ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1972
S e r i a : BUDOWNICTWO z . 29 N r k o l . 346
C z e s ła w L ew in o w sk i Z d z i s ła w T r y l s k i
MOŻLIWOŚĆ UPROSZCZENIA METOD WYZNACZANIA TRASY DROGI NA ODCINKACH POŁOŻONYCH W ŁUKU
1 . W stęp
P r z e j ś c i e t r a s y d ro g o w e j z o d c in k a p r o s t e g o w ł u k , w m y śl o b o w iąz u j ą c y c h p r z e p is ó w , wymaga z a s t o s o w a n i a k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j . J a k o k r z y wą p r z e j ś c i o w ą s t o s u j e s i ę p r z e w a ż n ie k l o t o i d ę . J e ż e l i k ą t z w r o tu t r a sy ^ rów na s i ę podw ojonem u k ą t o w i z w r o tu s t y c z n e j Tj, w k o ń c u k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j , t o o d c i n e k t r a s y d ro g o w e j p o ło ż o n y w ł u k u s k ł a d a s i ę z dwóch s y m e tr y c z n y c h k rz y w y c h p r z e j ś c i o w y c h . N a t o m i a s t , j e ż e l i ^ - 2Tk > O t o c a ł y o d c in e k t r a s y d ro g o w e j p o ło ż o n y w łu k u s k ł a d a s i ę z dwóch k r z y wych p r z e j ś c i o w y c h , m ię d zy k tó r y m i u m ie s z c z o n y j e s t ł u k kołow y o p r o m ie n iu R.
W y z n a c z a n ie w s p ó łr z ę d n y c h punktów t r a s y d r o g i , l e ż ą c y c h n a k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j b ą d ź n a k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j i n a ł u k u kołow ym , wykonywa
n e d o ty c h c z a s sto so w a n y m i m etodam i w ią ż e s i ę z dużym n a k ła d e m p r a c y r a c h u n k o w e j, s p r z y j a p o w s ta w a n iu s z e r e g u p o m y łe k , n a j c z ę ś c i e j wymaga rów
n i e ż d o k o n a n ia zm iany u k ła d u w s p ó łr z ę d n y c h .
W n i n i e j s z e j p r a c y p r z e d s ta w io n o pewne k o n c e p c je u p r o s z c z e n i a do
t y c h c z a s s to s o w a n y c h m e to d .
2 . W y z n a c z a n ie w s p ó łr z ę d n y c h p r o s t o k ą t nyc h d o w o ln y ch pu nktów k l o t o i d a l - n v o h k rz y w e j a r z e .iś c io w e .i
R ów nanie k l o t o i d y me p o s t a ć :
(1)
64 C z e s ł a w l e w i n o w s k i , ■ Z d z i s ł a w T r y i s k i
g d z i e :
1 - d łu g o ś ć łu k u k l o t o i d y , l i c z o n a od p o c z ą tk u łu k u do d an e g o punk
t u w n ,
a - p a r a m e tr k l o t o i d y w m,
j} ~ p ro m ie ń k r z y w iz n y , k t ó r y z m ie n ia s i ę od § = 00n a p o c z ą tk u k r z y w ej p r z e j ś c i o w e j do () = R n a k o ń cu k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j , w m.
P odstaw ow e z a l e ż n o ś c i p om iędzy p o s z c z e g ó ln y m i w ie l k o ś c i a m i w y s tę p u ją c y m i w r ó w n a n iu ( 1 ) , a k t ó r e m a ją p r a k t y c z e z a s to s o w a n ia p r z y p r o j e k to w a n i u k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j p o d an o w p r a c a c h r a . r a .
dd . co.
r a .Z z a l e ż n o ś c i t y c h w y n ik a , ż e w r ó w n a n iu k l o t o i d a l n e j k rz y w e j p r z e j ś c i o w ej n a j i s t o t n i e j s z ą sp ra w ą j e s t p r z y j ę c i e w a r t o ś c i p a r a m e tr u a .
J a k wiadomo z p r a c y
0 ] 1 00
* w a r to ś ć p a r a m e tr u a d o b ie ra m y z uwag i n a 6 w arunków . P o p ra w n ie możemy t ę w a r to ś ć o k r e ś l i ć , k o r z y s t a j ą c z nom ogram u p o d an e g o w p r a c y j j Q .
M ając p r z y j ę t ą d łu g o ś ć p r o m ie n ia łu k u p o zio m eg o B o ra z d o b r a n ą w a r to ś ć p a r a m e tr u a możemy o b l i c z y ć :
1 ^ - c a ł k o w i t a d łu g o ś ć k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j w n .
P o s ł u g u j ą c s i ę p o w s z e c h n ie zn an y m i w zoram i lu b t a b l i c a m i możemy n a s t ę p n i e w y zn aczy ć d a l s z e p o t r z e b n e e l e m e n ty , t o - j e s t :
- p r z e s u n i ę c i e łu k u kołow ego H, - d łu g o ś ć s t y c z n e j t ,
- d łu g o ś ć s t y c z n e j T ,
- o d l e g ł o ś ć f ś r o d k a łu k u p r z e s u n i ę t e g o od w ie r z c h o łk a W k ą t a zw ro
t u t r a s y .
P ow yższe e le m e n ty k rzy w ej p r z e j ś c i o w e j u w id o c z n io n o n a r y s u n k u 1 . 2
12)
13)
g d z i e
M o ż liw o ś ć u p r o s z c z e n i a metod w y z n a c z a n i a t r a s y . . . 65
J e ż e l i c h o d z i o w y z n a c z e n ie w s p ó łr z ę d n y c h p r o s t o k ą t n y c h d o w o ln y ch pu n k tó w k l o t o i d a l n e j k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j , t o p o w s z e c h n ie k o r z y s t a s i ę z m etod p o d a n y c h w p r a c y Po d o kładnym p r z e a n a l i z o w a n i u d o ty c h c z a - sow ych m etod o k a z u je s i ę , że można u p r o ś c i ć t e c h n i k ę w y z n a c z a n ia w sp ó ł
r z ę d n y c h punktów k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j o k s z t a ł c i e k l o t o i d y . Z i l u s t r u jem y t o p r z y pomocy p o n iż s z e g o ro zu m o w a n ia, z a z n a c z a j ą c , ż e p o c z ą t e k u k ł a d u pokryw o s i ę p o c z ą tk ie m k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j , z a ś oś Qx - z je d n ą z e s ty c z n y c h dc łu k u k o łow ego n i e p r z e s u n i ę t e g o .
66 C z e s ł a w l e w i n o w s k i , Z d z i s ł a w T r y l s k i
J e ż e l i j a k o p a r a m e tr p r z y j ą ć k ą tt , j a k i s t y c z n a do k rz y w e j w danym p u n k c i e tw o rz y z o s i ą 0 x s t o ró w n a n ia p a r a m e tr y c z n e o k r e ś l a j ą c e w sp ó ł
r z ę d n e p r o s t o k ą t n e te g o p u n k tu m a ją , z g o d n ie z [9] , p o s t a ć :
f
o o s t^ ¡ P - « (4 )
o
(5)
P o w y ż szy c h c a ł e k n i e d a s i ę w y r a z ić w s p o s ó b e l e m e n t a r n y . P o z o s t a j ą do d y s p o z y c j i t y l k o m etody p r z y b l i ż o n e .
K o r z y s t a j ą c z r o z w i n i ę c i a f u n k c j i p o d c a łk o w y c h n a s z e r e g p o tęgow y i c a ł k u j ą c w yraz po w y r a z ie otrzym am y:
x " ~ + ^ 6 “ 9 3 6 0 + * • * ) ( 6 )
y = a Y H ' ( 3 - 42 + 1320 - 7?6 0 0 + . . . ) ( 7 )
lu b po u w z g lę d n ie n iu z a l e ż n o ś c i ( 3 ) :
, j L i 9 ¿ 1
u .« + p “ - « + • • • » v8y
4 0 a* 3 4 5 6 a 5990403
i 3 i ” i 11 i 13
63^ 3 3 6 s 6 4 2 2 4 0 a 10 9 6 ? 6 8 0 0 a U
(9 )
Ze wzorów ( 8 ) i 4-9) można o b l i c z y ć x i y z d o w o ln ą d o k ł a d n o ś c i ą . B i o r ą c pod u w a g ę ,ż e s z e r e g i Cs) i (9) s ą sz y b k o zlb ieżn e i u w z g lę d n ia ją c p o t r z e b n ą w t y c z e n i u t r a s y d r o g i d o k ła d n o ś ć , p o p r z e s t a n o n a 3 p i e r w szy c h s k ł a d n i k a c h r o z w i n i ę c i a . W d a l s z y c h r o z w a ż a n ia c h p r z y j ę t e z a te m :
M o ż liw o ść u p r o s z c z e n i a m etod w y z n a c z a n i a t r a s y . . . 67
110
)
111
6 a 2 336 a^ 10
(
1 1)
4 2 2 4 0 a
P re z e n to w a n a k o n c e p c j a w y z n a c z a n ia p unktów k l o t o i d y sp ro w a d z a s i ę do z b u d o w a n ia t a b l i c , p r z y pomccy k t ó r y c h d l a u s t a l o n e g o p a r a m e tr u a , p r z y j m u j ą c ró w n e , " o k r ą g ł e " w a r t o ś c i x można z n a l e ź ć w a r t o ś c i r z ę d n y c h y .
R e a l i z a c j a p o w y ższ eg o z a m ia r u w y m ag ała, by p r z y u s ta lo n y m a , d l a k a ż d e j p r z y j ę t e j w a r t o ś c i x r o z w ią z a ć ró w n a n ie (.10) z e w z g lę d u n a 1 , a o trz y m a n ą w a r t o ś ć 1 w s ta w ić do r ó w n a n ia (1 1 ) d l a u z y s k a n i a w s p ó ł
r z ę d n e j y .
W tym o e l u r ó w n a n ie (1 0 ) p r z e k s z t a ł c o n o d o p o s t a c i :
Z w ią z e k ( 1 2 ) j e s t - p r z y u s ta lo n y m x i a - w y ra ż e n ie m o p o s t a c i 1 = f ( 1 ) , g d z i e f o z n a c z a pew ną f u n k c j ę , a w ię c s ta n o w i j u ż d o g o d n ą fo rm ę w y jś c io w ą do z a s t o s o w a n i a m e to d y i t e r a c j i ( k o l e j n y c h p r z y b l i ż e ń ) d l a r o z w i ą z a n i a ró w n a n ia ( 1 0 ) lu b ( 1 2 ) .
Z k s z t a ł t u k l o t o i d y w iadom o, ż e j e s t x ^ 1 , a w ię c 1 = x może s t a now ić z e ro w e p r z y b l i ż e n i e ( z n ie d o m ia re m ) p o s z u k iw a n e g o p i e r w i a s t k a n a s z e g o r ó w n a n ia .
P r z y k o n s tr u o w a n iu t a b l i c o g r a n ic z o n o s i ę d c t a k i e g o p r z e d z i a ł u , b y zach o w a ć o g r a n i c z e n i e n a w y n ik a j ą c e z w arunku e s t e t y k i § T j , a m ia n o w i c i e ; 3 ° < £ < 2 9 ° lu b d l a m ia r y łu k o w e j 0 , 0 5 236 0 ^ 1 < (0 ,3 0 6 l4 i> .
K ła d ą c z a te m do ( 6 ) X - 0 ,5 0 6 1 4 6 otrzym am y x = 0 ,9 7 4 6 8 3 a .U d o w o d n io n o (dowód p o m ija m y ), ż e w i n t e r e s u j ą c y m n a s p r z e d z i a l e p r o c e s i t e r a - c y j n y j e s t z b i e ż n y .
68 C z e s ła w L e w in o w s k i, Z d z i s ł a w T r y l s k i
P r z y p o w y ższ y ch z a ł o ż e n i a c h o p raco w an o o r y g i n a l n y p ro g ra m d l a EMC
"O d ra 1 0 1 3 " p o z w a la ją c y d l a dow olnych w a r t o ś c i a z p r z e d z i ą ł u
< 4 0 ,4 0 0 > i d l a d o w o ln y ch w a r t o ś c i x z p r z e d z i a ł u < 0 j 0 ,9 7 4 ó 8 3 a >
w y l i c z a ć 1 , a n a s t ę p n i e y . P r z y j ę t o d o k ła d n o ś ć o b l i c z e ń rów ną 0,0001 m.
U s t a l o n o w ydruk wyników z d o k ł a d n o ś c i ą do 0 ,0 1 m.
D la i l u s t r a c j i n i n i e j s z e j p r a c y z e s ta w io n o t a b l i c ę 1 - p r z y jm u ją c d l a x k r o k A x = 5 m, z a ś d l a a z p r z e d z i a ł u < 1 1 0 , 140> s t o p n i o w a n ie c o 10 m.
J e ż e l i oznaczym y p r z e z :
- o d c i ę t ą k o ń ca k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j w m, y k - r z ę d n ą k o ń c a k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j w m,
z a ś p r z e z 1 , i l 2 , x 2 , y 2 w a r t o ś c i ( o d p o w ie d n io ) z n ie d o m ia re m i nad m iarem d ł u g o ś c i po k r z y w e j, o d c i ę t e j i r z ę d n e j punktów k l o t o i d y , t o k o r z y s t a j ą c z t a b l i c y 1 w ypiszem y n a s t ę p u j ą c e n ie r ó w n o ś c i:
l 1 < l k < 32*
X1 < x k < v
y l < y k < y 2
P o s ł u g u j ą c s i ę i n t e r p o l a c j ą l i n i o w ą ( r y s . 1) o trz y m u je m y :
V 1 !
x 2 ~ X 1 _ ( x 2 ~ X 1 ^ l k ~ l 1 ^ _ A x ' 1k ~ V
12 - 1 , ^ " ^ - 1 , = 12 - 1,
i o s t a t e c z n i e
X, = X , + 6
k 1 x
g d z i e
&x - p o p raw k a d l a o d c i ę t e j ( 1 3 ) .
Możliwość u p r o s z c z e n i a m eto d w y z n a c z a n i a t r a s y . . 69
T a b l i c a 1
W a r to ś c i x , y i 1 d l a p a r a m e tr u a = 1 1 0 f1 4 0
P a r a m e ■ r a
110 120 130 1410
X V 1 V 1 y 1 ;:; 1
0 .0 0 0 .0 0 0 .0 0 0 . 0 0 0 0 .0 0 0 .0 0 0 . 0 0 0 .0 0 0 . 0 0
5 .0 0 0 . 0 0 5 .0 0 0 . 0 0 5 .0 0 0 .0 0 5 . 0 0 0 .0 0 5 .0 0
1 0 .0 0 0 .0 1 1 0 .0 0 0 .0 1 1 0 .0 0 0.0 1 1 0 .0 0 0 .0 1 1 0 .0 0
1 5 .0 0 0 .0 5 1 5 .0 0 0 .0 4 1 5 .0 0 0 .0 3 1 5 .0 0 0 .0 3 1 5 -0 0
2 0 .0 0 0 .1 1 2 0 .0 0 0 .0 9 2 0 .0 0 0 .0 8 2 0 .0 0 0 .0 7 2 0 .0 0
2 5 .0 0 0 .2 2 2 5 .0 0 0 .1 8 2 5 .0 0 0 .1 5 2 5 -0 0 0 .1 3 2 5 - 0 0
3 0 .0 0 0 .3 7 3 0 .0 0 0 .3 1 3 0 .0 0 0 .2 7 3 0 .0 0 0 .2 3 3 0 .0 0
3 5 .0 0 0 .5 9 3 5.01 0 . 5 0 3 5 .0 1 0 .4 2 3 5 .0 0 0 .3 6 3 5 -0 0
4 0 .0 0 0 .8 8 4 0 .0 2 0 .7 4 4 0 .0 1 0 .6 3 4 0 .0 1 0.54 40.01
4 5 .0 0 1 .2 6 4 5 .0 3 1 .0 6 4 5 .0 2 0 . 9 0 4 5 -0 2 0 .7 8 45.01
5 0 .0 0 1 .7 3 5 0 .0 5 1 »45 5 0 .0 4 1 .2 3 5 0 .0 3 1 .0 6 50.02
5 5 .0 0 2 . 3 0 5 5 .0 9 1 .9 3 55*06 1 .6 4 5 5 -0 4 1 .4 2 5 5 .0 3
6 0 .0 0 3 . 0 0 6 0 .1 3 2 .5 1 6 0 .0 9 2 .1 4 6 0 .0 7 1.84 60.05
6 5 .0 0 3*82 6 5 .2 0 3 .2 0 6 5 .1 4 2 .7 2 6 5 .1 0 2.34 65-08
7 0 .0 0 4 .7 8 7 0 .2 9 4 .0 0 7 0 .2 1 3 .4 0 70.15 2 .9 3 70.11
7 5 - 0 0 5-91 7 5 -4 2 4 .9 4 7 5 .2 9 4 . 2 0 7 5 -2 1 3-61 7 5 -1 6
8 0 .0 0 7 .2 1 8 0 .5 8 6 .0 2 8 0 .4 0 5 . 1 0 8 0 .2 9 4 .3 9 3 0 .2 2
8 5 -0 0 8 .7 0 8 5 - 7 9 7 .2 5 8 5 .5 5 6 .1 4 8 5 - 4 0 5 .2 8 85-29
9 0 .0 0 1 0 .4 0 9 1 .0 6 8 .6 5 9 0 .7 4 7 .3 2 9 0 .5 3 6 .2 8 9 0 .3 9
9 5 - 0 0 1 2 .3 4 9 6 .4 1 1 0 .2 3 9 5 -9 8 8 .6 4 9 5 .7 0 7 -4 1 9 5 .5 2
1 0 0 .0 0 1 4 -5 6 1 0 1 .8 6 1 2 .0 2 1 0 1 .2 8 1 0 .1 3 1 0 0 .9 1 8 . 6 8 1 0 0 .6 7 1 0 5 .0 0 1 7 .0 7 1 0 7 .4 2 1 4 .0 4 1 0 6 .6 5 1 1 .8 0 1 0 6 .1 7 1 0 .0 9 1 0 5 -8 6 1 1 0 .0 0 1 0 9 .9 2 1 6 .3 1 1 1 2 .1 2 1 3 .6 7 1 1 1 .5 0 1 1 .6 6 1 1 1 .1 0
1 1 5 .0 0 i e . 8 7 1 1 7 .6 9 1 5 .7 5 1 1 6 .9 0 13*40 1 1 6 .3 8
1 2 0 .0 0 ¡119*92 1 8 .0 6 1 2 2 .3 8 1 5 .3 4 1 2 1 .7 3
1 2 5 .0 0 2 0 .6 7 1 2 7 ,9 7 1 7 .4 8 125-15
1 3 0 .0 0 ¡ 1 2 9 .9 1 1 1 9 .8 5 1 3 2 .6 5
1 3 5 -0 0 2 2 .4 7 1 3 8 .2 5
1 4 0 .0 0 i , ... h 3 9 . 90}
7 0 C z e s ł a w L e w in o w s k i, Z d z i s ł a w T r y l s k i
R y s. 2
R y s . 3
P o d o b n ie , k o r z y s t a j ą c z r y s . 3 otrzym am y:
^ y ________ y 2 ~ y i ^ S _ ^y 2 ~ y 1 ^ l k ~ V
l k - V >2 - ^ y = X2 - X1
i o s t a t e c z n i e
y y = y^ + S » g d z i e - p o p raw k a d l a r z ę d n e j (1 4 )
T ak w ię c , w p ro p o n o w a n e j m e to d z ie w y z n a c z e n ie w s p ó łr z ę d n y c h punktów k l o t o i d a l n e j k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j sp ro w a d z a s i ę , p r z y znanym p a ra n ie -
M o ż liw o ś ć u p r o s z c z e n i a m etod w y z n a c z a n i a t r a s y . . 71
t r z e a , do o b l i c z e n i a w a r t o ś c i x fc, y ^ z e w zo ru (1 3 ) i ( 1 4 ) o r a z wy
p i s a n i a o d p o w ie d n ic h kolum n z t a b l i c y 1 z p r z e d z i a ł u < 0 , .
W t e n s p o s ó b d l a u s t a l o n e g o a o r a z 1^ możemy o k r e ś l i ć w s p ó ł
r z ę d n e punktów i d ł u g o ś c i ł u k u n a c a ły m o d c in k u k l o t o i d y .
J e ż e l i a = ^ - 2 1 ^ = O, t o k l o t o i d a p r z e c h o d z i w k l o t o i d ę s y m e tr y c z n ą i p r z y pomocy p o d a n e j m eto d y możemy w y zn a cz y ć w s p ó łr z ę d n e pu n k tó w d l a c a ł e g o o d c in k a t r a s y d ro g o w e j p o ło ż o n e g o w ł u k u .
N a to m ia s t j e ż e l i a ' = fi - 2 T k > 0 , t o p o ja w i a s i ę d o d atk o w o p ro b le m w y z n a c z e n ia w s p ó łr z ę d n y c h pun k tó w ł u k u k o ło w eg o o p r o m ie n iu R, z a w a r
t e g o m ię d z y łu k a m i k l o t o i d y .
3« W y z n ac za n ie w s p ó łr z ę d n y c h p r o s t o k ą t n y c h punktów łu k u k o ło w eg o z a w a r te g o m ied zy dwoma k l o t o i d a l n y m i krzyw ym i p r z e jś c io w y m i
D la w y z n a c z a n ia w s p ó łr z ę d n y c h p r o s t o k ą t n y c h pu n k tó w łu k u k o ło w eg o k o r z y s t a s i ę n a o g ó ł z p r a c y D l - W p r z y p a d k u gd y o d c i n e k d r o g i s k ł a d a s i ę z ł u k u k l o t o i d y i ł u k u k o ł a , w ią ż e s i ę t o z w p row adzeniem nowego u k ł a d u o d n i e s i e n i a , k t ó r e g o p o c z ą t e k p okryw a s i ę z końcem k rz y w e j p r z e j ś c io w e j ( k k p ) . P o n i ż e j p o d a n a z o s t a n i e k o n c e p c ja w y z n a c z a n ia w s p ó ł
r z ę d n y c h , w zględem t e g o sam ego u k ła d u o d n i e s i e n i a , p unktów l e ż ą c y c h n a o d c in k u t r a s y d ro g o w e j zło ż o n y m z łu k u k l o t o i d y i łu k u k o ł a .
P r z y jm u ją c u k ła d o d n i e s i e n i a j a k w p u n k c ie 2 , ró w n a n ie o k r ę g u p r z e s u n i ę t e g o ( r y s . 1) ma p o s t a ć
( x - t ) 2 + f y - (H + R ) ] 2 = R2 (1 5 )
Z a k ł a d a j ą c , ż e k ą t z w r o tu t r a s y f s p e ł n i a w aru n ek
0 < * < ! (1 6 )
o trz y m u je m y w p o s t a c i w y ra ź n e j ró w n a n ie i n t e r e s u j ą c e j n a s połow y o k r ę -
72 C z e s ł a w L e w in ó w s k i, Z d z i s ł a w T r y l s k i
g d z i e :
H = y k - R(1 - c o s T k ) (1 8 )
t * \ “ R sir -7 k*
(1 9 )P r z y jm u ją c o k r ą g ł e w a r t o ś c i o d c i ę t e j x = xn t a k i e , ż e :
x k < xn = n . A x < R + t , g d z i e n - n a t u r a l n e (2 0 )
m ożna z e z w ią z k u (1 7 ) z n a l e ź ć o d p o w ia d a ją c e i n w a r t o ś c i y , c z y l i r z ę d - n e p u n k tó w l e ż ą c y c h n a łu k u kołowym.
Ł atw o w y k a z a ć , ż e d l a x = x k z e z w ią z k u (1 7 ) o trzy m u jem y y = y k - W s p ó łrz ę d n e k o ń c a k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j s ą r ó w n o c z e ś n ie w s p ó łrz ę d n y m i p o c z ą t k u e f e k ty w n ie w y k o rz y s ta n e g o ł u k u k o ło w e g o .
W t e n sp o s ó b i s t n i e j e m o ż liw o ść w y z n a c z a n ia m e to d ą o r to g o n a l n ą pu n k tów n a o d c in k u t r a s y , z ło żo n y m z łu k u k l o t o i d y p r z e c h o d z ą c e j w ł u k ko
ło w y , w y k o r z y s tu ją c t e n sam u k ła d o d n i e s i e n i a i u tr z y m u ją c t e n sam krok d l a zm ian y o d c i ę t e j .
D la j e d n o l i t e g o p o t r a k t o w a n i a k l o t o i d y i ł u k u k o ło w e g o , z e w z g lę d u n a k i l o m e t r a t ( h e k to m e tr a ż ) n a l e ż y j e s z c z e p o d a ć sp o s ó b l i c z e n i a d ł u g o ś c i ł u k u k o ło w e g o .
. Wiadomo, ż e d łu g o ś ć ł u k u k rz y w e j d a n e j z w ią z k ie m y = f ( x ) , g d z i e f o z n a c z a f u n k c j ę c i ą g ł ą w ra z z j e j p ie r w s z ą p o ch o d n ą w p r z e d z i a l e < a ,b >
o b l i c z a s i ę z e z w ią z k u :
D la o k r ę g u ( 1 7 ) i p r z e d z i a ł u x k , x po p r z e k s z t a ł c e n i a c h o trz y m u je m y :
(
2 1)
a
x
R
X - t -
= R ( a r c s i n — g i k . (22)
M o ż liw o ś ć u p r o s z c z e n i a m etod w y z n a c z a n i a t r a s y . . 73
P r z y jm u ją c z a x w a r t o ś c i s p e ł n i a j ą c e ( 2 0 ) , z e z w ią z k u (2 2 ) można z n a l e ź ć o d p o w ia d a ją c e im w a r t o ś c i ł d ł u g o ś c i ł u k u k o ło w e g o , l i c z o n e od k o ń c a k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j . N a le ż y z w r ó c ić uw ag ę, ż e sum a:
1, + ł k n (2 3 )
o z n a c z a d łu g o ś ć l i c z o n ą po k rz y w y c h , od p o c z ą t k u k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j do d a n e g o p u n k tu , l e ż ą c e g o j u ż n a ł u k u kołov«ym.
R e a l i z a c j a p r z e d s t a w i o n e j k o n c e p c j i w ią ż e s i ę je d n a k z pow ażnym i t r u d n o ś c i a m i ra c h u n k o w y m i. D l a t e g o , z a c h o w u ją c p r z e d s ta w io n y w y że j t o k p o s tę p o w a n ia , o p rac o w a n o o r y g i n a l n y p ro g ra m n a m aszy n ę c y f ro w ą r e a l i z u j ą c y , d l a d a n y c h R i a , n a s t ę p u j ą c e z a d a n i a :
- w y z n a c z e n ie w a r t o ś c i 1 ^ . , , "^łc*^ H
- d l a z a d a n y c h w a r t o ś c i o d c i ę t e j x ^ , z a l e ż n y c h od p r z y j ę t e g o k ro k u , w y z n a c z e n ie d ł u g o ś c i łu k u k l o t o i d y l n , w a r t o ś c i r z ę d n y c h yf i (punktów k l o t o i d y , a n a s t ę p n i e pu n k tó w ł u k u k o ło w e g o ) o r a z d ł u g o ś c i ł łu k u k o ło w e g o , m ie r z o n y c h od k o ń c a k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j do d a n e g o p u n k tu .
W p r o g r a m ie p r z e w i d z i a n o m o ż liw o ść w p ro w a d z e n ia d o w o ln eg o k ro k u d l a zm ia n y p r o m ie n ia R, p a r a m e tr u k l o t o i d y a o r a z o d c i ę t e j x .
O b l i c z e n i a w ykonane w o ś r o d k u o b lic z e n io w y m K ie le c k o -R a d o m s k ie j WSI w K i e l c a c h n a r n .c . "O d ra 1013"» Z a s to s o w a n o d o k ła d n o ś ć 0 ,0 0 0 1 m .dla p r o c e s u i t e r a c y j n e g o o r a z p e ł n ą d o k ła d n o ś ć d l a p o z o s t a ł y c h o b l i c z e ń .
T a b l i c e w s p ó łr z ę d n y c h p unktów o r a z d ł u g o ś c i łuków ( k l o t o i d a , c k r ą ą ) w ydrukow ano (w r e z u l t a c i e a u to m a ty c z n y c h z a o k r ą g l e ń ) z dwoma z n a k a m i p o p r z e c i n k u , c z y l i z d o k ł a d n o ś c i ą do 0 ,0 1 m.
D la i l u s t r a c j i n i n i e j s z e j p r a c y z e s ta w io n o t a b l i c ę 2 , d l a R = 4 0 0 i a = 150 o r a z 20 0 m, p r z y k ro k u A x = 1 0 ,0 0 m.
T a b lic o w a n e w a r t o ś c i , z w ią z a n e z końcem k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j p o c z ą t kiem łu k u k o ło w eg o u j ę t o - d l a w y r ó ż n ie n ia - w r a m k i.
4 . Uwani końcowe i w n io s k i
1 . M etoda w y z n a c z a n ia w s p ó łr z ę d n y c h punktów k l o t o i d y p r z y znanym p a r a m e tr z e a , p r z e d s t a w i o n a w p u n k c ie 2 e l i m i n u j e w s z e l k i e p r a c e r a chunkow e, a tym samym z m n ie j s z a p ra w d o p o d o b ie ń s tw o p o m y łe k .
74 C z e s ł a w L e w in o w s k i, Z d z i s ł a w T r y l s k i
T a b l i c a 2 T a b l i c a w sp ó łrz ę d n y c h punktów k l o to i d y i łu k u kołow ego o ra z d łu g o ś c i
łu k u k l o t o i d y , łu k u kołow ego i i c h sum
a = 150 a = 200
Z k = 0 ,0 7 0 0 t = 28 ,12 H = 0 ,3 3 II O 1250 t = 4 9 ,9 7 H = 1 ,0 4
X y 1 ł 1+ł ’ X y 1 ł 1+ł
0 .0 0 0 .0 0 0 .0 0
_ _
0 .0 0 0.00 0 .0 0_ _
1 0 .0 0 0.01 1 0 .0 0 - - 1 0 .0 0 0.00 1 0 .0 0 - -
2 0 .0 0 0 .0 6 2 0 .0 0 - - 2 0 .0 0 0.03 2 0 .0 0 - -
30.00 0 .2 0 3 0 .0 0 - - 3 0 .0 0 0 .1 1 3 0 .0 0 - -
4 0 .0 0 0 .4 7 40.01 - - 4 0 .0 0 0 .2 7 4 0 .0 0 - -
5 0 .0 0 0 .9 3 50.0 2 - ■ - 50.00 0 .5 2 5 0 .0 0 - _
5 6 .2 2 1 .3 2 5 6 .2 5 - 0 .0 0 56.25
"6 0 .0 0 7 0 .0 0
0 .90 1 .4 3
60.01
7 0 .0 3
_
6 0 .0 0 1 .6 0
_
3 .7 9 6 0 .0 4 8 0 .0 09 0 .0 0 2 .1 43-04 8 0 .0 59 0 .0 97 0 .0 0 8 0 .0 0
2 .5 3
3.71 -
13-83 2 3 .9 0 34.OO 4 4 .1 5
7 0 .0 8
8 0 .1 5 9 9 .8 4 4 -1 6 10 0 .0 0 0. 00 100.00 9 0 .0 0
1 0 0 .0 0 5*14
6 .8 4
_
1 0 0 .4 0 1 0 0 .0 09 0 .2 5 4 .1 8_
0 .1 6 100.16 1 1 0 .0 0 8 .8 0 - 5 4 .3 4 11 0 .5 9 1 1 0 .0 0 5 .5 7 - 1 0 .2 5 110.25 1 2 0 .0 0 11.0 2 - 6 4 .5 8 12 0 .8 3 12 0 .0 0 7 .2 2 - 2 0 .3 9 1 2 0 .3 9 130 .0 0 1 3 .5 2 - 7 4 .8 9 131-14 1 3 0 .0 0 9 .1 3 - 3 0 .5 7 130.57 1 4 0 .0 0 1 6 .2 9 - 8 5 .2 7 141.52 1 4 0 .0 0 1 1 .3 0 - 4 0 .8 0 140.80 150 .0 0 19*35 - 9 5-72 151-97 1 5 0 .0 0 13.7 5 - 5 1 .1 0 151*10 1 6 0 .0 0 2 2 .7 0 - 106.27 162.52 1 6 0 .0 0 1 6.47 - 6 1 .4 6 161.46 1 7 0 .0 0 2 6 .3 4 - 116-91 173*16 1 7 0 .0 0 1 9.47 - 7 1 .9 0 171-90 1 8 0 .0 0 3 0 .2 9 - 1 2 7 .6 6 183.91 1 8 0 .0 0 2 2 .7 6 - 8 2 .4 3 182.43 1 9 0 .0 0 3 4.55 - 1 3 8 .5 } 194.78 1 9 0 .0 0 2 6 .3 5 - 9 3 .0 6 1 93 .06 2 0 0 .0 0 3 9 .1 4 - 149-54 2 0 5 .7 9 2 0 0 .0 0 3 0 .2 4 - 1 0 3 .7 9 20 3 .7 9 2 1 0 .0 0 4 4 .0 7 - 16 0 .6 9 2 1 6 .9 4 2 1 0 .0 0 34-45 - 114.64 2 1 4 .6 4 2 2 0 .0 0 4 9 -3 6 - 1 7 2 .0 0 2 2 8 .2 5 2 2 0 .0 0 3 8 .9 8 - 125.61 225.612 3 0 .0 0 55-01 - 183*49 2 39-74 230.00 4 3-84 136.74 23 6 .7 4
2 4 0 .0 0 6 1 .0 6 - 195-17 2 5 1 .4 2 2 4 0 .0 0 4 9 -0 6 - 148.02 24 8 .0 2 2 5 0 .0 0 67-51 - 207 . 06 263-33 2 5 0 .0 0 54-6 5 - 1 59.47 259-47 2 6 0 .0 0 7 4 .4 0 - 219*22 2 7 5 .4 7 2 6 0 .0 0 6 0 .6 2 - 1 71.12 2 7 1 .1 2 2 7 0 .0 0 8 1 .7 5 - 2 3 1 .6 3 2 8 7 .8 8 270. Oo 6 6 .9 9 - 182.98 282 .9 6 2 8 0 .0 0 8 9 .5 9 - 2 4 4 .3 4 3 0 0 .5 9 2 8 0 .0 0 7 3 -8 0 - 195*07 2 9 5 . Ó?
2 9 0 .0 0 9 7 .9 7 - 2 5 7 .3 9 313-64 2 9 0 .0 0 8 1 .0 6 - 2 0 7 .4 3 3 0 7 .4 3 3 0 0 .0 0 106.93 - 2 7 0 .8 2 327.07 30 0 .0 0 88.81 - 2 2 0 .0 9 32 0 .0 9 3 1 0 .0 0 116.53 - 2 8 4 .6 7 3 40.92 3 1 0 .0 0 9 7 -0 9 - 233.07 333-07 3 2 0 .0 0 126.82 - 2 99-03 3 55-28 3 2 0 .0 0 105.94 - 2 4 6 .4 2 346.42 3 3 0 .0 0 1 3 7 .9 0 - 3 1 3 .9 5 3 7 0 .2 0 3 3 0 .0 0 115.41 - 2 6 0 .2 0 3 6 0 .2 0 3 4 0 .0 0 149-87 - 3 2 9 .5 5 3 8 5 .8 0 3 4 0 .0 0 1 25.57 - 2 7 4 .4 5 374.45 350.00 162•86 - 3 4 5 .9 4 4 0 2 .1 9 35 0 .0 0 1 3 6 .5 0 - 2 8 9 .2 6 38 9 .2 6 3 6 0 .0 0 177-05 ■- 3 6 3 -3 0 4 1 9 .5 5 3 6 0 .0 0 148.29 - 30 4 .7 3 4 0 4 .7 3 3 7 0 .0 0 192-68 - 3 8 1 .8 6 438.11 3 7 0 .0 0 1 61.08 - 3 2 0 .9 6 4 2 0 .9 6 3 8 0 .0 0 2 1 0 .1 2 - 4 0 1.9 7 45 8 .2 2 3 6 0 .0 0 175.03 - 3 3 8 .1 3 4 3 8 .1 3 3 9 0 .0 0 229-91 - 4 2 4 .1 4 48 0 .3 9 3 9 0 .0 0 190.37 - 3 56.44 4 5 6 .4 4 4 0 0 .0 0 2 5 3 .0 0 - 449.31 5 0 5 .5 6 4 0 0 .0 0 2 0 7 .4 4 - 3 7 6 .2 3 4 7 6 .2 3 4 1 0 .0 0 2 8 1 .3 0 - 479-33 535*58 4 1 0 .0 0 2 26.74 - 3 97.97 49 7 .9 7 320.00 3 2 0 .1 4 - 5 1 9 .4 6 575.71 4 2 0 .0 0
4 3 0 .0 0 4 4 0 .0 0
249*12 276.22 312.27
4 2 2 .4 8 5 2 2 .4 8 Uwaga:
W a rto ś c i R , a , t H . y . l ł podano w
451*38 488.61
5 51-38 588.81 m e tr a c h , w r a d . W a rto ś c i u j ę
t e w ra m k i d o ty c z ą końca k rz y wej p r z e jś c io w e j
Możliwość uproszczenia metod wyznaczania trasy... 75
2 . T a b l i c a w s p ó łr z ę d n y c h i d ł u g o ś c i łu k u k l o t o i d y o danym p a r a m e tr z e a może b y ć w y k o r z y s ta n a do w y z n a c z e n ia pu n k tó w p o ś r e d n i c h k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j d l a d o w o ln eg o p r o m ie n ia R, c z y n ią c e g o z a d o ś ć j e d y n i e w aru n k o w i a *= R < 3 a . Ma t o i s t o t n e z n a c z e n i e w p r z y p a d k u t y c z e r n i a n i e t y l k o o s i , a l e r ó w n ie ż obu k r a w ę d z i j e z d n i .
3 . O p e ro w a n ie " o k r ą g ł y m i" w a r t o ś c i a m i o d c i ę t e j x u ł a t w i a z n a c z n i e t y c z e n i e pu n k tó w k rz y w e j w t e r e n i e .
4 . Można w sk a z a ć s z e r e g p r z e s ł a n e k ś w ia d c z ą c y c h o ty m , ż e r o z d z i e l a n i e z a g a d n i e n i a w y z n a c z a n ia w s p ó łr z ę d n y c h pu n k tó w l e ż ą c y c h n a k l o t o i d z i e i n a ł u k u kołowym j e s t n i e k o r z y s t n e . O p e ro w a n ie jed n y m u k ła d e m w s p ó łr z ę d n y c h s ta n o w i i s t o t n e u p r o s z c z e n i e , s z c z e g ó l n i e d l a łu k ó w o m a ły c h p r o m ie n ia c h .
5 . P o s łu g iw a n i e s i ę m e to d ą i t a b l i c a m i omówionymi w p u n k c ie 3 o g r a n i c z a p r o j e k t a n t a do s to s o w a n ia t a k i c h w a r t o ś c i p r o m ie n i i p a r a m e t r u , j a k i e z a w a r te s ą w t a b l i c a c h .
6 . P o s łu g iw a n ie s i ę i n t e r p o l a c j ą li n i o w ą p r z y w y z n a c z a n iu w a r t o ś c i po
ś r e d n i c h n i e p o w o d u je p r z e k r o c z e n i a o d c h y łe k d o p u s z c z a ln y c h w p r a k t y c e b u d o w n ic tw a d ro g o w e g o . D o ty c z y t o obu ro d z a jó w t a b l i c z a p r e z e n to w a n y c h w n i n i e j s z y m o p r a c o w a n iu .
LITERATURA
1 . D a tk a S . - K r y t e r i a d o b o ru p a ra m e tró w k l o t o i d a l n y c h k rz y w y c h p r z e j ś c io w y c h . D ro g o w n ic tw o n r 8 /1 9 6 7 *
2 . L ew in o w sk i C z . - D o bór w i e l k o ś c i p a r a m e tr u k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j c k s z t a ł c i e k l o t o i d y z a pom ocą nomogramu* D ro g o w n ic tw o n r 4 /1 9 7 1 » 3 . le w in o w s k i C z . , T r y l s k i Z d z . - U p ro s z c z o n a m e to d a w y z n a c z a n ia punk
tów k l o t o i d a l n e j k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j . P r a c a o d d an a do d r u k u .
4 . L ew in o w sk i C z . , T r y l s k i Z . - P r o j e k t o w a n i e k l o t o i d a l n y c h k rzyw ych p r z e j ś c i o w y c h w raz z t a b l i c a m i do o k r e ś l a n i a w s p ó łr z ę d n y c h punktów p o ś r e d n i c h . P r a c a o d d an a do d r u k u .
5 . L i p i ń s k i M. - T a b l i c e do t y c z e n i a k rz y w y c h - C z ę ś ć I , ł u k i k o ło w e . P a ń s tw . P r z e t i s . nydaw n. K a r t o g r a f i c z n y c h . W arszaw a 1969*
6 . l i p i ń s k i M. - T a b l i c e do t y c z e n i a k rzy w y ch - c z ę ś ć I I , K l o t o i d a . P a ń s tw . P r z e d s . Wydawn. K a r t o g r a f i c z n y c h . W arszaw a 1969»
76 C z e s ł a w L ew inowaki , - Z d z i s ł a w 7 r y l s k i
7 . M rozow ski W. - P r o je k to w a n i e d ró g i u l i c . W ytyczne n o rm aty w n e . Wy
d aw n ic tw o K o m u n ik a c ji i Ł ą c z n o ś c i . W arszaw a 1 9 6 8 .
8 . T r y l s k i Z . - W y z n ac za n ie p unktów o s i d r o g i na o d c in k u zło żo n y m ' z k rz y w e j p r z e j ś c i o w e j i łu k u k o ło w eg o . P r a c a z ł o ż o n a do d r u k u .
9 . P r a c a z b io ro w a - P o d r ę c z n i k d ro g o w y . W ydawnictwa K o m u n ik a c y jn e . Tom I , W arszaw a 1 9 5 2 . Tom I I , W arszaw a 1954»
n P O C T łilU U E MŁTUflU OliPEBEJIkHVUi TPACCŁl flO P O n i HA HACTH PACllOJIQSEHOM HA p y r E
P e 3 d u e
U p a f i o T e npe ^ CTa B JieH O H j e c y n p o z e H H X n p n M e H s e u u x u eTO A o n p e j e j i e H u a u e - T o * To>ieK T p a c c H t o p o r a Ha l a c m c o c T a B J i e n c t f h b k p m b oS n e p e x o x H o k t x x o -
to h a h ) h x p y r o s o k x y r u .
O n u caH o c n o c o Ö K o T x e x b H o r o x c o B u e c T H o r o T p ax TO B a H H S T a x o k i b c t « T p a c -
c u , c c o x p aH e H H eit BTott z e c a u o k n p a u o y r o J i b H o k Koo p xM H aT H ok C H C T e u u .
’ I p H B e je H O TaCJIHUH CBHSBHU C COOTBeTCTByBUHMH HeTOABHM O Op e xe A e H H B x o - OPÄHHBT npO Uez yTO HHUX T o n e x , JJ1HH11 A y r H XJIOTOMÄU u XXHHH X p y r O B O k X y r H B i i e c T e c h x c y u u a u H .
3t h n p o c T e k u m e M e T o x u h j i j i d c t p h p o b b h o m h c b o b h m n p H x e p o H .
PO SSIB IL IT IE S 0 ? SIMPLIFYING THE METHODS OF ASSIGNING THE HIGHWAY LOCATION CK THE STRETCHES SITUATED HI THE ARC
S u m m a r y
The c o n c e p t i o n o f s i m p l i f y i n g t h e e x i s t i n g m e th o d s o f a s s i g n i n g t h e h ig h w ay l o c a t i o n p o i n t s on t n e s t r e t c h t h a t c o n s i s t s o f t h e c l o t h o i d a ! e a s e m e n t c u r v e and o f t h e c i r c u l a r a r c w as p r e s e n t e d i n t h i s w o rk .
T h e r e w as d e s r i b e d t h e p r o c e d u r e o f s e p a r a t e and com biend h a n d l in g s u c h a r o u t e s t r e t c h k e e p in g t h e same r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s y s te m .
The a d e q u a t e t a b l e s f o r a s s i g n i n g t h e i n t e r m e d i a t e p o i n t s c o o r d i n a t e s , t h e c l o t h o i d e a r c l e n g t h , t h e c i r c u l a r a r c l e n g t h and t h e i r sum s w ere i n s e r t e d
T h e s i m p l i f i e d m e th o d s w ere i l l u s t r a t e d by t h e n u m e r i c a l e x a m p le .
