Wyznaczanie promienia krzywizny soczewki za pomocą pierścieni

nr ćwiczenia data imię i nazwisko Wydział Elektryczny Semestr III grupa 2 305 25.10.2011 Benedykt Jaworski Automatyka i Robotyka grupa lab. 1

Dominik Bilicki

prowadzący przygotowanie wykonanie ocena

dr hab. A. Dudkowiak, prof. PP

Wyznaczanie promienia krzywizny soczewki za pomocą pier- ścieni Newtona

1 Podstawy teoretyczne

Gdy oświetla się z góry płasko-wypukłą soczewkę położoną poziomo krzy- wizną na płaskiej poziomej szybce, przechodzące przez nią promienie czę- ściowo odbijają się na dolnej ściance soczewki a częściowo od górnej ścianki szklanej płytki, i biegną ku górze. Szerokość warstwy powietrza między po- wierzchnią soczewki a powierzchnią szklanej płytki można oznaczyć jako d, wtedy oba odbite promienie pokonują odległość różną o 2d. Gdy oba promienie nakładają się na siebie, powstaje obraz interferencyjny – tzw.

pierścienie Newtona.

Różnica w długości drogi biegu promieni powoduje ich wzajemne prze- sunięcie w fazie, stąd dla niektórych wartości d promienie wzmacniają się i powstają jasne kręgi, a dla innych wygaszają i powstają kręgi ciemne.

Do różnicy dróg należy jeszcze uwzględnić fakt, że przy odbiciu światła od ośrodka gęstszego pojawia się zmiana fazy o π. Stąd do różnicy dróg należy doliczyć połowę długości fali: ^λ₂.

Stąd możemy zapisać zależność powstawania jasnego pierścienia inter- ferencyjnego:

2d + λ

2 = mλ gdzie m = 1, 2, 3, . . . (1) Przy czym m nazywamy rzędem pierścienia i jest to numer pierścienia licząc od środka obrazu interferencyjnego.

Grubość warstwy powietrznej można wyrazić poprzez promień pierście- nia interferencyjnego a jako:

d = R−√

R² − a² = R− R

vu ut1−

(a R

)

(2) Wartość tę można obliczyć w przybliżeniu poprzez rozwinięcie pier- wiastka w szereg:

 1⁽a^{)2 } a²

Łącząc równania 1 i 3, otrzymujemy:

am =

vu ut (

m− 1 2

)

λR (4)

W samym środku obrazu interferencyjnego nakładają się na siebie pro- mienie pokonujące praktycznie taką samą odległość, a minimalna warstwa powietrza pomiędzy soczewką o szklaną płytką powoduje przesunięcie ich w fazie o kąt π, stąd na środku obserwowana jest ciemna plamka.

1.1 Metoda Pomiarów

Pierścienie Newtona obserwujemy mikroskopek umożliwiającym przesu- wanie w płaszczyźnie poziomej układu soczewki i płytki oraz mierzenia tego przesunięcia. Mikroskop również posiada krzyż z nici pajęczych, dzięki czemu można dokładnie ustawić fragment obrazu interferencyjnego w polu widzenia.

Dzięki temu można zmierzyć położenie prawej (a_p) oraz lewej (a_l) kra- wędzi pierścienia Newtona, jego promień wtedy wyraża się wzorem:

a_m = ap− a^l

2 (5)

Po podniesieniu równania 4 do kwadratu, otrzymujemy zależność:

a²_m = λR

(

m− 1 2

)

(6) Z czego widzimy, że kwadrat promienia zależy liniowo od wartości R, można wykonać wykres regresji liniowej, gdzie na osi pionowej oznaczamy a²_m, a na poziomej m− ¹₂. Współczynnik nachylenia powstałej prostej jest równy iloczynowi a_r = λR, z czego można policzyć promień soczewki jako:

R = a_r

λ (7)

Należy wziąć jeszcze pod uwagę, że z powodu nacisku soczewka na środku, wokół punktu styku ze szklaną płytką, może się odkształcać, przez co w regresji liniowej mogą pojawić się nieliniowości, przesunięcia wykresu, itd.

2 Pomiary

Dokonaliśmy następujących pomiarów położeń krawędzi pierścieni:

m al [mm] ap [mm] am [mm]

1 8.50 10.22 0.860

2 8.32 10.52 1.100

3 8.10 10.74 1.320

4 7.94 10.90 1.480

5 7.79 11.10 1.655

6 7.64 11.26 1.810

7 7.54 11.39 1.925

8 7.40 11.51 2.055

9 7.32 11.63 2.155

10 7.22 11.74 2.260 11 7.10 11.85 2.375 12 6.99 11.96 2.485 13 6.88 12.06 2.590 14 6.80 12.16 2.680 15 6.70 12.28 2.790 16 6.60 12.36 2.880 17 6.53 12.51 2.990 18 6.46 12.64 3.090 19 6.37 12.74 3.185 20 6.31 12.83 3.260

Jednak pierwsze pięć pomiarów powoduje przy próbie robienia regresji liniowej wyraźne przesunięcie linii w górę (a ze wzoru 6 wynika, że prosta powinna przechodzić przez środek układu współrzędnych), przez co zostały one odrzucone.

Wykres zależności a²_m = λR⁽m − ¹₂⁾ przedstawia rysunek 1. Zaznaczono na nim właściwą prostą regresji liniowej kolorem zielonym, a czerwonym zaznaczono linie graniczne, zmodyfikowane o maksymalne wartości błę- dów.

Wartość długości fali została nam podana i wynosi λ = 589.5 nm.

Z regresji liniowej uzyskaliśmy wartość ar = 0.531273±0.00690282 mm², do tego linię przesuniętą o niewielką wartość, oznaczmy ją przez β = 0.159177± 0.0912939 mm².

Z tego możemy obliczyć promień soczewki jako R = 90.107±2.4095 cm.

2.0.1 Obliczenia błędów

Błąd współczynnika nachylenia to po prostu jego niepewność wynikająca

Rysunek 1: Zależność a²_mod λR( m−¹₂)

z zaznaczonymi granicznymi prostymi

Błąd wyniku został policzony metodą różniczki zupełnej. Wzór na uzy- skaną linię prostą można zapisać jako:

y = a_rx + β (8)

gdzie y = a²_m i x = m− ¹₂.

Stąd obliczamy ar = ^y−β_x = ^y_x − ^β_x. Biorąc pod uwagę, że R = ^a_λ^r, obliczamy błąd ∆R:

∆R = 

∂

∂ar

a_r

λ · ∆ar  +

  ∂

∂β

a_r(β)

λ · ∆β = 

∆a_r λ

+− ∆β λ · x

Ponieważ x = m−¹₂, przy podstawianiu wartości użyłem wartości śred- niej tego parametru dla użytych pomiarów. Wykorzystaliśmy pomiary pier- ścieni o numerach od 6 do 20, stąd średnia z x wynosi ^5.5+19.5₂ = 12.5.

Po podstawieniu wartości do wzoru na błąd promienia:

∆R = 0.00690282 mm²

589.5 nm +0.0912939 mm²

12.5· 589.5 nm = 0.000024095 km = 2.4095 cm

3 Wnioski

Badana soczewka miała promień krzywizny niewiele mniejszy od jednego metra. Zgodnie z przewidywaniami, musiała się delikatnie zniekształcać na środku, w miejscu styczności ze szklaną płytką, ponieważ pomiary pier- ścieni najniższego rzędu powodowały podniesienie linii powstałej z regresji liniowej, gdy ta linia powinna przechodzić przez środek układu współrzęd- nych w idealnym przypadku.

Wynik jak i policzony błąd wyniku wydają się rozsądne, uzyskaliśmy sporą dokładność. Jednak możliwe jest, że wynik w rzeczywistości odbiega bardziej od prawdziwej wartości niż o policzony błąd. Wpływają na to dwa czynniki utrudniające pomiary.

Po pierwsze – ciężko było ustawić krzyż z nici pajęczych idealnie w środku pierścieni, przez co mierzone wartości ich promieni mogą być mniej- sze bądź większe. Błędu takiego nie sposób uniknąć bez dodatkowej po- działki na krzyżu mikroskopu, i trudno go uwzględnić w rachunku błędów.

Po drugie – pierścienie dalszych rzędów były słabo widoczne, przez co ciężko było ustawić na nich krzyż. Pomiary dalszych pierścieni nie powo- dowały jednak nieliniowości, można więc wierzyć, że pomimo opisanych trudności pomiary te były dość dokładne i nie powodują dużego błędu ostatecznego wyniku.