Zastosowanie metod polowych i obwodowych do wyznaczania charakterystyk statycznych generatorów synchronicznych

Seria: E L E K T R Y K A z. 176

Andrzej BOBOŃ*, Jerzy KUDŁA**

ZASTOSOWANIE METOD POLOWYCH I OBWODOWYCH DO WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH GENERATORÓW SYNCHRONICZNYCH*"

Streszczenie. Przedstawiono model polowo-obwodowy oraz przybliżony model obwodowy generatora synchronicznego umożliwiające obliczenia wielkości I charakterystyk maszyny w stanie ustalonym na podstawie danych projektowo-konstrukcyjnych przy uwzględnieniu nieliniowych charakterystyk magnesowania rdzeni magnetycznych. Dla modelu polowo-obwodowego obliczenia wykonywane są iteracyjną metodą Newtona-Raphsona. W obliczeniach wykonywanych na podstawie przybliżonego modelu obwodowego korzysta się z wyznaczonych a priori syntetycznych charakterystyk sprzężeń magnetycznych. Przykładowe wyniki obliczeń podano dla turbogeneratora TWW-200-2 o mocy 200 MW.

APPLICATIO N OF FIELD-CIRCUIT AND CIRCUIT METHODS TO DETERM INE THE STEADY STATE CHARACTERISTICS OF SYNCHRONOUS GENERATORS

Sum m ary: A field-circuit model as well as an approximate circuit model of the synchronous generator are presented. These models enable to compute the steady state characteristics, taking into account the non-linear magnetization curves of the machine magnetic cores. For the field-circuit model the field as well as circuit equations are solved simultaneously using the iterative loop and the Newton- Raphson method. For the approximate circuit model, computations are carried out basing on the synthetic characteristics of flux linkages. Example results of calculations for the 200 MW turbogenerator are given.

Key w o rd s : synchronous machines, turbogenerators, field-circuit model, static characteristics, magnetic circuit saturation, finite element method

1. W S TĘP

W łaściw ości generatorów synchronicznych pracujących w system ie elektroenergetycznym w ustalonym sym etrycznym stanie pracy ocenia się często na podstawie charakterystyk w yznaczonych dia generatora współpracującego z siecią sztywną, zastępującą w przybliżeniu system elektroenergetyczny. N ajczęściej w łaściw ości generatora synchronicznego w spółpracującego z sie cią sztyw ną określa się na podstawie charakterystyk kątowych oraz tak zw anych krzywych V. Przebieg tych charakterystyk zależy od stanu nasycenia rdzeni m agnetycznych stojana i wirnika, dlatego też przy ich wyznaczaniu na podstawie równań maszyny konieczne je s t uw zględnienie zjaw iska nasycenia. Zjaw isko nasycenia powoduje, że strum ienie m agnetyczne sprzężone z obwodam i stojana w osiach d I q s ą nieliniowym i funkcjam i obu składowych osiow ych prądu stojana oraz prądu wzbudzenia:

= ^d d d .lg .i? ) . 'f'q = lFq(ld.lq .if) - 0 )

W konsekw encji przykładow y układ nieliniowych równań algebraicznych w ykorzystyw any do obliczeń charakterystyk kątow ych przyjm uje postać:

Dr inż., Katedra Maszyn i Urządzeń Elektrycznych, 44-100 Gliwice, ul. Akademicka 10a, tel. (+48)(+32) 2371447, fax (+48)(+32) 2371447, e-mail: a_bobon@kmiue.elektr.polsl.gliwice.pl

**D r inż., Katedra Maszyn I Urządzeń Elektrycznych, 44-100 Gliwice, ul. Akademicka 10a, tel. (+48)(+32) 2371447, fax (+48)(+32) 2371447, e-mall: j_kudla@kmiue.elektr.polsl.gliwice.pl

*** Badania zrealizowano w ramach projektu badawczego nr 8 T10A 05618, finansowanego w latach 2000-2001 przez KBN

m agnetycznych pola m agnetycznego głównego i pola rozproszenia stojana

Dla pow yższych składowych m ożna znacznie prościej wyznaczyć odpow iednie charakterystyki sprzężeń m agnetycznych. Z na ją c te charakterystyki, m ożna bezpośrednio w ykorzystać równania obw odow e (2) do w yznaczenia stanu ustalonego m aszyny synchronicznej [4], [5], [7],

W pracy przedstaw iono m odel polow o-obw odow y oraz przybliżony m odel obwodowy maszyny synchronicznej uw zględniające w pływ nasycania się rdzeni m agnetycznych. W obliczeniach przeprow adzonych na podstawie danych projektowo-konstrukcyjnych m aszyny wykorzystano m etodę elem entów skończonych. W yniki obliczeń w postaci charakterystyk kątowych oraz krzywych V podano dla turbogeneratora T W W -200-2 o m ocy 200 MW.

2. O BLIC ZAN IE C H A R A K T E R Y S T Y K STATYCZNYCH M ASZYNY SYNCHRO NICZNEJ PR Z Y W Y K O R ZY S T A N IU M O D ELU PO LO W O -O BW O DO W EG O

M odel polow o-obw odow y dla stanu ustalonego m aszyny synchronicznej tw orzą [2], [3]:

■ rów nania obw odów elektrycznych m aszyny (2), w których sprzężenia m agnetyczne stojana w osi d i q s ą nieliniowym i funkcjam i prądów w uzwojeniach,

■ rów nania różniczkow e cząstkow e opisujące rozkład pola m agnetostatycznego w maszynie

Równania obw odow e i polowe są ze s o b ą związane i m uszą być rozw iązywane jednocześnie.

W przypadku gdy do obliczeń rozkładów pól m agnetycznych w m aszynie w ykorzystyw any jest niezależny program m etody elem entów skończonych, w tedy obliczenia m odelu polowo- obw odow ego przeprowadza się poprzez sekw encyjne rozwiązywanie w pętli iteracyjnej równań polowych i obwodow ych.

A lgorytm rozw iązywania m odelu polowo-obwodowego oraz je g o im plem entacja w programie kom puterow ym zależy od rodzaju wyznaczanych charakterystyk statycznych maszyny.

Przedstaw iony niżej algorytm um ożliwia obliczanie charakterystyk kątowych m om entu elektro­

m agnetycznego. Do rozw iązania równań polowo-obw odow ych zastosowano iteracyjną metodę N ewtona-R aphsona. S chem at algorytm u obliczania określonego punktu charakterystyki przedstaw iono na rys. 1.

W obliczeniach charakterystyk kątowych ustalony punkt pracy (punkt charakterystyki) określony je s t przez napięcie stojana U, prąd wzbudzenia i( i kąt obciążenia 8. Zgodnie z m etodą Newtona- Raphsona, nieliniow y układ równań postaci

'ł 'q = ^ s q ( ld , lq ) + 'f ,mq(ld.lq.i?) • (3)

(4) gdzie:

A - w ektorow y p otencjał m agnetyczny zw iązany z w ektorem indukcji B relacją B = rotA,

J - w e kto r gęstości prądu w obszarach zajętych przez uzwojenia, p - przenikalność m agnetyczna będąca nieliniow ą fu n kcją natężenia pola

(5)

m agnetycznego H.

f(x ) = 0 (6)

f( x ,) =

U s i n S - R L + r » ' ! ' . UcosS - R lql -<n 4*,

*qi

^di

Rys. 1. Algorytm obliczeń punktu charakterystyki kątowej momentu elektromagnetycznego Fig. 1. Algorithm of calculating a point of a torque-angle characteristic

rozw iązyw any je s t w pętli iteracyjnej, przy czym kolejne przybliżenia rozwiązania wyznaczane s ą z zależności

X|+1 = X i - J ( X i ) ' 1f(X i) (7)

xi - w e kto r prądów tw ornika w osi d i q w i-tej iteracji Xj = [ l{Ji> Iqi] >

J - ja k o b ia n

fi(x)‘

f2 (x )

U sin(S) - R ld + ta't'q U c o s ( S ) -R lq — oo'i'tj

Działanie algorytm u rozpoczyna się od wyznaczenia rozkładu pola m agnetycznego w maszynie dla przyjętych początkowych w artości prądów w uzwojeniach (punkt startowy). Przybliżone w artości tych prądów m ożna uzyskać z równań napięciowo-prądowych m aszyny dla przybliżonych wartości strum ieni m agnetycznych w osi d i q określonych na przykład dla standardowych indukcyjności m aszyny

‘t'd = Ldld +Lad'f .

A lri A r 2

Rys.2. Warunki brzegowe przyjęte w obliczeniach rozkładu pola magnetycznego w genera­

torze synchronicznym Fig.2. Boundary conditions applied

to magnetic field computations in a synchronous generator

zwojów, zr - liczba szeregow o połączonych zwojów w zezwoju, sp - powierzchnia przekroju poprzecznego pręta zezwoju, Nz - liczba zezw ojów połączonych szeregow o w uzwojeniu, A i, A 2 - wektorowy potencjał m agnetyczny w m iejscach położenia lewego i prawego boku zezwoju.

Następnie obliczane s ą sprzężenia magnetyczne stojana w osi d i q

ł"-I

l T k s in S k 4 k=1,2,3

(12) gdzie:

R 0 ‘ 0 to

—

—

0 R I 3 O

9k - kąt m iędzy o s ią k-tej fazy uzwojenia tw ornika a o sią d.

Ja k w ynika ze wzoru N ew tona-R aphsona (7), do w yznaczenia następnego przybliżenia rozw iązania konieczne je s t w yznaczenie jakobianu (8). U w zględniając (9), jakobian określony jest przez zależność

(13)

P ochodne sprzężeń m agnetycznych stojana w osi d i q w zględem prądów stojana w osi d i q m og ą być przybliżone przez odpow iednie ilorazy różnicowe, które m og ą być w yznaczone z rozkładu pola m agnetycznego obliczonego dla zaburzonych w artości prądu stojana w osi d i q (rys. 1).

O bliczenia rozkładu pola m agnetycznego m og ą być przeprow adzone dla liniowego obwodu m agnetycznego m aszyny o ustalonym („zam rożonym ”) rozkładzie przenikalności m agnetycznych w yznaczonym z rozkładu pola m agnetycznego dla nieliniowego obwodu m agnetycznego.

W yjście z pętli algorytm u następuje po uzyskaniu rozw iązania spełniającego nieliniowe rów nania (6) z z a d a ną dokładnością.

3 * d a ^ d aid aiq a ^ q

aid aiq

3. W Y ZN A C ZA N IE C H A R A K T E R Y S T Y K STATYC ZNYCH M ASZYN Y SYNCHRO NICZNEJ PR Z Y W Y K O R ZY S T A N IU PR ZYB LIŻO N EG O M ODELU O BW O D O W EG O

W yznaczenie a priori charakterystyk sprzężeń m agnetycznych pola m agnetycznego głównego oraz pola rozproszenia stojana w ym aga przyjęcia do rozw ażań m odeli obliczeniowych m aszyny, w których pola te w y stę p u ją sam odzielnie bądź też s ą dom inujące [4], [5],

Uw zględniając, że w norm alnych ustalonych w arunkach pracy, prądy stojana m aszyny nie prze kra cza ją w artości znam ionow ych, m ożna z d o b rą dokładnością przyjąć, że dla pola rozproszenia stojana rdzeń stojana je s t nienasycony. W konsekwencji charakterystyki sprzężeń m agnetycznych tego pola określone s ą za pom ocą nienasyconej indukcyjności rozproszenia stojana:

'ł'OSd = t-as^d , 't ,OSq = Laslq . (14)

W prow adzając do rozważań pojęcia uzwojeń m agnesujących oraz prądu m agnesującego, w ytw arzających pole m agnetyczne główne, wyrażenia na sprzężenia m agnetyczne tego pola m ożna zapisać w postaci [5]

) = '^mddmd' ^mq) = ^mddmiYm) ■

“ Omd • ^mq ) — dm.Ym)- (15)

W stanie ustalonym składowe osiowe prądu m agnesującego oraz m oduł i argum ent jego fazora przestrzennego wynoszą:

Imd = Id + *f = Im C°S(ym) < lmq = lq ~ Im ®^(Ym) »

Im = J i + i f f +lq . Ym = a rc tg ( -is — ) . (16)

ld+>r

W prow adzenie do rozw ażań pojęcia uzwojeń m agnesujących oraz prądu m agnesującego nie tylko redukuje liczbę zm iennych niezależnych determ inujących nieliniowe charakterystyki sprzężeń m agnetycznych, ale także umożliwia określenie w łaściw ości tych funkcji [5], na podstawie których charakterystyki te m ożna z dobrą dokładnością przedstawić w postaci szeregu

^mdOimYm) = S V1/mdi(lm)co s(lYm) > ^mq(lm>Ym) = X ^ m q i(Im ) sln0Ym) ■ (17)

¡=1,3.. ¡=1,3..

Nieliniowe w spółczynniki funkcyjne '{'mdidm). v{/mqi(lm) występujące w tych szeregach - w dalszej części pracy - przyjęto nazywać syntetycznym i charakterystykam i sprzężeń m agnetycznych. W praktycznych zastosow aniach zwykle jeden bądź dwa wyrazy w szeregu, z w ysta rcza ją cą d okładnością aproksym ują charakterystyki sprzężeń m agnetycznych. Syntetyczne charakterystyki dla turbogeneratora TW W -200-2 przedstawiono na rys. 3.

Rys.3. Syntetyczne charakterystyki sprzężeń magnetycznych pola magnetycznego głównego Fig. 3. Synthetic characteristics of flux linkages for the main magnetic field

U w zględniając relacje (14), (17), równania m aszyny synchronicznej stosowane do obliczeń charakterystyk kątowych przyjm ują postać

U sin(8) R - o> L os

V

¡=1,3 U cos(5) _Cd Los R _'q_

+

® 2 ^mdi0m)CO®0Ym)

¡=1,3

Przy rozw iązyw aniu pow yższego układu równań dla zadanych w artości kąta obciążenia, prądu w zbudzenia oraz napięcia w ygodnie je s t raczej poszukiwać m odułu prądu m agnesującego i jego argum entu aniżeli prądów stojana w osi d i q. W konsekwencji nieliniowy układ równań przyjmuje postać:

rozw iązyw anego za p om ocą m etody G aussa-Newtona, Levenberga-M arquardta i innych.

4. W Y N IK I O BLIC ZEŃ C H A R AKTER Y STYK STANU USTALO N E G O G ENERATO RA S Y N C H R O N IC ZN EG O

O bliczenia charakterystyk statycznych przeprow adzono dla turbogeneratora T W W -2 0 0 -2 (S „=235.3 M V A , P„=200 MW, U „=15.75 kV, l„=8625 A, cos<p„=0.85).

Na rys. 4, 5 przedstaw iono w ybrane charakterystyki: kątow e m om entu elektrom agnetycznego, oraz krzywe V obliczone przy w ykorzystaniu m odelu polowo-obwodowego i przybliżonego modelu obw odow ego badanego turbogeneratora. Przedstaw ione na w ykresach charakterystyki porównano z charakterystykam i w yznaczonym i dla nienasyconego obwodu m agnetycznego maszyny.

1.4 Te [-]

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

[deg]

Rys. 4. Charakterystyki kątowe momentu elektromagnetycznego turbogeneratora TWW-200-2 dla napięcia twornika U=1 [jedn. w z g l]

_ _ _ _ _ model połowo- _ _ _ . model obwodowy ________ nienasycony

obwodowy obwód magnetyczny

Fig. 4. Torque-angle characteristics of the TWW-200-2 turbogenerator for the armature voltage U=1 [p.u ] ________ field-circult _ _ — . circuit model --- unsaturated

model magnetic circuit

1.0 V (r) H

1.2 1.6

Rys. 5. Krzywe V turbogeneratora TWW-200-2 dla napięcia twomika U=1 [jedn. wzgl.]

--- model połowo- --- model ---

obwodowy obwodowy

Fig. 5. V-curves of the TWW-200-2 turbogenerator for the armature voltage U=1 [p.u.]

--- fleld-clrcult model --- circuit model ---

nienasycony obwód magnetyczny

unsaturated magnetic circuit

5. W NIO SKI

Przedstaw ione w pracy m odele m aszyny synchronicznej: polowo-obwodowy i przybliżony obwodowy, um ożliw iają uwzględnienie wpływu zjaw iska nasycania się rdzeni magnetycznych na w ielkości i charakterystyki m aszyny w sym etrycznych stanach ustalonych.

Na podstawie zam ieszczonych charakterystyk można zauważyć, że dla rozpatrywanego generatora zasilanego z sieci sztywnej o napięciu znam ionowym różnice pomiędzy charakterystykam i obliczonym i przy wykorzystaniu m odelu polowo-obwodowego, przybliżonego m odelu obw odow ego oraz m odelu, w którym pomija się zjaw isko nasycenia, s ą nieznaczne.

Dotyczy to w szczególności charakterystyk kątowych m om entu elektrom agnetycznego generatora, gdzie różnice zauw ażalne m iędzy m odelam i pojaw iają się w zakresie jego pracy niestabilnej.

W iększe różnice m iędzy charakterystykam i m ożna zaobserwow ać dla krzywych V, dla których m aksym alny błąd pom iędzy charakterystykam i uzyskanymi dla modelu polowo-obwodowego a charakterystykam i uzyskanym i dla m odelu obwodowego nie uwzględniającego zjawiska nasycenia osiąga w a rto ść około 15%. Zastosow anie przybliżonego obwodowego m odelu m atem atycznego m aszyny uw zględniającego zjaw iska nasycenia, do w yznaczania charakterystyk stanu ustalonego pozwala zredukow ać m aksym alny błąd do około 10%, przy czym w zakresie stanu niedowzbudzenia generatora różnice pom iędzy m odelem polowo-obwodowym i przybliżonym obw odow ym s ą niewielkie. Stosowanie m odelu polowo-obwodowego wym aga dużych nakładów obliczeniowych i zw ykle m odel ten służy do w eryfikacji I oceny wiarygodności prostszych przybliżonych m odeli obwodowych. M odele polowo-obwodowe m og ą być wykorzystane w obliczeniach m aszyn synchronicznych przy znajom ości ich danych projektowo-konstrukcyjnych.

Znacznie szerszy je s t zakres w ykorzystania przybliżonych m odeli obwodowych, w których syntetyczne charakterystyki dla pola głównego m ożna nie tylko obliczyć z danych konstrukcyjnych, ale także estym ow ać na podstawie pom iarów wykonanych na obiekcie rzeczywistym.

ustalonych sym etrycznych przy uwzględnieniu zjaw iska nasycenia dla pola magnetycznego głównego. Z eszyty N aukowe Politechniki Śląskiej „Elektryka”, z. 159, Gliwice 1997, s.125-134.

5. Kudła J.: M odel m atem atyczny generatora synchronicznego uw zględniający zjaw isko nasycenia dla pola m agnetycznego głów nego i pola rozproszenia stojana. Prace Naukowe Politechniki W arszaw skiej „E lektryka” , z. 111, W arszaw a 1999, s.81-90.

6. M innich S.H., S chulz R.P., Baker D.H., Sharm a D.K., Farm er R.G., Fish J.H.: Saturation Functions fo r S ynchronous G enerators from Finite Elem ents. IEEE Transaction on Energy Conversion, Vol. EC-2, No 4, Dec 1987, pp.680-692.

7. Sobczyk T.J.: N ew ton-R aphson algorithm s fo r steady-state analysis o f salient-pole synchronous m achines accounting fo r saturation o f a m ain m agnetic circuit. ICEM '2000, Helsinki, 28-30 Aug 2000, pp. 1134-1138.

Recenzent: Dr hab. inż. M ieczysław Ronkowski P rofesor Politechniki Gdańskiej

W płynęło do Redakcji dnia 30 kwietnia 2001 r.

Abstract

The paper presents a field-circuit m odel and an approxim ate circuit m odel w hich enable to calculate the synchronous m achine quantities and characteristics fo r the steady-state conditions w hile taking into account the nonlinear m agnetization curves o f m agnetic cores.

The m achine fie ld -circu it m odel consists of circuit equations (2) and partial differential equations describing the m agnetic field distribution in the m achine (4). These equations are related to each o ther and have to be solved sim ultaneously by the iterative m ethod. Fig. 1 shows the algorithm of calculating the synchronous generator torque-angle characteristics.

The m achine approxim ate circuit m odel takesinto account the saturation effect fo r the m ain field only. T he m agnetic linkages, as functions o f the m agnetizing current space phasor, were expressed in term s o f series (17). T he nonlinear function coefficients 4 'ml»(lm) and H'mqi(lm) in this series, so- called the synthetic characteristics o f flux linkages, are shown in Fig.3 fo r the TW W -200-2 turbogenerator. T he se characteristics w ere calculated on the base of the m achine m agnetic field spatial distributions using the finite elem ent method.

Figs. 4 and 5 show the torque-angle characteristics and V -curves calculated while using the fie ld -circu it m odel as w ell as the approxim ate circuit m odel. The curves presented in these figures w ere com pared w ith the corresponding curves determ ined fo r the m achine with non-saturated m agnetic circuit. C om paring Figs. 4 and 5 one can determ ine the validation o f these models. The m axim um error between the characteristics obtained fo r the field-circuit m odel and the unsaturated m odel, w hich is about 15%, can be reduced to about 10% w hen using the approxim ate circuital m odel.