Zakres materiału

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Analiza matematyczna – ci ˛agi liczbowe Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

ci ˛agi liczbowe, działania na ci ˛agach, ci ˛agi monotoniczne, ci ˛agi ograniczone

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore-˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.

Zakres materiału

1. Definicja ci ˛agu niesko ´nczonego;

2. Post ˛ep arytmetyczny;

3. Post ˛ep geometryczny;

4. Ci ˛ag sum cz ˛e´sciowych;

5. Działania na ci ˛agach;

6. Ci ˛agi monotoniczne;

7. Ci ˛agi ograniczone;

Oznaczenia i terminologia

1. Niesko ´nczony ci ˛ag liczbowy Je ˙zeli ka ˙zdej liczbie naturalnej n zostanie przyporz ˛adkowana jedna liczba rzeczywista un, to mówimy, ˙ze został okre´slony niesko ´nczony ci ˛ag liczbowy.

2. Wyraz ci ˛aguLiczby u₁, u₂, . . . nazywamy wyrazami ci ˛agu.

3. Wyraz ogólny ci ˛aguSymbol u_nnazywamy wyrazem ogólnym ci ˛agu.

4. Post˛ep arytmetyczny Post ˛ep (ci ˛ag) arytmetyczny, to ci ˛ag liczbowy {a_n}, w którym ka ˙zdy ko- lejny wyraz od drugiego pocz ˛awszy jest sum ˛a wyrazu bezpo´srednio go poprzedzaj ˛acego oraz ustalonej liczby r zwanej ró˙znic ˛a ci ˛agu:

a_n=a_n−1+r dla n>1.

Pierwszy wyraz a₁ =a i ró ˙znica r wyznaczaj ˛a post ˛ep arytmetyczny.

5. Post˛ep geometrycznyPost ˛ep (ci ˛ag) geometryczny, to ci ˛ag liczbowy{a_n}, którego ka ˙zdy kolejny wyraz od drugiego pocz ˛awszy jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej q nazwanej ilorazem ci ˛agu:

a_n =q·a_n−1dla n>1.

Pierwszy wyraz a₁ =a i iloraz q wyznaczaj ˛a post ˛ep geometryczny.

6. Ci ˛ag sum cz˛e´sciowych post˛epu arytmetycznego Maj ˛ac dany post ˛ep arytmetyczny mo ˙zna utworzy´c nowy ci ˛ag

S₁, S₂, . . . , S_n, . . . gdzie

S₁= a₁, S₂=a₁+a₂=2a₁+r, S₃ =a₁+a₂+a₃ =3a₁+2r, . . . Sn= a₁+a₂+a₃+. . .+an =na₁+ (n−1)r, . . . Jest to tak zwany ci ˛ag sum cz˛e´sciowych post˛epu arytmetycznego.

7. Ci ˛ag sum cz˛e´sciowych post˛epu geometrycznego Maj ˛ac dany post ˛ep geometryczny mo ˙zna utworzy´c nowy ci ˛ag

S₁, S₂, . . . , S_n, . . . gdzie

S₁ =a₁, S₂= a₁+a₂ =a₁(1+q), S₃ =a₁+a₂+a₃= a₁(1+q+q²), . . . S_n= a₁+a₂+a₃+. . .+a_n=a₁(1+q+q²+. . .+qⁿ⁻¹), . . . Jest to tak zwany ci ˛ag sum cz˛e´sciowych post˛epu geometrycznego.

8. Działania na ci ˛agach

(a) Ci ˛ag mno˙zymy przez liczb˛e, mno ˙z ˛ac ka ˙zdy wyraz ci ˛agu przez t ˛e liczb ˛e.

(b) Dwa dowolne ci ˛agi dodajemy, odejmujemy, mno˙zymy lub dzielimy przez siebie, dodaj ˛ac, odejmu- j ˛ac, mno ˙z ˛ac lub dziel ˛ac wyrazy jednego ci ˛agu przez odpowiednie wyrazy drugiego.

(c) Iloraz ci ˛agów mo ˙zna obliczy´c jedynie wtedy, gdy dla ci ˛agu {bn}, przez który dzielimy, za- chodzi b_n6=0 dla wszystkich wska´zników n, tzn. gdy ci ˛ag{b_n}ma wszystkie wyrazy ró ˙zne od zera.

9. Ci ˛ag monotonicznyCi ˛ag{a_n}nazywamy

(a) rosn ˛acym, je ˙zeli ka ˙zdy wyraz nast ˛epny jest wi ˛ekszy od poprzedzaj ˛acego, tzn. gdy dla wszyst- kich n∈_N

a_n+1> a_n, tzn. a_n+1−a_n >0,

(b) nierosn ˛acym, je ˙zeli ka ˙zdy wyraz nast ˛epny jest niewi ˛ekszy od poprzedzaj ˛acego, tzn. gdy dla wszystkich n∈_N

a_n+1≤ an, tzn. a_n+1−an ≤0,

(c) malej ˛acym, je ˙zeli ka ˙zdy wyraz nast ˛epny jest mniejszy od poprzedzaj ˛acego, tzn. gdy dla wszystkich n∈_N

a_n+1< a_n, tzn. a_n+1−a_n <_0,

(d) niemalej ˛acym, je ˙zeli ka ˙zdy wyraz nast ˛epny jest niemniejszy od poprzedzaj ˛acego, tzn. gdy dla wszystkich n∈_N

a_n+1≥ a_n, tzn. a_n+1−a_n ≥0,

Ci ˛ag {a_n}jest monotoniczny, gdy spełnia który´s z warunków (a)-(d). Ci ˛ag {a_n}jest ´sci´sle monoto- niczny, gdy jest rosn ˛acy albo malej ˛acy.

10. Ci ˛ag ograniczonyCi ˛ag {an}nazywamy ograniczonym, gdy ka ˙zdy jego wyraz ma bezwzgl ˛edn ˛a warto´s´c nie przekraczaj ˛ac ˛a pewnej stałej liczby dodatniej M, tzn. gdy

|an| ≤M, dla wszystkich wska´zników n, a zatem gdy

−M ≤a_n≤ M (M >0),

tzn. gdy wszystkie wyrazy ci ˛agu zawieraj ˛a si ˛e w sko ´nczonym przedziale [−M, M].

Twierdzenia

1. Suma pierwszych n wyrazów post˛epu arytmetycznegoDany jest ci ˛ag arytmetyczny a₁, a2, . . . Suma pierwszych n∈N wyrazów ci ˛agu arytmetycznego dana jest wzorem

Sn =a₁+a2+. . .+an=n·^a1+a_n 2 .

Jest to wzór na n-ty wyraz ci ˛agu sum cz ˛e´sciowych post ˛epu arytmetycznego.

2. Suma pierwszych n wyrazów post˛epu geometrycznego Niech a ∈ R b ˛edzie pierwszym wyrazem ci ˛agu geometrycznego, a q∈R jego ilorazem. Suma pierwszych n∈N wyrazów ci ˛agu geometrycznego dana jest wzorem

S_n =a+aq+. . .+aqⁿ⁻¹ = (

a¹₁⁻₋^q_qⁿ dla q6=1, na dla q=_1.

Jest to wzór na n-ty wyraz ci ˛agu sum cz ˛e´sciowych post ˛epu geometrycznego.

Zadania

1. Wypisa´c kilka pierwszych wyrazów ci ˛agu (a)  _n

n+1 , (b) (−₁)ⁿ

n , (c) 

(−1)ⁿ(n+1) _,

(d)  sin ¹₂nπ
, (e) {1},

(f) b ˛ed ˛acego przybli ˙zeniami dziesi ˛etnymi przez niedomiar liczby π.

Obliczy´c wyraz 35 dla tych ci ˛agów.

2. Ile wynosi pierwszy wyraz i ró ˙znica nast ˛epuj ˛acego ci ˛agu arytmetycznego?

(a) 5, 8, 11, 14, . . ., (b) 1, 3, 5, 7, . . ., (c) 12,−12,−36,−60, . . ..

3. Napisa´c kilka pierwszych wyrazów post ˛epu arytmetycznego o podanym pierwszym wyrazie i ró ˙znicy

(a) a=2, r=4, (b) a=10, r= −3, (c) a= −10, r=3.

4. Napisa´c wzór na wyraz a_n dla ci ˛agów arytmetycznych z zadania 2 i 3. Nast ˛epnie napisa´c wzór na a₁₀.

5. Dla ci ˛agów arytmetycznych z zadania 2 i 3 obliczy´c sum ˛e pierwszych

(a) 4 wyrazów, (b) 10 wyrazów, (c) 100 wyrazów.

6. Ile wynosi pierwszy wyraz i iloraz nast ˛epuj ˛acego ci ˛agu geometrycznego?

(a) 1, 2, 4, 8, . . ., (b) 4, 2, 1,¹₂, . . ., (c) 12,−_{12, 12,}−_{12, . . ..}

7. Napisa´c kilka pierwszych wyrazów post ˛epu geometrycznego o podanym pierwszym wyrazie i ilorazie

(a) a=2, q=4, (b) a=7, q=1, (c) a=10, q= −3, (d) a= −10, q=3.

8. Napisa´c wzór na wyraz a_n dla ci ˛agów geometrycznych z zadania 6 i 7. Nast ˛epnie napisa´c wzór na a₁₀.

9. Dla ci ˛agów geometrycznych z zadania 6 i 7 obliczy´c sum ˛e pierwszych

(a) 4 wyrazów, (b) 10 wyrazów, (c) 100 wyrazów.

10. Dla post ˛epu (a) 2, 4, 6, . . ., (b) 5, 9, 13, . . .,

(c) 10, 5, 0,−5 . . ., (d) 1,³₂, 2, . . .,

(e) 1,−¹₂,¹₄,−¹₈, (f) 2, 4, 8, . . .,

(g) 5,−10, 20, . . ., (h) 0, 2, 0, 02, 0, 002, . . . obliczy´c dziesi ˛aty wyraz a₁₀ i sum ˛e pierwszych dziesi ˛eciu wyrazów S₁₀.

11. Obliczy´c n-ty wyraz ci ˛agu b ˛ed ˛acego sum ˛a, ró ˙znic ˛a, iloczynem i ilorazem ci ˛agów (a) {a_n} = {2}oraz{b_n} =^_n¹ _,

(b) {an} =^1_n oraz{bn} =^_n+ⁿ₁ ,

(c) {a_n} = {sin^nπ₂ }oraz{b_n} =^_n+ⁿ_{1 ,} (d) {an} =^_n¹₂ oraz{bn} =^_n+ⁿ₁ . Wypisa´c po trzy pierwsze wyrazy otrzymanych ci ˛agów.

12. Zbada´c monotoniczno´s´c i ograniczono´s´c ci ˛agu (a) {an} =^2n_n+⁺₁³ _,

(b) {a_n} = {3n+2},

(c) {an} =^1_n⁻₊ⁿ_{1 ,} (d) {a_n} =^3n_3n⁺₋¹_{1 ,}

(e) {an} = {√

n+2}, (f) {a_n} =_2− ¹_{n ,} 13. Poda´c przykład ci ˛agu niemonotonicznego.

Bibliografia

1. Matematyka cz. I W. Wrona