej periodycznie od czasu, ale nie zawierającej wkładu od procesów

przejściowych, czyli niezaleŜnej od warunku początkowego)

Z twierdzenia Wienera - Chinczyna wynika, Ŝe widmo mocy jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji

Zwykle oblicza się widmo, ograniczone do dodatnich częstości

Tło szumowe Wysokość piku na częstości sygnału periodycznego

Bistabilna studnia potencjału

( )

c U b a U b a c t c x U c x c x U t x x b x a t x V _{s s}

ε

ω

ω

ε

= = =       −               +       − = − + − = 1 2 0 1 4 2 0 4 2 , 4 , cos 2 cos 4 2 , Potencjał

wyznacza połoŜenie minimów potencjału

wysokość bariery potencjału (przy braku modulacji)

Prawdopodobieństwa przejść dane są wzorem Kramersa

( ) ( )

[

]

( )

(

)

     ± − = ⇒       = ′′ ′′       = = − _± D t U U a t W D U a c V V D U W T_{K K}

ω

s

π

π

π

cos 2 exp 2 2 exp 2 0 2 exp 2 1 0 0 2 1 0 1

W notacji ogólnej z poprzednich slajdów

⇒

=

=

=

D

c

D

U

D

U

ε

η

µ

1 0 0

_,

Wstawiając do wyprowadzonych wcześniej wzorów, otrzymujemy wyraŜenie na widmo mocy

B. McNamara and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A39, 4854 (1989).