ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i e : ENERGETYKA z . 21
_________ 1 9 6 6 Nr k o l . 156
JOZEF SZPILECKI K a t e d r a F i z y k i B
PRZEDSTAWIENIE I ROZPATRYWANIE PROCESÓW CIEPLNYCH W N WYMIAROWEJ PRZESTRZENI KONFIGHRACYUNEJ
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y [27] sformułowano i r o z w i ą zano w n wymiarowej p r z e s t r z e n i k o n f i g u r a c y j n e j z a g a d n i e n i e s t a n u u s t a l o n e g o o s c y l a c j i t e m p e r a t u r y u k ł a d u z ł o ż o n e g o z n c i a ł , k t ó r e w y m i e n i a j ą c i e p ł o między so bą według l i n i o w e g o prawa, i k t ó r e s ą wywołane w a h a n i a m i ' t e m p e r a t u r y je d ne go ze s k ł a d n i ków u k ł a d u , k t ó r y w o k r e ś l o n y c h c h w i l a c h z a ł ą c z a i wyłącza ź r ó d ł o c i e p ł a .
Do powyższej t e m a t y k i n a w i ą z u j ą t r z y n i ż e j wymienione z a g a d n i e n i a , k t ó r e t e m a t y c z n i e t w o r z ą j e d n ą c a ł o ś ó :
1 ) P r z e d s t a w i e n i e i r o z p a t r y w a n i e procesów c i e p l n y c h w n - wymiarowej p r z e s t r z e n i k o n f i g u r a c y j n e j .
2 ) S t a n u s t a l o n y o s c y l a c j i w u k ł a d z i e liniowym o n s t o p n i a c h swobody.
3 ) Metody r o z w i ą z a n i a równań s t a n u u s t a l o n e g o o s c y l a c j i r e - l a k s a c y j nych.
W p ra cy n i n i e j s z e j sprowadzono z a g a d n i e n i e procesów c i e p l nych t a k i c h j a k o g r z ew a ni e i o s t y g a n i e w l i n i o w y c h u k ł a d a c h w y m i e n i a j ą c y c h między s o b ą c i e p ł o i z ł o ż o n y c h z n c i a ł , d o geo
me t ryc zn yc h r ozważań n—wymiarowej p r z e s t r z e n i k o n f i g u r a c y j n e j . P r o c e s y t e p r z e d s t a w i o n e s ą pewnymi krzywymi n-wymiarowymi, k t ó r y c n r z u t y na dowolne p ł a s z c z y z n y w s p ó ł rz ęd ny ch s ą p a r a b o l a m i . Wprowadzono r ó w ni e ż n-wymiarową p r z e s t r z e ń t e m p e r a t u r s kł ad ni k ów u k ł a d u o r a z przedy sku to wano s t o s u n k i g eo me t r y c z n e między obu p r z e s t r z e n i a m i .
Problem t e n p or us zon o j u ż w p r a c y [ 2 8 ] , w k t ó r e j podano bez wyprowadzenia z e s t a w i e n i e wzorów, p o z w a l a j ą c y c h na wyzn acze ni e s t a n u u s t a l o n e g o o s c y l a c j i o r a z podano odmienną n i ż w o b e c n e j pr acy metodę r o z w i ą z a n i a pro blemu .
1 , Wstęp
W a r t y k u l e n i n i e j s z y m p r z e d s t a w i o n o p i e r w s z e z z a g a d n i e ń , wy
mi e nionych w s t r e s z c z e n i u . Z a g a d n i e n i e t o był o r ó w ni e ż omówib- ne w t r z e c i m r o z - d z i a l e p r a c y d o k t o r s k i e j a u t o r a [ 2 7 ] .
62 J ó z e f S z p l l e o k l W p r ac y t e j r o z p a t r z o n o o s c y l a o j e t e m p e r a t u r w u k ł a d z i e n c i a ł , z n a j d u j ą c y c h s i ę w ośr od ku gazowym i wymie niają cyoh c i e - p ł o między s o bą i z o t o c z e n i e m . J e d no z c i a ł j e s t ź ródłe m o i e - p ł a , w o k r e ś l o n y c h c h w i l a c h Cnp. pr zy pomooy te rm ome t ru kon
t a k t o w e g o ) zał ączanym i wyłączanym.
J a k o p i e r w s z e p r z y b l i ż e n i e p r z y j ę t o l i n i o w e r ó w n a n i a , o p i s u j ą c e wymianę c i e p l n ą , n a s t ę p u j ą o e j p o s t a c i
n
Kt d \ / d t + Sj_ h Ł a ik - Ą , ) • Nł , i + 1 n (1 ) k-0
pr zy czym
- pojemność c i e p l n a , S ^ - p o w i e r z c h n i a ,
h ^ - w s pó ł oz yn n ik o h a r a k t ę r y z u j ą c y wymianę c i e p l n ą c i a ł a , a . . ^ 0 - w s p ó ł o z y n n i k i c h a r a k t e r y z u j ą c e k o n f i g u r a o j ę u -
k ł a d u , w ł a s n o ś o 1 e m i s yj ne i t d . M a c i e r z a l k , i - 1 . . . . . . . . , n , k - 1 . . . . n j e s t na o g ó ł n i e s y m e t r y c z n a ,
Ą , ^ - t e m p e r a t u r y c i a ł a i , k w z g l ę d n i e o t o c z e n i a , - moo ź r ó d ł a i . W pr acy p r z y j ę t o N1 - O , - 0 , i - 2 . . . n J a k o w ar unk i początkowe p r z y j ę t o :
t - O, - #0 , 1 * 1 . . . . n d l a o gr zew an ia o r a z
^ * T ł , i - 1 , . . . n ,
g d z i e T^ t e m p e r a t u r y końcowe p o p r z e d z a j ą c e g o o s t y g a n i e p r o - oes u o g r z e w a n i a .
O ma ci er zy a 1(£ z a ł o ż o n o , że p o s i a d a ona p r o s t e d z i e l n i k i e l e m e n t a r n e , r z e c z y w i s t e , u je mn e.
Wtedy w przypadku o gr ze wa ni a otrzymujemy r o z w i ą z a n i e w po
s t a ć 1
. t
^ i “ S Aik + «1- ( z )
k-1 • o r a z d l a o s t y g a n i a
oc t
A a S A . J e + fi , i « 1 . . . . n k-1
( 3 )
P r z e d s t a w i e n i e i r o z p a t r y w a n i e procesów c i e p l n y c h . . . ________63 p r z y ozym
- o z n a c z a j ą t e m p e r a t u r y s t a n u u s t a l o n e g o ,
A . . , A.. - o z n a c z a j ą s t a ł e , wyznaczone z warunków p o c z ą t k o -
1K wyoh.
2 . Uwagi d o t y c z ą c e u ż y t e j metody
C h a r a k t e r y s t y c z n ą c eoh ą r o z p a t r y w a n y c h w p r a c y o s c y l a o j i j e s t ż e i c h krzywe c z a s o w e j z m i e n n o ś c i zbudowane s ą z krzywych a - p e r i o d y c z n y c h .
Do b a d a n i a o s c y l a c j i w r ó ż n y c h u k ł a d a o h , d a j ą c y c h o s c y l a c j e r e l a k s a c y j n e o kr zywej z n i e k s z t a ł c o n e j , używane s ą :
1 ) metody, k t ó r e j a k o wyjściowe p r z y j m u j ą o s c y l a c j e s i n u s o i d a l n e £
2
, 3 , 5 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 14, 16j[ i p r z y i c h pomocy bud u j ą r o z w i ą z a n i a d l a z n i e k s z t a ł c o n y c h p r z e b i e g ó w .
2 ) n i e k t ó r z y a u t o r z y [
20
, 2 1 ,24
] p o s ł u g u j ą s i ę metodami g r a f i c z n y m i ,3 ) w o s t a t n i c h l a t a c h r o z p o w s z e c h n i a j ą s i ę metody, p o l e g a - j ą o e na r o z p a t r y w a n i u o s c y l a c j i w p ł a s z c z y ź n i e f azowej [ 7 , 1 3 , 1 7 , 2 5 ] . W przypadku n i e c i ą g ł y c h c h a r a k t e r y s t y k , czy n i e c i ą g ł y c h f u n k c j i d z i a ł a n i a , metoda t a wymaga p ł a s z c z y z n fazowych w i e l o l i s t k o w y o h (metoda t r a n s f o r m a c j i punktowych) [ 1, 6 , 8 , 9 , 1 7 , 1 8, 2 2 , 2 3 , 2 5 , 2 9 ] .
Wadą p r z e w a g i t y c h metod J e s t f a k t , że n a d a j ą s i ę one j e d y n i e do r o z p a t r y w a n i a p r o s t y c h przypadków, o d p o w ia da j ąc yc h n i e d u ż e j i l o ś c i s t o p n i swobody uk ła dów.
W p r a c y n i n i e j s z e j r o z p a t r y w a n i a s t a n u u s t a l o n e g o o s c y l a c y j p r z epr ow adzon o w p r z e s t r z e n i k o n f i g u r a c y j n e j n wymiarowej , f o r m u ł u j ą c J e n a s t ę p u j ą c o :
C ho dzi o wyznaozeni e s t a n u u s t a l o n e g o r ównoczesnego o s c y l a c j i t e m p e r a t u r n~1 c i a ł u k ł a d u , gdy t e m p e r a t u r a j e d n e g o z n i c h j e s t zmienna p e r i o d y c z n i e między dwiema s t a ł y m i , danymi w a r t o ś c i a m i .
Do r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a u ż y t o metody, z n a n e j w t e o r i i układów równań r ó żn i c z k o w y c h [
4
, 15, 19, 2 6 ] , pr zy czym wykor z y s t a n i e t e j metody do s f o rm uł ow a ni a i i n t e r p r e t a o j i warunków i ' - n i e j ą c y c h w s t a n i e u s t a l o n y m o s o y l a o j i , b y ł o p rzedmiote m i c e l e m p r a c y n i n i e j s z e j .
3 . S t a n u s t a l o n y o s c y l a c j i
Dla b a d a j ą c e g o o s c y l a c j e , czy p r o j e k t u j ą c e g o a p a r a t u r ę , w k t ó r e j p r z e w i d z i a n e s ą o s c y l a c j e , ważne s ą n a s t ę p u j ą c e d an e:
1 . J a k duże w y c h yl e ni a w y s t ę p u j ą w c z a s i e r o z r u c h u o s c y l a c j i j. j a k i m i c z y n n i k a m i można wpłynąć na i c h w i e l k o ś ć . W s z c z e g ó l n o ś c i , czy i s t n i e j e p r z e r e g u l o w a n i e , o b j a w i a j ą c e s i ę w f o r mie b a r d z o dużych o s c y l a c j i w‘ c z a s i e r o z r u o h u .
64 J ó z e f S z p i l e o k i
2 . J a k szybko o t r z y m u j e s i ę s t a n u s t a l o n y . Wiemy n p . , ż e l i niowa t e o r i a d l a j e d n e g o c i a ł a d a j e s t a n u s t a l o n y j u ż od p i e r w s z e g o o s t y g a a i a począwszy.
3 . J a k p r z e d s t a w i a s i ę s t a n u s t a l o n y i od czego z a l e ż y . Użyta metoda pozwala o d po wi edzi eć na w s z y s t k i e p y t a n i a . I s t o t ne d l a metody j e s t p r z e j ś c i e od r o z p a t r y w a n i a p rzebi egó w z ł o żonych do r o z p a t r y w a n i a f u n k c y j w y k ł a dn i o zy ch .
4 . P r z e j ś c i e od t e m p e r a t u r do w sp ół r zę dn yc h 4^ i
Wychodzimy z u k ł a d u równań (1 ) d l a o g r z e w a n i a , a l b o przy za
ł o ż e n i u dodatkowym N. * O d l a o s t y g a n i a . W r o z w i ą z a n i a c h ( 2) , ( 3 ) piszemy k r e s k ę u g ó r y , ze względu na d a l s z e zmiany zmien- n yoh. Wprowadzamy nowe zmienne przy pomocy p o d s t a w i e n i a
Po t r a n s i o r m a j i u k ł a d równań ( 1 ) p r z e c h o d z i w n a s t ę p u j ą c y
^ - 0^ d l a o g rzew ani a
- d>Q d l a o s t y g a n i a p rzy czym 6 ^ o z n a c z a j ą r o z w i ą z a n i a u kł a du równań
(4 )
k«0
d # j / d t * $ j t ^ z ^ , 1*1 n ( 6 )
k-1 p r z y czym
n 4 u ■ - « i w z : k*0
n ( 7)
Z k o l e i wprowadzamy nowe zmienne
^ i = S i * 1 . . * » . n d l a ogrzewani a
k=1 ll£ K
r 8 )
P r z e d s t a w i e n i e i r o z p a t r y w a n i e procesów o l e p l n y o h . 65
CC
n
^1 “ S OC 1 * 1 . . . . n d l a o s t y g a n i a Cod.8 )
k-1 1!£ K
i(£ wyznaozamy z k ł a d u równań
^ f i H ' V ... . +0Ci n An 1 - °
f 9 )
a i1 Am + ... + a l n fAQD- \ > “0
• Z t e o r i i układów równań l i n i o w y c h j e d n o r o d n y c h , otrzymujemy J ak o warunek na n i e t r y w i a l n e r o z w i ą z a n i e , by w y z n ac zn i k u k ł a d u ( 9 ) b y ł równy z e r u , 0 p i e r w i a s t k a o h t e g o r ó w n a n i a zakładamy, że s ą one r z e c z y w i s t e , ujemne i r ó ż n e od s i e b i e . P r z y t y o h z a ł o ż e - n i a o h oo n a j m n i e j j e d e n z minorów j e g o r z ę d u n-1 J e s t r ó ż n y ' od z e r a . P r zyj mu jem y, że j e s t nim
A22 “ » . . . An2
ó \ '
A2n <3 a a I
(10 )
W tym przy padk u w i e l k o ś c i możemy w y r a z i ć p rz y pomocy CCi 1 ! 1*1 n , k • 2 . . • . n .
5 . Geometryczne p r z e d s t a w i e n i e układów w s p ó ł r z ę d n y c h
T r a n s f o r m a o j e ( 8 ) s ą a f f l n i o z n e , więo wywołują p ró o z s k r ę c e n i a u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h t ^ , J e s z c z e zmianę wymiarów w k i e r u n k u p o s z o z e g ó l n y c h o s i . Wynika s t ą d , że j e ż e l i p r z yj mi em y, co j e s t wygodne, u k ł a d o s i l u b ^ p r o s t o k ą t n y , u k ł a d o s i j e s t na o g ó ł s k o ś n o k ą t n y .
W u k ł a d z i e mamy dwa p unkty ważne.: P2 ( . . . ., v>Q) o r a z P1 ( 0 1 ...p un kt ami o s obl iw ymi d l a p r z y p a d ku o s t y g a n i a lub o g r z e w a n i a . F i z y k a l n i e o d p o w i a d a j ą im s t a n y u s t a l o p e d l a krzywej o s t y g a n i a l u b o g r z e w a n i a .
Rzut y o d c i n k a P 1 P 2 , ł ą o z ą o e g o t e p u n k t y , s ą wyznaozone n a s t ę p u j ą o o
66 J ó z e f S z p l l e o k l
6 . P r z e t r a n s f o r m o w a n e r ó wn an ia r ó ż n i c z ko w e i Ich r o z w i ą z a n i a Po t r a n s f o r m a o j i ( 8 ) u k ł a d równań ( 6 ) p r z y b i e r a n a s t ę p u j ą c ą p o s t a ć
d 4± / d t - \ 4± lu b
d / d t - i - 1 . . . . n ( 1 2 )
J e g o r o z w i ą z a n i a m i s ą
4 V
^ i * CŁ e 1 / A,. t
« CŁ e 1 1 - 1 . . . . o ( 1 3)
S t a ł e d l a p i e r w s z e g o ogr zewani a możemy p r z y j ą ć równe 1 , d l a d a l s z y c h p ro ce s ów , będą one na o g ó ł r ó ż n e od 1 1 z a l e ż n e od s t a n u p o o z ą t k ow e g o.
Choć p os ług uj emy s i ę wsp ół r zę dn y mi 4^ ♦ f i z y k a l n y s e n s p o s i a d a j ą t e m p e r a t u r y , więc ważne J e s t u w i d o o z n i ć w u k ł a d z i e ^ t e m p e r a t u r y . W dal szym c i ą g u uważamy ^ za t e m p e r a t u r ę ź r ó d ł a c i e p ł a , z^. t e m p e r a t u r ę dowolnego z p o z o s t a ł y c h c i a ł . 7 . Wyznaczenie r z u t u o s i na p ł a s z c z y z n ę ( ^ , 4 ^ i R oz w ią z u j ą c r ó w n a n i a t.8) ze względu na otrzymujemy
n ( 1 4 )
- E f i u . k-1 p r zy ozym oznaczono
P r z e d s t a w i e n i e 1 r o z p a t r y w a n i e prooesów c i e p l n y c h . . . ________ 6^7
|oc| OC4411 ... cc4„
1
na ~ 7 r “ X“.7r/TSnF
i oWyzn a oz ni ki (W | p o w s t a j ą z | a | p r z e z w s t a w i e n i e za 1 kol umnę, kolumny 4 ^ l u b 7 1# W sp ó ł o z y n n i k l - s ą . p r o s t o z w i ą z a ne ze w sp ół o z y n n i k a m i równań ( 2 ) 1 ( 3 ) .
Równania ( 1 4 ) w u k ł a d z i e o s i w s p ó ł r z ę d n y c h p r z e d s t a w i a j ą peyine h i p e r p ł a s z o z y z n y . Aby otr zymać r ó w n a n i e o s i mus i
my n-1 t a k l o h h i p e r p ł a s z o z y z n , z p omi ni ęci em o d n o s z ą o e j s i ę do i n d e k s u i , p o p r ow a dz i ć p r z e z p o c z ą t e k u k ł a d u . Wtedy io h p u n k t y wspól ne l e ż ą n a . o s i Rozwlązująo u k ł a d n-1 równań o n niewi adomych, otrzymujemy ró wn an ia n-1 r z u t ó w o s i na p ł a s z c z y z n y (4^» 4 ^ ) » k » 1 . . . . n .
W p ra oy [27] wyprowadzono w y r a ż e n i a na r z u t y p o s z o z e g ó l n y c h o s i # t :
D l a o s i ^ otrzymujemy
4 ± - ^ 4 A, i - 2 a ( 1 6 )
w s z y s t k i e w s p ó ł c z y n n i k i ki erunkowe s ą d o d a t n i e .
Dla p o z o s t a ł y c h o s i ^ otrzymujemy w y r a ż e n i a z ł o ż o n e , k t ó r e podano w {27J,
I s t n i e j e s z e r e g powodów,dla k t ó r y o h w s p ó ł o z y n n i k l k i e r u n k o we t y o h r zu tó w powinny byó u j e mn e. T a k i znak otr zymujemy w p r z y p a d k u dwu c i a ł . W pr zypadku w i ę k s z e j i l o ś c i s k ł a d n i k ó w u - k ł a d u , według umowy p od an ej na p o o z ą t k u , o b r a n e dwie t e m p e r a t u r y o podobnych w ł a s n o ś ć i a o h , j a k w p r zy padk u dwu o i a ł . K s z t a ł t otr.zyman.yoh kr zywyoh, i c h s t y o z n o ś ć do o s i w po
c z ą t k u u k ł a d u , niemożność p r z e c i n a n i a p r z e z n i e o s i ^ k a ż e nam p r z y j ą ć podobny z n a k , J a k w przyp ad ku dwu c i a ł .
8 . Krzywe w p r z e s t r z e n i k o n f i g u r a c y j n e j łlłiL
W u k ł a d z i e p r z e s t r z e n n y m w s p ó ł r z ę d n y c h 4 ^ p r o o e s zmiany tem
p e r a t u r j e s t p r z e d s t a w i o n y pewną krzywą p r z e s t r z e n n a . J e s t ona wyznaczona pr zy pomooy swych r zu tó w na p ł a s z c z y z n y ' 4 i » 4 ^ ^ » k « 2 . . . . n . Rzu ty t e o tr zy mu jemy , e l i m i n u j ą c z równań (13) c z a s
^ i k
68 J ó z e f S z p l l e c k i J e ż e l i przyjmiemy | ^ | C | < j ^ J o r a z Jć^ • A/ wtedy krzywe 3ą s t y c z n e w p o c z ą t k u u k ł a d u do o s i 4 1 . S t a ł e
s ą wyznaczone p r z e z po d an i e s t a n u początkowego u k ł a d u w danym p r o c e s i e . Ze względu na i s t n i e n i e d w o j a k i c h krzywych: ogr zewa
n i a i o s t y g a n i a - mamy dwa u k ł a d y w sp ó ł r z ę d n y c h lub ^ o o s i a c h r ó w n o l e g ł y c h z punktem osobliwym ( s t a n u s t a l o n y ) j a k o p o c z ą t k i e m u k ł a d u . J e s t t o niewygodne i d l a t e g o rozumowania p rzepr owadzo no w jednym z t y c h układów, p rzyn al eżn ym do pu nk tu *
2^ $ $ • ' • • • • W dal szym c i ą g u d l a s k r ó c e n i a będziemy układ w s p ó ł r z ę d n y c h n a z y w a l i p o d a j ą c j e g o p o c z ą t e k .
P i e r w s z a krzywa o g r z e w a n i a , koncząoa s i ę w P2 ( punkt t e n odpowiada t e m p e r a t u r z e począ tk owej u k ł a d u ) p o s i a d a w u k ł a d z i e P ^ f (91 ... ®n ) r ów na ni e
k " 2 f 1 8 >
W r ó wnan iu ( 1 8 ) p r z y j ę t o j a k o s t a n początkowy p r o c e s u w c e l u wyeli minowania s t a ł y c h ( ? 1 0 , 7 teo>* Gdyby s t a n p o c z ą t kowy b y ł i n n y , j a k t o z a o h o d z i d l a d a l s z y c h krzy wy ch , u ż y l i byśmy o z n a c z e n i a ( y*, ^ * ) . Krzywa ( 1 8 ) p r z e t r a n s f o r m o w a n a do u k ł a d u P2 ( i ^ . . . . $Q) p o s i a d a n a s t ę p u j ą c ą p o s t a ó
* < c o - « l c ■ C 1 9 )
w p r zyp ad ku p i e r w s z e j krzywej o g r z ew a ni a o r a z
^ko “ ^k " f^ko " ^k^ (4™ - 4^*) f20)
w p rzypadku d a l s z y c h krzywych o g r z e w a n i a , pr zy czym
% n
4 k * 2 (T. - A ) ( 2 1 )
1*1
T Ł, i « 1 . . . . n oznaoza t e m p e r a t u r ę końcową p o p r z e d n i e g o p r o c e s u . Krzywe o s t y g a n i a p o s i a d a j ą w u k ł a d z i e P 2 ( 1 ^ , . . . . fiQ) n a s t ę p u j ą c ą p o s t a ó
< * - < r < 4 ? * *
P r z e d s t a w i e n i e 1 r o z p a t r y w a n i e procesów c l e p l n y o h . . . ________ 69 Ws półr zędne 4**, k » 1 ... n o k r e ś l o n e s ą p r z y pomocy
n
(23)
p r z y czym T ^ , i«1 n o z n a c z a j ą t e m p e r a t u r y po cz ą tk ow e.
9 . P o ł o ż e n i e krzywych
Krzywe p r z e d s t a w i o n e r ów na ni am i 09)» ( 2 0 ) , ( 22) s ą p a r a b o l a m i . Krzywe t e mogą l e ż e ó w r ó ż n y c h ć w i a r t k a c h u k ł a d u w s p ó ł r z ę d
n y c h. Od powi ednią ć w i a r t k ę o k r e ś l a f i z y k a l n a s t r o n a p r o c e s u . Mianowicie w i o a t i a l e I wymienionej wyżej p r ac y [27] wykazano, że krzywe p r z e d s t a w i a j ą c e p r z e b i e g i t e m p e r a t u r o w e s k ł a d n i k ó w u - k ł a d u , n i e p o s i a d a j ą c y c h ź r ó d ł a c i e p ł a , od p i e r w s z e j k rz yw ej o s t y g a n i a począws zy, p o s i a d a j ą e k s t r e m a . W p ł a s z c z y ź n i e ( v>^,
i j e j r z u t a c h w y s t ę p u j e r ów ni eż ekstremum, c z y l i j e d n e j w a r t o ś o i ^ o d p o wi a da j ą dwie w a r t o ś c i o d n o s i s i ę do o l a ł a p o s i a d a j ą c e g o ź r ó d ł o c i e p ł a . To d e c y d u j e o wyborze p o ł o -
R ys . 1 , Krzywe t e m p e r a t u r o w e w dwuwymiarowej p r z e s t r z e n i kon
f i g u r a c y j n e j . 1 , 3 krzywe o g r z e w a n i a , 1 , 2 krzywe o s t y g a n i a
70 J(Szef S z p l l e o k l ż e n i ą krzywyoh, j a k na r y s u n k u 1 . Rysunek t e n o d n o s i s i ę do p r z y pa dk u dwu c i a ł , a l e na p o d s t a w i e p o p r z e d n i c h uwag, podob
ny p r z e b i e g p owinie n być w pr zypadku u k ł a d u w i ę c e j s k ł a d n i k o wego.
1 0 . N i e r ó w n o ś c i , c h a r a k t e r y z u j ą c e p r z e b i e g i krzywych
O s t a t n i e uwagi o i s t n i e n i u ekstremów możemy s f or mu ło wać mate
m a t y c z n i e . Ponieważ r z u t na p ł a s z c z y z n ę ( 4 ^ , 4 ^ ) kr zy wej t r ak towany j a k o f u n k c j a ^ ^ p o s i a d a p o s t a ć u w i k ł a n ą , p r z y j - B a d a j ą c więc pochodne względem ^ znaj dujemy warunek na ekstremum. O b l i c z e n i e , p rzepr owadzone w p r a c y [27] d a j e d l a krzywyoh o s t y g a n i a czy o gr ze wa ni a n a s t ę p u j ą o e n i e r ó w n o ś c i
Oznaoza t o p o ł o ż e n i e odnośnych punktów krzywyoh po j e d n e j stro
n i e p r o s t e j , ł ą c z ą c e j i P2 , pr zy czym p r o s t a t a p r z e d s t a w i a g r a n i c z n e p o ł o ż e n i e d l a punktów ( 4 \ ) » ( 4 ^ »
O s t a t n i o wymieniona p r o s t a odgrywa ważną r o l ę w t e o r i i o s c y - l a o j i .
(24 )
^ k o “ £k** ^10
P r a c a w p ły n ęł a do R e d a k c j i w dniu 24 k w i e t n i a 1965 r .
P r z e d s t a w i e n i e i r o z p a t r y w a n i e procesów o l e p l n y o h . . . ________71 LITERATURA
[ < ] A l e k s i e j e w A . S . : Dwuohpozyoionnyj r e g u l a t o r t e m p e r a t u r a s con oj o p e r e ż d i e n i a , A.N. SSSR P a m i a t i A.A. Andronowa 1955.
[ 2 ] A p p l e t o n , G r e a v e : On t h e s o l u t i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f t h e t r i o d e o s o i l l a t o r , P h i l . Mag.
s e r . 6 , t . 4 5 , 4 0 1 , 1923.
Asejew B . P . : Osnowy r a d i o t e o h n l k i , Gos. I z d . po woprosam s w i a z i i r a d i o , Moskwa 1947.
B i e b e r b a c h L . : D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n , S p r i n g e r B e r l i n 1926.
[
5
] Chawkin G . : Aktywnyje 1 pasywnyje w s mys le s y n o h r o n i z a c i i p a r a m e t r y r e l a k s a t o r a , Uozonyje z a p i s k i , Wyp. 1 34 , F i z y k a , Kniga V, Moskwa Uniw. 1949.[ 6 ] Cypkin J a Z . : K t i e o r l i r e l e j n y c h s i s t i e m awtom. r e g u l i r o - w a n i a , Trudy I I Ws e s o j u z . S o w i e s z o z . po t i e o r i i awtom. r e - g u l i r o w a n l a , T . I . A . N . Moskwa 1955.
[
7
] D u f f J . N . , Mc C u r r e r i J . R . : D r g a n i a w t e o h n i c e P.W.T. W-wa 1960.[ 8 ] F a j g i n M . J . : K t i e o r i i t r i g g e r s , A.N. SSSR P a m i a t i A.A.
Andronowa 1955.
[ 9 ] F u f a jew N . A . : T i e o r i a e l e k t r o m a g n l t n o w o p r e r i w a t i e l a , s . 3 3 4 , T i e o r i a wi br aci on no wo zwiena r a b o t a j u s z c z e w o na p r i n c i p l e e l e k t r o m a g n . p r e r i w a t i e l a , s'. 4 1 0 , T r u dy I I Wsesojuz S o w i e s z o z . po t i e j o r i i awtom. r e g u l . , A.N. SSSR Moskwa 1955.
[
10
] G ro sz kows ki J . : Wytwarzanie d r g a ń e l e k t r y c z n y c h , ,PWT W-wa 1958.[
1 1
] G r o sz k ow sk i J . : C z ę s t o t l i w o ś ć układów r e l a k ą a o y j a y o h , Kwart.Te l ek o m. 1 947, Nr 3 - 4 , 3 3 .
G e n e r a t o r y w y s o k i e j s t a ł o ś o i c z ę s t o ś c i z u j e m . s p r z ę ż e n i e m z w r o t . A r c h . E l t . I , nr 1 , 3 , 1952.
R o z s z e r z e n i e z a sa dy równowagi mocy u r o j . harmon. na u k ł a d y o widmach c i ą g ł y o h , A r c h . E l t . I I I , no 4 , 4 9 9 , 1945.
I n d u k o y j n o ś ć i o p o r no ś ć u je m. p o bu d ź, o zaskoku n a p i ę c i a , A r c h . E l t . I I . no 3 - 4 , 3 0 5 , 1953.
Cykl g r a n . układów d r g a ń o jednym wyraźnym el em. magazynu
jącym e n e r g i ę . A r c h . E l t . IV, 5 0 9 , 1955.
[
12
] I o ó h o k i J u . S . : N i e l i n i e j n a j a r a d i o t e c h n i k a , Sow. Radio 1955.[
13
] K a u d e r e r H . : N i o h l i n e a r e M e ch an i k, S p r i n g e r B e r l i n 1958.[
14
] Kokuryn: R el a k s a o i i o n n y j e k o l e b a n i a , 1938.[
15
] K r e j e r J . s Z b i r n i k wpraw s d y f f e r e n c i a l n y c h r iwnań , R a d i a ń - ska S z k o ł a Kiiw 1960[16] Kryłow N.M. Bogolubow N.N.: Wwlediénie w n i e l i n i e j n u j u me
c h a n i k u , I z d . A.N. SSSR Kijew 1937.
72 J ó z e f S z p i l e o k l [ 17] Magnus K . : Uber e i n V e r f a h r e n zur U n te r s u c h u n g n i c h t l i n e a r e r S c h w in g un gs - u . R e g l u n g s - s y s t e m e , V . D . I . F o r s c h u n g s h e f t 4 5 1 , D ü s s e l d o r f 1955.
[18] Nejmark J u . S . : 0 p e r i o d i c z e s k i c h d w i ż e n i a c h r e l e j n y o h s l - s t i e m , A.N. SSSR P a m i a t i A.A. Andronowa, 2 42 , 1955.
[
19
] Niemycki W.W., S t l e p an o w W.W.: Kaczes tv»iennaj a t i e o r i a d i f f e r e n c i a l n y c h u r a w n l e n i j , O . G . I . Z . Moskwa 1947.[
20
] N i j e n h u i s W.: A n o t e on a g e n e r a l i s e d van d e r P o l e q u a t i o n , P h i l i p s R e s e a r o h R e p o r t s . R. 122, T . 4 , 4 0 1 - 4 0 6 , 1949.[
2 1
] N o n l i n e a r C i r c u i t a n a l y s i s , P r o o . od t h e Symposium on N.Y, 1956, P o l y t e c h n i c P r e s s Brooklyn 1953.[
22
] P i e t r o w W.W. - Dynamika adnn ± dwóch kas kadnych serwomechanizmów s n i e s k o l k i m i n i e l i n i e j n y m i c h a r a k t . , Trudy I I W s e s o j u z . S o w i e s z c z . po t i e o r i i awtom. r e g u l . , AN Moskwa 1 95 5 , 4 1 0 .
[
23
] P ogodin Ł.W.: - K t i e o r i i swi azan yc h r e l a k s a c ionnych g e n e r a t o r ó w , A.N. SSSR P a m i a t i A.A. Andronowa, 1955, 274.[
24
] P o l van d e r B . : Wymuszone o s c y l a c j e w obwodach z n i e l i n i o wymi opor ami f a n g . ) , P h i l , Mag. s e r . 7 , t . 3 , 6 5 , 1927.[25]Sołodownikow W.K.: Zasady autom, r e g u l a c j i f r o s . ) Gos. I z d . N.T. L i t M a s z y n o s t r o j . Moskwa 1954.
[26] S ti e pa no w W.W.: Kurs d i f f e r e n c i a l n y c h u r a w n i e n i j , G o s . I z d . T . T . L i t . Moskwa 1950.
[27] S z p i l e c k i J . j O s c y l a c j e t e m p er a t u r ow e t y p u r e l a k s a c y j n e g o , p r a c a d o k t o r s k a , Wydz. Mech. En. P o l . Ś l ą s k i e j 1959.
[28] S z p i l e c k i J . : P r o j e k t o w a n i e układów a p e r i o d y c z n i e s t a t e c z - nyo h, Z e s z . Nauk. P o l . Ś l . E n e r g e t y k a nr 11, 9 , 1963.
[
29
] Zelezcow N . A . : K t i e o r i i k i p r e l e , A.N. SSSR P a m i a t i A.A.Andronowa 1955, 225.
[
30
] Ziemba S . : A n a l i z a d r g a ń , I , PWN W-wa 1957, I I PWN W-wa 1959.P r z e d s t a w i e n i e i r o z p a t r y w a n i e procesdw c i e p l n y o h . . . 73
nPSUCTABÆ HME H PACCMATPHBAHEE TEIUIOBblX I1P0HECC0B H n toSPHOM KOHMTyPAHHOHHON! UPOCTPAHCTBA
P 8 3 10 M e
3 paôOTe cèopMyjmpoBaHa h perneHa npodneMa ycTanoBramerocH co cto h h h h TeMnepa- TypHHx K ojedam di b n AHMeH3H0HajBH0M KOH$nrypamioHHOM npocTpaHCTBe b CHCïexe cocTOHineM H3 T en, odMeHHioimix TenJiOTy Meamy coôoft h c oKpysaiomeM TenoM no m -
HeËHOMy 3aKOHy H B030ysmeHHUX H3MeHeHHHMH TBMnepETypH OflHOtt KOMnOHeHTH CHCTe—
mu, KOTopan b onpeaeJieHHHX MOMemax bpbmëhk BK-monaeT mm BHKJnoaaeT h ctohhhk TennoTu.
BBHny <5ojn>moro oôî>eMa, padoTa pa3AeJiena na Tpn aacTii:
B nepBOË padOTe CBe^eHO npodneMy k reoMeTpnaecKHM paccyameroiHM b n MepHOM
KOH$HrypauaoHHOM npocTpancTBe, bo BTopon paccMaTproaeTCK npodneMa yciaHOBUB—
raerocH co cto h h h h KonedaHHi, b TpeTteü n a m MeTonu pemeHMH ypaBHeHHii ycTaHO- BHBmerocH c o c to h h h h .
IIpodneMa paccMaTpHBaeTcn Toace b padoïe [ 2 8 ], r a e naHO KopoTKoe h3hox6Hhq Teopnii KôJiedaHHË h n p y ro a MeTon pemeHHH ypaBneima ycTanoBHBmerocH c o c to h h h h .
PRESENTATION AND CONSIDERATION OF HEAT PROCESSES IN A N-DIMENSIONAL CONFIGURATION SPACE
S u m m a r y
I n t h e p a p e r [27] 13 f o r m u l a t e d and s o l v e d i n a n - d i m e n s i o n a l c o n f i g u r a t i o n s p a c e t h e s t e a d y s t a t e problem o f t e m p e r a t u r e o s c i l l a t i o n s f o r a s y s t e m , oomposed o f n b o d i e s , e x c h a n g i n g h e a t bet ween them and w i t h s u r r o u n d i n g medium f o l l o w i n g t h e l i n e a r l a w , and e x o i t e d by t e m p e r a t u r e v a r i a t i o n s o f one com
p on en t o f t h e s y s t e m , whioh i n some d e t e r m i n e d moments o f ti me s e t s on and o f f t h e h e a t s o u r c e .
I n o o n n e c t i o n w i t h t h i s problem a r e t h e t h r e e f o l o w i n g pa
p e r s ;
1 . R e p r e s e n t a t i o n and c o n s i d e r a t i o n of h e a t p r o c e s s e s i n a n - d i m e n s i o n a l c o n f i g u r a t i o n s p a c e ,
2 . S t e a d y s t a t e o f t e m p e r a t u r e o s c i l l a t i o n s in a l i n e a r s y stem w i t h n d e g r e e s o f f r e e d o m .
3 . S o l v i n g methods o f t h e s t e a d y s t a t e e q u a t i o n s y st e m o f r e l a x a t i o n o s c i l l a t i o n s .
I n t h e f i r s t p a p e r , t h e problem o f h e a t p r o c e s s e s s u c h as f o r example a h e a t i n g o r c o o l i n g in t h e l i n e a r s y s t e m s exchan
g i n g t h e h e a t and composed o f n b o d i e s , ha s been r e d u c e d t o g e o m e t r i c a l c o n s i d e r a t i o n i n a n-dimens i o n a l c o n f i g u r a t i o n spa
c e . . The p r o c e s s e s a r e p r e s e n t e d by n d i m e n s i o n a l o u r v e s whose p r o j e c t i o n s i n t o a r b i t r a r y c o o r d i n a t e p l a n e s a r e p a r a b o l a s .
I t i s a l s o n - d i m e n s i o n a l t e m p e r a t u r e s p a c e i n t r o d u c e d and g e o m e t r i c a l c o n n e c t i o n s bet ween t h e two s p a c e s a r e d i s c u s s e d .
The problem i s a l s o i n t h e p a pe r [28] c o n s i d e r e d , where t h e f o r m u l a e have been g i v e n , p e r m i t t i n g t o s o l v e t h e s t e a d y s t a t e e q u a t i o n s o f o s c i l l a t i o n s but t h e s o l v i n g method o f t h e pro
blem d i f f e r s from t h e methods d i s c u s s e d in p r e s e n t p a p e r .
