METODYKA I MODELE MATEMATYCZNE Z CZASEM CIĄGŁYM ANALIZY EFEKTYWNOŚCI TECHNICZNO
-EKONOMICZNEJ MODERNIZACJI CIEPŁOWNI I ELEKTROCIEPŁOWNI
Ryszard BARTNIK, Zbigniew BURYN, Anna HNYDIUK-STEFAN, Adam JUSZCZAK
Streszczenie. W pracy przedstawiono oryginalną metodykę oraz modele matematyczne z czasem ciągłym analizy efektywności techniczno-ekonomicznej modernizacji istniejących ciepłowni i elektrociepłowni.
Słowa kluczowe: ciepłownia, elektrociepłownia, modernizacja, efektywność techniczno- ekonomiczna, modele matematyczne z czasem ciągłym.
1. Wprowadzenie
W [1] przedstawiono oryginalną metodykę i modele matematyczne z czasem ciągłym analizy efektywności techniczno-ekonomicznej nowo budowanych ciepłowni i elektrociepłowni. W niniejszej pracy przedstawiono metodykę i modele matematyczne analizy efektywności techniczno-ekonomicznej modernizacji już istniejących źródeł ciepła i energii elektrycznej. Są one uogólnieniem metodyki i modeli matematycznych dla elektrowni zaprezentowanych w monografii [2]. Przeprowadzenie wielowariantowych, techniczno-ekonomicznych obliczeń za pomocą przedstawionych modeli pozwoli znaleźć odpowiedzi m.in. na następujące pytania. Do jakich technologii należy modernizować istniejące ciepłownie i elektrociepłownie oraz jak na wybór tej technologii wpływają wartości oraz, co ważne, zmiany w czasie relacji cenowych pomiędzy nośnikami energii?
Jak na wybór wpływają także wartości i zmiany w czasie jednostkowych, taryfowych opłat za korzystanie ze środowiska naturalnego oraz koszt zakupu pozwoleń na emisję CO2? 2. Metodyka i modele matematyczne z czasem ciągłym analizy efektywności
techniczno-ekonomicznej modernizacji ciepłowni i elektrociepłowni
Jak już wyżej zaznaczono, w [1] przedstawiono metodykę i modele matematyczne analizy efektywności techniczno-ekonomicznej nowo budowanych elektrociepłowni. W niniejszej przedstawiono metodykę i modele służące do analizy modernizacji już istniejących źródeł ciepła. Na rys. 1. przedstawiono diagram czasowy, jakim posłużono się do zbudowania tych modeli.
Przedziały czasu 〈0 t,1〉, 〈t1, t2〉,〈 Tt ,2 〉 reprezentują kolejno lata eksploatacji ciepłowni i elektrociepłowni przed, w trakcie i po jej modernizacji. Gdy w przedstawionych modelach w przedziale czasu 〈0 t, 1〉 podstawi się za produkcję energii elektrycznej wartość zero, to dotyczą one wówczas zmodernizowanych ciepłowni, gdy podstawi się natomiast w nich za produkcję ciepła wartość zero, otrzymuje się modele dla elektrowni.
Rys. 1. Diagram czasowy pracy zmodernizowanej ciepłowni i elektrociepłowni Fundamentalną zależnością, za pomocą której wyznacza się efektywność techniczno- ekonomiczną modernizacji ciepłowni i elektrociepłowni z uwzględnieniem nakładów inwestycyjnych JM na tę modernizację jest równanie na całkowity zysk zdyskontowany NPV, jaki osiąga się z ich eksploatacji przez okres T lat [2‒6]:
( )( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
e( )
e max.e 1
e 1 e
1
1 2
2
1 1
0
mod mod 0
→ +
− +
−
+
−
−
−
−
−
− + + + + +
+
−
−
−
−
−
− + + + + +
+
−
−
−
− + +
=
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
dt R
F dt R F
dt p A F A F K S A F A F
dt p A F A F K S A F A F
dt p A F K S A F NPV
T
t
rt M M T
rt T
t
rt M
M e
M M t
t
rt M
M M
e M M M t
rt e
(1)
Całkując równanie (1) przy zachowaniu takich samych oznaczeń i scenariuszy zmian w czasie kosztów eksploatacji i kapitałowych oraz przychodów jak w pracach [2‒6], otrzymuje się równanie na całkowity zysk zdyskontowany NPV :
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ] ( )
( )
[ ] [
( )]
( )
[ ] ( ) [
( )]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+
− − + −
−
− − + −
−
+
+ −
−
+ −
− + −
− +
+
−
− −
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
+ −
− +
− +
+ −
−
+ −
+
+ −
− +
−
− +
−
+
− − + −
−
− −
− +
+
− −
− +
− −
− +
+
−
−
− +
− −
− +
+
− − + +
−
+
− −
+
−
= −
−
−
−
−
−
−
−
= −
−
= −
−
= −
−
= −
−
−
=
−
= −
−
= −
−
−
=
−
−
=
−
−
= −
= −
= −
= −
= −
= −
= −
= −
= −
2 1
2 1
2 1
2 1 2 2
2 1 2 2
1 1 1
2 1 2 2
2 1 2 2
1 1 2
1 2
1
2 1 2 2
2 1 2 2
1 1 2
1 2
1 1
2 1
1 1
2 1
2 2 2 1
2 1
2 2 2 1
1 1 2
2 2 2
1
1 1
1 e 1 1 e
1
1 e 1 1 e
1 e
) e 1
(
e 1 e
1
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
) 1
(
] e 1 [e
e 1 e
1 e 1 1 1 e
1 ) 1
(
1 1 e
1 1
1 e
1 1 e
1 1 e
1 1 e
1 1 e
1 1 e
) 1
(
1]
1 [e 1
1 e
1 2 1 1
1 1
2 1
0 ,
, , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, , , ,
, ,
1 0
, ,
, 0 , 0
, 0 , 0
0 ,
0 ,
0 , , ,
) 0 (
0 ,
rt rt
M
rt rt
rt rt M rem ub płp M
t r b t r b M CO t t M CO CO M M
c M R M
R el
t r a t r a Mpył t t Mpył M pył
c M R M
R el
t r a t r a M SO t t M SO SO M c
M R M
R el
t r a t r a M NO t t M NO NO M c
M R M
R el
t r a t r a M CO t t M CO CO M c
M R M
R el
t r a t r a M CO t t M CO CO M c
M R M
R el
t r a t r a M pal t t M pal od m M wu
c M R M
R el
t r a t r a M c t t c M R t r a t r a M el t t M el M
R el
rt rem rt
ub płp
t r b
CO t CO CO c
R R t el
r a
pył tpył pył c
R R el
t r a
SO t SO SO c
R R t el
r a
NO t NO NO c
R R el
t r a
CO t CO CO c
R R t el
r a
CO t CO CO c
R R el
t r a
pal t pal od m wu c
R R el
t r a
c t c R t
r a
el t el R el
t T
t t T t
T t t J T
T t T T
t J T
r δ x J J
r e b
Q u E
r p a
Q E
r p a
Q E
r a Q p
E
r p a
Q E
r p a
Q E
r a e Q x
E
r a e Q r
a e E
T t T J T
r x δ J
r e b
Q u E r
p a Q E
r p a
Q E r
p a Q E
r p a
Q E r
p a Q E
r e a
Q x E
r e a r Q
e a E NPV
M CO M
CO Mpył Mpył
M SO M
SO
M NOX M
NOX
X X X
M CO M
CO
M CO M
CO
M pal M
pal
M c M
c M
el M
el pył CO
X SO NO
X X X
CO CO pal
c el
η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η
η ρ η ρ
η ρ η ρ
η ρ η ρ
η
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) (
p)
t T
T t T t
T t t J T
T T
t J T
r δ x J J
r e b
Q u E
r p a
Q E
r a Q p
E
r a Q p
E
r p a
Q E
r p a
Q E
r a e Q x
E
r a e Q r
a e E
rt rT M
rT rt rT
rem rt ub płp M
t r b T r b
CO t t CO CO c
R R el
t r a T r a
pył t pył t pył c
R R el
t r a T r a
SO t t SO SO c
R R el
t r a T r a
NO t t NO NO c
R R el
t r a T r a
CO t t CO CO c
R R el
t r a T r a
CO t t CO CO c
R R el
t r a T r a
pal t t pal od m wu c
R R el
t r a T r a
c t t c R t r a T r a
el t t el R el
CO CO
pył pył
SO SO
NOX NOX
X X X
CO CO
CO CO
pal pal
c c
el el
−
− − + −
−
− − + −
−
+
−
+ −
− + −
− +
+
−
− −
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
−
− +
+
−
+ −
− +
+
− −
+
−
+ −
− −
−
−
−
−
−
= −
−
= −
−
= −
−
= −
−
−
=
−
= −
−
= −
−
−
=
−
−
=
1 1 e
1 1 e
1
1e 1 e
1 e
) e 1
(
e 1 e
1
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
) 1
(
] e 1 [e
e 1 e
1 1 1
2 1
2 0
mod , ,
mod mod, mod
mod mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, , mod ,
mod mod
,
mod mod mod
mod, mod
,
2
2 2
2 mod
2 mod
2
2 2 2 2
2 mod mod
2
2 mod
2 mod
2
2 2 2 2
2 mod mod
2
2 mod mod
2
2 mod
2 mod
2
2 2 2 2
2 mod mod
2
2 mod mod
2 2
mod mod
2
η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η
(2)
przy czym J0 oznaczają zdyskontowane na moment zakończenia budowy ciepłowni lub elektrociepłowni nakłady J poniesione na ich budowę w okresie b lat trwania, J0 =Jz [3].
2.1. Jednostkowy koszt produkcji ciepła z uwzględnieniem nakładów inwestycyjnych na modernizację ciepłowni i elektrociepłowni
Równoważnym dla kryterium NPV → max poszukiwania optymalnej technologii modernizacji ciepłowni i elektrociepłowni jest kryterium minimalizacji średniego jednostkowego kosztu kc,śr produkcji w nich ciepła w okresie T lat ich eksploatacji. Koszt ten wyznacza się z (2) z warunku NPV= 0 przy ac =acM =acmod =0:
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[
( )]
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
+
− − + −
−
− − + − +
+
+ −
−
+ − +
+ − + +
+
−
− − + +
+
−
− + +
+
−
− + +
+
−
− + +
+
−
− + +
+
−
− + +
+
−
+ − + +
+
−
− −
+
+ −
− + +
− +
+
+
− − + −
+
+
− − + +
+
− − + +
+
− − + +
+
−
− + +
+
− − + +
+
− − + +
+
− +
− −
=
−
−
−
−
−
−
−
= −
−
= −
−
= −
−
= −
−
−
=
−
= −
−
= −
−
−
=
−
−
= −
= −
= −
= −
= −
= −
= −
= −
2 1
2 1
2 1
2 1 2 2
2 1 2 2
1 1 1
2 1 2 2
2 1 2 2
1 1 2
1 2
1
2 1 2 2
2 1 2 2
1 1 2
1 2
1
1 1
2 1 2 2 2
1 2 1 2 2 2
1 1 2 1 2 2 2
1 1
1 e 1 1 e
1
1 e 1 1 e
1 e
) e 1
(
e 1 e
1
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
) 1
(
e 1 e
1 e 1 1 1 e
1 ) 1
(
1 1 e
1
1 1 e
1 1 e
1 1 e
1 1 e
1 1 e
1 1 e
) 1
(
1 1 e
1 2
1 1
1
1
2 1
0 ,
, , ,
, ,
, ,
, ,
, , , ,
, , , ,
, ,
1 0
, , , 0 , 0
0 ,
, 0 , 0 , 0
0 , , ,
0 , ,
rt rt
M
rt rt
rt rt M rem ub płp M
t r b t r b M CO t t M CO CO M M
c M R M
R el
t r a t r a Mpył t t Mpył M pył
c M R M
R el
t r a t r a M SO t t M SO SO M c
M R M
R el
t r a t r a M NO t t M NO NO M c
M R M
R el
t r a t r a M CO t t M CO M CO
c M R M
R el
t r a t r a M CO t t M CO CO M c
M R M
R el
t r a t r a M pal t t M od pal m M wu
c M R M
R el
t r a t r a M el t t M el M
R el
rt rem rt
ub płp
t r b
CO t CO CO c
R R el
t r a pył tpył pył c
R R el
t r a
SO t SO SO c
R R el
t r a
NO t NO NO c
R R el
t r a
CO t CO CO c
R R el
t r a
CO t CO CO c
R R el
t r a
pal t pal od m wu c
R R el
t r a
el t el R śr el
c
t T
t t T t
T t t J T
T t T T
t J T
r δ x J J
r b e Q u
E
r a Q p
E
r p a
Q E
r a Q p
E
r a Q p
E
r a Q p
E
r a e Q x
E
r a e E
T t T J T
r x δ J
r e b
Q u E
r p a
Q E
r p a
Q E
r p a
Q E
r p a
Q E
r p a
Q E
r e a
Q x E
r e a E k
M CO M
CO Mpył Mpył
M SO M
SO
M NOX M
NOX X
X X
M CO M
CO
M CO M
CO
M pal M
pal M
el M
el
CO pył
SO NOX X X X
CO CO
pal el
η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
. min ) e (e ) e (e ]) e (1 x
x 1 e
1 1 e
1
1e 1 e
1 e
) e 1
(
e 1 e
1
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
e 1 e
) 1
(
e 1 e
2 2
1 1
2
2 2
2 mod
2 mod
2 2
2 2 2
2 mod mod
2
2 mod
2 mod
2 2
2 2 2
2 mod mod
2
2 mod mod
2
2 mod
2 mod
2 2
2 2 2
2 mod mod
2 2 mod mod
2
mod
1 1 1
2
1
2 0
mod , ,
mod mod, mod
mod mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, mod
mod mod
,
mod mod, , mod ,
mod mod
,
mod mod, mod
,
− → +
− +
−
− − + −
−
− − + − +
+
−
+ − +
+ − + +
+
−
− − + +
+
−
− + +
+
−
− + +
+
−
− + +
+
−
− + +
+
−
− + +
+
−
+ − + +
+
−
− −
− −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
= −
−
= −
−
= −
−
= −
−
−
=
−
= −
−
= −
−
−
=
rT rt R rt rt M R rt R
rT rt
M
rT rt rT
rem rt ub płp M
t r b T r b
CO t t CO CO c
R R el
t r a T r a pył t pył t pył c
R R el
t r a T r a
SO t t SO SO c
R R el
t r a T r a
NO t t NO NO c
R R el
t r a T r a
CO t t CO CO c
R R el
t r a T r a
CO t t CO CO c
R R el
t r a T r a
pal t t od pal m wu c
R R el
t r a T r a
el t t R el el
Q Q
Q
r
t T
T t T t
T t t J T
T T
t J T
r δ x J J
r b e Q u
E
r a Q p
E
r p a
Q E
r a Q p
E
r a Q p
E
r a Q p
E
r e a
Q x E
r a e E
CO CO
pył pył
SO SO
NOX NOX
X X X
CO CO
CO CO
pal pal
el el
η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η ρ η
(3)
Przychody ze sprzedaży energii elektrycznej wyprodukowanej w elektrociepłowni ze znakiem minus , 0 1
[
e( )1 −1]
− = − a −rt
el t el R
el el
r e a
E , ( ) ( )
−
− ,=1 1− e − 2 e − 1
,
t r a t r a M el t t M el M
R el
M el M
el
r a e
E ,
( ) ( )
−
− =2 1− e mod− e mod− 2
mod mod mod,
,
t r a T r a
el t t R el
el el el
r a e
E stanowią koszt uniknięty produkcji ciepła w
elektrociepłowni.
Najczęściej ze względu na zawarte umowy ilość ciepła dostarczana odbiorcom jest stała, a tym samym QR =QRM =QRmod. W wyniku modernizacji ciepłowni lub elektrociepłowni (modernizacji kotłów, turbin, układów chłodzenia itd. czy przez nadbudowę ciepłowni lub elektrociepłowni turbiną gazową), nawet w sytuacji gdy QR =const, wzrasta w nich produkcja energii elektrycznej. Jej wzrost zależy od zakresu i sposobu modernizacji. W przypadku modernizacji z wykorzystaniem turbin gazowych sprzedaż energii elektrycznej z elektrociepłowni może wzrosnąć nawet prawie dwukrotnie.
Uwzględniając powyższe uwagi i wprowadzając do (3) roczny wskaźnik skojarzenia
R R el R =E , Q
σ oraz roczny czas τ wykorzystania maksymalnej mocy cieplnej (tj. s
