EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Miejsce na naklejkĊ

MMA-P1_1P-082

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Czas pracy 120 minut

Instrukcja dla zdającego

1. SprawdĨ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron (zadania 1 – 12). Ewentualny brak zgáoĞ przewodniczącemu zespoáu nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania zadaĔ i odpowiedzi zamieĞü w miejscu na to przeznaczonym.

3. W rozwiązaniach zadaĔ przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.

4. Pisz czytelnie. UĪywaj dáugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.

5. Nie uĪywaj korektora, a báĊdne zapisy przekreĞl.

6. PamiĊtaj, Īe zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.

7. Obok kaĪdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą moĪesz uzyskaü za jego poprawne rozwiązanie.

8. MoĪesz korzystaü z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datĊ urodzenia i PESEL.

Nie wpisuj Īadnych znaków w czĊĞci przeznaczonej dla egzaminatora.

ĩyczymy powodzenia!

MAJ ROK 2008

Za rozwiązanie wszystkich zadaĔ

moĪna otrzymaü áącznie 50 punktów

Wypeánia zdający przed rozpoczĊciem pracy

PESEL ZDAJĄCEGO KOD

ZDAJĄCEGO

Zadanie 1. (4 pkt)

Na poniĪszym rysunku przedstawiono áamaną ABCD, która jest wykresem funkcji ^{y f x}

Korzystając z tego wykresu:

a) zapisz w postaci przedziaáu zbiór wartoĞci funkcji f , b) podaj wartoĞü funkcji f dla argumentu x _1 10, c) wyznacz równanie prostej BC ,

d) oblicz dáugoĞü odcinka BC .

a) Zbiór wartoĞci funkcji f odczytujĊ z wykresu. Jest nim przedziaá 4, 3 . b) ZauwaĪam, Īe   3 1 10  2. Z wykresu odczytujĊ, Īe w przedziale

 3, 2 funkcja f jest staáa i dla kaĪdego argumentu z tego przedziaáu przyjmuje wartoĞü

1 10

x  jest

c) Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty ^{B  }

i ^C

stąd 7 1

4 2

y x .

Obliczam dáugoĞü odcinka BC: ^BC

1 1

2 2

–2

–2 –3 –3

–4 –1

–1 0 3

3 4

y

x

A B

C D

Zadanie 2. (4 pkt)

Liczba przekątnych wielokąta wypukáego, w którym jest n boków i nt wyraĪa siĊ wzorem 3

2 P n n n^ .

Wykorzystując ten wzór:

a) oblicz liczbĊ przekątnych w dwudziestokącie wypukáym.

b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukáy, w którym liczba przekątnych jest piĊü razy wiĊksza od liczby boków.

c) sprawdĨ, czy jest prawdziwe nastĊpujące stwierdzenie:

KaĪdy wielokąt wypukáy o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbĊ przekątnych.

OdpowiedĨ uzasadnij.

a) Do podanego wzoru podstawiam n i otrzymujĊ 20 ^P

W dwudziestokącie wypukáym jest 170 przekątnych.

b) ZapisujĊ równanie uwzglĊdniające treĞü tego podpunktu:

2

n n . n Jest ono równowaĪne równaniu kwadratowemu ⁿ² ¹³ⁿ , którego ⁰ rozwiązaniem są liczby n lub 0 n . 13

Biorąc pod uwagĊ zaáoĪenie, Īe nt3 formuáujĊ odpowiedĨ: Wielokątem wypukáym, który ma 5 razy wiĊcej przekątnych niĪ boków jest trzynastokąt.

c) PowyĪsze stwierdzenie nie jest prawdziwe, poniewaĪ szeĞciokąt wypukáy ma 9 przekątnych, czyli ^P

Zadanie 3. (4 pkt)

RozwiąĪ równanie ^{423x329x 164˜}

Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2^k, gdzie k jest liczbą caákowitą.

Wszystkie liczby wystĊpujące w równaniu zapisujĊ w postaci potĊgi o podstawie 2:

46 45 16 32

2 x2 x 2 ˜ 2

Po lewej stronie równania wyáączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej stronie wykonujĊ mnoĪenie:

45 48

2 x 2 1_ 2

45 48

2 x 2

dzielĊ obie strony równania przez ²⁴⁵ i otrzymujĊ^:

48 45 3

2 : 2 2 x

Rozwiązaniem równania jest liczba ²³.

Zadanie 4. (3 pkt)

Koncern paliwowy podnosiá dwukrotnie w jednym tygodniu cenĊ benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyĪkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62 zá. Oblicz cenĊ jednego litra benzyny przed omawianymi podwyĪkami.

Oznaczam literą x cenĊ jednego litra benzyny przed podwyĪkami;

1,1x –cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyĪce;

1,05 1,1_˜ x – cena jednego litra benzyny po obu podwyĪkach.

ZapisujĊ równanie^: 1,05 1,1_˜ x 4,62 1,155x 4,62 Rozwiązaniem równania jest x _;⁴

Cena jednego litra benzyny przed podwyĪkami byáa równa 4 zá.

Zadanie 5. (5 pkt)

NieskoĔczony ciąg liczbowy

n 2

a  , n n 1, 2, 3,... . a) Oblicz, ile wyrazów ciągu

b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg

a) RozwiązujĊ nierównoĞü ^{2 1 1,975}

 n .

Przeksztaácam ją do postaci równowaĪnej ^{1 0,025}

n ^! . NierównoĞü tĊ zapisujĊ w postaci ^{1 1}

40

n ^! . Jest ona speániona gdy^: n⁴⁰.

PoniewaĪ n jest liczbą naturalną, wiĊc odpowiedĨ jest nastĊpująca^: 39 wyrazów danego ciągu to liczby mniejsze od 1,975.

b) Korzystam ze związku miĊdzy sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym i zapisujĊ równanie^{: 2} ₇

2

a x

 a , czyli x 2a₇  . a₂ Obliczam potrzebne wyrazy: ₂ 3

a , 2 7

13 a . 7

Wstawiam obliczone wartoĞci do równania i otrzymujĊ 13 3 31 2 7 2 14 x ˜  . OdpowiedĨ: Trzywyrazowy ciąg

x . 14

Zadanie 6. (5 pkt)

Prosta o równaniu 5x  przecina oĞ 4y 10 0 ^Ox ukáadu wspóárzĊdnych w punkcie A oraz oĞ Oy w punkcie B . Oblicz wspóárzĊdne wszystkich punktów C leĪących na osi ^Ox i takich, Īe trójkąt ABC ma pole równe ³⁵.

Wyznaczam wspóárzĊdne punktów A i B: ^A

Punkt C moĪe leĪeü z lewej lub z prawej strony punktu A. Przyjmując, Īe w obu przypadkach wysokoĞcią trójkąta ABC jest odcinek BO, którego dáugoĞü jest równa ⁵

2 i korzystając z faktu, Īe pole trójkąta ABC równa siĊ 35 zapisujĊ równanie: 1

2˜ AC ˜ BO 35

1 5

2˜ AC ˜ 2 35 28 AC .

PoniewaĪ punkt ^A

Zadanie ma zatem dwa rozwiązania.

x y

O B

C A C

Zadanie 7. (4 pkt)

Dany jest trapez, w którym podstawy mają dáugoĞü 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dáuĪszą podstawą kąty o miarach ³⁰q i 45q. Oblicz wysokoĞü tego trapezu.

Trójkąt AED jest trójkątem prostokątnym i równoramiennym ( )DAE )EDA q45 ), wiĊc AE ED . h

Korzystam z wáasnoĞci trójkąta prostokątnego BFC i zapisujĊ zaleĪnoĞü miĊdzy przyprostokątnymi CF tg30

FB q , stąd ^{FB CF} ˜ ³, FB h 3. 4

EF DC , wiĊc otrzymujĊ równanie:

4 10

AE   FB , z którego po podstawieniu wyznaczonych wielkoĞci otrzymujĊ:

4 3 10

h h . Obliczam wysokoĞü trapezu:

3 6 hh

h 

6 3 3 1

h 3 1 

 .

OdpowiedĨ: WysokoĞü trapezu jest równa ³

h h

45q 30q

A B

C D

E F

. .

Zadanie 8. (4 pkt)

Dany jest wielomian ^{W x}

a) SprawdĨ, czy punkt ^A

b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

a) Obliczam ^W

W  ˜  ˜ 

W

Otrzymany wynik oznacza, Īe punkt A nie naleĪy do wykresu wielomianu W.

b) Rozkáadam wielomian na czynniki:

W x x x   x

3 2

9 5 45

x x x

  

x x   x 

   ^.

OdpowiedĨ: ^{W x}

Zadanie 9. (5 pkt)

Oblicz najmniejszą i najwiĊkszą wartoĞü funkcji kwadratowej ^{f x}

w przedziale 2, 2 .

ZapisujĊ wzór funkcji w postaci ogólnej ^{f x}

Wyznaczam odciĊtą wierzchoáka paraboli: 3

2 4

w

x b

a

 .

Pierwsza wspóárzĊdna wierzchoáka paraboli naleĪy do przedziaáu 2, 2 ^, wiĊc najmniejszą wartoĞcią funkcji f w tym przedziale jest druga wspóárzĊdna

wierzchoáka: 25

4 8

yw

a

'  .

Obliczam wartoĞci funkcji na koĔcach przedziaáu: ^f

NajwiĊkszą wartoĞcią funkcji f w podanym przedziale jest ^f

OdpowiedĨ: Najmniejszą wartoĞcią funkcji w podanym przedziale jest 25

w 8

y  , a najwiĊkszą ^f

Zadanie 10. (3 pkt)

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h, okreĞlonej wzorem ^{h x}

Wiadomo, Īe do wykresu funkcji ^h naleĪy punkt ^P

a) Oblicz wartoĞü wspóáczynnika ^a.

b) Ustal, czy liczba ^h

 ^2,5

P

1 1

x y

a) Korzystam z faktu, Īe punkt ^P

2

stąd a=10. a

Funkcja h jest dana wzorem: ^{h x}

b) Z wykresu odczytujĊ, Īe ^h

h S  S jest liczbą dodatnią. h

Z informacji podanej w zadaniu wiem, Īe wykres funkcji h przechodzi przez punkt ^P

Zadanie 11. (5 pkt)

Pole powierzchni bocznej ostrosáupa prawidáowego trójkątnego równa siĊ ² 15 4

a , gdzie

a oznacza dáugoĞü krawĊdzi podstawy tego ostrosáupa. Zaznacz na poniĪszym rysunku kąt nachylenia Ğciany bocznej ostrosáupa do páaszczyzny jego podstawy. MiarĊ tego kąta oznacz symbolem E. Oblicz cosE i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliĪoną wartoĞü E ^{z dok}áadnoĞcią do 1q.

Na rysunku zaznaczam kąt nachylenia Ğciany bocznej ostrosáupa do páaszczyzny podstawy – E (punkt D jest Ğrodkiem odcinka BC).

E h

x

h

x

A B

C S

O

D a

Wprowadzam oznaczenie: h – wysokoĞü Ğciany bocznej.

ZapisujĊ równanie opisujące pole powierzchni bocznej ostrosáupa:

1 2 15

3 2 4

a h a

˜ ˜ , z którego wyznaczam wysokoĞü Ğciany bocznej ostrosáupa

15 6

h a .

Z trójkąta prostokątnego SOD, w którym 3 6

x OD a – dáugoĞü promienia

okrĊgu wpisanego w podstawĊ ostrosáupa otrzymujĊ: cos x E . h 3

6 5

cos 0, 4472

15 5 6

|

a x

h a

E ^.

Z tablicy wartoĞci funkcji trygonometrycznych odczytujĊ miarĊ kąta: E 63^D.

Zadanie 12. (4 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną szeĞcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieĔstwo kaĪdego z nastĊpujących zdarzeĔ:

a) A – w kaĪdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.

b) B – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą wiĊkszą od 9.

c) C – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i wiĊkszą od 9.

: dla tego doĞwiadczenia jest zbiorem wszystkich uporządkowanych par, których wyrazy mogą siĊ powtarzaü i kaĪdy z tych wyrazów moĪe byü jedną z liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

MoĪna ten zbiór opisaü w tabelce:

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

62 36 : .

Zdarzeniu A sprzyja 9 zdarzeĔ elementarnych:

^

`

Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia A: ^{P A}

Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeĔ elementarnych. àatwo je wypisaü:

^

`

Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia B: ^{P B}

Zdarzeniu C sprzyjają dwa zdarzenia elementarne:

^    

`

Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia C: ^{P C}

BRUDNOPIS