Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta
50 zadań na Egzamin z Topologii Algebraicznej I Semestr zimowy roku akademickiego 2011/2012
Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 17 stycznia 2012
1 Kategorie i funktory
Zad. 1. ♥ Funktor dołączony z lewej (prawej) strony zachowuje kogranice (granice) diagramów w szczególności: koprodukty (produkty), koekwalizatory (ekwalizatory), push-out’y (pull-back’i).
Dokładniej, jeśli funktor G : C → D jest lewo-dołączony do pewnego funktora, to dla dowolnego diagramu F : I → C jeśli istnieje colimIF to istnieje także colimI(G ◦ F ), a naturalny morfizm colimI(G ◦ F ) → G(colimIF ) jest izomorfizmem (odpowiednio dla granicy i funktora prawo- dołączonego). Podaj ważne przykłady par funktorów dołączonych i zinterpretuj zachowywanie granic i kogranic w konkretnych przykładach.
Zad. 2. Jeżeli morfizm ν : X → X ∨ X (gdzie ∨ oznacza koprodukt w C - kategorii w której istnieją produkty i koprodukty), zdaje strukturę kogrupową, zaś µ : Y × Y → Y zadaje strukturę grupową w kategorii C i struktury grupowe wyznaczone przez te morfizmy w zbiorze MorC(X, Y ) mają ten sam morfizm neutralny e : X → Y , są one identyczne, a ponadto otrzymana grupa jest przemienna. Wywnioskować stąd, że jeśli (G, e) jest homotopijną grupą (a nawet monoidem homotopijnym), to strukturę grupy w πq(G, e) można zdefiniować prz pomocy mnożenia w G.
Zad. 3. Przez analogię z definicjami obiektu grupowego i kogrupowego w dowolnej kategorii, po- daj kategoryjną definicję działanie obiektu grupowego na obiekcie kategorii i kodziałanie obiektu kogrupowego na obiekcie tej kategorii. Sprawdź, że jesli (X, x0) jest przestrzenia dobrze punktowa- ną, to istnieje ko-działanie homotopijne X −→ X ∨ Sν 1, które dla dowolnej przestrzeni punktowanej (Y, y0) zadaje działanie π1(X, x0) na [X, Y ]∗ takie, że [X, Y ]∗/π1(X, x0) ' [X, Y ].
2 Rozwłóknienia i korozwłóknienia
Zad. 4. ♥ Korzystając z najodpowiedniejszego z równoważnych warunków definiujacych (ko-)rozwłóknienie wykaż, że następujące konstrukcje zachowują klasy (ko-)rozwłóknień:
1. Przekształcenie izomorficzne w kategorii Mor(T ) z (ko-)rozwłóknieniem jest (ko-)rozwłóknieniem;
2. Złożenie (ko-)rozwłóknień jest (ko-)rozwłóknieniem;
3. Pull-back (push-out) rozwłóknienia (ko-rozwłóknienia) jest rozwłóknieniem (ko-rozwłóknieniem);
4. Retrakt (ko-)rozwłóknienia w kategorii Mor(T ) jest (ko-)rozwłóknieniem;
5. Koprodukt i produkt (ko-)rozwłóknień jest (ko-)rozwłóknieniem.
Zad. 5. Podać przykład domkniętego podzbioru A ⊂ Rn, takiego że włożenie nie jest korozwłók- nieniem. Jak wygląda rozkład tego włożenia na korozwłóknienie i homotopijną równoważność?
Zad. 6. Jeśli p : E → B jest rozwłoknieniem z włóknem F , to dla dowolnej przestrzeni loklal- nie zwartej X odwzorowanie indukowane p∗: Map (X, E) → Map (X, B) jest rozwłóknieniem.
Zbadać jego włókno. Wykazać, że Ωp : ΩE → ΩB jest rozwłoknieniem.
Zad. 7. Niech F = C, H, O. Wykazać, że przekształcenie Hopfa p : S2 dimRF−1 → SdimRF dane wzorem p(z0, z1) := z0/z1 (utożsamiamy sferę Sn z jednopunktowym uzwarceniem ciała F) jest rozwłóknieniem.
Zad. 8. Niech M, N będą rozmaitościami. Niech x1, .., xn ∈ M będą punktami. Wykazać, że odwzorowanie ev : Map (M, N ) → N × N × .. × N dane wzorem ev(f ) := (f (x1), .., f (xn)) jest rozwłóknieniem.
3 Homotopijne włókna i kowłókna
Zad. 9. Opisać typ homotopii homotopijnych push-out’ów następujących diagramów w kategorii przestrzeni dobrze punktowanych:
a) ∗ ← X → ∗ ; b) ∗ ← A ,→ X gdzie A ,→ X jest korozwłóknieniem; c) X ← {pt} → Y.
Niech f : X → Y . Pokazać, że (homotopijne) kowłókno jest (homotopijnie równoważne) home- omorficzne z (homotopijnym) pushoutem diagramu ∗ ←− X −→ Y .f
Zad. 10. Zdefiniować homotopijny pull-back i opisać jego typ homotopii dla następujących dia- gramów w kategorii przestrzeni punktowanych:
a) {x0} ,→ X ←- {x0} b) pt → B ← E gdzie E → B jest rozwłóknieniem c) X → {pt} ← Y.
Niech f : X → Y . Niech f : X → Y . Pokazać, że (homotopijne) włókno nad y0 ∈ Y jest (homotopijnie równoważne) homeomorficzne z (homotopijnym) pull backiem diagramu {y0} ,→
Y ←− X.f
Zad. 11. ♥ Udowodnić, że homotopijne przekształcenia mają homotopijnie równoważne homo- topijne włókna i homotopijne kowłókna. Włókna homotopijne i kowłókno homotopijne odwzo- rowania, które jest homotopijną równowaznością są ściągalne. A jakie są homotopijne włókna i kowłókna przekształceń ściągalnych?
Zad. 12. Wykazać, że homotopijne włokno włożenia S2 ⊂ CP∞ jest homotopijnie równoważne ze sferą S3. Czym jest homotopijne włókno włożenia S1⊂ RP∞ ?
Zad. 13. Homotopia łącząca odwzorowanie H : X × I → Y odwzorowania f z odwzorowaniem stałym wyznacza przemienny diagram:
X Hˆ //
j0
P (Y )
p0
C(X) ¯
H
//
¯˜ H
;;
Y
taki, że j0H = f .
4 Ciągi zbiorów klas homotopii (D. Puppe)
Zad. 14. Opisać naturalne równoważności funktorów Mor(T∗) → T∗: C(Σf ) ' ΣC(f ) oraz F (Ωf ) ' ΩF (f ).
Zad. 15. Dla liczb całkowitych n, k > 0 oznaczmy przez Mn(Z/k) kowłókno homotopijne odwzo- rowania φ : Sn−→ Sn , takiego, że deg φ = k (nazywane przestrzenią Moore’a). Pokazać, że dla dowolnej punktowanej przestrzeni X i n > 1 istnieje następujący ciąg dokładny grup abelowych:
0 −→ πn+1(X)/kπn+1(X) −→ [Mn(Z/k), X]∗−→ {f ∈ πn(X) : k·f = 0} −→ 0.
Zad. 16. Niech Y −→ Xg −→ Y będą odwzorowaniami takimi, że f ◦ g ∼ idf Y. Wtedy włożenie Y −→ C(f ), występujące w prawym ciągu Puppe odwzorowania f jest ściągalne. Co wynika z tegoj dla lewego ciagu Puppe?
Zad. 17. Jeśli odwzorowanie f : X → Y jest ściągalne, to naturalne przekształcenie z prawego ciągu Puppe C(f ) → ΣX posiada prawą homotopijna odwrotność tzn. ∃ ΣX → C)f ) takie, że złożenie ΣX → C(f ) → ΣX jest identycznością (czyli stożek przekształcenia jest homotopijnym retraktem zawieszenia). Sformułuj dualny odpowiednik dla lewego ciągu Puppe .
Zad. 18. ♥ Dla liczb p, q > 0 i dowolnej przestrzeni punktowanej Y istnieje ciąg dokładny zbiorów z wyróznionym punktem:
0 → πp+q(Y ) → [Sp× Sq, Y ]∗→ πp(Y ) × πq(Y ) → 0.
Czy można stąd wywnioskować twierdzenie Hopfa dla produktu sfer (podstawiając Y = Sp+q).
Zad. 19. Dla jednospójnej przestrzeni X dowolne rozwłóknienie z dyskretnym włóknem (np.
nakrycie) p : ˜Y → Y indukuje bijekcję p]: [X, ˜Y ]∗' [X, Y ]∗.
5 CW-kompleksy
Zad. 20. ♥ Opisać strukturę CW-kompleksu w znanych powierzchniach 2-wymiarowych (sfera, torus, precle, butelka Kleina itd.) Wykazać, że zawieszenie ΣPg, gdzie Pg jest preclem genusu g (sfera z g uchami), jest homotopijnie równoważne z bukietem 2g egezemplarzy sfer S2 i sfery S3. Zbadać z jaką przestrzenią jest homotopijnie równoważne zawieszenie butelki Kleina.
Zad. 21. Opisać strukturę CW-kompleksu w przestrzeniach rzutowych nad ciałami R, C, H.
Zad. 22. Niech X, Y bedą skończonymi CW-kompleksami. Opisać strukturę CW-kompleksu w produkcie X × Y . Gdzie korzystamy ze skończoności X, Y . Opisać rozkład na CW-kompleks produktu dwóch sfer składający się z czterech komórek. ?
Zad. 23. Zawieszenie produktu dwóch sfer jest homotopijnie równoważne bukietowi trzech sfer.
Jakich wymiarów? Ogólnie, istnieje homotopija równoważność: Σ(X × Y ) ' ΣX ∨ ΣY ∨ Σ(X ∧ Y ).
Zad. 24. Niech A ⊂ X będzie podkompleksem. Udowodnić, że wtedy X/A posiada strukturę CW-kompleksu. W szczególności dla skończonych CW-kompleksów X, Y opisać strukturę CW- kompleksu w smash-produkcie X ∧ Y ; skonstruować rozkład na CW-kompleks na zawieszenia ΣX kompleksu X, taki że (ΣX)n' ΣXn−1.
Zad. 25. Niech G ⊂ S3 ⊂ H będzie podgrupą dyskretną grupy jednostkowych kwaternionów.
Opisać strukturę CW-kompleksu w przestrzeni warstw S3/G (co najmniej, gdy G jest cykliczna).
Zad. 26. Jeśli K jest CW-kompleksem, to włożenie K(n),→ K jest n-równoważnością.
Zad. 27. Jeśli p : ˜X → X jest nakryciem i X jest CW-kompleksem, to w ˜X istnieje naturalna struktura CW-kompleksu, taka że p jest odwzorowaniem komórkowym.
Zad. 28. ♥ Jeżeli X jest n − 1 spójnym CW kompleksem wymiaru < 2n, to X jest ko-H prze- strzenią. Jeżeli X jest n − 1 spójnym CW kompleksem i πk(X) = 0 dla k 2n − 1, to X jest H- przestrzenią.
Zad. 29. Niech Y będzie przestrzenią dla której πk(Y ) = 0 dla k > n. Pokazać,że dla CW kompleksu X, obcięcie [X, Y ] → [X(n), Y ] jest różnowartościowe, a [X, Y ] → [X(m), Y ] dla m > n jest bijekcją.
Zad. 30. Spójny CW-kompleks X ma następujące grupy homotopii: π4(X) = π7(X) ' Z2 oraz π5(X) ' Z ⊕ Z2 oraz πq(X) = 0 pozostałych q. Oszacuj minimalną liczbe komórek w wymiarach
< 9.
6 Grupy homotopii sfer i grup liniowych
Zad. 31. (Sn, 1) jest n-wymiarową sferą z punktem wyróżnionym. Dla liczby całkowitej k ∈ Z rozpatrzmy element fkn:= k · idSn ∈ πn(Sn, 1).
a) Zilustrować na rysunku odwzorowanie fkn np. dla k = 2 i k = −1.
b) [Σfkn] = [fkn+1] c) [fkn◦ fmn] = [fkmn ] d) obliczyć deg(fkn).
Zad. 32. Niech n > 1. Pokaż, że πk(S1∨ Sn) = πk(S1) dla k < n oraz πn(S1∨ Sn) jest wolnym Z[t, t−1]-modułem z jednym generatorem.
Zad. 33. Wykaż, że jeśli n > 1 to πi(Sn∨ Sm) ' πi(Sn) ⊕ πi(Sn) dla i < n + m − 1. Przy jakich założeniach o punktowanych CW-kompleksach X, Y projekcje indukują izomorfizm: πi(X ∨ Y ) ' πi(X) ⊕ πi(Y ) dla ”małych” i ?
Zad. 34. ♥ Analizując rozwłóknienia Hopfa wykaż następujące izomorfizmy grup homotopii sfer:
• π2(S2) ' Z
• πi(S3) ' πn(S2) dla i 3, w szczególności π3(S2) = Z (wskazać generator π3(S2)?)
• πi(S4) ' πi(S7) ⊕ πi−1(S3) dla i 2,
• πi(S8) ' πi(S15) ⊕ πi−1(S7) dla i 2.
Wywnioskuj stąd, że wiązki Hopfa nie są homotopijne z odwzorowaniami stałymi.
Zad. 35. Niech F = C, H, O. Oblicz stopień przekształcenia k-tej potęgi fk: SdimRF−1→ SdimRF−1, fk(z) := zk.
Zad. 36. Zauważyć, że ∂ : πi(Rn, Rn\ {0}) ' πi−1(Rn\ {0}) ' πi−1(Sn−1) i wskazać przedstawi- cieli klas homotopii odwzorowań w grupie relatywnej πn(Rn, Rn\ {0}).
Zad. 37. Z obliczeń grup homotopii sfer wywnioskować tw. Brouwera: każde odwzorowanie f : Dn→ Dn ma punkt stały.
Zad. 38. Dla dowolnej przestrzeni X zdefiniować homomorfizm zawieszenia (transformację natu- ralną) Σ : πi(X) → πi+1(ΣX), taki, że dla X = Sn, i = n jest on izomorfizmem. Jeśli X jest (n−1)- spójnym CW-kompleksem (n > 1), to zawieszenie ΣX jest n-spójne oraz Σ : πn(X) → πn+1(ΣX) jest izomorfizmem.
Zad. 39. Udowodnij, że πn(S2) ∼= πn(S3 × CP (∞)) dla każdego n. Udowodnij, że S2 nie jest homotopijnie równoważne S3×CP (∞). Czy zatem ten przykład przeczy twierdzeniu Whiteheada?
Zad. 40. ♥ Niech F = R, C oraz i : GL(n − 1, F) → GL(n, F) będzie włożeniem indukowanym przez włożenie Fn−1 na pierwsze n − 1 współrzędnych Fn. Udowodnij, że
πi(GL(n − 1, F))−→ πi# i(GL(n, F)) jest
( izomorfizmem dla i < n dimRF − 2, epimorfizmem dla i = n dimRF − 2.
Zauważ, że dla ustalonego i oraz odpowiednio dużych n grupy πi(GL(n, F)) nie zależą od n. Oblicz grupy homotopii πi(GL(n, F)) dla (bardzo) małych i.
Zad. 41. Wykazać, że πi(Vk(Fn)) = 0 dla i << n, a rozmaitość Stiefla Vk(F∞) (a więc też sfera nieskończenie wymiarowa S∞= V1(F∞)) jest przestrzenią ściągalną.
Zad. 42. Dla dowolnej grupy topologicznej G i jej domkniętej, spójnej podgrupy H ⊂ G prze- strzeń jednorodna G/H jest prosta (tzn. π1(G/H) działa trywialnie na wszystkich grupach πk(G/H).)
7 Klasyfikacja homotopijna przekształceń
Zad. 43. ♥ Niech (X, x0) będzie spójnym punktowanym CW-kompleksem, a (Y, y0) przestrzenią punktowaną. Niech n > 0 będzie taką liczbą, że πi(X, x0) = 0 dla i < n oraz πi(Y, y0) = 0 dla i > n. Wtedy przyporządkowanie
[X, Y ]∗3 f f#∈ Hom(πn(X, x0), πn(Y, y0))
jest bijekcją (a [X, Y ] ' Hom(πn(X, x0), πn(Y, y0))/ Inn(πn(Y, y0)) := Rep(πn(X, x0), πn(Y, y0)).
Zad. 44. Korzystając z klasyfikacji topologicznej zwartych 2-wymiarowych (orientowalnych i nie- orientowalnych), pokazać, że powierzchnia jest przestrzenią Eilenberga-MacLane’a typu K(π1, 1) wtedy i tylko wtedy, gdy ich genus jest dodatni. Opisać grupy podstawowe powierzchni i ich abelia- nizację. Obliczyć grupę klas homotopii odwzorowań [S, T2], gdzie T2 jest 2-wymiarowym torusem (a więc grupą topologiczną), a S dowolną powierzchnią. Wskazać przedstawicieli klas homotopii.
Zad. 45. Wyprowadzić twierdzenie Hopfa o klasyfikacji odwzorowań w sferę dla powierzchni z ciągu dokładnego D. Puppe, bez posługiwania się gładkimi aproksymacjami, stopniem itp.
Zad. 46. Opisać zbiór klas homotopii odwzorowań między powierzchniami [S, RP (2)], gdzie S jest butelka Kleina (lub torusem, albo inną ulubioną powierzchnią). Wskazać przedstawicieli klas homotopii. Co można powiedzieć o odwzorowaniu [B, RP (2)] → [B, RP (3)] indukowanym przez włożenie RP (2) ,→ RP (3).
Zad. 47. Jeśli K jest CW-kompleksem (lub rozmaitością) dim(K) < 2n − 1 to w zbiorze klas homotopii [K, Sn] można zdefiniować naturalną strukturę grupy tzn taką, że odwzorowania ciągłe f : K → L oraz φ : Sn → Sn indukują homormorfizmy oraz gdy K = Sn struktura grupowa w zbiorze [K, Sn] jest identyczna ze strukturą zadaną przez strukturę ko-H-przestrzeni na sferze K. Opisać działanie grupy πn(Sn) ' Z na grupie [K, Sn]. Uwaga. Dla dim(K) < n ta grupa jest trywialna.
Zad. 48. ♥ Niech M będzie n-wymiarową rozmaitością i x ∈ M . Wykazać, że odwzorowanie bąbla wokół x zależy jedynie z dokładnością do znaku od wyboru mapy w otoczeniu punktu x. Wywnio- skować stąd, że odwzorowanie bąbla (z dokladnością do znaku) nie zależy od wyboru punktu na rozmaitości. W przypadku jeśli rozmaitość jest zorientowana, klasa homotopii odwzorowania bą- bla jest jednoznacznie wyznaczona przez dopuszczenie jedynie map zgodnych z orientacją. Wsk.
Jeśli rozmaitość jest spójna, to dla dowolnych dwóch punktów x, y ∈ M istnieje dyfeomorfizm h : M → M taki, że h(x) = y.
Zad. 49. Niech x1, .., xk ∈ M będą punktami spójnej n-wymiarowej rozmaitości zorientowanej M a φi : Rn→ Ui ⊂ M dodatnio zorientowane mapy wokół tych punktów o parami rozłącznych obrazach. Zdefiniujmy przy ich pomocy odwzorowanie k-multibąbla M → Sn∨ ... ∨ Sn. Pokazać, że jego złożenie z id ∨ ... ∨ id : Sn∨ ... ∨ Sn→ Sn jest homotopijne z k-wielokrotnością bąbla b1. Zad. 50. Jeśli M jest spójną n-wymiarową rozmaitością nieorientowalną, to 2[b1] = 0, a więc klasa homotpii odwzorowanie bąbla jest niezależne od wybranej lokalnej orientacji. Wsk. Dla dowolnego punktu x ∈ M nieorientowalnej spójnej rozmaitości istnieje dyfeomorfizm h : M → M taki, że h(x) = x natomiast det Dhx < 0.
