Mieczysław Lubański
Półgrupy i automaty
Studia Philosophiae Christianae 10/2, 131-149
S tu d ia P h ilo so p h ia e C h ris tia n a e ATK
10/1.974/2
M IECZYSŁA W LUBAIStSKI
PÓŁGRUPY I AUTOMATY
1. W p ro w a d z e n ie . 2. A lfa b e ty i o p e ra to ry a b s tra k c y jn e . 3. S y stem y a lg e braiczn e. 4. P ó łg ru p y . 5. A u to m a ty a b stra k c y jn e . 6. P ó łg ru p y a a u to m aty .
7. R óżne sp o so b y z a d a n ia a u to m a tu . 8. U w agi zam y k a ją c e .
1. W prowadzenie
Pojęcie układu względnie odosobnionego przyjm uje się jako znane. Zamiast „układ w zględnie odosobniony", mówi się k ró t ko „układ". W yróżnia się tzw wejścia (do układu) oraz wyjścia (z układu). Z jednego punktu w idzenia mogą one być bądź
wewnętrzne, bądź zewnętrzne, z drugiego zaś — informacyjne
bądź zasileniowe. W ażnym rodzajem układów są tzw. układy
informacyjne. Przez układ inform acyjny rozumie się taki układ,
k tó ry posiada co najm niej jedno w ejście zew nętrzne inform a cyjne oraz co najm niej jedno w yjście zew nętrzne inform a cyjne1.
Drugim ważnym rodzajem układów są tzw. układy cyberne
tyczne. Przez układ cybernetyczny rozumie się taki układ, k tó
ry jest układem o dużej złożoności, posiada ch arakter proba bilistyczny oraz zdolność do sam oregulacji2. Przypomnijmy, że ch arakter probabilistyczny układu polega na tym, że stan jego w yjść w pew nej chwili może być określony jedynie z m niej
szym lub większym praw dopodobieństw em .
Przypuśćm y teraz, że mamy dany układ U. A priori możliwe 1 Por. np. J. G ościński, C y b e r n e ty c z n e p o d s ta w y in io rm a ty k i, OBRI, W a r szaw a 1973, 4.
są następujące dwie różne sytuacje. Po pierwsze, kiedy stan w yjść w pew nej chwili i zależy jedynie od stanu w ejść w tej samej chwili t. Po drugie, kiedy stan w yjść w chwili i zależy od stanu w ejść w chw ilach s takich, że s ^ t. Jeżeli mamy do czynienia z sytuacją pierw szą, to wówczas rozpatryw any przez nas układ U zwie się układem kom binacyjnym . Jeżeli ma m iejsce sytuacja druga, to układ U zwie się układem s e k w e n
cyjn ym . Zamiast układ s e k w e n c y jn y mówi się także maszyna sekw encyjna albio automat3.
Pojęcie p ó łg iu p y jest pojęciem z zakresu algebry ab strak cyj nej. Stanowi ono szczególny przypadek ogólniejszego pojęcia
giupoidu. Półgrupą zwie się bowiem grupoid łączny, tzn. gru-
poid, w którym działanie posiada w łasność łączności.
Term in „półgrupa" k ojarzy się natychm iast z m atem atyką, zaś term in „autom at" — z pew nym urządzeniem , którego dzia łanie w danym momencie czasu zależy zarów no od aktualnego stanu wejść, jak i od jego całej przeszłości. Na pierw szy rzut oka może się więc w ydaw ać, że nie zachodzą żadne relacje między pojęciem półgrupy a pojęciem autom atu. O kazuje się, że w rzeczyw istości jest inaczej. A rtykuł ten staw ia sobie za cel przedyskutow anie zasygnalizow anego problem u, w szcze gólności w skazanie na istniejące, m iędzy w spom nianym i p o ję ciami, pew ne proste relacje.
2. A lfabety i operatory abstrakcyjne
Altabetem abstrakcyjnym nazyw a się dow olny skończony
zbiór jakichkolw iek przedm iotów. Elem enty tw orzące alfabet abstrak cy jn y zwie się literami abstrakcyjnymi. Ze względu na w ygodę w ysław iania się zw ykle opuszcza się przym iotnik „abstrakcyjny" i mówi się krótko „alfabet" oraz „litera".
U porządkow any układ liter danego alfabetu zwie się słowem lub w yra zem w danym alfabecie. Długością słowa zwie się licz bę liter, z których ono się składa. Jeżeli alfabet składa się z !i-3 P or. np. M . A. H a rriso n , W s tę p do teo rii sieci p rz e łą c za ją c y c h i teorii
ter ?, &, §, to słowo ??&§§§ posiada długość rów ną 6. Długość słowa S oznaczać można symbolem lg(S). A zatem, w naszym przypadku, byłoby: fg(??&§§§) = 6. W prow adza się także po jęcie słowa pustego. Rozumie się przez nie takie słowo, które nie zaw iera żadnej litery. Oznaczać je będziem y literą E. Dłu gość słowa pustego E jest rów na zeru4.
Pojęcie słowa jest zrelatyw izow ane do alfabetu. Jeden i ten sam ciąg symboli może być trak tow an y w jednym alfabecie ja ko jedno słowo, zaś w innym jako kilka słów. Np. w alfabecie złożonym z dziesięciu cyfr od zera do dziewięciu oraz ze zna ku dodaw ania i znaku rów ności zapis 7 + 8 = 15 stanow i jed no słowo, zaś w alfabecie złożonym tylko ze wspom nianych dziesięciu cyfr w zapisie powyższym mieć będziem y trzy słowa.
Niech dany będzie alfabet A. Przypuśćmy, że dołączyliśmy do niego nowe przedm ioty, które do tej pory nie wchodziły w skład jego elementów. M ówimy wówczas, że now y alfabet stanow i rozszerzenie alfabetu A.
Przypuśćm y teraz, że mamy dane dwa alfabety A oraz B. J e żeli każdem u elem entowi alfabetu A został przyporządkow any dokładnie jeden elem ent alfabetu B, to mówimy, że został okre ślony operator literow y alfabetu A w alfabet B. Jeżeli w spom niane przyporządkow anie posiada tę własność, że w szystkie elem enty alfabetu В zostały w yczerpane, to operator literow y zwie się operatorem alfabetu A na alfabet B.
Oznaczmy dla danego alfabetu A przez W (A) zbiór w szyst kich słów w danym alfabecie. Przypuśćmy, że mamy dane dw a alfabety A oraz B, a także zbiory W (A ) i W(B). Przypuśćm y da lej, że każdem u elem entow i zbioru W (A) został przyporządko w any pew ien (dokładnie jeden) elem ent zbioru W(B). M ówimy wówczas, że określony został operator alfabetyczny na alfabe cie A w alfabet B.
O perator alfabetyczny byw a nazyw any również operatorem 4 G d y idzie o sy m b o l lg o z n a c z a ją c y d łu g o ść w y ra z u a b s tra k c y jn e g o p o r. M . A. H a rriso n , Op. cit., 302.
abstrakcyjnym, a także krótko, jeśli to nie prow adzi do niepo
rozumień, po prostu operatorem .
A lfabet A nosi nazw ę alfabetu wejściowego, alfabet В — al·
fabetu wyjściowego. Elem enty zbioru W (A) zwą się słowami wejściowym i, zaś elem enty zbioru W(B) —· słowami w yjśc io wym i.
Trzeba określić także tzw. operatory częściowe. Rozumie się przez nie jednoznaczne przyporządkow ania pew nym tylko słor wom w ejściow ym słów w yjściow ych. A zatem nie każdemu słow u wejściow em u, czyli nie każdem u elem entow i zbioru
W (A), zostaje, w tym przypadku, przyporządkow ane słowo
w yjściow e, czyli elem ent zbioru W(B). Jeżeli będziem y posłu giwać się operatoram i częściowymi, to zawsze można zakładać, że alfabet w ejściow y jest identyczny z alfabetem wyjściowym . W ystarczy w tym celu, jak łatw o widzieć, utw orzyć z danych alfabetów A oraz В now y alfabet C, będący połączeniem obu w spom nianych alfabetów, a więc stanow iący zarazem rozsze rzenie i jednego i drugiego alfabetu. Zakładam y tutaj, że część w spólna alfabetów A oraz В jest zbiorem pustym , zgodnie z po daną nieco w yżej definicją rozszerzenia alfabetu ab strak cy j nego.
W ażną klasę operatorów alfabetycznych stanow ią algoryt
m y. Przez algorytm rozumie się operator alfabetyczny, k tó ry
jest określony przy pom ocy skończonej liczby praw ideł. W y nika stąd bezpośrednio, iż każdy operator alfabetyczny, k tó ry jest określony w sposób możliwy do zrealizow ania jest algo rytm em 5. N ależy jednak zwrócić uw agę na to, że samo żąda nie, aby liczba praw ideł, określających operator alfabetyczny, była liczbą skończoną, w ydaje się być w ym aganiem niekiedy zbyt słabym. Jeżeli bowiem w spom niana liczba praw ideł jest skończona, lecz bardzo duża, to z praktycznego punktu w idze nia nie zawsze jest możliwe zrealizow anie tego rodzaju alg o ry tmu. Np. gdyby w algorytm ie należało w ykonać tyle operacji, ile jednostek mieści w sobie liczba parzysta, od której
żuje już (zgodnie z dowodem podanym przez I. M. W inogrado wa w roku 1937) hipoteza Goldbacha0, to byłby on praktycznie nie do zrealizowania.
W ażną klasę algorytm ów stanow ią tzw. algorytmy normal
ne. Teoria ich została zbudow ana przez A. A. M arkowa. Za
chodzi następująca zasada norm alizacji: każdy ko nstruktyw nie zadany algorytm nad alfabetem skończonym jest rów no w ażny pew nem u algorytm ow i norm alnem u nad tym alfabetem 7. A zatem algorytm y norm alne stanow ią pew nego rodzaju algo rytm y uniw ersalne w odniesieniu do klasy algorytm ów zada nych w sposób konstruktyw ny.
3. S y ste m y a lg eb raiczn e
Niech teraz a oznacza liczbę porządkow ą, czyli tzw. typ po
rządkow y zbioru dobrze uporządkowanego. Przez P(a) oznaczać
będziem y zbiór w szystkich liczb porządkow ych m niejszych od liczby a. W szczególności będziem y mieć: P(4) = (0, 1, 2, 3),
P(7) = (0, 1,2, 3, 4, 5, 6).
N iech dane będą dwie liczby porządkow e a oraz b. Typem
rzędu (a, b) nazyw a się parę odwzorowań, odpowiednio, zbio
rów P(a) oraz P(b) w zbiór liczb natu ralny ch N = (0, 1, 2, ...). Typ rzędu (a, b) oznaczać będziem y literą T pisząc:
T = (m0, m v ..., m x, ...; n 0, n v n2, ..., ny, ...), gdzie x < a oraz
y < Ь».
Jeżeli liczby porządkow e a oraz b są skończone, to typ T ta k że nazyw a się skończony.
Operacją n-argumentową na zbiorze Z nazyw a się każdą fun
kcję o n argum entach, określaną na zbiorze Z i o w artościach także ze zbioru Z. N atom iast predykatem n-argumentowym na
6 Zob. W . S ierp iń sk i, A r y tm e ty k a te o r e ty c z n a , W a rs z a w a 19684, 100. 7 A. A. M arkow , T ieo rija a tgoriim ow , T ru d y m a tie m a tic z e sk o g o in s titu ta im. W . A. Stielcłow a, Izd. A N SSSR, t. 42, 1954. P o d sta w o w e p o ję c ia z te o rii alg o ry tm ó w n o rm aln y ch , a ta k ż e zasa d ę n o rm alizacji, m ożna zn ale źć ta k ż e w p ra c y : W . M. G łuszkow , O p. cit., 19— 28.
8 T eo rię sy ste m ó w a lg e b ra ic z n y c h za w ie ra np. k sią ż k a : A. I. M alcew ,
zbiorze Z nazyw a się każdą funkcję o n argum entach określo
ną na zbiorze Z o w artościach przyjm ow anych ze zbioru dwu- elem entowego (V , F), gdzie V symbolizuje praw dę, zaś F — fałsz.
S ystem em algebraicznym typu T nazyw a się obiekt złożony
z niepustego zbioru Z, ze zbioru operacji F0, Fv ..., Fx, ..., okre ślonych na zbiorze Z dla każdego x <C a oraz ze zbioru p red y katów P0, Pv ···/ Py, ■··/ określonych na zbiorze Z dla każdego y <C b, przy czym żąda się, aby Fx była operacją mx-argumen-
tową dla każdego x <C a, natom iast Py było predykatem ny-ar- gum entow ym dla każdego y < b. Zdefiniowany system alge
braiczny oznacza się krótko symbolem (Z, F, P). Litera F p re zentuje tu cały zbiór operacji, określonych na danym niepu- stym zbiorze Z, zaś litera P — cały zbiór predykatów określo nych także na zbiorze Z.
System algebraiczny (Z, F, P) nazyw a się skończony, jeżeli jego tzw. zbiór bazowy, tj. zbiór Z, jest skończony.
System algebraiczny typu skończonego można zapisyw ać w postaci (Z; Fv ..., Fr; Pv ..., Ps).
System algebraiczny (Z, F, P) nazyw a się algebrą, jeśli zbiór predykatów danego system u jest zbiorem pustym. Jeżeli nato miast zbiór operacji jest zbiorem pustym, to system zwie się
modelem.
Jest widoczne, że każdej operacji można w sposób w zajem nie jednoznaczny przyporządkow ać predykat. M ianowicie ope racji k-argumentowej Fk odpowiada p red y k at (k + 1-argumen-
to w y Pk+p Toteż zastępując w danym system ie algebraicznym (Z, F, P) w szystkie operacje przez odpow iadające im p red y k a
ty, otrzym uje się z system u algebraicznego model, k tó ry zwie się modelem reprezentującym dany system. Jeżeli system w y j ściowy był typu T rzędu (a, b), to model go reprezentujący b ę dzie posiadał typ rzędu (a + bj. Można więc powiedzieć, że po jęcie modelu stanow i pojęcie uniw ersalne w stosunku do k la
sy system ów algebraicznych.
Przypuśćmy, że dane są dwa system y algebraiczne (Z, F, P) oraz (X, G, Q) tego samego typu T rzędu (a, b). Izomorfizmem
pierwszego system u na drugi nazyw a się w zajemnie jedno
znaczne odw zorowanie i zbioru Z na zbiór X, które spełnia n a stępujące dwa w arunki:
1) i(Fx) = Gx(f), 2) Py = Qy(f).
Jeżeli i jest odwzorowaniem zbioru Z w zbiór X spełniają cym w arunek 1), to odw zorowanie i nazyw a się homomoriiz-
m em pierw szego sytem u w drugi.
Zachodzi następujące intuicyjne tw ierdzenie:
O dwzorow anie i system u algebraicznego (Z, F, P) w system algebraiczny (X, G, O) jest homomorfizmem pierw szego syste mu w drugi, w tedy i tylko w tedy, gdy f jest homomorfizmem modelu reprezentującego system (Z, F, P) w model rep rezentu jący system (X, G, OJ.
4. Półgrupy
A lgebra typu (2), czyli niepusty zbiór z jedną określoną w nim operacją dw uargum entow ą, nazyw a się grupoidem. Za
tem grupoid może być przedstaw iony w postaci (G, .), gdzie G
jest niepustym zbiorem, zaś . oznacza operację dw uargum en tową.
Grupoid, w którym operacja dw uargum entow a . jest działa niem łącznym, tzn. spełniającym zależność (x . y) . z ~ x . (y . z) dla w szystkich elem entów x, y, z należących do zbioru G, n a zywa się póigrupą.
Rozważmy alfabet A oraz zbiór w szystkich słów na nim zbu dow anych, tj. zbiór W (A). O kreślm y na zbiorze W (A ) operację konkatenacji w sposób następujący. Jeżeli mamy dane dwa sło wa sv oraz s2, to przez ich konkalenację będziem y rozumieć utw orzenie nowego słowa s3, któ re otrzym uje się z poprzednich słów przez w ypisanie najpierw w szystkich liter słowa sv po tem zaś w szystkich liter słowa s2. Jest widoczne, że tak okreś lona operacja konkatenacji posiada w łasność łączności. Jest bowiem spełniony w ym agany w yżej w arunek (x . y) . z —
— x . (y . z), o ile tylko przez x, y, z, będziem y rozumieli słowa
w szystkich słów zbudow anych nad alfabetem A, czyli zbiór
W (A), z operacją konkatenacji je st półgrupą9.
Jeżeli w zbiorze G istnieje elem ent n eu traln y w zględem dzia łania to półgrupę nazyw a cię monoidem.
Je st widoczne, że w przypadku zbioru W (A ) oraz operacji konkatenacji mamy do czynienia z monoidem. Elementem neu tralnym je st tutaj słowo puste E. Posiada ono tę własność, że dla każdego słowa x należącego do zbioru W (A ) spełniony jest w arunek: E . x — x . E = x.
Podzbiór G" zbioru G, k tóry jest zam knięty ze w zględu na operację . nazyw a się podpólgrupą półgrupy G. Przypomnijmy, że przez zam kniętość zbioru G' względem operacji . rozumie się w łasność polegającą na tym, że x . y należy do G' o ile tylko x oraz y należą do G'.
Przypuśćmy, że dane są dwie półgrupy Gj oraz G2. O dw zoro w anie h półgrupy Gj w półgrupę G2 nazyw a się homomorfiz-
m em półgrupy Gj w półgrupę G2, jeżeli h spełnia w arunek: ЫЯ ■ Я') = h(Я) · h(g') dla w szystkich g oraz g' należących do
Gj.
Jeżeli mamy dane dw a m onoidy G3 oraz G2, zaś odw zorow a nie h przekształca elem ent neu tra ln y pierw szego m onoidu na elem ent n eutraln y drugiego monoidu i spełnia przy tym poda ny przed chwilą w arunek, to h nazyw a się homomoriizmem
pierwszego monoidu w drugi10.
Powróćm y jeszcze na chw ilę do monoidu W (A). W rozw aża nym przypadku stosuje się następującą term inologię. Monoid
W (A ) zwie się sw obodnym (albo: wolnym) monoidem induko w a n ym przez alfabet A.
9 Por. Пр. M. G ross, _A. L entin, T ieo rija fo r m a ln y c h g ra m m a tik , Izd atiel- stw o „M ir” , M o sk w a 1971, 15— 16.
10 P o d sta w o w e p o ję c ia z te o r ii p ó łg ru p o raz te o rii m o n o id ó w m ożna z n ale źć np. w p ra c y : R. E. K alm an, P. L. Falb, M. A. A rbib, O c ze rk i po m a-
tie m a tic z e s k o j tieorii siste m , Iz d a tie lstw o „M ir” , M o sk w a 1971, 211— 217.
P e łn y w y k ła d te o rii p ó łg ru p z a w ie ra p o z y c ja : A. H. C lifford, G. В. P resto n ,
A lg e b r a ic z e s k a ja tieo rija p o iu g ru p , Iz d a tie lstw o „M ir” , t. 1, M o sk w a 1972,
N iech dany będzie dow olny zbiór niepusty Z. N iech i będzie przekształceniem tego zbioru w siebie. W ów czas można okreś lić dwie półgrupy :FL(Z) oraz FR(Z). Pierw sza z nich składa się ze w szystkich funkcji i przekształcających Z w siebie, gdzie operacją półgrupow ą jest złożenie funkcji określone wzorem (/[ · f2)(x) = f i(îJxJ). Druga zaś składa się także ze w szystkich po wyżej określonych funkcji i, gdzie operacja półgrupow ą dana je st wzorem: (x) (fi · f2) = (/χ/ίι)4· W idzim y zatem, że różnica między zdefiniowanymi półgrupam i polega na innym porząd k u superponow ania funkcji. Jeżeli w spom niane superponow a- nie dwu funkcji f2 oraz 12 rozumie się w porządku to m a my do czynienia z półgrupą Fh(Z), jeśli zaś w porządku f2fi(x),
to mieć będziem y półgrupę FR(Z)11.
Reprezentacją półgrupy G nazyw a się homomorfizm h, który
■odwzorowuje półgrupę G w półgrupę FT(Z), gdzie Z jest pew nym zbiorem, zaś T jest identyczne bądź z L, bądź z R.
Każda półgrupa G posiada dwie reprezentacje szczególnie proste. Zwie się je, odpowiednio, lewostronną regularną repre
zentacją oraz prawostronną regularną reprezentacją. R eprezen
tacje te związane są z odw zorowaniem półgrupy G w siebie.
Z pierw szą z nich będziem y mieć do czynienia wówczas, gdy
dokonujem y operacji mnożenia półgrupow ego ze strony lewej, z drugą natom iast ■— gdy mnożymy ze strony p raw ej12.
5. Autom aty abstrakcyjne
Autom atem abstrakcyjnym Club krótko: automatem) nazyw a
się układ Μ = (X, Y, Q, p, w), gdzie X oraz Y są pew nym i zbio ram i skończonymi (X zwie się alfabetem w ejściow ym , Y — a l fabetem wyjściowym), G jest zbiorem stanów, zaś p — funkcją bezpośredniego przejścia, a w — funkcją bezpośredniego w yjś cia13.
W yróżnia się autom aty bez w yjścia oraz automaty z w y j ś
ciem nad danym alfabetem w ejściow ym X.
11 P or. R. E. K alm an, P. L. F alb , M. A. A rbib, Op. cit., 213. 12 Tam że, 214.
Przypom nijm y te określenia.
A utom atem bez w yjścia nad alfabetem X nazyw a się układ M = (X, Q, q, p), gdzie q jest stanem początkowym. Pozostałe sym bole posiadają to samo znaczenie, jakie m ają w definicji ogólnej14.
A utom atem z w yjściem nad alfabetem X nazyw a się układ M = (X, Y, Q, q, p, w), gdzie w szystkie w ym ienione symbole posiadają to samo znaczenie, jak podano wyżej. Zakłada się tu, że funkcja w realizuje pew ne elem enty w yjściow e dla określonego podzbioru Q ' zbioru stanów w ew nętrznych O 15.
Dla prostoty rozw ażań przyjm uje się zwykle, że dozwolone są jedynie dwa elem enty w yjściow e, które oznacza się przez zero oraz jeden. M amy w ięc tu do czynienia z przypadkiem
binarnym. W ażne jest to, że ograniczenie się do pow yższego
przypadku nie zm niejsza ogólności otrzym yw anych w yników 16. W definicji autom atu zakłada się, że oba alfabety w ejściow y oraz w yjściow y są zbiorami skończonymi. N atom iast o zbio rze O, zwanym zbiorem stanów w ew nętrznych, nie zakłada się tego. Może on więc być zarów no zbiorem skończonym , jak
i nieskończonym. Jeżeli zbiór O jest zbiorem skończonym, to
wówczas także autom at M nazyw a się automatem skończo
nym.
Funkcja bezpośredniego przejścia p jest określona na iloczy nie kartezjańskim zbiorów O oraz X. W artości jej należą do zbioru O. Można więc powiedzieć, że funkcja p przyporządko w uje określonem u stanow i w ew nętrznem u oraz określonem u elem entowi w ejściow em u pew ien stan w ew nętrzny. Funkcja bezpośredniego w yjścia w jest określona na tym samym zbio rze, co funkcja p. N atom iast w artościam i jej są elem enty alfa betu w yjściow ego Y. Zatem funkcja w przyporządkow uje określonem u stanow i w ew nętrznem u oraz określonem u ele mentowi w ejściow em u pew ien elem ent w yjściowy.
14 Por. M. A. H a rriso n , O p. cit., 303. 15 Tam że, 324— 325.
Jest widoczne, że można łatw o rozszerzyć funkcje p oraz w na iloczyn kartezjański zbioru O przez monoid swobodny
W(X). A więc w m iejsce alfabetu w ejściow ego X brać zbiór
w szystkich słów abstrakcyjnych utw orzonych nad alfabetem X, czyli zbiór W(X). N aw et w przypadku binarnym stanow i to istotne poszerzenie dziedziny obu rozw ażanych funkcji. W tym bowiem przypadku n-literow ych w yrazów mieć będziem y 2n dla każdego naturalnego n 17.
Oznaczmy p(q, x) symbolem M q(x) dla każdego stanu w e w nętrznego q oraz każdego elem entu w ejściow ego x. M amy w ięc p(q, x) = M q(x).
Dwa stany w ew nętrzne q 1 oraz q2 autom atu M nazyw a się równoważnym i, jeżeli zachodzi rów ność M Ql = Mq2, przy czym funkcje M q, traktujem y jako funkcje określone na zbiorze
W (X ) o w artościach w zbiorze У.
Przypuśćm y teraz, że rozw ażam y odw zorow anie przyporząd kow ujące stanow i w ew nętrznem u q funkcję M q. Jeśli w spo mniane odw zorowanie jest odw zorowaniem w zajem nie jedno znacznym, to autom at M nazyw a się redukowalny.
N iech dane będą dwa autom aty M = (X, Y, O, p, w j oraz M' = (X, Y, Q', p’, w ’), a więc autom aty o tych sam ych alfa betach w ejściow ych oraz w yjściow ych. Mówimy, że autom aty te są mocno rów now ażne w tedy i tylko w tedy, gdy każdem u stanow i q ε Q odpow iada taki stan q' ε O', iż spełniona jest rów ność Mg = Mg, oraz na odwrót.
Zachodzi następujące tw ierdzenie:
Każdy autom at Μ = (X, Y, O, p, w) jest mocno rów now ażny pew nem u autom atow i redukow alnem u M ° = (X°, Y°, Q°, p°>
w ° ) ls.
Zauważmy, od stro n y intuicyjnej, że podane w yżej określe nie autom atu pozw ala interpretow ać go jako urządzenie, które znajdujdując się w chwili t w stanie w ew nętrznym q oraz otrzym ując oddziaływ anie w ejściow e x przejdzie w chwili
17 Tam że, 218. 18 Tam że, 218.
(t + 1) do stanu p(q, x) generując zarazem na w yjściu w artość \v(q, x). D odajm y jeszcze, że we w szystkich pow yższych de
finicjach milcząco zostało przy jęte założenie co do ch arak teru zbioru chwil. O rzeka ono, że zbiór m om entów czasu posiada postać T = (0, 1, 2, ...). Jest w ięc zbiorem nieciągłym.
6. Półgrupy a automaty
Zajmiemy się obecnie omówieniem relacji zachodzących mię dzy półgrupam i a automatami. W skażem y, w jaki sposób w y chodząc od danego autom atu można dojść do półgrupy, a ta k że jak określona półgrupa wyznacza pew ien automat.
W prow adzim y najpierw jeszcze pew ne znakowanie.
N iech dany będzie autom at M = (X, Y, Q, p, w). Zakłada my, że jest to autom at redukow alny, przy czym w szystkie je go stany w ew nętrzne są osiągalne z pew nego ustalonego stanu c/o. Tego rodzaju autom at będziem y oznaczać symbolem M(i), gdzie f = p(q0, x).
W eźm y teraz tzw. relację rów noważności M yhilla19, którą oznaczać będziem y znakiem : = . N iech i będzie dow olną fun kcją odw zorow ującą zbiór W (X ) w zbiór Y. Utw órzm y klasy rów noważności relacji : = . O kreślm y m iędzy nimi działanie rozum iejąc przez nie kolejne wzięcie przekształceń stanu. W ten sposób ze zbioru W (X ) pow staje półgrupa, którą ozna czać będziem y przez G(f). Je st widoczne, że elem enty półgru py G(i) odpow iadają ciągom utw orzonym z alfabetu w ejścio wego, które są traktow ane jako funkcje przejścia autom atu
M(f). W ten sposób przechodzi się od pojęcia autom atu do
pojęcia półgrupy. Zachodzi przy tym następujące proste tw ierdzenie20:
A utom at M(f) jest autom atem skończonym w tedy i tylko w tedy, gdy półgrupa G(i) jest półgrupą skończoną.
Przypuśćmy, że m am y daną dowolną półgrupę G. Zdefiniu 18 D efin icję ró w n o w a ż n o śc i M y h illa m ożna z n ale źć np. w p ra c y R. E. K alm an, P. L. F alb, M. A. A rb ib , O p. cit., 221.
jem y teraz autom at, któ ry oznaczać będziem y symbolem M(G)r zw any autom atem wyznaczonym przez półgrupą G. W tym ce lu w ystarczy przyjąć zarów no za alfabet w ejściow y, w yjścio w y oraz zbiór stanów w ew nętrznych zbiór bazow y półgrupy Gr zaś za funkcję p i funkcję w wziąć operację półgrupow ą, ozna czaną przez kropkę. Toteż określony autom at można zapisać następująco: M(G) = (G ,G ,G , -, ·).
Z definicji autom atu M(G) w ynika, że jeżeli autom at ten w pew nej chwili t znajduje się w stanie g oraz otrzym uje na w ejściu w artość g', to wówczas w chwili późniejszej o jed nostkę, tj. w chwili (t + I), zarów no jego stan w ew nętrzny, jak i w artość na w yjściu będą rów ne g · g'.
W podany wyżej sposób przechodzi się od autom atu M(i) do półgrupy G(i) oraz od półgrupy G do autom atu M(G). W n a tu raln y sposób nasuw a się pytanie następujące. W eźm y mia nowicie półgrupę G(i) oraz odpow iadający jej, opisany na d ru giej drodze, autom at M(G/i/). Zapytujem y czy autom aty M(f)
oraz M(G/ł/) są indentyczne?
A by na to pytanie odpowiedzieć potrzebne będzie jeszcze pew ne pojęcie pomocnicze.
Mówimy, że autom at M = (X, Y , Q, p. w) m odeluje autom at M' = (X', Y ' , Q', p', w') jeżeli istnieją trzy odw zorowania h lr
h2, h3 takie, że hi przekształca zbiór W (X ') w zbiór W(X), h2
przekształca zbiór Q' w zbiór O, zaś h 3 przekształca zbiór Y w zbiór Y ’, przy czym od W( X' ) do Y' można iść w dow olny sposób (innymi słow y znaczy to, że odpowiedni diagram dla rozpatryw anych tu funkcji jest przemienny).
Jeżeli zarów no autom at M m odeluje autom at M', jak i auto mat M' m odeluje autom at M, to mówimy, że autom aty M oraz: M' są słabo równoważne.
O kreślm y teraz dla danej półgrupy G(ł) funkcję if, która, przekształca G(f) w zbiór Y i posiada tę własność, że jeśli x przeprow adza autom at ze stanu początkow ego do stanu g, to wówczas if(g) = i(x). Oznaczmy następnie przez M(G/f/, if) autom at postaci (G/ί/, Y, GUI, · , if). W ów czas zachodzi n astę pujące tw ierdzenie:
A utom aty M(i) oraz M (GUI, it) są słabo rów now ażne21. Powyższe tw ierdzenie korzysta z pojęcia modelowania. M o żna pozbyć się tego term inu przez przeredagow anie w spom nia nego pojęcia na język półgrup. K onsekwentnie otrzym a się odpow iednik interesującego nas tw ierdzenia w ypow iedziany w języku półgrupy. Sygnalizujem y jedynie tę spraw ę i nie będziem y bliżej się nią zajm ow ać22.
Zanotujem y jeszcze, że ważnym zagadnieniem w odniesie niu do teorii autom atów jest zagadnienie ich tzw. minimali
zacji. Chodzi tu o rzecz następującą. N azw ijm y funkcją od
powiedzi autom atu Μ = (X, Y, Q, p, w) funkcję p(q0, x), gdzie
qc
jest stanem początkowym, zaś x jest słowem n ad alfabetem wejściow ym X. Zbiór w szystkich tych słów w ejściow ych, k tó re są argum entam i funkcjip(q0, x),
tj. funkcji odpowiedzi au to m atu M, nazyw a się zachowaniem się autom atu M. Problem minimalizacji polega na tym, aby dla danego autom atu M o określonym zachow aniu zdefiniować autom at N, k tó ry m iał by możliwie najm niejszą liczbę stanów w ew nętrznych, zaś je go zachow anie byłoby identyczne z zachowaniem autom atu M. O kazuje się, że autom at m inim alny jest jeden z dokładnością do izomorfizmu23.7. Różne sposoby zadania autom atu
Istnieją co najm niej trzy sposoby, przy pomocy których mo że zostać określony automat. Zwie się je, odpowiednio, m eto dą analityczną, geometryczną oraz algebraiczną.
A nalityczne określenie autom atu polega na zdefiniowaniu go jako układu złożonego z pięciu elem entów X, Y, O, p oraz
w w sposób podany wyżej. Zatem analityczny sposób okre
ślenia autom atu jest nam już znany. W te n bowiem sposób postępow ano we w cześniejszej części artykułu.
21 Tam że, 227.
22 S zczegóły m o żn a zn ale źć np. w p ra c y R. E. K alm an, P. L. F alb, M. A. A rb ib , Op. cit., 228— 229.
23 P ro b lem m in im alizacji u ję ty p rz y s tę p n ie m ożna zn ale źć w p ra c y M. A. H a rriso n , Op. cit., 339— 348.
Dwie dalsze metody: geom etryczna oraz algebraiczna są równoważne metodzie analitycznej. Polegają one na tym, że w przypadku m etody geom etrycznej korzysta się z grafu zo
rientowanego (który byw a nazw any grafoidem), zaś w p rzy
padku algebraicznym -— z macierzy. Można więc, mówiąc prościej, określić autom at przy pomocy pew nego grafoidu, bądź przy pomocy pew nej macierzy.
W spom niany grafoid buduje się następująco. Za jego w ierz chołki przyjm uje się stany w ew nętrzne autom atu. N atom iast /wzdłuż boku, łączącego stan q ze stanem q', umieszcza się ten elem ent alfabetu wejściowego, w zględnie funkcję p dla dane go argum entu w ziętego z alfabetu w ejściow ego, przy którym następuje przejście ze stanu q do stanu q', oraz ten elem ent alfabetu wyjściow ego, k tó ry dany jest, w rozpatryw anym przypadku przez funkcję w.
M etoda m acierzow a polega na zbudow aniu dwu macierzy prostokątnych, mianowicie m acierzy dla funkcji przejść oraz dla funkcji w yjść. W m acierzach ty ch w ystępują także, oczy wiście, elem enty obu alfabetów: w ejściow ego oraz w yjściow e go i elem enty zbioru stanów w ew nętrznych. Dzięki temu otrzy m ujem y określenie autom atu rów noważne zarów no z o kreśle niem analitycznym , jak i geom etrycznym .
Jeżeli mamy do czynienia z autom atam i skończonymi, w k tó rych w szystkie zbiory, a więc i zbiór elem entów alfabetu w ej ściowego, jak i zbiór elem entów alfabetu w yjściow ego oraz zbiór stanów w ew nętrznych autom atu, a także zbiory w szyst kich w artości funkcji p oraz w są skończone, to zarów no i g ra foid, jak i m acierze są tw oram i skończonymi. W przypadku autom atu o nieskończonym zbiorze stanów w ew nętrznych trzeba by posługiw ać się grafoidami oraz macierzami nieskoń czonymi. W spom inam y jedynie o tych zagadnieniach nie w cho dząc w bliższe rozważania. Chodziło bowiem jedynie o poin form ow anie Czytelnika o istniejącej tu problem atyce w celu możliwie pełnego przedstaw ienia całego zagadnienia związa nego z rodzajam i autom atów oraz sposobami ich określania 10 Studia P h ilo so p h iae C h ristia n ae 2У74
Literatura odnosząca się do w spom nianych zagadnień jest obfi ta 24.
D odajm y jeszcze, że gdy posiadam y grafoid określający da ny autom at, to wówczas można od grafoidu przejść do den-
drytu. Może on być skończony, bądź nieskończony. W spom
niany dendryt buduje się w następ u jący sposób. U stala się w ierzchołek w yjściow y, k tó ry odpow iada stanow i początkow e mu autom atu. N astępnie z tego w ierzchołka prow adzi się tyle odcinków, ile jest elem entów w alfabecie wejściowym . Końce wspom nianych odcinków dają w ierzchołki pierw szego rzędu. Niech ich będzie n. Z każdego z tych w ierzchołków prow a dzimy dalej po л odcinków, otrzym ując w następnym , drugim rzędzie, n2 w ierzchołków drugiego rzędu. I tak postępujem y dalej. Każdemu odcinkowi z dowolnego rzędu przypisujem y odpowiedni elem ent z alfabetu w ejściow ego i alfabetu w yjścio wego, zaś w ierzchołkow i odpowiedni elem ent ze zbioru stanów w ew nętrznych autom atu zgodnie z danym grafoidem. Jest w i doczne, że grafoid wyznacza jednoznacznie opisany przed chwi lą dendryt. Posiadając więc zdefiniow any autom at przy po mocy grafoidu, otrzym am y łatw o jego przedstaw ienie przy pomocy dendrytu. I, oczywiście, także odw rotnie. M ając dany dendryt, możemy utw orzyć odpow iadający mu grafoid25.
8. Uwagi zam ykające
W przedstaw ionych wyżej rozw ażaniach w skazano na pew ne proste relacje łączące półgrupy z autom atam i. M ówiąc n a j krócej -— okazuje się, że półgrupa generuje pew ien autom at i odw rotnie, autom at generuje pew ną półgrupę. Jest widoczne, że każda półgrupa stanow i szczególny przypadek system u
al-24 Zob. np. A. I. M alcew , A lg o r itm y i r e k u r s iw n y je fu n k c ii, M oskw a 1965; A. N. M ielichow , O r ie n tiro w a n n y je g ra ty i k o n ie c z n y jè a w to m a ty , M o sk w a 1971; M. M in sk y , W y c z is le n ija i a w to m a ty , M o sk w a 1971; Cz. F ajsi, Ob o tlic z im o sti b ie s k o n ie c z n y c h a w to m a to w , P ro b lem y K ib e rn e tik i 23 (1970), 209— 212. W p ra c a c h ty c h m o żn a z n ale źć d alsze w sk a z ó w k i b i b lio g raficzn e.
gebraicznego. Jeśli bowiem coś jest półgrupą, to jest tym sa mym i system em algebraicznym . W ten sposób dochodzimy do pew nego pow iązania zachodzącego m iędzy systemami alge braicznymi oraz automatami. Fakt ten w ydaje się in teresu ją cy, ponieważ w skazuje na praktyczną stosowalność abstrak cyjnych tw orów m atem atyki do opisyw ania rzeczyw istych tw orów istniejących w świecie realnym . Posiada to w yraźny w ydźw ięk teoriopoznaw czy, metodologiczny, jak i ogólno-filo- zoficzny.
Pojęcie autom atu abstrakcyjnego nie podpada pod pojęcie sy stem u algebraicznego. Jednakże stanow i także pojęcie typu m atem atycznego. W pracy rozw ażano tzw. autom aty ab strak cyjne, które są szczególnym przypadkiem ogólniejszego p oję cia system u dynamicznego. Toteż chcem y zakończyć obecne rozw ażania przytoczeniem określenia w spom nianego pojęcia. Zarazem będzie to stanow ić pow ien argum ent św iadczący o przenikaniu m etod m atem atycznych do różnych dziedzin wiedzy, a w ięc argum ent św iadczący o m atem atyzow aniu się
nauk. A oto w spom niane określenie26:
System em dynam icznym S nazyw a się układ S = (T, Q, X,
C, Y, D, }, k), gdzie
1. T jest czasem, O jest zbiorem stanów w ew nętrznych, X —: — zbiorem w artości chw ilowych oddziaływ ań wejściow ych, С — zbiorem dopuszczalnych oddziaływ ań w ejściow ych, czyli С = (с: T -*■ X}, Y — zbiorem w artości chw ilow ych oddziały w ań w yjściow ych, D — zbiorem w ielkości w yjściow ych, tj.
D = {d: T -kY},
2. Zbór T jest pew nym uporządkow anym podzbiorem zbio ru liczb rzeczyw istych,
3. Zbiór С spełnia następujące dwa w arunki: a) Zbiór С jest niepusty,
b) Jeżeli dane są dwie funkcje c1 oraz c2, określone od- wiednio na podzbiorze zbioru T dla f 2 < t ^ t2 oraz t2 < t ^ ^ t3, gdzie f2 < t2 < i 3, to istnieje funkcja c3, która jest iden
tyczna z funkcją na odcinku pierwszym, zaś identyczna z funkcją c2 na odcinku drugim,
4. Istnieje funkcja przejścia j, określona na iloczynie karte- zjańskim T X T X Q X C o w artościach w zbiorze O, czyli funkcja j(t; t', q, с) = q(t), która spełnia następujące 4 w arunki:
a) Funkcja j jest określona dla w szystkich t ^ i', gdzie
t : jest tzw. początkow ym mom entem czasu,
b) Dla każdego q ε Q, każdego с ε С oraz każdego i e T zachodzi rów ność j(t; t, q, c) = q,
c) Spełniony jest wzór: j(t ; -t^ q, c) = j(t ; t2, j/t ; t, q,
ci, c),
d) Jeżeli Cj = c2, to j(t; t', q, e j = j(t; t’, q, c2),
5. к jest funkcją określoną na iloczynie kartezjańskim Г X O,
o w artościach w Y.
Ja k widać, z przytoczonej definicji, pojęcie to jest dość zło żone. Jest ono jednakże także pojęciem bardzo ogólnym. Każ dy autom at jest system em dynamicznym, ale nie odwrotnie. A by otrzym yw ać bardziej k onkretne tw o ry należy specyfiko- wać powyższą definicję. Toteż odróżnia się np. system y dy n a miczne stacjonarne, system y dynam iczne z czasem dyskretnym , bądź ciągłym, system y dynam iczne skończenie w ym iarow e, sy stem y dynam iczne skończone, liniowe, gładkie27.
M atem atyka, jej metody, problem atyka badaw cza ustaw icz nie się pow iększają. To samo odnosi się rów nież do zastoso w ań m atem atyki. Toteż nic dziwnego, że nie potrafim y odpo wiedzieć ściśle na pytanie, co to jest m atem atyka. Jed y n ą drogą, prow adzącą do uzyskania odpowiedzi na postaw ione py tanie w ydaje się być czynne doświadczenie w dziedzinie sa mej m atem atyki28. I to doświadczenie w różnych jej działach. N ie otrzym a się bowiem pełnego obrazu całości m atem atyki, jeżeli ograniczym y się do pew nych tylko jej dziedzin. Bo przecież, mówiąc jedynie przykładowo, teoria liczb, topologia ogólna, algebra abstrakcyjna, analiza funkcjonalna, rachunek
27 P or. R. E. K alm an, P. L. F alb, M. A. A rbłb, O p. cit., 16— 20.
praw dopodobieństw a to nie tylko w ażne działy w spółczesnej m atem atyki, ale zarazem działy o odm iennych m etodach ba dań, odm iennej problem atyce. Poprzestaw anie na jednym tylko z nich nie może dać adekw atnego obrazu całej ogrom nej i bogatej w myśli m atem atyki.
HALBGRUPPEN UND AUTOMATEN (Z usam m enfassung)
D as W o rt „ H a lb g ru p p e " so fo rt d ie M a th e m a tik u n d d as W o rt „ A u to m a t" e in G erät, w e lc h e s o h n e m e n sc h lic h e In g e re n z a rb e ite t, e rw ä h n t. D arum , auf d en e rs te n Blick, es sc h e in t n u r so, d a ss zw isch en d en B egriffen d e r H a lb g ru p p e u n d d es A u to m a te n k e in e in te re s s a n te R e la tio n e n g e lte n . D och in W irk lic h k e it ist es g anz a n d e rs. Im A u fsatz d ie W e c h se lb e z ie h u n g en z w isch en H a lb g ru p p e n u n d A u to m a te n b e s p ro c h e n w o rd e n sind. Es zeig t sich, d ass je d e H a lb g ru p p e e in e n A u to m a te n u n d je d e r A u to m a t ein e H a lb g ru p p e e rzeu g t. E rzeu g e d e r A u to m a t M die H a lb g ru p p e G u n d die H a lb g ru p p e G d e n A u to m a te n N. Es g ilt d a n n d e r Satz: D ie A u to m a te n M u n d N sc h w ach ä q u iv a le n t sind, d as h e isst: sie z u e in a n d e r W e c h se lm o d e lle sind. M an k a n n au c h zeig en , d ass d e r A u to m a t is t d a n n u n d n u r d a n n e n d lich, w e n n die d u rc h ihm e rz e u g te H a lb g ru p p e e n d lic h ist. M a n e rw ä h n t au c h ü b e r die d re i W e is e n d es D efin ieren s des A u to m a te n . D as sind so lch e M eth o d e n : die a n a ly tis c h e , g e o m e trisc h e u n d a lg e b ra is c h e M eth o d e. A n a ly tis c h d e fin ie rt m an d e n A u to m a te n als ein S ystem , w elch es 5 O b je k te e n th ä lt, die e in ig e n E ig en sch a ften g e n ü g e n . G eo m etrisc h d e fin ie rt m a n d en A u to m a te n m it H ilfe d es o rie n tie rte n G raph, w e lc h e n n e n n t m an d en G rap h o id . A lg e b ra isc h d e fin ie rt m an d en A u to m a te n m it H ilfe d er zw ei M artize n , n ä m lich d es M artize s d er D u rc h g a n g sfu n k tio n e n u nd d es M arti- zes d er A u s g a n g sfu n k tio n e n . Zum S chluss die D efin itio n d es d y n a m isc h e n S ystem s g e g e b e n w o rd e n ist. D er B egriff des d y n a m isc h e n S ystem s e n th ä lt d e n B egriff des A u to m a te n . A us d e r In h a lt d es A u fsatzes e rg ib t sich d ie g ru n d le g e n d e Id ee: d ie M a th é m a tisa tio n des m e n s c h lic h e n W is se n s w u rd e im m er a llg e m e in e re E rsch ein u n g . D as ist z u g le ic h e in Z eu g n is d e r g ro s se n E n tw ick lu n g d e r M a th e m a tik . Sie k a n n n ic h t in a lte n , u n a k tu e lle n S ch e m a ta a b sc h lie ss e n w e rd e n . D iese S c h em ata d ie M a th e m a tik in G ren zen v o n Z a h le n u n d g e o m e trisc h e n F ig u re n a b g e sc h lo sse n w ü rd en . D och d ie M a th e m a tik v o n h e u te o h n e Z w eifel d e z isiv ü b e r d iese G ren zen h in a u s g eh t.
