Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 5 - Model silnika DC w przestrzeni zmiennych stanu z czasem ciągłym i z czasem dyskretnym dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Wykład 5 - Model silnika DC w przestrzeni zmiennych stanu z czasem ciągłym i z czasem dyskretnym

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2016

(2)

Równanie dynamiki silnika DC

Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:

M_obc= 0 (1)

co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs

U_s(s) = km

L_wJs²+ (R_wJ + L_wB)s + (k_mk_e+ R_wB) (2) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.

(3)

Parametry silnika elektrycznego DC

Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe).

Załóżmy, że:

R_w = 2 Ω, J = 0.1 kg ˙m²

s² , Lw= 0.1 H, B = 0.5 Nm ˙s

rad , ke = 0.1 V ˙s

rad, km = 0.1 Nm A ,

(4)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne

Do zaprojektowania układu regulacji pozycji / prędkości

serwomechanizmu, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym

X (t) = A˙ mcX (t) + BmcU(t)

y (t) = CmcX (t) + DmcU(t) (3) gdzie: X (t) ∈ Rⁿ- wektor stanu, U(t) ∈ R^m - wektor sygnałów

sterujących, y (t) ∈ R^p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amc ∈ R^n×n - macierz stanu Bmc∈ R^n×m - macierz sterowania, Cmc∈ R^p×m - macierz wyjścia.

Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych.

Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego,

(5)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne

Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC







U_z = R_wi_w+ L_wdi_w dt + k_eω_s kmiw = Jd ωs

dt + Bωs+ Mobc

(4)

po przekształceniu





 di_w

dt = −k_e Lw

ωs−R_w Lw

iw+ 1 Lw

Uz

d ω_s dt = −B

Jωs+k_m J iw−1

JMobc

(5)

można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań Xfiz =

i_w ω_s

, Ufiz=

U_z M_obc

(6)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne

Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fizykalnych, z wykorzystaniem wektora stanu i sterowań:

X_fiz =

iw

ωs

, U_fiz=

Uz

Mobc

(7) jest następujący









 X˙fiz=







−Rw

Lw

−ke

Lw

km

J −B

J





Xfiz+





 1 Lw

0 0 −1

J





Ufiz

Y =

0 1 Xfiz+

0 0 Ufiz

(8)

X˙_fiz= A_fizX_fiz+ B_fizU_fiz

Y = C_fizX_fiz+ D_fizU_fiz (9)

(7)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe

Mając transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs

Us(s)= km

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (10) stosując następujące podstawienia

kω²₀= k_m

LwJ, 2ξω₀= R_wJ + L_wB

LwJ , ω²₀=k_mk_e+ R_wB

LwJ (11)

można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G (s) = Y (s)

U(s) = k

T²s²+ 2ξTs + 1 (12) G (s) = Y (s)

U(s) = kω₀²

s²+ 2ξω₀s + ω₀² (13) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω₀- pulsacja drgań

nietłumionych.

(8)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe

Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω²₀

s²+ 2ξω0s + ω²₀ (14) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = −ω²₀x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (15) równanie wyjścia

y (t) = kω0x1(t) (16)

(9)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe

Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych:

Xfaz=

x₁ x₂

, Ufaz = Uz (17)

jest następujący





 X˙_faz=

0 1

−ω₀² −2ξω0

X_faz+

0 1

U_faz Y =

kω²₀ 0 Xfaz+ [0] U_faz

(18)

Xfaz˙ = Afaz(t)Xfaz+ Bfaz(t)Ufaz(t) Y = CfazXfaz+ DfazUfaz

(19)

(10)

Równania stanu - zmienne fazowe

Model z czasem ciągłym stanu procesu ruchu jako człon oscylacyjny zachowań prędkościowych

X (t) =˙





0 1 0

0 0 1

0 −ω₀² −2ξω0



X (t) +



 0 0 1



U(t) (20)

y (t) = [1 0 0] X (t) (21)

Fazowe zmienne stanu są następujące







x1(t) = s(t) x2(t) = v (t) x3(t) = a(t)

(22)

(11)

Równania stanu - zmienne fazowe

Podany model obliczeniowy z czasem ciągłym procesu ruchu w układzie napędowym ma następujące 4 zalety:

1 pojęcia typu wzmocnienie prędkościowe, pulsacja drgań, tłumienie są dla inżynierów zrozumiałe, a wartości parametrów - intuicyjne i inżyniersko weryfikowalne,

2 jakościowo poprawnie modeluje zależność dynamiki napędu od położenia elementu ruchomego, obciążenia masowego i warunków pracy,

3 spełnia warunki sterowalności i obserwowalności układu w sensie Kalmana oraz istotny w przypadku układu napędowego warunek sterowalności wyjściowej,

4 przekłada się w implementacyjnie prosty sposób w algorytm wyboru macierzy sprzężeń zwrotnych, uwzględniając założone właściwości statyczne i dynamiczne układu pozycyjnego.

(12)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli

Chcąc zaprojektować układ regulacji w technice mikroprocesorowej, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem dyskretnym

X (k + 1) = A_mdX (k) + B_mdU(k)

y (k) = CmdX (k) (23)

gdzie: X (k) ∈ Rⁿ- wektor stanu, U(k) ∈ R^m - wektor sygnałów sterujących, y (k) ∈ R^p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amd ∈ R^n×n - macierz stanu Bmd∈ R^n×m - macierz sterowania, Cmd∈ R^p×m - macierz wyjścia.

(13)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli

Transformacja ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych.

Uwzględniając : czas dyskretny k,

okres próbkowania (dyskretyzacji) Tp

sterowanie sygnałami odcinkowo - stałymi zmienianymi wyłącznie w chwili próbkowania (sygnałami schodkowymi) , czyli:

U(t) = U(kT_p) dla t ∈ hkT_p, (k + 1)T_pi (24) oraz dla modelu fazowych zmiennych stanu oznaczając:

A_mc = A_faz, B_mc = B_faz, C_mc= C_faz (25)

(14)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli

Równanie stanu modelu przekształca się, zgodnie z zasadami dyskretyzacji w postać:

X (k + 1) = exp(AmcTp)X (k) +







Tp

Z

0

exp (Amct)Bmcdt





U(k) (26)

gdzie

Amd= exp (AmcTp) = L⁻¹[(sI − Amc)⁻¹]; (27)

B_md =

Tp

Z

0

exp (A_mct)B_mcdt = A⁻¹_mc[exp (A_mcT_p) − I ]B_mc, det A 6= 0 (28)

(15)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli

W przypadku modelu opisanego pulsacją drgań swobodnych ω0 i tłumieniem ξ – macierz A_md wyznaczana może być zgodnie z definicją

A_md= e^A^mc^T^p = L⁻¹[(sI − A_mc)⁻¹] _t=T

p (29)

Amd = L⁻¹





 1 s

2ξω₀²+ s s(2ξω²₀s + ω²₀+ s²)

1

s(2ξω₀²s + ω²₀+ s²) 0 (2ξω₀²+ s)

(2ξω₀²s + ω₀²+ s²)

1

(2ξω²₀s + ω₀²+ s²)

0 −ω₀²

(2ξω₀²s + ω₀²+ s²)

s

(2ξω²₀s + ω₀²+ s²)





 t=T_p

(30) gdzie L⁻¹ - odwrotne przekształcenie Laplace’a.

Bmd = A⁻¹_mc(Amd− I )Bmc, det Amc 6= 0 (31)

(16)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli

Ostatecznie otrzymuje się model z czasem dyskretnym:

X (k + 1) = AmdX (k) + BmdU(k)

y (k) = CmdX (k) (32)

UWAGA: W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny.

(17)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

szereg Taylora

Jeśli funkcja f : D → Y , gdzie D ⊆ R oraz Y jest przestrzenią unormowaną i ma w punkcie x₀∈ D pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg

∞

X

n=0

1

n!f⁽ⁿ⁾(x₀)(x − x₀)ⁿ, (33) gdzie przyjęto f⁽⁰⁾(x0) = f (x0).

Jeżeli x₀= 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina ma następującą postać

f (x ) = f (0) +

∞

X

n=1

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ (34)

Dla funkcji wykładniczej, szereg Maclaurina ma postać e^x =

∞

X

n=1

xⁿ

n! (35)

(18)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu

dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny polegający na:

Krok 1: zastąpieniu funkcji exp (AmcTp) szeregiem funkcyjnym MacLaurina,

Krok 2: zapisie macierzy Amd i Bmd w postaci

Amd =

∞

X

i =0

Aⁱ_mc

i ! T_pⁱ; Bmd= Tp

∞

X

i =0

Aⁱ_mc

(i + 1)!T_pⁱBmc (36)

Krok 3: uwzględnieniu tylko kilku pierwszych (lub pierwszego) wyrazów tego rozwinięcia.

(19)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

Postępowanie to odwołuje się do transformacji Tustina polegającej na ograniczeniu rozwinięcia potęgowego operatora s do jednego wyrazu przy wyznaczaniu transmitancji dyskretnej.

Transformacja Tustina polega na aproksymacji Pad´e funkcji eksponencjalnej

z = e^sT (37)

Przekształcenie metodą Tustina polega na wykorzystaniu następujących podstawień przy transformacji z przestrzeni ’s’ Laplace’a (okład z czasem ciągłym) do przestrzeni ’z’ (układ z czasem dyskretnym):

s = 2 T

(z − 1)

(z + 1) (38)

(20)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

Model z czasem ciągłym

X (t) =˙





0 1 0

0 0 1

0 −ω₀² −2ξω0



X (t) +



 0 0 1



U(t)

y (t) = [1 0 0] x1(t)

Doprowadzany jest przez usunięcie z zależności wyrazów z czynnikiem Tpwyższym niż kwadratowy, do postaci modelu z czasem dyskretnym

X (k + 1) =





1 T_p 0

0 1 − αTp βTp

0 −2αβ 1 − αTp− 2β(1 − β)



X (k) +



 0 0 1



U(k)

y (k) = [1 0 0] X (k) gdzie

α = 1

ω²T_p; β = 1 − 2ξω₀T_p

(21)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

Prawidłowość doboru okresu próbkowania i przeprowadzenia powyższej aproksymacji wynika z twierdzenia Kotielnikowa- Shannona, określa- jącego pod jakim warunkiem z sygnału dyskretnego x (k) złożonego z pró- bek danego sygnału ciągłego x (t), można wiernie odtworzyć sygnał x (t).

Częstotliwość próbkowania musi być większa niż dwukrotność naj- wyższej składowej częstotliwości w mierzonym sygnale.

ω_p= 2π Tp

; ω_p 2ω0⇒ Tp¬ π ω0

(39) Taka aproksymacja znajduje swe uzasadnienie w stwierdzeniu skali róż- nic wartości pomiędzy pulsacją próbkowania ωp wynikająca z okresu Tp a pulsacją ω0.

Przy milisekundowym okresie próbkowania, np. Tp ∈< 0.8, 2 > ms, otrzy- muje się pulsację próbkowania ω_p∈< 7850, 3140 > rd /s która jest o rzędy wielkości większa od pulsacji drgań swobodnych ω₀∈< 10, 60 > rd /s za- chowań ruchowych (siłowych) napędu: takie częstotliwości charakteryzują nawet szybkie napędy pozycyjne.

(22)