Proszę pokazać, że w n-wymiarowej przestrzeni tensor krzywizny ma n2(n2− 1)/12 nieza- leżnych składowych

OTW (zestaw 4 - środa 25.10.2017)

Wyrażenie (∇_µ∇_ν − ∇_ν∇_µ)u^α jest liniowe w u i nie zawiera pochodnych u. Dlatego możemy zapisać:

(∇µ∇ν− ∇ν∇µ)u^α = R^α_βµνu^β, gdzie R^α_βµν nazywamy tensorem Riemanna (tensorem krzywizny).

Definiujemy również: R_βν = R^α_βαν (tensor Ricciego) oraz R = g^βνR_βν (skalar krzywizny).

13. Proszę udowodnić następujące własności symetrii tensora krzywizny:

(a) R_αβµν = R_µναβ = −R_αβνµ = −R_βαµν , (b) R^α_βµν+ R^α_νβµ+ R^α_µνβ = 0 ,

(c) R^α_βµν;λ+ R^α_βλµ;ν+ R^α_βνλ;µ = 0 (tożsamości Bianchi), (d) (R^αβ − 1

2g^αβR)_;β = 0 (zwężone tożsamości Bianchi).

Wskazówka: własności (a)-(c) można łatwo wykazać w lokalnie lorentzowskim układzie współrzędnych (por. zadanie 12), a (d) jest wnioskiem z (c).

14. Proszę pokazać, że w n-wymiarowej przestrzeni tensor krzywizny ma n²(n²− 1)/12 nieza- leżnych składowych.

15. Proszę wyliczyć składowe tensora krzywizny dla metryki 2-sfery ds² = R²(dθ²+ sin²θdφ²).

16. Proszę pokazać, że w wyniku przeniesienia równoległego wektora u = u^θ~e_θ+u^φ~e_φpo powierzchni sfery o promieniu r, wzdłuż infinitezymalnego równoległoboku o bokach dθ~eθ i dφ~eφ, z dokładnością do wyrazów liniowych w dΩ = sin θdθdφ, długość wektora nie ulega zmianie, natomiast wektor obraca się o kąt dΩ.

Wskazówka: wektory należy porównać w bazie ortonormalnej.

~e_θ i ~e_φ oznaczają wektory bazy współrzędnościowej: g(~e_θ, ~e_θ) = r², g(~e_φ, ~e_φ) = r²sin²θ.

17. Proszę pokazać, że (a)

Γ^α_αβ = 1 2g

∂g

∂x^β , gdzie g = | det(g_αβ)|.

(b) Korzystając z (a) proszę pokazać, że

∇_αv^α = 1

√g∂_α(√

gv^α), ∇^α∇_αΦ = 1

√g∂_α√gg^αβ∂_βΦ

dla dowolnego pola wektorowego v^α i pola skalarnego Φ.

A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/