Hiperpowierzchnie stopnia 2, część trzecia

Hiperpowierzchnie stopnia 2, część trzecia

Za nami dwa wykłady dotyczące hiperpowierzchni stopnia 2 w przestrzeniach afinicznych. Wiemy już, że każda hiperpowierzchnia stopnia 2 może być w pewnym układzie bazowym opisana przy pomocy eleganckiej formy kanonicznej. W przypadku, gdy jest to hiperpowierzchnia właściwa w rzeczywistej przestrzeni afinicznej owa związana z hiperpowierzchnią forma kanoniczna jest wyznaczona jednoznacznie.

Mówi o tym następujący wniosek.

Wniosek 1. Niech X będzie właściwą hiperpowierzchnią stopnia 2 w przestrzeni afinicznej H nad R.

(1) Jeżli X jest w układzie bazowym p₀; A opisana równaniem postaci (ri), zaś w układzie bazowym q₀; B – równaniem (rj), to i = j.

(2) Jeśli X jest pewnych układach bazowych opisywana równaniami postaci (ri), dla i = 1, 2, 3, to liczba r występująca w tych równaniach jest niezależna od wyboru układu bazowego.

(3) Jeśli X jest opisywana równaniami typu (r1), to występująca w nich liczba s jest we wszystkich równaniach taka sama. Jeśli X jest opisywana równaniem (r2) lub (r3), to dla każdych dwóch różnych takich równań występujące w nich liczby s są albo jednakowe, albo ich suma wynosi r.

Przypomnijmy przy tym twierdzenie opisujące formy kanoniczne (r1), (r2), (r3), do których się odnosimy.

Twierdzenie 1. Dla każdej hiperpowierzchni X stopnia 2 w n wymiarowej przestrzeni afinicznej nad ciałem liczb rzeczywistych R istnieje układ bazowy, w którym X jest opisana równaniem postaci:

(r1) x²₁+ . . . + x²_s− x²_s+1− . . . − x²_r+ 1 = 0 gdzie 0 ¬ s < r ¬ n, lub

(r2) x²₁+ . . . + x²_s− x²_s+1− . . . − x²_r= 0 gdzie 1 ¬ s < r ¬ n, lub

(r3) x²₁+ . . . + x²_s− x²_s+1− . . . − x²_r+ xn= 0 gdzie 0 ¬ s < r ¬ n − 1.

Wniosek ten prowadzi, łącznie z innymi pokazanymi już rezultatami, do klasyfikacji hiperpowierzchni właściwych stopnia dwa w R²oraz R³. Klasyfikacja ta mówi między innymi o tym kiedy istnieje afiniczny izomorfizm, który przeprowadza jedną hiperpowierzchnię stopnia 2 w drugą. Prowadzi ona do wielu ciekawych obserwacji geometrycznych. Nie jest to zresztą jedyna klasyfikacja, o której warto wspomnieć.

O tym wszystkim powiem nieco dalej. Wpierw jednak udowodnijmy powyższy wniosek.

Dowód. Jeśli X opisana jest równaniem postaci (r1), to X posiada środek symetrii, ale żaden jej śro- dek symetrii nie należy do X. Istotnie, jeśli p ∈ H jest środkiem symetrii powierzchni X opisanej w pewnym układzie bazowym równaniem a1x²₁+ . . . + arx²_r+ d = 0, przy czym a1 6= 0, . . . , ar 6= 0, wówczas punkt p jest środkiem symetrii zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy p ma w tym układzie ba- zowym współrzędne 0, . . . , 0

| {z }

r

, sr+1, . . . , sn. Nietrudno jednak widzieć, że jeśli X jest opisana równaniem x²₁+ . . . + x²_s− x²_s+1− . . . − x²_r+ 1 = 0, wówczas punkt o współrzędnych 0, . . . , 0

| {z }

r

, sr+1, . . . , sn nie spełnia tego równania. Z tych samych powodów powierzchnia X opisana równaniem (r2) zawiera wszystkie swoje środki symetrii. Jeśli X spełnia równanie (r3), to jak wiemy nie ma środka symetrii. Omówione przypadki wzajemnie się wykluczają, skąd wynika część (1) Wniosku.

Aby udowodnić pozostałą część Wniosku załóżmy, że hiperpowierzchnia X jest opisana w układzie ba- zowym p0; A równaniem postaci F = 0, gdzie F ∈ R[x¹, . . . , xn] oraz X opisana jest w układzie ba- zowym q0; B równaniem G = 0, gdzie G ∈ R[y¹, . . . , yn], przy czym F, G są wielomianami stopnia 2.

Niech A = (α1, . . . , αn), B = (β1, . . . , βn), C = M (id)^A_B ∈ Mn×n(R) oraz q⁰ = p0+ w1α1+ . . . + wnαn. Wówczas hiperpowierzchnia X jest opisana w układzie bazowym q0; B równaniem H = 0, gdzie H ∈ R[y¹, . . . , yn] powstaje z F przez podstawienie:









 x1

x2

... xn











= C ·









 y1

y2

... yn









 +









 w1

w2

... wn











. (1)

Stąd macierze części kwadratowych wielomianów F, H są kongruentne nad R, mają więc równe rzędy i sy- gnatury. Zauważmy też, że zarówno G, jak i H są wielomianami opisującymi hiperpowierzchnię właściwą

X w tym samym układzie bazowym, a wiec zgodnie z twierdzeniem podanym dwa wykłady wcześniej ist- nieje c ∈ R, że H = cG (nie pokazywałem dowodu, ale odesłałem do literatury). To jest kluczowy moment.

Macierze części kwadratowych wielomianów H oraz G (a zatem też wielomianów F i G) mają ten sam rząd, a ich sygnatury są równe z dokładnością do znaku (są równe gdy c > 0, są przeciwne, gdy c < 0).

Jeśli równania F = 0 oraz G = 0 są w postaci (ri), to występująca w nich liczba r jest rzędem macierzy części kwadratowej. Zatem musi być ona taka sama w obydwu równaniach. To dowodzi (2). Ponadto różnica s − (r − s) = 2s = r jest sygnaturą macierzy części kwadratowej równania postaci (ri), dla i = 1, 2, 3. Stąd jeśli rząd i sygnatura dla F wynoszą r, s, dla G wynoszą r⁰, s⁰, to 2s − r = ±(2s⁰− r⁰), co uwzględniając r = r⁰ daje albo 2s − r = 2s⁰− r, czyli s = s⁰, albo 2s − r = −(2s⁰− r), czyli s⁰ = r − s, co dowodzi (3) odnośnie hiperpowierzchni typu afinicznego (r2) lub (r3).

Na koniec rozpatrzmy przypadek, gdy równania F = 0, G = 0 opisujące X są postaci (r1), to znaczy F = x²₁+ . . . + x²_s− x²_s+1− . . . − x²_r+ 1 = 0, G = y₁²+ . . . + y²_t− x²_t+1− . . . − x²_r+ 1 = 0.

Skoro H powstaje z F przez podstawienie (1) i równocześnie H = cG = cy²₁+. . .+cy²_t−xy_t+1² −. . .−cy²_t+c, to musi być w1= w2= . . . = wr= 0 oraz c = 1. Stąd w przypadku (r1) dostajemy s = t, koniec.

Jacek Komorowski w pięknej książce „Od liczb zespolonych to tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk ” (z której pochodzi niemała część niestandardowego materiału z tego wykładu) podsumowuje: Można być przekonanym, że dla każdego z czytelników naturalne jest odróżnienie okręgu małego od dużego, nie mó- wiąc już o okręgu i bardzo spłaszczonej elipsie, chociaż wszystkie te obiekty są afinicznie równoważne.

Tym, co zmusza nas do takiego rozróżnienia, jest nasza „wrodzona” wrażliwość na związki metryczne, respektowane przez odwzorowania euklidesowe, a bezlitośnie gwałcone przez odwzorowania afiniczne.

Czym by były owe rozróżnienia respektowane przez odwzorowania euklidesowe? Chodzi o sytuację, gdy rozpatrujemy hiperpowierzchnie w afinicznej przestrzeni euklidesowej i zamiast pytania o typ afiniczny pytamy o tzw. typ izometryczny. Znajdujemy się wówczas nad ciałem liczb rzeczywistych i naturalne wydaje się pytanie: kiedy można przy pomocy izometrii przeprowadzić jedną hiperpłaszczyznę na drugą?

Definicja 1. Niech (H1, h , i1), (H2, h , i2) będą przestrzeniami euklidesowymi afinicznymi oraz niech X1, X2będą hiperpowierzchniami odpowiednio w H1oraz H2. Powiemy, że X1ma ten sam typ izometryczny, co X2, jeśli istnieje izometria φ : H1→ H2 taka, ze φ(X1) = X2.

Analogicznie do uwagi dotyczącej typu afinicznego można pokazać, że hiperpowierzchnie X1, X2 zawarte w tej samej przestrzeni euklidesowej afinicznej (Hh , i) mają ten sam typ izometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją ortonormalne układy bazowe p0; A, q0; B, w których hiperpowierzchnie te są opisa- ne tym samym równaniem. W wielu źródłach, między innymi w książkach Kostrykina, Komorowskiego lub skrypcie dr. Strojnowskiego (https://www.mimuw.edu.pl/~stroa/GAL2wyk14.pdf) znaleźć można następujące ważne twierdzenie, które podajemy bez (długiego, ale nietrudnego) dowodu.

Twierdzenie 2. (Klasyfikacja izometryczna hiperpowierzchni stopnia 2) Niech X będzie właściwą hiper- powierzchnią stopnia 2 w przestrzeni euklidesowej afinicznej H wymiaru n. Wówczas X ma w odpowied- nim ortonormalnym układzie współrzędnych dokładnie jedno z poniższych równań:

(i1) ^x_a2²¹ 1

+ . . . +^x_a^2s2 s −^x_a^2s+12

s+1

− . . . −^x_a^2r2

r + 1 = 0 gdzie a1, . . . , ar> 0, oraz 0 ¬ s < r ¬ n, lub

(i2) ^x_a2²¹ 1

+ . . . +^x_a^2s2 s −^x

2 s+1

a²_s+1 − . . . −^x_a^2r2

r = 0 gdzie a1, . . . , ar> 0, oraz 1 ¬ s < r ¬ n, lub

(i3) ^x_a2²¹ 1

+ . . . +^x_a^2s₂

s

−^x_a^2s+12 s+1

− . . . −^x_a^2r₂

r

+ x_n= 0 gdzie a₁, . . . , a_r> 0, oraz 0 ¬ s < r ¬ n − 1.

Umieszczenie wielkości aiw mianownikach ma znaczenie symboliczne. Wielkości te nazywamy półosiami hiperpowierzchni. Nazwa ta może się Państwu kojarzyć geometrycznie zwłaszcza z pojęciem elipsy. Trzy wyróżnione typy izometryczne (i1), (i2), (i3) korespondują bezpośrednio z typami (r1), (r2), (r3), wy- stępującymi w klasyfikacji afinicznej, i nikogo nie powinno to dziwić. Wszystkie powierzchnie typu (ij) mają typ afiniczny (rj), dla j = 1, 2, 3. Jeśli mógłbym podać Państwu jakąkolwiek intuicję, która rzuci tu nieco światła – proszę wrócić do dowodów z poprzednich wykładów i wypowiedzieć się – jaka była geometryczna natura dokonywanych przez nas zamian zmiennych. Czy niektóre nie były aby izometriami?

Ostatni fragment wykładu chciałbym poświęcić powierzchniom prostokreślnym, szczególnie w kontekście hiperboloidy jednopowłokowej i paraboloidy hiperbolicznej. Pozwolę sobie najpierw pokazać kilka obraz- ków, a potem przejdę do rzeczy. Czy rozpoznajecie Państwo te budynki?

Dwa pierwsze budynki znajdują się w Polsce. Pierwszy od góry z lewej jest budynek dworca WKD Ocho- ta, o parabolicznym dachu (ukończony w 1962 r.). Obok widzimy wieżę ciśnień w Ciechanowie (1972 r.) w kształcie torusa osadzonego na hiperbolicznym kominie. Poniżej z lewej podobnego kształtu budowla – wieża obserwacyjna w Varberg (Szwecja) z 2012 roku. Obok arcydzieło architektury – okna Gaudiego z Sagrada Familia (skoro światło porusza się w linii prostej, to tak je trzeba wpuszczać do pomieszczenia:

przez hiperboloidę). Wreszcie poniżej – szkic areny sportowej Paraboleum (Raleigh, USA) zaprojektowa- nej w 1949 roku przez jednego z największych polskich architektów XX wieku – Macieja Nowickiego.

Wykorzystywanie powierzchni takich jak paraboloida hiperboliczna czy hiperboloida jednopowłokowa w architekturze zapoczątkowane zostało w 1896 roku przez wybitnego rosyjskiego inżyniera Władimira Szu- chowa, który zaprojektował wieżę bardzo podobną do ukazanych na fotografiach wyżej. Z hiperboloidą i paraboloidą eksperymentował w początkach XX wieku Gaudi, a na mniejszą skalę także inni architekci.

Po II Wojnie Światowej, w czasie której opracowano szereg nowych materiałów budowlanych, wzro- sło zainteresowanie innowacyjnymi metodami architektonicznymi. Zarówno w Stanach Zjednoczonych, jak i Związku Radzieckim czy Europie Zachodniej, modernistyczne projekty uwzględniały futurystyczne kształty – a za takie uważano właśnie wspomniane powierzchnie. Cóż wyróżnia geometrię tych obiektów?

Powierzchnie te, choć na pierwszy rzut oka dalekie od „liniowych” – zbudowane są w istocie z prostych.

Definicja 2. Zbiór X w przestrzeni afinicznej H nazwiemy prostokreślnym, jeśli każdy jego punkt leży na pewnej prostej, która jest zawarta w zbiorze X.

Przykłady.

• Zbiór rozwiązań równania x²₁− x²₂= 0 jest prostokreślny, ponieważ składa się on z dwóch prostych.

• Stożek oraz walec eliptyczny są prostokreślne w R³, ale też helikoida i konoida (a cóż to takiego?).

• Przestrzeń afiniczna Rⁿ jest oczywiście zbiorem prostokreślnym (który można traktować jako zbiór algebraiczny spełniający równanie xn+1= 0 w Rⁿ⁺¹).

Pokażmy teraz, że prostokreślne są także dwie powierzchnie, którym poświęciliśmy przed chwilą więcej uwagi. Poniższy dowód (z modyfikacjami) pochodzi ze skryptu prof. H. Toruńczyka.

Twierdzenie 3. Gdy X jest paraboloidą hiperboliczną lub hiperboloidą jednopowłokową, to przez każdy punkt p ∈ X przechodzą co najmniej dwie różne proste zawarte w X.

Dowód. Badane tu własności zachowują się przy izomorfizmach afinicznych. Można więc założyć, że X jest podzbiorem przestrzeni R³, zadanym w standardowym układzie bazowym równaniem kanonicznym.

Rozpatrzmy dwa przypadki.

• Przypadek 1. Zbiór X zadany jest równaniem x²₁− x²₂+ x3= 0. Wtedy każda płaszczyzna postaci Pc: {(x1, x2, x3) ∈ R³| x1− x2= c} przecina paraboloidę X wzdłuż prostej Kc zadanej równaniami c(x1+ x2) = −x3, x1− x2= c. Co więcej, każda płaszczyzna Qc o równaniu x1+ x2= c przecina X wzdłuż prostej Lc, zadanej równaniami c(x1− x2) = −x3, x1+ x2 = c. Oczywiście każdy punkt przestrzeni leży na jednej z płaszczyzn Pci na jednej z płaszczyzn Qc, więc łatwo widzieć, że rodziny {Kc: c ∈ R} i {L^c: c ∈ R} spełniają żądane warunki.

• Przypadek 2. Zbiór X jest zadany równaniem x²₁−x²₂−x³₃+1 = 0. Wtedy punkt (0, 0, 1) leży w X i w płaszczyźnie x3= −1, a ta przecina X wzdłuż zbioru K ∪ L, gdzie K jest prostą zadaną równaniami x1= x2, x3= −1, zaś L – równaniami x1= −x2, x3= −1. Oznaczmy przez K (odpowiednio przez L) rodzinę tych prostych w R³, które są obrazem prostej K (odp. L) przy obrocie¹ wokół osi x1. Obie rodziny składają się z prostych, zawartych w X, a opisane obroty przeprowadzają X w X.

Dowolny punktu a = (a₁, a₂, a₃) ∈ X leży na pewnej prostej rodziny K: przecięcie X z płaszczyzną x₁= a₁ jest okręgiem, skąd pewien obrót wokół osi x₁ przeprowadza punkt a na punkt przecięcia tej płaszczyzny z prostą K. Dla rodziny L rozumowanie jest analogiczne.

O hiperboloidzie jednopowłokowej i paraboloidzie hiperbolicznej można (łatwo) pokazać więcej niż to, że są prostokreślne. Są one w istocie podwójnie prostokreślne – to znaczy istnieją po dwie rodziny prostych zawartych w każdej z tych hiperpowierzchni takie, że każdy punkt tej hiperpowierzchni leży na dokładnie jednej prostej z każdej z rodzin, przy czym proste z danej rodziny są rozłączne i każda prosta z jednej rodziny przecina każdą prostą z drugiej rodziny. Niezwykle zaskakujący jest następujący fakt.

Twierdzenie 4. Każdy zbiór podwójnie prostokreślny w przestrzeni afinicznej R³ jest albo płaszczyzną, albo hiperboloidą jednopowłokową, albo paraboloidą hiperboliczną.

Twierdzenie to przekracza ramy naszego przedmiotu. Pozwolę sobie jednak na sformułowanie kilku uwag, mających moim zdaniem istotne znaczenie geometryczne, a potem podam kilka odnośników dla zainte- resowanych.

1Warto pamiętać: prosta obracana w R³wokół skośnej do niej prostej „zakreśla” (zwykle) hiperboloidę jednopowłokową.

Uwaga 1. Jedynymi hiperpowierzchniami właściwymi stopnia 2 w R³, które są podwójnie prostokreślne są hiperboloida jednopowłokowa i paraboloida hiperboliczna.

Fakt ten jest intuicyjnie niemal oczywisty. Dlaczego na przykład zwykły walec eliptyczny – choć prosto- kreślny, nie jest podwójnie prostokreślny? Odwołuję się tu do Państwa intuicji. Na walcu eliptycznym przez każdy punkt przeprowadzić można jedynie jedną prostą zawartą w tej powierzchni. Wierzę, że pokazanie tego nie będzie dla Państwa trudnym ćwiczeniem. Podobnie jak pokazanie, że np. elipsoida nie jest prosto- kreślna. Ważne jest to, że na mocy twierdzenia o klasyfikacji afinicznej hiperpowierzchni właściwych stop- nia 2 problem sprowadza się do badania powierzchni opisanych równaniami kanonicznymi. Formalne ar- gumenty związane z określaniem prostokreślności hiperpowierzchni stopnia 2 opisanej danym równaniem można znaleźć w skrypcie prof. Kiciaka z algebry liniowej (https://www.mimuw.edu.pl/~przemek/).

Uwaga 2. Jeśli hiperpowierzchnia stopnia 2 zawiera trzy punkty pewnej prostej, wówczas hiperpowierzch- nia ta zawiera całą tą prostą.

Intuicja powinna być znowu zupełnie jasna. Każda hiperpowierzchnia stopnia 2 opisana jest równaniem x^TAx + Bx + C = 0. Jeśli punkty x1, x2, x3leżą na pewnej prostej, to są one postaci x0+ tα, dla pewnych trzech wartości parametru t. A zatem równanie (x0+tα)^TA(x0+tα)+B(x0+tα)+C = 0 traktowane jako równanie kwadratowe względem zmiennej t ma trzy pierwiastki. To oznacza, że jest ono tożsamościowo równe 0. Czy widać zatem dlaczego cała prosta zawiera się w hiperpowierzchni?

Uwaga 3. Dla każdych trzech nieprzecinających się prostych l1, l2, l3 ⊆ R³ istnieje dokładnie jedna hi- perpowierzchnia stopnia 2, która zawiera wszystkie te proste.

To, że dla prostych l1, l₂, l₃istnieje odpowiednia hiperpowierzchnia jest łatwe. Z każdej prostej wybieramy po trzy punkty p_i, p⁰_i, p⁰⁰_i, dla i = 1, 2, 3. Każda hiperpowierzchnia stopnia 2 w R³dana jest równaniem:

Ax²₁+ Bx²₂+ Cx²₃+ Dx₁x₂+ Ex₁x₃+ F x₂x₃+ Gx₁+ Hx₂+ Ix₃+ J = 0.

Musimy wyznaczyć A, B, C, . . . , J wstawiając do powyższej równości w miejsce x₁, x₂, x₃ współrzędne punktów pi, p⁰_i, p⁰⁰_i, dla i = 1, 2, 3. Dostajemy zatem układ 9 równań jednorodnych o 10 niewiadomych.

A zatem ma on z pewnością niezerowe rozwiązanie dające współczynniki naszej hiperpowierzchni (może się zdarzyć oczywiście, że wyznaczona hiperpowierzchnia będzie w istocie płaszczyzną). Znalezio- na hiperpowierzchnia stopnia 2 zawiera po 3 punkty każdej z prostych l1, l2, l3. Zawiera więc te proste w całości, na mocy poprzedniej uwagi. Pewnym problemem jest pokazanie jedyności tej hiperpowierzchni.

Tu potrzebne są (o ile mi wiadomo) argumenty z geometrii rzutowej.

Czas na konkluzję naszej argumentacji. Weźmy zbiór podwójnie prostokreślny X w R³ i niech l1, l2, l3

będą nieprzecinającymi się prostymi z pierwszej rodziny prostych zawartych w X (dlaczego takie pro- ste istnieją?). Niech l będzie prostą z drugiej rodziny zawartą w X. Przecina ona z definicji podwójnej prostokreślności każdą z prostych l1, l₂, l₃. Dla tych trzech prostych niech L będzie unikatową zawiera- jącą je hiperpowierzchnią stopnia 2 lub płaszczyzną. Skoro L zawiera trzy punkty prostej l, więc musi zawierać całą l. A zatem L zawiera każdą prostą z drugiej rodziny prostych zawartych w X. Stąd L zawiera cały zbiór X. W szczególności L zawiera zbiór podwójnie prostokreślny, będąc płaszczyzną lub hiperpowierzchnią stopnia 2. Stąd już, na mocy Uwagi 1, niedaleko do tezy całego twierdzenia.

Przytoczona argumentacja jest celowo napisana nieco nieporządnie. Komu wystarcza sama intuicja – niezbędne intuicje otrzymał. Kto potrzebuje dokładnego dowodu – będzie (mam nadzieję) w stanie uzu- pełnić szczegóły (patrz np. http://math.uchicago.edu/~may/REU2014/REUPapers/Lazarus.pdf). Roz- maitych twierdzeń tego typu jest więcej. Można na przykład pokazać, że każda nierozkładalna niesingu- larna hiperpowierzchnia stopnia 3 zawiera 27 prostych (wyjaśnienie definicji i dowód w powyższym linku).

Przytoczone wyniki należą do tzw. enumeratywnej geometrii algebraicznej i mają źródła w starożytnym problemie Apoloniusza: ile jest maksymalnie okręgów stycznych do trzech dowolnie położonych okręgów?

Okazuje się, że jest ich 8. Nie jest to bardzo trudne. Trudniej z pewnością pokazać, że do pięciu dowol- nych stożkowych na płaszczyźnie stycznych jest co najwyżej 3264 gładkich stożkowych! Polecam w tej materii dwa elementarne teksty dostępne w Sieci: A. Bachelor: Enumerative Algebraic Geometry of Conics

(https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/enumerative-algebraic-geometry-of-conics) oraz A Gallery of Algebraic Surfaces, B. Hunt (http://arpam.free.fr/hunt.pdf).